专题01两个计数原理(原卷版+解析)

专题01两个计数原理类型一、加法原理例1．算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）．如果拨动图1算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为（

）A．8 B．10 C．15 D．16例2．甲､乙､丙､丁四名交通志愿者申请在国庆期间到三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表：交通路口ABC志愿者甲､乙､丙､丁甲､乙､丙丙､丁这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法数有（

）A．14种 B．11种 C．8种 D．5种（多选题）例3．现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（

）A．从中任选1个球，有15种不同的选法B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法例4．在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表：A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学二物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？例5．在读书节上，1名学生要从7本不同的科技类图书、8本不同的历史类图书和6本不同的文艺类图书中任选1本，共有多少种不同的选法？类型二、乘法原理例1．某办公室为保障财物安全，需在春节放假的七天内每天安排一人值班．已知该办公室共有四个人，每人需值班一天或两天，则不同的值班安排种数为（

）A．360 B．630 C．2520 D．15120例2．将2封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（

）A． B．3 C． D．例3．一排有10盏灯，如果用灯亮表示数1，用灯不亮表示数0，每一种亮灯方式代表一个数据，如：0010100101表示一个数据，那么这10盏灯可以表示的数据个数是___________.例4．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则共有_______种行车路线（用数字作答）例5．按序给出，两类元素，类中的元素排序为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，类中的元素排序为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．在，两类中各取1个元素组成1个排列，求类中选取的元素排在首位，类中选取的元素排在末位的排列的个数．类的10个元素叫作天干，类的12个元素叫作地支．两者按固定顺序相配，形成古代纪年历法，求天干各地支相配可形成的纪年历法可以表示多少年.例6．某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？类型三、基本计数原理的综合应用例1．某学校要从5名男教师和3名女教师中随机选出3人去支教，则抽取的3人中，女教师最多为1人的选法种数为（

）．A．10 B．30 C．40 D．46例2．为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有（

）A．18种 B．36种 C．68种 D．84种例3．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字构成平面直角坐标系内点的横、纵坐标，其中不在轴上的点有（

）A．36个 B．30个 C．25个 D．20个例4．年底以来，我国多次在重要场合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收量可以正负抵消，实现二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一个碳原子和两个氧原子构成的，其结构式为.已知氧有、、三种天然同位素，碳有、、三种天然同位素，则由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种例5．某旅行社有A、B、C、D、E共五条旅游线路可供旅客选择，其中A线路只剩下一个名额，其余线路名额充足.现甲、乙、丙、丁四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰选择了三条不同的线路.则他们报名的情况总共有（

）A．720种 B．360种 C．288种 D．240种例6．甲､乙､丙､丁共4名同学进行党史知识比赛，决出第1名到第4名的名次（名次无重复），其中前2名将获得参加市级比赛的资格，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有获得参加市级比赛的资格.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，4人的排名有（

）种不同情况.A．6 B．8 C．10 D．12例7．入冬以来，梁老师准备了4个不同的烤火炉，全部分发给楼的三个办公室（每层楼各有一个办公室）.1，2楼的老师反映办公室有点冷，所以1，2楼的每个办公室至少需要1个烤火队，3楼老师表示不要也可以.则梁老师共有多少种分发烤火炉的方法（

）A．108 B．36 C．50 D．86例8．在2021中俄高加索联合军演的某一项演练中，中方参加演习的有4艘军舰，5架飞机；俄方有3艘军舰，6架飞机.若从中、俄两方中各选出2个单位（1架飞机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（

）A．51种 B．168种 C．224种 D．336种例9．已知直线的斜率大于零，其系数a、b、c是取自集合中的3个不同元素，那么这样的不重合直线的条数是（

）A．11 B．12 C．13 D．14例10．已知某校为学生提供了四种体育锻炼的方式：跑步､跳绳､排球､篮球.规定学生体锻必须且只能从上述四种体锻方式中选择一种.已知学生甲不选篮球，学生乙只选排球，学生丙､丁选择哪种方式体锻都可以，这四名学生体锻后，恰好选择了其中的三种体锻方式，那么他们选择体锻方式的可能情况有（

）种.A．7 B．12 C．19 D．26例11．在2022年北京冬奥会和冬残奥会城市志愿者的招募项目中，有一个“国际服务”项目截止到2022年1月25日还有8个名额空缺，需要分配给3个单位，则每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数是_____________.例12．现从4名男志愿者和3名女志愿者中，选派2人分别去甲、乙两地担任服务工作，若被选派的人中至少有一名男志愿者，则不同的选派方法共有___________种.(用数字作答)例13．某区突发新冠疫情，为抗击疫情，某医院急从甲、乙、丙等9名医务工作者中选6人参加周一到周六的某社区核酸检测任务，每天安排一人，每人只参加一天．现要求甲、乙、丙至少选两人参加．考虑到实际情况，当甲、乙、丙三人都参加时，丙一定得排在甲乙之间，那么不同的安排数为__________．（请算出实际数值）例14．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A，，三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者.若甲不能参加A，项目，乙不能参加，项目，那么共有__种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）例15．在读书活动中，一个学生从2本不同的科技书，3本不同的政治书，8本不同的文艺书中任选2本不同学科的书，共有多少种不同的选法？专题01两个计数原理类型一、加法原理例1．算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）．如果拨动图1算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为（

）A．8 B．10 C．15 D．16答案:A解析：分析：根据给定条件分类探求出拨动两枚算珠的结果计算得解.【详解】拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类办法，由于拨动一枚算珠有梁上、梁下之分，则只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法，由分类加法计数原理得共有8种方法，所以表示不同整数的个数为8.故选：A例2．甲､乙､丙､丁四名交通志愿者申请在国庆期间到三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表：交通路口ABC志愿者甲､乙､丙､丁甲､乙､丙丙､丁这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法数有（

）A．14种 B．11种 C．8种 D．5种答案:B解析：分析：根据分类计数法进行分类讨论，然后进行求和.【详解】解：由题意得：以C路口为分类标准：C路口执勤分得人口数情况有种，两个人或一个人C路口执勤分得人口数为个，丙、丁在C路口，那么甲、乙只能在路口执勤；C路口执勤分得人口数为个，丙或丁在C路口，具体情况如下：丙在C路口：A（丁）B（甲乙）C（丙）；A（甲丁）B（乙）C（丙）；A（乙丁）B（甲）C（丙）；丁在C路口：A（甲乙）B（丙）C（丁）；A（丙）B（甲乙）C（丁）；A（甲丙）B（乙）C（丁）；A（乙）B（甲丙）C（丁）；A（乙丙）B（甲）C（丁）；A（甲）B（乙丙）C（丁）；.所以一共有2+3+6=11种选法.故选：B.（多选题）例3．现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（

）A．从中任选1个球，有15种不同的选法B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法答案:ABD解析：分析：利用排列知识计算得到选项ABD正确；若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以选项C错误.【详解】解：A.从中任选1个球，有15种不同的选法，所以该选项正确；B.若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法，所以该选项正确；C.若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误；D.若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法，所以该选项正确.故选：ABD例4．在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表：A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学二物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？答案:9.解析：分析：分为A大学和B大学两类专业来选，根据分类加法计算原理即可求解﹒【详解】解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，∵没有一个强项专业是两所大学共有的，∴根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数．例5．在读书节上，1名学生要从7本不同的科技类图书、8本不同的历史类图书和6本不同的文艺类图书中任选1本，共有多少种不同的选法？答案:21解析：分析：根据分类加法计数原理即可得出结果.【详解】解：由题可知，有7本不同的科技类图书、8本不同的历史类图书和6本不同的文艺类图书，从中任选1本，则共有7+8+6=21种不同的选法.类型二、乘法原理例1．某办公室为保障财物安全，需在春节放假的七天内每天安排一人值班．已知该办公室共有四个人，每人需值班一天或两天，则不同的值班安排种数为（

）A．360 B．630 C．2520 D．15120答案:C解析：分析：根据题意可知有一人值班一天，其余三人各值班两天，据此可求不同的值班安排总数.【详解】有一人值班一天，其余三人各值班两天，则根据每个人的排班情况可计算不同的值班安排共有种．故选：C.例2．将2封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（

）A． B．3 C． D．答案:C解析：分析：应用分步计数法求不同的投法种数.【详解】第一封信的投法有3种，第二封信的投法有3种，∴根据分步计数原理可知一共有（种）投法.故选：C.例3．一排有10盏灯，如果用灯亮表示数1，用灯不亮表示数0，每一种亮灯方式代表一个数据，如：0010100101表示一个数据，那么这10盏灯可以表示的数据个数是___________.答案:1024解析：分析：由于每盏灯有两种情况，所以由分步乘法原可求得结果【详解】因为用灯亮表示数1，用灯不亮表示数0，每一种亮灯方式代表一个数据，所以由乘法分步原理可知这10盏灯可以表示的数据个数为个，故答案为：1024例4．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则共有_______种行车路线（用数字作答）答案:解析：分析：根据题意，分析车辆的起始位置和终止位置，利用乘法原理即可得出答案.【详解】设十字路口有四个路口，由于不允许掉头，则其中一个路口的车辆有种行驶方向，即左拐，直行，右拐，那么四个路口的车一共有种行车路线.故答案为：.例5．按序给出，两类元素，类中的元素排序为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，类中的元素排序为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．在，两类中各取1个元素组成1个排列，求类中选取的元素排在首位，类中选取的元素排在末位的排列的个数．类的10个元素叫作天干，类的12个元素叫作地支．两者按固定顺序相配，形成古代纪年历法，求天干各地支相配可形成的纪年历法可以表示多少年.答案:在，两类中各取1个元素组成1个排列，求类中选取的元素排在首位，类中选取的元素排在末位的排列的个数为120.解析：分析：根据分步乘法计数原理可求得符合要求排列的个数.【详解】从类中选取一个元素排在首位的选法有10种，从类中选取一个元素排在末位的选法有12种，由分步乘法计数原理可得所有排列的个数为120种.例6．某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？答案:720.解析：分析：第一步，从男生中选1人；第二步，从女生中选1人，然后利用分步相乘原理即可得解.【详解】第一步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法；第二步，从24名女生中选出1人，有24种不同选法.根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数有.所以共有720种不同的选法.类型三、基本计数原理的综合应用例1．某学校要从5名男教师和3名女教师中随机选出3人去支教，则抽取的3人中，女教师最多为1人的选法种数为（

）．A．10 B．30 C．40 D．46答案:C解析：分析：可分为女教师0人，男教师3人和女教师1人，男教师2人两种情况，用组合数表示计算即得解【详解】女教师最多为1人即女教师为0人或者1人若女教师为0人，则男教师有3人，有种选择；若女教师为1人，则男教师2人，有种选择；故女教师最多为1人的选法种数为种故选：C例2．为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有（

）A．18种 B．36种 C．68种 D．84种答案:B解析：分析：按照两位女教师分派到同一个地方时，男老师也分配到该地方的人数为标准进行分类讨论即可【详解】根据题意，分派方案可分为两种情况：若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：种方法；若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有：种方法；故一共有：种分派方法故选：例3．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字构成平面直角坐标系内点的横、纵坐标，其中不在轴上的点有（

）A．36个 B．30个 C．25个 D．20个答案:C解析：分析：根据点不在y轴上，分2类根据分类加法计数原理求解.【详解】因为点不在轴上，所以点的横坐标不能为0，分两类考虑，第一类含0且为点的纵坐标，共有个点，第二类坐标不含0的点，共有个点，根据分类加法计数原理可得共有个点.故选：C例4．年底以来，我国多次在重要场合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收量可以正负抵消，实现二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一个碳原子和两个氧原子构成的，其结构式为.已知氧有、、三种天然同位素，碳有、、三种天然同位素，则由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种答案:C解析：分析：分两种情况讨论：两个氧原子相同、两个氧原子不同，分别计算出两种情况下二氧化碳分子的个数，利用分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：若两个氧原子相同，此时二氧化碳分子共有种；若两个氧原子不同，此时二氧化碳分子共有种.由分类加法计数原理可知，由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有种.故选：C.例5．某旅行社有A、B、C、D、E共五条旅游线路可供旅客选择，其中A线路只剩下一个名额，其余线路名额充足.现甲、乙、丙、丁四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰选择了三条不同的线路.则他们报名的情况总共有（

）A．720种 B．360种 C．288种 D．240种答案:C解析：分析：分选不选路线A两种情况讨论，再分别利用分步乘法原理计算报名情况，利用分类加法原理求和即得结果.【详解】分两种情况讨论：（1）不选路线A，从B、C、D、E选3条，则,四人中有2人选择同1条路线，其余2人各自选1条路线，则，故报名的情况有种；（2）1人选路线A，则，再从B、C、D、E选2条路线，则,其余3人中选1人去一条路线，其余2人同选另1条路线，则,故报名的情况有种.所以他们报名的情况总共有种.故选：C.例6．甲､乙､丙､丁共4名同学进行党史知识比赛，决出第1名到第4名的名次（名次无重复），其中前2名将获得参加市级比赛的资格，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有获得参加市级比赛的资格.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，4人的排名有（

）种不同情况.A．6 B．8 C．10 D．12答案:C解析：分析：由题可知甲不在前2名，乙不在最后一名，然后分类讨论可得答案.【详解】若甲是最后一名，则其他三人没有限制，4人的排名即为，若甲是第三名，4人的排名为，所以4人的排名有种情况.故选：C例7．入冬以来，梁老师准备了4个不同的烤火炉，全部分发给楼的三个办公室（每层楼各有一个办公室）.1，2楼的老师反映办公室有点冷，所以1，2楼的每个办公室至少需要1个烤火队，3楼老师表示不要也可以.则梁老师共有多少种分发烤火炉的方法（

）A．108 B．36 C．50 D．86答案:C解析：分析：运用分类计数原理，结合组合数定义进行求解即可.【详解】当3楼不要烤火炉时，不同的分发烤火炉的方法为：；当3楼需要1个烤火炉时，不同的分发烤火炉的方法为：；当3楼需要2个烤火炉时，不同的分发烤火炉的方法为：，所以分发烤火炉的方法总数为：，故选：C【点睛】关键点睛：运用分类计数原理是解题的关键.例8．在2021中俄高加索联合军演的某一项演练中，中方参加演习的有4艘军舰，5架飞机；俄方有3艘军舰，6架飞机.若从中、俄两方中各选出2个单位（1架飞机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（

）A．51种 B．168种 C．224种 D．336种答案:B解析：分析：按飞机的来源分两类，再计算出每一类的选法种数结合分类加法计数原理计算作答.【详解】计算选出的四个单位中恰有一架飞机的方法数有两类办法：飞机来自中方，有种方法，飞机来自俄方，有种方法，由分类加法计数原理得：(种)，所以选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有168种.故选：B例9．已知直线的斜率大于零，其系数a、b、c是取自集合中的3个不同元素，那么这样的不重合直线的条数是（

）A．11 B．12 C．13 D．14答案:A解析：分析：根据直线的斜率大于零，得到，再分，，三种情况分类求解.【详解】因为直线的斜率大于零，所以，当，a有2种选法，b有2种选法，c有1种选法；因为直线与直线重合，所以这样的直线有条；当时，a有1种选法，b有2种选法，c有2种选法；所以这样的直线有条，当时，a有2种选法，b有1种选法，c有2种选法；所以这样的直线有条，综上：这样的不重合直线的条数是3+8=11条，故选：A例10．已知某校为学生提供了四种体育锻炼的方式：跑步､跳绳､排球､篮球.规定学生体锻必须且只能从上述四种体锻方式中选择一种.已知学生甲不选篮球，学生乙只选排球，学生丙､丁选择哪种方式体锻都可以，这四名学生体锻后，恰好选择了其中的三种体锻方式，那么他们选择体锻方式的可能情况有（

）种.A．7 B．12 C．19 D．26答案:D解析：分析：根据题意分三类安排，第一类四人选择的三种体锻方式中没有篮球，第二类四人选择的三种体锻方式中没有跑步，第三类四人选择的三种体锻方式中没有跳绳，再根据分类加法原理求解.【详解】①若四人选择的三种体锻方式中没有篮球，则甲､丙､丁可以在另外三种体锻方式中任选，但跑步､跳绳必须有人选，分三类，故共有；②若四人选择的三种体锻方式中没有跑步，当甲选排球时，则丙､丁必须去选跳绳和篮球，故共有种；当甲选择跳绳时，分三类，共有种；③同理，若四人选择的三种体锻方式中没有跳绳，共有7种情况.综上：根据分类计数原理可得共有种.故选：D例11．在2022年北京冬奥会和冬残奥会城市志愿者的招募项目中，有一个“国际服务”项目截止到2022年1月25日还有8个名额空缺，需要分配给3个单位，则每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数是_____________.答案:12解析：分析：首先确定各单位名额互不相同的分配方式种数，再应用全排列求每种方式的分配方法数，即可得结果.【详解】各单位名额互不相同，则8个名额的分配方式有、两种，对于其中任一种名额分配方式，将其分配给3个单位的方法有种，所以每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数为种.故答案为：12.例12．现从4名男志愿者和3名女志愿者中，选派2人分别去甲、乙两地担任服务工作，若被选派的人中至少有一名男志愿者，则不同的选派方法共有___________种.(用数字作答)答案:解析：分析：依题意分两种情况讨论，①选一名男志愿者与一名女志愿者，②选两名男志愿者，按照分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得；【详解】解：依题意分两种情况讨论，①选一名男志愿者与一名女志愿者，则有种选派方法；②选两名男志愿者，则有种选派方法；综上可得一共有种选派方法；故答案为：例13．某区突发新冠