三省三校（湖南省某中学等）2024届高三年级下册4月模拟考试数学 含解析

2024年高三三校联考模拟卷

数学试题

考生须知：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级'姓名、试场号'座位号及准考证号。

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；

4.考试结束后，只需上交答题纸。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.复数z满足i(z+i)=2+i,则忖=()

AV2B-A/3C/D.y/10

2.已知卜|=W=1,\a+b\=>/3,则。在人上的投影向量为（）

A旦B.-aC.Bb1r

D.-b

2222

3.若非空集合A,B,C,O满足：AC=C,BC=D,贝ij()

A.A^CB.D^AC.=D.A。=①

4.抛物线y2=2内（p>0）上的点P（2,2）到焦点的距离为（）

53

A.-B.2C-DA

22

5.球缺指的是一个球被平面截下的一部分，垂直于截面的直径被截后剩下的线段为球缺的高，设球的半径

为R,球缺的高为/z,则球缺的体积R-g.圆锥的高为2,底面半径为1,则以圆锥的高为直

径的球在圆锥外的体积为（）

64〃62兀21万23兀

A.——B.------C.------D.------

75752525

6.已知某4个数据的平均值为6,方差为3,现加入数据8和10,则这6个数据的方差为（）

1374

A.2B—C.一D-

333

7.已知函数/（x）=®nx-百cosx）cosx,若〃尤）在区间弋,9上是单调函数，则实数6的取值范围是（

)

8.设点若在圆O:/+y2=i上存在点N,使得NOM2V=60，则加的取值范围是（）

/-I当小杲]--0,行|D,[-2,2]

33J[22」L」LJ

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

22

9.设椭圆C:工+二=1的左、右焦点分别为耳、F],尸是C上的动点，则下列结论正确的是（）

2516

3

A椭圆C的离心率6=二

氏|「耳|+|尸周=5

。.△尸片为面积的最大值为12

。.「娟的最小值为华

•1-3

10.四棱锥P—A5CD的底面为正方形，尸O_L底面ABC。，PD=AD=1,PE=-PB,PF二一PA,

24

平面ADE】平面夕5C=/,PC|平面。M=G,贝女）

A.直线l与平面PAD有一个交点

B.PCLDE

C.PG=4PC

5

3

D三棱锥P-EFG的体积为—

80

11.已知4=2",协=3"1,数列｛%｝和也｝的公共项由小到大排列组成数列｛g｝,贝ij（）

A.C4=32

8｛cj为等比数列

b]

C.数列■卜的前几项和s“e[l,5）

1%J

D.亚、屈、屈不是任一等差数列的三项

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（2%-炉的二项展开式中/的系数为.

13.已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为X,则

七”）=一,

14.已知asN*,函数〃x）=e3x—x“>0恒成立，则a的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.某手机A女公司对一小区居民开展5个月的调查活动，使用这款A勿人数的满意度统计数据如下:

月份X12345

不满意的人数y1201051009580

(1)求不满意人数，与月份x之间的回归直线方程9=%+&,并预测该小区10月份对这款App不满意人数；

(2)工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款A配与性别的关系，得到下表：

根据小概率值。=0.01的独立性检验，能否认为是否使用这款A/力与性别有关？

使用App不使用App

女性4812

男性2218

Y.xji-nxy_

附：回归方程£=%中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为行=母-------,a=y-bx

Xx；-nx

i=l

2n(ad-bc^

z-----------ry—一77——-7-----------n=a+b+c+d

(4+b)(c+d)(4+c)(Z?+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa

2.7063.8416.6357.87910.828

16.已知-ABC中，角A,3,C所对的边分别为。力，。，且csin——=«sinC.

⑴求A；

(2)若。=3,。为3C边上一点，AD=2,2DB=DC,求ABC的面积.

17.如图,在直三棱柱ABC-44G中，AB=BC=2,A4]=3,点。,E分别在棱9,CQ上，AD=2%,

Cr=2EC,尸为qG的中点.

(1)求证：A耳〃平面DEE；

(2)当三棱柱ABC-AAC的体积最大时，求平面。跖与平面ABC夹角的余弦值.

A吕B1_FC

Dnr-~jE

22_

18.已知双曲线屈3-3=1的渐近线为y=±2x,焦距为26，直线/与E的右支及渐近线的交点自上

a"b-

至下依次为C、A>B、D

⑴求E的方程；

(2)证明：|AC|=|即；

(3)求SAm的取值范围•

19.已知函数J(x)=sinx+ln(+x)_ox,qGR.

(1)当a=0时，求/(x)在区间(一1,2万)内极值点的个数；

(2)若/(x)<0恒成立，求。的值；

3.(11》2n-l,*

(3)求证：/,sinI-~-<21n------In2,n>2,n^N.

i=n+iV-lyn-l

球缺的高为I,则/缺=»(|)(1-

.・w=W答

6.已知某4个数据的平均值为6,方差为3,现加入数据8和10,则这6个数据的方差为()

1374

A.2B.—C.—D.一

333

【答案】B

7.已知函数〃x)=、inx-抬cosx)cosx,若/(x)在区间一右。上是单调函数，则实数。的取值范围是()

7171A「兀兀、(71711f7171

A.—B.C.D.

|_63)L63jI312」I312」

【答案】C

【解析】

2无；一百•B=sinf2x-^-—

f(x)=sinxcosx—^3cos=sin2x1+=-sin2x--cos2x-

222I3j2

令£=—=，则y=sin才一

32

7T7T

因为工£一，所以，$-兀,2夕-§

又因为〃x)在区间上是单调函数，则》=$出—#在区间-兀,2。一5上是单调函数

所以_兀<2,一工工，BP-—<26*<--,M--<9<~—

3236312

8.设点若在圆O:Y+y2=1上存在点N,使得NOMN=60，则加的取值范围是()

rV3立

A.，B.C.N，G]D.[-2,2]

33

【答案】A

【解析】

由圆的性质可知：圆上一点T,与所组成的角NQWT,当与圆相切时，NOMT最大

若圆上存在点N,使得ZOMN=60，则ZOMT>60

由M(m,1)和/+y2=i可知，过〃且与圆相切的一条直线为y=l,切点T(0,l)

则在直角三角形QMT中，tanOMT=等之G,从而区立二一无三加

\TM\11333

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

22

9.设椭圆C:|^+需=1的左、右焦点分别为《、F2,尸是C上的动点，则下列结论正确的是（）

一3

4椭圆。的禺心率《二二

B.|「国+|尸闾=5

C.ZXPKK面积的最大值为12

。卡可|的最小值为费

【答案】AC

.1.3-

10.四棱锥P—ABQD的底面为正方形，尸。，底面ABC。，PD=AD=1,PE=—PB,PF=—PA,

24

平面ADE平面PBC=2,PC「|平面。£/=G,则（）

A.直线l与平面PAD有一个交点

B.PCLDE

C.PG=-PC

5

3

D三棱锥P-EFG的体积为—

80

【答案】BD

【解析】

A取棱PC中点。，连接为2,DQ

因为E是棱尸3的中点，贝"C7/EQ

因为AD〃BC,则A9/EQ,即A,D,E,。四点共面，贝心为直线EQ

因为4）u平面PAD,EQ仁平面PAD,贝！］E。〃平面PAD,即〃/平面PAD,A错误

8.因为尸£>_1_底面人8。，ADu平面ABCD,则PZ5_LAE）

因为底面ABC。是正方形，AD±CD,PDcCD=D,则AD工平面P£>C,则ADLPC

因为PD=AD,则△PQC为等腰直角三角形，PCLDQ

因为AOcOQ=。，且A£）,DQu平面AOQE,则PC,平面AOQE,则PCLDE,8正确

41

C.设——=2,PD=PA+AD=PA+BC=PA+PC-PB=-PF+-PG-2PE

PC32

4153

因为。，8E,G四点共面，则一+—-2=1,2=-,即PG=—PC,C错误

3235

113393

D.Vp_EFG=VE-PFG=^B-PFG=~X^X~xVB-PAC=茄吃-ABC=.，〃正确

11.已知4=20,bn=3n-l,数列｛%｝和也｝的公共项由小到大排列组成数列｛cj,贝式）

A.c4=32

8.｛q｝为等比数列

C.数列组的前〃项和[1,5）

D屈、甚.不是任一等差数列的三项

【答案】BCD

【解析】

A.c3=32,c4=128,A错误

B•设cii，即g=2"=3左一1

。,"+1=2-2"'=2（3左—1）=3（2左—1）+1,不是｛2｝中的项，即不是｛.｝的项

4+2=4-2'0=4（3左—1）=3（4左—1）—1,是也｝中的项,即是匕｝的项

辿=3=4,贝I]%=22"T,即｛g｝为等比数列，8正确

C.错位相减法计算得S=5-四至，且久〉0,

nS”单调递增,所以S.«l,5）

n

2an

D设而是等差数列｛4｝的第1/、°项,｛4｝的首项为4,公差为d

^5-V2=(J-Z)J

A/5-A/2口=回-2

A/2=(p—i)dp-l

公是有理数，JI5-2是无理数

原假设不成立，即加、框、M不是任一等差数列的三项

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（2%—I）'的二项展开式中x4的系数为.

【答案】-80

13.已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为X,则

E（X）=—.

Q

【答案】-

3

【解析】

X=2,3

A?+A?1

X=2,检测的两件产品均为正品或均为次品，则P(X=2)=，个

X=3,只需前两件产品中正品和次品各一件，第三件无论是正品还是次品，都能确定所有次品，则

P(X=3)=^1£=|

E(X)=2x-+3x-=-

v7333

14.己知aeN*，函数〃x)=e3x—x〃>0恒成立，则。的最大值为.

【答案】7

【解析】

31

先考虑xe(O,+w)的情况，则e->%°=>3x>alnx^->—

ax

令g(x)=叱，则g")=匕学，则g(X)在(o,e)单调递增，(e,+co)单调递减,则g(%)==g(e)=-

xJCe

31

因此一〉一，即a<3e合8.154

ae

当a=8,x——oo时，显然〃x)>0不成立

3j;

当a=7时，Vxe(-co,0],e>0>>即/(x)>0恒成立，则q„ax=7

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.某手机A°P公司对一小区居民开展5个月的调查活动，使用这款A勿人数的满意度统计数据如下：

月份X12345

不满意的人数y1201051009580

(1)求不满意人数，与月份x之间的回归直线方程9=%,并预测该小区10月份对这款App不满意人数；

(2)工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款A配与性别的关系，得到下表：

根据小概率值。=0.01的独立性检验，能否认为是否使用这款A/力与性别有关？

使用App不使用App

女性4812

男性2218

n

Ex*-nxy

附：L可归方程9=a+匕中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为5=母一,a—y-bx

—2

EX；-nx

Z=1

n(ad-bc)

r2=--------------------------,n=a-\-b-\-c+d

a+8)(c+d)(〃+c)(Z?+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa

2.7063.8416.6357.87910.828

【解析】

z!u-.AAir*―rA-n-1+2+3+4+5-120+105+100+95+80

(1x)由表中的数据可知：x=§=3,y=§=100

5___

:.b=i—^-----=1410-1500=9,d=y_宸=IOO_(_9)X3=127

储一5755一45

z-1

二所求得回归直线方程为9=-9X+127................................................................................................................5分

当x=10时，y=-9xl0+127=37

•••该小区10月份的对这款A勿不满意人数预估为37人.........................................9分

(2)零假设为“。：是否使用这款与性别无关..............................................10分

由表中的数据可得好=100x(48x18-22x12)2=丝。/143>6,635=x001.................................................12分

60x40x70x307001

根据小概率值a=0.01的独立性检验，我们推断“。不成立，即认为是否使用这款A在与性别有关，此推断

的错误概率不大于0.01..........................................................................................................................................13分

16.已知..ABC中，角A,8,C所对的边分别为6,c,且csingt=asinC.

⑴求A；

(2)若a=3,D为BC边上一点,AD=2,2DB=DC,求，ABC的面积.

【解析】

(1)因为csin=asinC,由正弦定理得sinCsin^^~^=sinAsinC

因为Ce(0,?i),可得sinC>0,又因为上工二女一色，可得sinOiC=cos4

22222

所以sin-------=cos—=sinA=2sin-cos一,BPcos一=2sin-cos一

2222222

又因为ge(0()，可得cosg>0,所以sing=:，所以可得A=g...........................................6分

22222263

12

⑵由2。区=。。知AD=§AC+§A5

则=(JAC[+三+3Afi'AC]cos/BAC,gp4=+^c2+|z?c

化简得6?+4c?+2儿=36①.....................................................................................................................................8分

22l2-r25—〃

在△AB。中，由余弦定理得cosNAOB="^+~J=匕，

2x2x14

?292_h2Q_A2

在.ACD中，由余弦定理得cosNA0C=--------------=--------

2x2x28

1^ZADB+ZADC=7i,所以cos/AD3+cosNADC=0,贝!|±'一+--=0,即2,+〃=18②••••10分

由于6片0,得b=2c,代入②得02=3..............................................................................................................13分

所以ABC的面积为LbcsinNBAC=c2sinNBAC=3^..................................................................................15分

22

17.如图，在直三棱柱ABC-A4G中，45=30=2,9=3,点。,石分别在棱M,CC,±,AD2DA,

C\E=2EC,/为4cl的中点.

’1

⑴求证：人耳〃平面。跖；

(2)当三棱柱ABC-ABC1的体积最大时，求平面与平面ABC夹角的余弦值.

【解析】

⑴连接AG交。E于点连接AE、DQ、ABX

2

因为AO=2Z)4，C1E=2EC,所以A。=。声=§e=2

因为A。//。/,所以四边形AZ)GE为平行四边形，所以AM=A/G

因为8尸=尸。1，所以“尸/历用

因为平面DE尸，AB1•平面o石尸，所以人耳〃平面O石厂..................................6分

(2)因为匕BCM%=S,BB]=35钻。

又因为sAM=工AB•BCsinZABC=2sinZABC

/、1-1/7AoC2

冗

所以当ZABC二万时SABC取最大值2

4t2-4

A

1=16(47〃2+r-l)>0,yA+yB=J}16分

x=my+t

2y2=>(4加之一1)y2+8机h+4〃-Q

­二0

4

-8mt

A=16t2>0,y+y=

2cD4m2-1'必力_4疗_]8分

%+为_yc+%

22

二.线段A3、CO的中点重合

:.\AC\=\BD\10分

Wx4x#-,^W±^

(3)|AC|12分

224m2—1

\t\

O到直线AC的距离d=——

A/l+m2

E74ml-1+/,2

SA0C=—x\AC\xd=x14分

4m2-1kl=4m2—1

t>0

Aj=16(W+?2-l)>0

-ItC

x+x=——-——>(J

ABR

-4m2-t2八

x.xK=--------->0

AB4m2_1

/2

.,.令p=——-——<-1

4m2-1

]

则71

+4P?+P4ri17分

…SAOCWP1

19.已知函数/(%)=sin%+In(1+九)一火，&R.

⑴当a=0时，求〃X）在区间（—1,2万）内极值点的个数;

(2)若/(x)<0恒成立，求。的值;

(3)求证：ySin--<21n-------ln2,n>2,neN.

i=n+\V-17〃一1

【解析】

(l)a=0时，/(x)=sinx+ln(l+x)

/(x)在xe(_l，5单调递增，在xe［多,2乃］内单调递增

r(x)=COSXH■——

-1+X

">0,f'M=-in———<0

...当乃时，/(x)单调递减,

1+-')1+7T

—

,/'(x1)=0,/(x)在%单调递增，(石,万)单调递减2分

1

/n(x)=-sinx-

(1+X『

.•.当时，/'(X)单调递增，/“(万)=_(1+1)2<0,/=+四］

川e卜年，f"(x2)=0'/(%)在(肛马)单调递减,,

单调递增

3兀—!r—>0

尸(万)<0,13万

1+——

2

川e卜，］,f(x3)=0,/(X)在(肛X3)单调递减，1工3,年

单调递增4分

综上，/(%)在(-1,%)单调递增，(石,七)单调递减，优，2万)单调递增，共2个极值点5分

⑵〃0)=0,/(x)<0

."=0是/(X)的极大值点

/⑺=cosxH——---a

1+X

/./(0)=2—a=0f即a=27分

下证：当a=2时，/(X)=sinx+ln(l+x)-2x<0恒成立

1

/n(x)=-sinx-

=cosx+---2,(l+x)2

1+x

1,

①当xe(—1,0)时，--T>1,/"(x)<0,则/(x)在(—1,0)单调递减

.(x)〉/(0)=0,/(x)在(—1,0)单调递增，/(x)</(0)=0............................9分

②当x«0,+oo)时,/,(x)<0,则在［0,+。。)单调递减

,-./(x)</(0)=0........................................................................H分

综上，a=2符合题意

(3)由(2)可知，sinx<2x-ln(l+x),当且仅当x=0时取等

2n<2宜2〃口i-£2n如[(1+

Zsin

i=n+l££

flnfl+J-Lflnm=ln^+ln^+...+ln^=ln^=ln2

Iz-lj£U-1Jnn+12n-ln13分

i2n—li(2n—lIn—2n\,2n—1.In—2,n2n

In-----=In-----------ln-------+ln------+•••+In----ln

n—112〃—2=E

2n—3n—1JIn—2---2n—3--------n—1i=n+l

「•即证：-~~-<In^-7--j..................................................................15分

令X=[--G(1,+OO),则=1一'

z—2z—1x

即证：1-L<lnx,xe(1,+co)

x

令g(x)=l」—lnx,贝！Ig(x)=4」=

XXXX

xe(l,+co)时，g'(x)<0,g(x)单调递减

」.g(x)<g⑴=0,BPl--<lnx,xe(l,+co).............................................17分

、v\,(1]..2n—l*

综上，ysin--<21n——---In2,n>2,neN

i=n+lV-V-1

请在各题目的答题区域内作笞超出矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！

2024年高三三校联考数学模拟卷答题纸

15.（本＜J则满分13分）

号

班级.准考证

12

姓名.

[0][0][0][0][0][0][0][0]

考场.

[0][0][1][1][1][1][1][1][1]

号[1][1][1][2][2][2][2][2]⑵

座

[2][2][2][2][3][3][3][3][3]

[3][3][3][4]

[3][3][4][4][4]13