海南省海口市2024届高三年级下册4月调研考试数学试题

海南省海口市2024届高三下学期4月调研考试数学试题

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一、单选题

1.在复平面内，上到对应的点位于（）

2+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知6>0,设甲：a-b>\,乙：4a-4b>\^则（）

A.甲是乙的充分不必要条件

B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲是乙的既不充分也不必要条件

3.设/,加是两条直线，a,A是两个平面，贝U（）

A.若7//夕,Illa,m!!p,则/〃加

B.若a//6,lUm,贝U/J_a

C.若a",Illa,mil。，贝!!/_L

D.若a",Illa,ml//3,贝!J/〃加

已知椭圆：；的个焦点与椭圆：22

4.G.+=12C?—+L=1（机>0）的2个焦点构成正方

m216I'

形的四个顶点，则"7=（）

A.V?B.V5C.7D.5

5.某记者与参加会议的5名代表一起合影留念（6人站成一排），则记者站两端，且代表甲

与代表乙不相邻的排法种数为（）

A.72B.96C.144D.240

6.已知函数“X）的定义域为R,/（x+1）是偶函数，当时，/（x）=ln（l-2x）,则曲

线V=/（x）在点（2,/（2））处的切线斜率为（）

22

A.-B.—C.2D.—2

55

7.记“BC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,若/="一3c2,则吗=（）

tan5

试卷第1页，共4页

31》2

A.—B.—C.~D.-2

223

好6与。交于45两点.若

8.已知尸是双曲线。：*-与=1（。>0/>0）的右焦点，直线产

ab2

尸的周长为7a,则。的离心率为（）

45-6D,亚

A.-B.-C.一

3355

二、多选题

9.已知甲、乙两组样本各有10个数据，甲、乙两组数据合并后得到一组新数据，下列说法

正确的是（）

A.若甲、乙两组数据的平均数都为0,则新数据的平均数等于a

B.若甲、乙两组数据的极差都为"则新数据的极差可能大于6

C.若甲、乙两组数据的方差都为c,则新数据的方差可能小于c

D.若甲、乙两组数据的中位数都为力则新数据的中位数等于4

10.已知函数/（x）=/sin（®x+。）（其中/>0,®>0,|同<3）的部分图象如图所示，则

（）

A.④二2

B./（力的图象关于点（詈中心对称

C./（x）=2cos^2x-^

D./（x）在-等，-9上的值域为

11.已知，为正项数列｛与｝的前〃项和，％=1,=N*）,则（）

an

A.S"=&B.an+l<an

试卷第2页，共4页

c11

c.S〃+S〃+2>说+1D.5w-->lnH

n

三、填空题

12.已知集合/={—3,—1,2},B=1x|l—mx>01,若4dB=B,则根的取值范围是.

13.已知圆C：/+(y-2)2=16,点尸在直线/：x+2y+6=0±,过点尸作C的两条切线,

切点分别为42.当ZAPB最大时，cosZAPB=.

14.在正三棱台ABC-44cl中，48=2,AB>AlBl,侧棱441与底面48c所成角的正切

值为夜.若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为.

四、解答题

15.已知函数/(x)=x+2_ae1

⑴讨论〃x)的单调性；

(2)若/(x)<0,求。的取值范围.

16.如图，在三棱柱/3C-/4C］中，平面/CG4,平面43C,AB1BC,四边形/CG4

是边长为2的正方形.

⑴证明：5。/平面/8耳4；

(2)若直线4c与平面*8区4所成的角为30。，求二面角的余弦值.

17.已知抛物线C：/=2"(0>0)的准线与工轴的交点为£(-1,0),C的焦点为E经过点

E的直线/与C分别交于4,2两点.

(1)设直线外，B尸的斜率分别为左，k2,证明：左+左2=0；

⑵记4/3/与△8EF的面积分别为用，邑，若5=3邑，求|/可+忸目.

试卷第3页，共4页

18.一次课外活动举行篮球投篮趣味比赛，选手在连续投篮时，第一次投进得1分，并规定:

若某次投进，则下一次投进的得分是本次得分的两倍；若某次未投进，则该次得0分，且下

7

一次投进得1分.已知某同学连续投篮〃次，总得分为X,每次投进的概率为:，且每次投篮

相互独立，

（1）”=30时，判断£（X）与20的大小，并说明理由；

（2）〃=3时，求X的概率分布列和数学期望；

⑶记X=3的概率为夕此2,〃eN*）,求R的表达式.

19.已知函数”x）=x-6sinx,等差数列｛%｝的前〃项和为S“，记北='＞（。,）.

i=l

⑴求证：“X）的图象关于点（兀，兀）中心对称；

⑵若生,a2,%是某三角形的三个内角，求刀的取值范围；

⑶若名。=100兀，求证：&。=10。兀.反之是否成立?并请说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.D

【分析】利用复数的模长公式、除法运算法则及几何意义计算即可.

【详解】易知|1一4价+(-2)2=下,所以磐=高言=答当,

即上刿对应的点为(挛位于第四象限.

2+iI55J

故选：D

2.B

【分析】先举出反例得到充分性不成立，&-6>1=右>直+1两边平方后推出必要性

成立.

【详解】不妨设。=3,6=1,满足此时G-6=6-1<1，充分性不成立，

4a—4b>l=>Va>4b+\>两边平方得a>1+6+2々，

又b>。,故a-6>1+2出>1,必要性成立，

故甲是乙的必要不充分条件.

故选:B

3.B

【分析】根据线面平行或垂直的判定及性质定理逐个判断即可.

【详解】对于A,若a//Q,〃/a,mlIp,贝1"与加可能平行，也可能相交，还可能异面,

故A错误；

对于B,若〃/加，,贝又a//£,所以/La,故B正确；

对于C,D,aL/3,Illa,ml1/3,贝!]/与加可能平行，也可能异面或相交，故C,D错误;

故选：B.

4.A

【分析】根据题意求出椭圆C2的两个焦点，列式求出加的值.

【详解】根据题意，椭圆。的两个焦点为(3,0),(-3,0),

椭圆G的两个焦点与椭圆Q的两个焦点构成正方形的四个顶点，

答案第1页，共15页

所以椭圆C2的两个焦点为（0,3）,（0,-3）,

r.16-mZ=9,且%>0,解得机=疗.

故选：A.

5.C

【分析】分三步，首先除代表甲与代表乙以外的3名代表全排，其次将代表甲与代表乙插入

3名代表排好后产生的4个空位，最后安排记者在两端，由分步计数，相乘可得结果.

【详解】第一步除代表甲与代表乙以外的3名代表的排法有A；种，

第二步由代表甲与代表乙不相邻，利用插空法，将代表甲与代表乙插入其他3名代表排好后

产生的4个空位，方法为A；种，

第三步将记者安排在两端有C；种，

所以共有A：A；C；=144种排法.

故选：C.

6.C

T.

【分析】根据函数对称性求出时的/（X）解析式，利用导数的几何意义求解.

【详解】因为/（X+1）是偶函数，所以函数“X）的图象关于X=1对称，则/

31

当—时，/.2—x<一,

22

.-./（2-x）=ln[l-2（2-x）]=ln（2x-3）,

.•./（x）=ln（2x-3）,^/（x）=——,

2,x—5

.•.r（2）=2,即曲线了=/（x）在点（2,/⑵）处切线的斜率为2.

故选：C.

7.B

【分析】利用余弦定理将条件式化简得-c=“osB,再根据正弦定理和三角变换可得

2sinAcosB=-cosAsmB,求得答案.

【详解】由/=/—3。2,可得/+/—〃=_2°2,

由余弦定理可得-2,=2accosB，即-。cos5,

由正弦定理得-sinC=sin4cosB,即-sin（4+8）=sin4cos5,

答案第2页，共15页

化简得2sin/cos5=-cos4sinB,即得匕―4=.

tan52

故选：B.

8.A

【分析】先求|/B|长，利用对称性和双曲线定义可得忸司-|//|=2。，由4/3尸的周长可得

\BF\+\AF\=4a,联立求解得忸刈=3.,|/刊=a,然后根据△脑尸的面积构造齐次式可解.

【详解】记双曲线左焦点为片，

将"立6代入=一4=1解得x=±£,所以|/同=3°,

2ab2

由对称性可知，M片|=忸尸I，所以忸尸卜卜尸|=|/4|一"同=2a①,

又△为阳的周长为7%所以忸川+以尸|=4a②,

联立①②求解可得忸m=3a,|/尸|=a,

记4F的中点为则忸必=

所以名小=；卜尸心。卜;38|x字，即警=浮

乙乙乙乙乙

故选：A

9.ABD

【分析】根据平均数，极差，方差和中位数的定义和公式，逐个判断即可得.

【详解】设甲：工1，工2,…，再0，乙：%,名，…，必0，新数据为：2]/2,…,220,

对于A：因为彳=，（4+z?+…+Z2（））=，（10a+10a）=a,所以A正确;

对于B设甲：1,2,…,10,乙：21,22,…,30,两组数据极差均为9,

答案第3页，共15页

但混合后数据的极差为29,所以B正确；

对于C：因为历(X；+<+…+X；0-10元2)=历(y；+y2+…+/1_]0歹2)=c,

所以x；+x：+…+x；o=10c+10^,712+y2+---+JW=10c+10r,彳

所以新数据的方差为

：(x；+X；+…+无；0+y；+£+…+说-207，

1-2.—2—2

=^(10c+10x2+10c+10y2-20z2)=c+--；一；

x

因为元2+了2_2/*+J2_2X]12)S>c，

所以新数据的方差一定不小于c,所以C错误.

对于D：不妨设占Vx2V…A/,yt<y2<­••<J1O,则耳=%；%=%；%,

将混合后数据按从小到大排列，

若%4外，则无6^%;,所以第10,11个数为％和线；

若%>”，则工6<乂，所以第10，11个数为三和乙，

两种情形下，新数据的中位数都等于d,所以D正确；

故选：ABD.

10.AC

【分析】A选项，先根据图象求出最小正周期，进而得到0=2；B选项，求出4=2,代入

求出夕=]，得到函数解析式，计算出岩[=2sin—=l,B错误；C选项，利

用诱导公式得到C正确；D选项，整体法求出函数的值域.

【详解】A选项，设/(x)的最小正周期为T,则：7=段+[=与，

故T=兀，

27r

因为①>0,所以0=一=2,A正确；

71

B选项，由图象可知，A=1,/(x)=2sin(2x+^9),

将(if'-2)代入解析式得2sin12xO夕]=一2,

77r37rTT

故---\-(p=---b2kn,kEZ,故9=—+2左兀,AeZ,

答案第4页，共15页

因为ld<]，所以夕=g,

故〃尤)=2$回2》+3,

11兀11171

2sin詈=1,故/(x)的图象不关于点,0中心对称，B错误;

12O12

7171

C选项,/(x)=2sin|2x+—=2sin2x--+-=2cos2x--，C正确;

362I6J

5兀兀,714兀71

D选项，XG,2x-\——G

63333

故〃x)=2sin+D错误.

故选：AC

11.ABD

【分析】根据题意及。,与E,的关系可得S：-从而得到数列｛&｝等差数列，从而即

可得到其通项公式，进而即可判断A；结合A可得知，q«+i,进而即可判断B；结合A可

得S”+S»2，2Sn+l,再证明(S“+S“+2)2_(2S“j<0即可判断C；构造函数

/(x)=x-1-21nx,x>l,对其求导，从而即可判断其单调性，再令尤=血即可得到结论.

【详解】对于A,当时，有贝I]S“+S,T=L1

anS”-Si

所以数列｛S：｝是以S；=片=1为首项，d=1为公差的等差数列，

所以S；=〃，又｛4｝为正项数列，所以豆=痴，故A正确;

11

对于B,结合A可得%=67n-l=

yjn+\+4n'

所以%+i<%,故B正确;

对于C,结合A可得S”+S2=s/~n++2,25.=2个"+1,

=n+n+2+2jn(n+2)-4(M+1)

=2<0,

所以S"+S"+2<2S,M，故C错误;

4/(x)=x--^-21nx,x>l,则/(Hui+e—Z=(11)

20,

答案第5页，共15页

所以/（X）在［1，+8）上单调递增，则/（无丝/⑴=0,

所以/(4)=五一^^-21n—=y/n-Inn>0,

所以S〃-921口〃，故D正确.

n

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：构造函数/（x）=x-：-21nx,x21,对其求导，再结合其单调性是解

答选项D的关键.

【分析】结合并集定义可得4=8,将A中所有元素代入计算即可得.

【详解】由=则

1

m>——

1-mx(-3)>03

11

故有<l-mx(-l)>0解得<m>-\即一—<m<—

32

l-mx2>0

故答案为：

32

13.—/—0.6

5

【分析】利用直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式结合二倍角公式计算即可.

【详解】

如图所示，易知ZAPB=2ZAPC,若/4PS最大时，则//PC最大，

4

在直角中，sm乙4尸。=西，则当//PC最大时，|尸。|取得最小值,

0+2x2+6

显然由点到直线的距离公式可知\PC\>=2出，

#+22

答案第6页，共15页

23

则此时sinZAPC=有，则cosZAPB=1-2sin2ZAPC=—.

3

故答案为：

14.也

12

【分析】取8C和4G的中点分别为PQ,上、下底面的中心分别为。-a，设4g=工,

内切球半径为r,根据题意求出侧棱长以及仪尸，O.Q,再根据切线的性质及等腰梯形

和梯形44©尸的几何特点列方程组求出半径即可.

【详解】如图，取3c和4G的中点分别为尸，Q,

上、下底面的中心分别为。。2，

设44=x,内切球半径为厂，因为tanU/a=亚，棱台的高为2%

所以/%=BBi=cci=g）2+（"『=痴，

O2P^-AP^-X—AB^—,同理O©=且x.

33236

因为内切球与平面5CG4相切，切点在P。上，

所以P0=Q尸+。。=,1+2）①，

在等腰梯形84GC中，

由①②得6--(¥；=.

、2

在梯形44©尸中，尸02=（2。？+rVsV3

1-3-----------6---X)

由②③得2一如，代入得E,则棱台的高八2r/

所以棱台的体积为忆=[¥+%4+当）?=亭.

故答案为：述.

12

答案第7页，共15页

15.(1)答案见解析

(2)a>e

【分析】(1)求导，分和。>0判断导数的正负求得/(x)的单调区间；

(2)由/(可<0,转化得手恒成立，令g(x)=岑，利用导数判断单调性求出最大

ee

值得解.

【详解】⑴的定义域为R,r(x)—

当aW0时，/(x)〉o,所以“X)在(-叫+8)上单调递增；

当a>0时，令严(龙)〉0,得x<lnL令r(x)<0,得x>lnL

aa

所以在上单调递增，在(ln5+s|上单调递减.

_i_7

(2)由〃x)=x+2-湛<0,得0>土Y丁.

ex

设g(x)=W，贝Ug'(x)=-?.

ee

令g，(无)>0,得X<-1,令g[x)<0,得X>-1,

所以g(x)在上单调递增，在上单调递减，

所以当x=T时，g(x)取最大值g(T)=e.

所以a>e.

16.(1)证明见解析

答案第8页，共15页

【分析】（1）先证明《4，平面ABC,从而得到44JBC,进而即可证明3c工平面ABBA；

（2）结合（1）及题意可得48/。为直线4c与平面所成的角，即ZB4c=30。，从

而得到4。=2拒，BC=6,/3=也.（方法一）过点A作4D_L48,垂足为。，过点。

作DE_L4C,垂足为E,连结ZE,先证明8C_L4D,4DJ_平面4BC,再4CJ.平面/。石，

从而证明/£，4C,从而可得//助是二面角8-4C-N的平面角，进而即可求出二面角

B-4C-/的余弦值；（方法二）取4C的中点O,连结8。，先证明801平面/CG4,再

取4G的中点。I，以｛赤，云，两｝为基底，建立空间直角坐标系。-孙Z,再根据向量夹角

公式即可求解.

【详解】（1）因为四边形NCG4是正方形，所以441L/C,

又平面ACC.A,，平面ABC,AAtu平面ACCXAX,平面ACCXAX口平面ABC=/C,所以，

平面ABC,

因为BCu平面/3C,所以

又因为48/BC,AB,441U平面48月4，48c

所以平面

（2）由（1）知，为直线4c与平面所成的角，即ZB4c=30。，

又正方形NCG4的边长为2,所以4c=2&,BC=6,所以/3=收，

（方法一）过点A作垂足为D,过点。作垂足为£,连结/E,

因为8C」平面/。匚平面/吕耳”],所以台CJ_4D,

又BC,48u平面48C,BCcA]B=B,所以平面&BC,

答案第9页，共15页

又AXCu平面&BC,则AD14c,

又4D,DEu平面/DE,ADr>DE=D,所以％C_L平面/。石,

又/Eu平面/OE,所以NE_L4C,

所以//瓦）是二面角8-4C-4的平面角，

在直角V4DE中，AE=4i，AD=^~,

所以sinN/ED=,所以cos//ED="，

AE33

即二面角B-A.C-A的余弦值为由.

3

（方法二）取/C的中点。，连结80,

因为N3=BC,所以60//C,

又因为平面/CC14平面48C,平面/CC]4rl平面48c=/C,BOu平面48C,所以

80」平面NCG4,

取4G的中点。I，贝Ijoa，/c,

以｛丽，反，两｝为基底，建立空间直角坐标系。-孙Z,

所以8（1,0,0）,C（0,1,0）,4（0,T，2）,

所以就=（一1,1,0）,“=（0,2,-2）,

设平面48c的法向量为力=（xj,2）,

nlBCn-BC--x+y-0,.

则一,即一,取x=l,贝U元=（1,1,1）,

C

«±4nlA1C^2y-2z=0

取平面//C的法向量赤=（1,0,0）,

答案第10页，共15页

设二面角B-A.C-A的大小为e,

\n-OB\_1_V3

贝“cosO]=

|«|x|ofi|V3xl3

因为二面角八放一"为锐角'所以c°s。=g

即二面角人m一的余弦值为辛.

17.（1）证明见解析

【分析】（1）设出直线，联立曲线，结合韦达定理表示出斜率之和后计算即可得;

（2）借助面积比例可得/、2纵坐标比例，结合韦达定理计算即可得.

【详解】（1）因为抛物线。的准线与x轴的交点为E（-LO）,

所以一^=一1,即。=2,

所以C的方程为/=4x,

显然直线I的斜率存在且不为0,

设直线/：x^my-1,/（国,必），B（x2,y2）,

将直线方程与抛物线方程联立并消去x,

得y2-4〃沙+4=0,A=16m2-16>0,BPm2>1>

所以必+%=4加，%％=4,

2加%>2-2（乂+夕2）_2mx4-2x4m

（加M-2）（相叫"）（孙-2）（叼2-2）

答案第11页，共15页

(2)不妨设必>0,y2>0,

因为所以因J=3x用，得Xf,

又M%=4,解得弘=4,y2=l,

22

所以占+%=七基17

4~

所以尸|+忸尸卜&+1)+(芍+1)=彳.

18.⑴E(X)>20,理由见解析

(2)分布列见解析，期望为三

>5,WGN*

【分析】(1)记该同学投篮30次投进次数为乙则占〜430。］,求出后信)，再结合比赛

规则可得答案；

(2)求出X的可能取值及对应的概率可得分布列、期望；

(3)将的所有可能情况进行分类讨论，再由比赛规则和积分方式，利用类二项分布与插空

法即可求得的表达式.

【详解】(1)E(X)>20.

理由如下：记该同学投篮30次投进次数为则J〜3卜0,£|,

若每次投进得分都为1分，则得分的期望为E/)=30X；=20,

由题意比赛得分的规则知，连续投进时，得分翻倍，

故实际总得分E(X)必大于每次得分固定为1分的数学期望，

所以E(X)>20；

(2)X的可能取值为：0,1,2,3,7,且

P(X=0)=©$;尸(X=l)=C；x+&$

答案第12页，共15页

[2142

2:IXI=万；P（X=3）=C；x

8

尸（X=7）=

I:27

所以，X的概率分布列为

X01237

16488

p

2727272727

^LU£（^）=Ox—+1XA+2X—+3x—+7x—=—

v7272727272727

（3）投篮〃次得分为3分，有两种可能的情况:

情形一，恰好两次投进，且两次相邻;

情形二，恰好三次投进，且任意两次都不相邻,

当24”44时，情形二不可能发生,

2n-2

2IX]_

故勺=C3|=4（z/-l）x

33I

n-2

£

当5时，情形一发生的概率为C3I=4（«-l）x

3I

情形二发生是指，将〃-3次未投进的投篮排成一列，共有2个空位,

选择其中3个空位作为投进的投篮，故概率为

n—3n+1

2]_

C3,lx|=4（z?-2）（«-3）（«-4）

n-23I

n»+1

所以匕=4（〃—l）xII

n+\

1

=4（/—9力2+29"-2,

3

4（n-l）x

综上，匕=

4（n3-9n

【点睛】关键点睛：本题第3小问解决的关键是分析的对应情况，再利用插空法解决情形二

答案第13页，共15页

的概率问题，从而得解.

19.(1)证明见解析；

⑵(兀-6®兀-96］；

(3)证明见解析，反之不成立，理由见解析.

【分析】⑴设出“X)的图象任意一点的坐标，计算判断点，的』2n-的也在/⑺