概率统计课件：正态分布总体均值和方差的区间估计

正态分布总体均值和方差的区间估计主要研究内容:均值的区间估计对区间估计的合理要求(1)尽可能大(可靠性)(2)尽可能小(精度)二者同时小不可能,在保证可靠性的条件下,尽量提高精度.方差的区间估计一：均值EX的区间估计(1)

方差DX已知,对EX进行区间估计

设总体

其中已知.为来自于总体的样本。对于给定的可以找到一个数

使即落在区间内的概率为

区间

为的置信区间,

为在置信度下的临界值，或称为标准正态分布的双侧分位点。查标准正态分布表的置信区间是的置信区间是时，时，比较可知越大,则越小,置信区间越小,因此,在实际应用中,要适当选取落在区间内的把握也就越小。常取值:例1：已知某种滚珠的直径服从正态分布,且方差为0.06，现从某日生产的一批滚珠中随机地抽取6只,测得直径的数据（单位mm）为14.615.114.914.815.215.1试求该批滚珠平均直径的95％置信区间。解当时，查表得

故所求置信区间为注对于不是服从正态分布的总体，只要足够大，则由中心极限定理，随机变量近似地服从标准正态分布，因此仍然可以用作为的置信区间，但此时仍然又多了一次误差。(2)

方差DX未知,对EX进行区间估计设总体其中未知.为来自于总体的样本。用样本方差来代替总体方差统计量

对于给定的查t分布表可得临界值使得得均值的置信区间为

的置信区间是在方差未知的情况下，当时,查t分布表得临界值例2

设有某种产品，其长度服从正态分布，现从该种产品中随机抽取9件，得样本均值样本标准差试求该产品平均长度的90％置信区间.当时,解置信区间为[9.06，9.50]

查t分布表得例3

设灯泡的寿命服从正态分布,现从一批灯泡中随机地抽取6只,测得寿命的数值(单位:h)为1020,1010,1050,1040,1050，1030求灯泡寿命平均值的置信度为0.95的单侧置信下限.解由于总体方差未知，故统计量对给定的

查t分布表可得临界值使得由此得到

即的置信度为的单侧置信区间代入得单侧置信下限为的置信度为的单侧置信下限为总结解决此问题的一般步骤:(1)找一个的点估计(2)选取适当的统计量(3)选取适当的常数a,b,对于给定的使得(4)将变形就是所求置信区间。例4随机从一批零件中抽取16件测其长度(cm):2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.14,2.112.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,设该零件长度服从正态分布.试求总体均值的90％置信区间.(1)

已知(2)未知解:(1)的置信度为的置信区间为因为所以将n=16,代入得所以,所求置信区间为[2.121,2.129](2)未知,的置信度为的置信区间为代入得当n=16时,所求置信区间为[2.1175,2.1325]二.方差的区间估计设总体为来自于总体的样本.考虑统计量

对于给定的查分布表，可得临界值及使得即则因此，当总体中的参数为未知的情况下，方差的置信区间为注临界值不是唯一的。

可以选取例5：某自动车床生产的零件，其长度X服从正态分布，现抽取16个零件，测得长度（单位：mm）如下：12.15,12.12,12.01,12.08,12.09,12.16,12.08,12.01,12.03,12.01,12.06,12.06,12.13,12.07,12.11,12.03的置信度为95%的置信区间。试求

解：经计算可得查分布表得的置信度为95%的置信区间§8.4二正态总体均值差和方差比的区间估计设和分别来自于正态总体和的两独立样本,

相应的样本均值和样本方差分别记为和求的置信区间二正态总体均值差的区间估计1：方差和都已知如同上节一样讨论，可得的置信区间为2：方差和都未知

只要m,n足够大，就以分别代替并用作为的近似置信区间。3:方差且为未知统计量

可得的置信区间为二正态总体