概率统计课件：中心极限定理

中心极限定理定理1独立同分布的中心极限定理设随机变量序列相互独立，服从同一分布，且有有限的数学期望和方差：则对于任意实数x,注：则

Yn

为的标准化随机变量.即n

足够大时，Yn

的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数记近似近似服从定理2德莫佛—拉普拉斯定理（DeMoivre-Laplace）设是次独立重复试验中事件发生的次数,是事件中发生的概率,则对任意区间,成立在每次试验证明引人随机变量则次试验中事件发生的次数由于是独立试验,所以

相互独立,且都服从相同的(0—1)分布,即于是由同分布的中心极限定理，得于是对任意区间有例1

设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中，良种所占比例与

1/6比较上下不超过1%的概率.解设

X

表示6000粒种子中的良种数,则X~B(6000,1/6)中心极限定理的应用近似比较几个近似计算的结果用中心极限定理用二项分布(精确结果)用Poisson分布用Chebyshev不等式例2

设有30个电子器件

它们的使用情况如下:

损坏,

接着使用;

损坏,

接着使用等等.

设器件

的使用寿命服从参数的指数分布.

令

为30个器件使用的总时数,问

超过350h的概率是多少？

解

设为

的使用寿命，器件

服从参数的指数分布.

相互独立,由中心极限定理得

例3

某单位设置一电话总机,共有200架电话分机.设每个电话分机有5%的时间要使用外线通话,假定每个电话分机是否使用外线通话是相互独立的,问总机需要安装多少条外线才能以90%的概率保证每个分机都能即时使用.解设为同时使用的电话分机个数,

设安装了N条外线,

引人随机变量则由于使用与否是独立的,所以相互独立,且都服从相同的(0—1)分布,即保证每个分机都能即时使用,

由题意查标准正态分布表取

例4

某车间有200台车床，每台独立工作，开工率为0.6.开工时每台耗电量为r

千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以

99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解设至少要供给这个车间

a千瓦的电力设X为200台车床的开工数.X~B(200,0.6),问题转化为求

a,使X~N(120,48)(近似)由于将X近似地看成正态分布，故0)32.17(481200»-=÷øöçèæ-FF反查标准正态函数分布表，得令解得(千瓦)例5

检查员逐个地检查某种产品,每检查一只产品需要用10秒钟.但有的产品需重复检查一次，再用去10秒钟.假设产品需要重复检查的概率为0.5,求检验员在8小时内检查的产品多于1900个的概率.解检验员在8小时内检查的产品多于1900个即检查1900个产品所用的时间小于8小时.设X为检查1900个产品所用的时间(单位：秒)设Xk

为检查第k

个产品所用的时间(单位：秒),k=1,2,…,1900

XkP10200.50.5相互独立,且同分布,解法二—1900个产品中需重复检查的个数例6

对敌人的防御工事用炮火进行100次轰击,

设每次轰击命中的炮弹数服从同一分布,其数学期望为2,均方差为1.5.如果各次轰击命中的炮弹数是相互独立的,求100次轰击

(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.解设Xk

表示第

k次轰击命中的炮弹数相互独立，

设X表示100次轰击命中的炮弹数,则(1)(2)例7

售报员在报摊上卖报,已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3.令X

是出售了100份报时过路人的数目，求P(280

X320).解令Xi

为售出了第

i–1份报纸后到售出第i

份报纸时的过路人数,i=1,2,…,