2024届广东省大湾区高三年级下册联合模拟考试（二）数学

【新结构】（大湾区二模）2024届广东省大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试

（二）

数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.集合-1」”的真子集个数为（）

A.3B.4C.7D.8

2.，，」的展开式中，，,，的系数为（）

A.10B.10C.-1。D.40

3.某圆台上底面圆半径为1,下底面圆半径为2,母线长为、」，则该圆台的体积为（）

A.—B.-C,与D.：行

333

4.已知正实数机，〃满足.I”“，—hi‘j”,Jri；—贝U（）

22fu

A.1B.C.4D.1或;

5.若向量TT，厂满足「丁，/=八'2,则，，『与丁的夹角为（）

6.4tn74.in、上二•2v111r（）

A.-2B.1C.-2V3D.

7.抛掷一枚质地均匀的硬币n，次，记事件.[一“〃次中至多有一次反面朝上"，事件"二“〃次

中全部正面朝上或全部反面朝上”，若A与3独立，则〃的值为（）

A.2B.3C.4D.5

8.法国数学家加斯帕尔・蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直切线的交点轨迹为圆，我们通

常称这个圆为该椭圆的蒙日圆.根据此背景，设M为椭圆＞|的一个外切长方形7/的四条边

12

所在直线均与椭圆。相切j,若M在第一象限内的一个顶点纵坐标为2,则M的面积为（）

一112ill

A.13v3B.26C.fD.——

55

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6

分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知一组数据…,是公差不为0的等差数列，若去掉数据，，贝心）

A.中位数不变B.平均数变小C.方差变大D.方差变小

10.函数J一的定义域为R,，.1,若对任意无，「都有八7'"贝U()

eBe*

A.0B.11=

C.，为奇函数D.在5-、上为单调函数

11.如图,己知直三棱柱八1BtC的所有棱长均为3,D,E,F,G分别在棱,40,K,AB,

AC上,且40=八/=〃厂CG，H,P分别为8C,儿〃的中点，则()

A.平面PTG

B.若M,N分别是平面13/和I.内的动点，则/周长的最小值为:

C.若"/1IB,过P,F,G三点的平面截三棱柱所得截面的面积为人”

31

D.过点A且与直线八』和8C所成的角都为和的直线有且仅有1条

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.设i为虚数单位，定义，',，,、“•，、”〃，，则复数，一的模为.

13.函数。广-mi.(..0的部分图象如图所示，则s.

14.在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点。"U和点与无轴正半轴相交于点“若在第一象限

内的圆弧上存在点尸，使，.山，［一「，则圆C的标准方程为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.本小题13分1

如图，三棱柱ABC-1八，的底面是等腰直角三角形，..1「〃一.，侧面ACG4是菱形,

“i,AC-=2，平面平面

ill证明：

T，求点<；到平面的距离.

16.本小题15分）

已知数列｛”）为等差数列，，，1,前”项和为、：，满足：当”e.V•且“•”时，

12n129-n

「，求"」的通项公式；

1定义集合”“-｛“一V且。，。•，记”,的元素个数为，…数列「，1的前”项和为

I,求7]…

17.本小题15分）

一个袋子中装有6个黑球，2个白球，它们除颜色外完全相同.现每次从袋中不放回地随机取出一个球，

直到2个白球都被取出为止.以X表示袋中还剩下的黑球个数.

।1，记事件｛.表示“第人次取出的是白球”，；1,2,,8,求八1.1」.

求X的分布列和数学期望.

18.本小题17分）

双曲线「-'厂IG，，U的焦点为『，在/[下方I,虚轴的右端点为A,过点「且垂直于y

tr

轴的直线/交双曲线于点/'〃>在第一象限I,与直线交于点8,记1/,"的周长为机，的

周长为n,in-n-1.

，：若c的一条渐近线为,」\」「，求C的方程；

壮）已知动直线/’与C相切于点T,过点T且与/.垂直的直线分别交X轴，y轴于M,N两点，。为线段

MN上一点，设\11为常数.若K"]-QA为定值，求的最大值.

19.本小题17分i

拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，其内容为：如果函数/'|”在闭区间，，，］上的图象连续不

断，在开区间s小内的导数为/，一，那么在区间山内存在点。，使得。“，＜：../,八大成

立.设，-，1,其中e为自然对数的底数，，一上门、4易知，。」）在实数集R上有唯一零点

r,且「:I.'।

III证明：当J.L时，“--1：

Ti从图形上看，函数，•「；的零点就是函数，一的图象与x轴交点的横坐标.直接求解

,”.，：；，-，1的零点r是困难的，运用牛顿法，我们可以得到零点的近似解：先用二分法，可

在“中选定一个，”作为r的初始近似值，使得。,然后在点，1.」处作曲线“/一

2*2

的切线，切线与X轴的交点的横坐标为，.，称.「是厂的一次近似值;在点I八.fl「处作曲线Vf「的

切线，切线与x轴的交点的横坐标为称二是r的二次近似值;重复以上过程，得广的近似值序列，

•，一，/1，•一，1，,•

①当」＞»•时,证明：工♦，.「「：

②根据①的结论，运用数学归纳法可以证得：｛，.｝为递减数列，且丫”七，，请以此为前提条

件，证明：“

答案和解析

1.【答案】A

【解析】【分析】

先求出集合中的元素的个数，从而求出集合的子集的个数.

本题考查了集合的子集的个数，若集合有〃个元素，则集合的真子集有，1个，本题属于基础题.

【解答】

解：集合{/，：：.V-1-：J-1)={0.1|,

二子集的个数是*13，

故选：A

2.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查二项式定理，考查数学运算的核心素养.，属于基础题.

利用展开式的通项公式求解.

【解答】

解：：』，］「的展开式通项公式为=(1“'，一八，

所以a3的系数为,

故选：C.

3.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查圆台的侧面积公式与体积公式，属于基础题.

先求出圆台的高，再由圆台的体积公式求出即可.

【解答】

解：设圆台的母线长为/,高为九

因为圆台上底面圆的半径为1,下底面圆半径为2,，、」，

所以圆台的IWJ为〃\1-'-।〃rI''(2-I1'=1>

所以圆台的体积为「=।，"r+”3\II+，♦II•1

•J%9M

故选：.4.

本题考查直线与椭圆的位置关系，圆中弦长问题，属于较难题.

根据题意求出椭圆C的蒙日圆方程，从而可得M在第一象限的顶点尸的坐标，设出过尸且与椭圆C相切

的直线方程，与椭圆联立，可得矩形相邻两边所在直线方程，利用点到直线距离公式即可求解.

【解答】

♦

解：椭圆(：厂.”-|,故「-1,/r'=U，

12

由题意可知该椭圆的蒙日圆方程为J,，/“」,『二l.h

M为椭圆「"1的一个外切长方形，设其四个顶点分别为P、。、，，、一，

12

其中尸在第一象限，易得「与〃’：，：F原点对称，。与Q'乂『•原点对称，

P点纵坐标为2,故横坐标为3,

即L,显然M的四条边所在直线斜率存在且不为0,

设过P且与椭圆C相切的直线为！/-2=卜㈠3i,

与’厂|联立，可得nr、®+23A-12,

12

即<12-广)厂+412U,I；•■»,-12A、

由、)*','2R-1；1-，「川”⑵>1it,

可得2H,解得，?或「，

1•

不妨取尸。所在直线为，2—2叮31,即匕uIH,

所在直线为u2y।Ji,即，，2,)7",

。点到直线尸。的距离为!，。点到直线〃(/的距离为〔，

v5v5

则M的面积为、i,(1)，2,13一(1■学.

9.【答案】AC

【解析】【分析】

本题考查了样本数据的数字特征，属于中档题.

由中位数的概念可判断4根据平均数的概念结合等差数列的性质判断2,由方差计算公式即可判断

CD.

【解答】

解：对于选项4原数据的中位数为丁，去掉，"后的中位数为I，・，-」.，即中位数没变，故选项

A正确；

对于选项5,原数据的平均数为，1......-H.「「5,

111•112

去掉L后的平均数为1I1.J.♦,,,IIJ,即

10-102

平均数不变，故选项5错误；

对于选项C,则原数据的方差为、「；.+(川_..尸|,

去掉,,后的方差为、—[(X)-1,+…+一^>

故「，即方差变大，故选项C正确，选项。错误.

故选：

10.【答案】ABC

【解析】【分析】

本题考查抽象函数的求值和性质，属于中档题.

令,=““，求。山，判断A；令j-I，v1,求得,判断8；由…,1''J「山可

证，!」，为奇函数，判断C;由,可判断。

【解答】

解：对于A,令.“□，得：山，得力II，—”，故A正确；

对于2,令/=1,"1,得‘".’1'(I1IH所以「.1-「，故B正

b1e

确；

J

对于C,由A知/(<1)=(),所以当r小时"2=y(0)=0)即

，人」♦，所以，，门为奇函数，故C正确；

II21I[Z2

对于。，1'',,''，所以。I，-八5…，=-JhJU,故'门在

//yr*22€

I,上不具有单调性，故D错误.

11.【答案】BC

【解析】【分析】

本题考查线面平行，异面直线夹角问题，属于较难题.

根据线面平行判断A,M,N运动至何时1/V『的周长最短判断8,计算截面面积判断C,找出与过点

A且与直线和BC所成的角都为r,的直线条数判断D,

【解答】

解：选项A,因为.BF•CG,所以DEFG,连接E凡DG,

连接。E,FG,DF,EG,[J；和I/',

因为/5K；,,所以BGDE构成一个平面，

正方形中&&,设WPF«Oi，

可以证明丝」BFOt,

所以人Qi65，即5为AS的中点，所以DOF,Oi

所以C为。尸的中点，

同理设4CEG=01，则Oj为EG的中点,

所以“。是中位线，

因为人留为△4BC中线,所以尸为。。中点,

因为二平面FGED,所以〃匚平面FGEZ),即平面PFG与平面BGED为同一个平面，

则。E在平面尸FG内，故A错误.

选项8,平面！】〃力和所成的锐二面角为,，点尸到平面1山〃九和八的距离生’，

8

分别作点P关于平面।和A的对称点.”，\

易证当M,N分别取直线与平面、[；〃；和LUJ的交点时，.U\广的周长最短，

因为PM,\=='：1IM>所以

4

所以这个周长的最小值为:故8正确.

选项C,由A选项可知，D,£在过P,F,G三点的平面中，截面为四边形PGED,

DL1/(；2.!>t/(；Vhi,

所以截面面积为:I”；.|i+白=华>,故C正确.

选项，易知AAiBC,过点A作8c的平行线〃7“，则L411(1,

与」L所成行的所有直线构成以A为顶点的两个对顶圆锥为轴I,

同理与〃7,所成；-.的所有直线构成以A为顶点两个对顶圆锥：为轴I,

因为\.4i与“7所成角」广>i,所以圆锥面上公共线共有两条，

所以过点A且与直线\\和BC所成的角都为I；的直线有2条，故。错误.

故选：BC

12.【答案】V3

【解析】【分析】

本题考查复数的三角形式和复数的模，属于基础题.

求出，一「，利用复数的模长公式即可求解.

【解答】

A2?".二、/JJ

用牛：，，，I1工内♦I>lh•/—♦/，

6622

13.【答案】：

【解析】【分析】

本题考查正弦型函数的图象和性质，属于基础题.

根据图象结合正弦型函数周期与"之间的关系，即可求解.

【解答】

]TT11?±*1

解：由题图知，"।"，则-/I,解得—(k€Z).

!193I

设”,一j的最小正周期为T,

因为-u,所以27”「，解得"-一.”,

9-u9、I

当且仅当i1时，符合题意，此时.,，

2

故答案为：

2

14.【答案】,「-，-2\:20

【解析】【分析】

本题主要考查求圆的标准方程，属于中档题.

根据题意作图，由，-orI>2,求得、iu.(〃工1'」，进而求出8的坐标，从而求出方程.

55

【解答】

解：根据题意作图，如图所示:

所以,5。广I■

5

由题意可知，\(11J)

sin4OBA

又/4。“一,则AB为圆的直径，设为2R,

*9

则〃—乎

则R=2/，所以OB=^AB1-0A3-V90-19=8，

所以B(8,0),又4(0,4),则C为AB的中点,所以C(J,2),

所以圆C的标准方程为：>一,/.…“

故答案为：11「,“JJ.'0

15.【答案】解：，：।连接因为四边形为菱形，所以9IC,

因为.1力Ml)所以/〃.V'，

又因为面.1/〃’一面

面面1U,il<ffiABC,

所以/〃：平面4CQ平,

又4CU平面ACGA，所以“,又C,

因为〃(］，所以/币'i〈，

又因为x/>'c-u,///,平面I"一,

所以I(,平面，

又八也二平面"，，所以1(\H

素个数，而，I-iI■-J.'.'l,共九-1个元素,

所以八，2〃一1

r-r-pi：11IMI'H►

所以-HMI

【解析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列前"项和，属于中档题.

一根据已知等差数列结合与+:+一一：.":，求解基本量即可;

根据集合新定义得到「।।,上」求解即可.

17.【答案】解：一由题得In力闻；］,

1

由条件概率公式可知，八1.1」='「；'’=个=:

4

由题知，X的可能取值为0,1,2,3,4,5,6,

X的分布列:

X0123456

【解析】本题考查条件概率，离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题.

一根据已知求出门】，I.然后由条件概率公式求解；

由题知，X的可能取值为0,1,2,3,4,5,6,分别求概率求解即可.

⑴因为，，，，，=A/f-HF,-1/；i///'-/71•//；i

=」/，+IBP+Phy：+4/4-（BP+PFi+.1〃-"，=PFfPFil=2a=4,a=2；

又因为双曲线的一条渐近线为"-v2.r，

所以；「2,即h

所以双曲线的方程为''|;

I2

•根据I,得〃2,所以双曲线方程为‘厂」'|,

I力

设7：.「,」"，过7.一.>J的直线则/'的方程为"斐=A।?-J,|,gp1/k；-1；k!■,,,

令⑺./人」,

（F上=1

联立<I得［h2k2--2frmk\r+brm2-Ur=U

I1：y'Ai♦

因为，「，；，所以卜尸…।

b

因为直线/与双曲线只有一个公共点，

所以，」『小人一\：卜卜-I«1A'rrrII

化简得■I“，

代入E/।"得入+：）*-2rzA就一4=。

由于直线i与双曲线相切，所以；「"，

,尸事二

因为'''I,所以，，

1b2

过点T且与「垂直的直线的直线斜率为，方程为，,，，,，

4J*O4r❹

A.11夕曰(5+4).r(.日口.*,"厂十41l.r9

令UH，得「.，即”—.1”

Oror

令H,得》一四J",即一‘；

设Qu,因为\,W\10\11，

(1-川(户44)]=___________

'\人即|"(1一"&+1『，

A("+4)I4

{"=-4-4[的=乂胪+4)。

j♦____________________]

代入'I得'“-।1\।,»1*I，

41r-------------二

46

依题意，该双曲线与双曲线(,•",一/=1共焦点，

Ib2

所以\,+4)11-.体+』)-'=M+4,

4CT

化简得"->\1--1•,所以'--H,II,

6i*1

M2向

b\b

等号成立当且仅当/,=1,\1,

2

故V的最大值为1.

【解析】本题考查双曲线的定义，双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系及其应用，属于较难题.

.根据--=I结合双曲线定义求出「-2,然后根据渐近线求解即可；

Ti设直线方程与"I得到的双曲线联立，根据直线，'与双曲线相切表示左，再根据垂直以及向量关系求解

即可.

19.【答案】解：(1)方法1;

因为，।।在R上单调递增，所以任意」-।♦),有/i”•f1।0f

9

另一方面，注意到。；所以'【一，

根据拉格明日中值定理，

存在C€(r.x),/"1=/(l)—/(「)=-r)<-/*(c)=+I)

・：,I311.、1..

因为1UI,所以，II，•-2,Ir'll<•11'1,

292999

所以0</(J)<1

方法2

因为.仆1,♦rI",所以,

接下来先证明不等式：",,11

J-+1

令）=加工.2（*-1）工＞1，则g（T）・l■-0~

工+1工（工+1）'x（r+If

O/T11

故〃」।在1.1\।上单调递增，于是1,「-J1II,即hir.~

1+1

9

Q2匕-1）21Q

所以k、，:J即，、’

—十1

8

因此：।1i-ii••1-1।Li•：•\

!Js9H9

又因为।1,所以'1一.’.'」|,故|1*'i•!-fi/：-fl」1

、9x9八/八，八9，

121①先证.「--rn.i,

在（./.J，l处，曲线"「」।的切线方程为nrf;-尸।••,,•,

令4I）,得」」；："，即J'」；，''，

J/（J,,,）

由于」＞,f"）在R上单调递增，所以〃r）・0,

1

而/，-1H,所以'/''l»,所以」「；（''J,即，,.I,

再证：/•，，

由于人一在R上单调递增，只需证。「「：0,

曲线4的切线方程为"/rI-＜|।।­'',।,

即D=/l.r./4f\.「J

根据」的定义，。.，JT'」一I-H,

令3/I=f一；f\rI/'if.'*r,」「.1「」「，

-fr（x）-/'（1.）=-e**＜0，x€

所以加/］在l，『“］上单调递减，而，，I.-八小）@“一/s）=0，

所以，「‘IH,又“［IfJ',所以…，II,所以，厂，

综上」