2024年山东省日照市岚山区九年级中考二模数学试题（解析版）

2024年初中学业水平模拟考试

数学试题

注意事项：

1.本试题分第I卷和第n卷两部分，共6页.满分120分,考试时间为120分钟.

2.答卷前务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题卡规定位置上.考试结束，本试卷和答

题卡一并收回.

3.第I卷每小题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑。如需改

动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案。不涂在答题卡上，答在试卷上无效.

4.第n卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定的区域内，在试卷

上答题不得分：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.

第I卷（选择题30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题所给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.在-2,3,60中，是无理数的是（）

1L

A.-2B.-C.J3D.0

3

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查无理数：无限不循环小数为无理数，根据无理数的的定义即可判定选择项即可.

【详解】解：A.-2是整数，不是无理数，故此选项不符合题意；

B.g是分数，不是无理数，故此选项不符合题意；

C.6是无理数，故此选项符合题意；

D.0是整数，不是无理数，故此选项不符合题意；

故选：C

2.2024年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举

行.下面2024年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来

的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握掌握中心对称图形的定义是解题的关键.

根据中心对称图形的定义即可得出答案.

【详解】A.不是中心对称图形，不符合题意；

B.是中心对称图形，符合题意；

C.不是中心对称图形，不符合题意；

D.不是中心对称图形，不符合题意；

故选B.

3.锂离子电池是一种二次电池（充电电池），它主要依靠锂离子在正极和负极之间移动来工作，一个锂离子

在某种环境下大小为0.076nm,即0.000000000076m，数字0.000000000076用科学记数法表示为（）

A.0.076xlO-8B.7.6x10'"C.76xlO-10D.0.76xlO-12

【答案】B

【解析】

【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中

1£忖＜1°，〃为整数即用求解，解题的关键要止确确定。的值以及〃的值.

【详解】解：0.000000000076=7,6x10",

故选：B.

4.下列计算正确的是（）

A.a3+a2=a5B.a3-a2=a6

C.2"+2"T=2D.（a+b）2=a2+h2

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幕乘法、同底数嘉除法、完全平方公式等知识点，灵活运用

相关运算法则成为解题的关键.

运用合并同类项、同底数基乘法、同底数基除法、完全平方公式逐项判断即可解答.

【详解】解：A./与/不是同类项，不能合并，故A选项错误，不符合题意；

B.。3.〃2=。5,故B选项错误，不符合题意；

C.2"+2〃T=2〃-（"T）=2,故C选项正确,符合题意；

D.（a+b）2=a2+2ab+b\故D选项错误，不符合题意.

故选C.

5.中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵.”意即把一长方体沿对角面一分为

二，这相同的两块叫做“堑堵”.如图是•'堑堵”的立体图形，它的俯视图为（）

嚏面

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了简单几何体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面

看，所得到的图形.

找到从几何体的上看所得到的图形即可.

【详解】解；这个“里堵”的俯视图是A图，

故选：A.

6.如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点。在/7）的延长线上，且4=60。,

C.25°D.30°

【发】A

【解析】

【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，三角形外角的性质，先根据平行线的性质

得出NBCD=/ABC=30°,根据三角形外角的性质得出NCBD=NEDF-4BCD=45°-30°=15°.

【详解】解：•・•//=60。，

=90°-60°=30°,

VAB//CF,

:.NBCD=NABC=30。,

•・•NBDF是△3CO的外角，

・•・2CBD=ZEDF-ZBCD=45°-30°=15°.

故选：A.

7.下列命题中真命题是（）

A,各边相等的多边形是正多边形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.在可圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等

D.三角形的内心到三边的距离相等

【答案】D

【解析】

【分析】根据正多边形的定义，菱形的判定，同圆或等圆中，等弦所对的圆周角的关系，三角形的内心，

真命题对各选项进行判断作答即可.

【详解】解：由题意知，各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，A不是真命题，故不符合要求；

对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，B不是真命题，故不符合要求；

在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等或互补，C不是真命题，故不符合要求；

三角形的内心到三边的距离相等，D是真命题，故符合要求；

故选：D.

【点睛】本题考查了正多边形的定义，菱形的判定，同圆或等圆中，等弦所对的圆周角的关系，三角形的

内心，真命题等知识.熟练掌握正多边形的定义，菱形的判定，同圆或等圆中，等弦所对的圆周角的关系,

三角形的内心，真命题是解题的关键.

8.如图，在边长是4的菱形4BCO中，/B=120。，点P从B出发,沿折线CQ-D4运动，设点P

的运动路程为x,△AP8的面积为n则能反映》与x之间函数关系的图象大致是（）

D

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据题意可■以分别得到各段y与％的函数解析式，从而可以解答本

题，解题的关键是明确题意，写出各段的函数解析式，明确函数的图象，利月数形结合的思想解答.

【详解】解：在点尸从点3运动到点。的过程中，如图，过点尸作尸MJ.48交力3的延长线于点“，则

/尸朋8=90。，BP=x、

I)

4H"

•.•乙48p=120。，

：2PBM=180°-NABP=60°，

/BPM=90°-NPBM=30°,

:.BM=-BP=-x,

22

:.PM=­x,

2

.•.SAJJ8P=1J5PA/=1X4X^X=V3X(O<X<4)»

在点尸从点。运动到点。的过程中，如图，过点8作于点尸，过点尸作PG_L/8于点G,

则尸6=。尸,/。尸4=90。,

p

4FGB

•・•在菱形48CO中，//8c=120。，

・•.ZDAF=60°,

NADF=30°,

?.AF=-AD=2,

2

DF=2®

：.PG=DF=2V3,

・'•S"8P=g/8QG=gx4x2VJ=4«(4<xV8),

在点尸从点。运动到点A的过程中，如图，过点P作PEJ.4B于点E,则/PE4=90。，%。=12-x,

)—7c

/

AE~a

N4=60°,

ZJPE=30°,

AE=-AP=6--x,

22

：.PE=6y[3-—X,

2

)

.\S&ABP=-ABPE=-X4X673-—x=1273-73x(8<x<12,

\/

综上所述，能反映y与x之间函数关系的图象是C选项，

故选：C.

9.如图，48是OO的直径，半径0c_L/13,0为。O上一动点，M为4P的中点，连接CM.若。。

的半径为2,则CAf的最大值为()

p

A.2石+1B.V5+1DT+1

【答案】B

【解析】

【分析】连接OM,根据垂径定理得到OM_L4P,可得点M在以/。为直径的OE上，结合的。。半

径为2,易得。E的半径为1,当点C、E、/三点共线时，CA/最长，利用勾股定理计算即可.

【详解】解：连接,如下图，

•••45是。。的直径，M为加5的中点，

・••OM±AP,

・••点M在以4。为直径的0E上，

•・•。。的半径为2,

・•・O£的半径为1,

当点C、E、〃三点共线时，CW最长,

连接CE并延长，交OE于点N,

故当点M与点N重合时，CM最长，

VOC1AB,

：•EC=>IOE2+OC2=V5，

：.CM=CN=CE+EN=45+\-

故选：B.

【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握套径定理和圆的性质是解题的

关键.

10.已知二次函数丁=。/+—+。（。工。）与工轴的一个交点为（4,0）,其对称轴为直线x=l,其部分图

象如图所示，有下列5个结论：®abc<0,②从一4〃c<0;③8。+。=0：④若关于x的方程

62+瓜+。=一1有两个实数根再，x2,且满足玉</，则玉<-2,x2>4：⑤直线y=Ax—4左（左。0）

经过点（0,c），则关于x的不等式a?+（/）一外x+。+4%>0的解集是0<%<4.其中正确结论的个数为（）

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式等知识.数

形结合足解题的美键.

由题意知，图象开口向下，即a<0,对称轴为直线工二-2=1,则b=—2a>0,y=ax2-2ax+c,当

2a

x=0时，y=c>0,可得abc〈0,可判断①的正误；图象与1轴有两个交点，则of+区+c=0有两个

不相等的实数根，即△=〃—4改>0,可判断②的正误；将（4,0）代入y=2G：得，

8a+e=0,可判断③的正误；由题意知，（4,0）关于对称轴对称的点坐标为（-2,0）,则关于x的方程

2

如2+法+。=一1的两个实数根芭，/，^Jy=ax+bx+cfy=图象交点的横坐标，如图1,由图象

可知，石<一2,x2>4；可判断④的正误；由^=去一4左=无卜一4）,可知》=收-4人过点（4,0）,如

图2,由图象可知，关于工的不等式”2+3一％冲+。+4%>0,即0?+历+°>丘一44的解集为

0<x<4,可判断⑤的正误.

【详解】解：由题意知，图象开口向下，即4<0,

对称轴为直线工二一二=1,则6=-2。>0,

y=ax2-lax+c,

当x=0时，y=c>0,

Aabc<0,①正确，故符合要求：

图象与x轴有两个交点，则QV+bx+c=O有两个不相等的实数根，即△=62一4々°>0,②错误，故不

符合要求；

将(4,0)代入y=or?-2以+。得，16。一8a+c=8a+c=0,③正确，故符合要求：

由题意知，(4,0)关于对称轴对称的点坐标为(-2,0),

•・•关于x的方程内2+云+°=_1的两个实数根不x”为》=0?+8+。，»=-1图象交点的横坐标，

由图象可知，为<-2,x2>4：④正确，故符合要求:

*：y=kx-4k=k(^x-4)t

・・・y=b-4左过点(4,0),如图2,

r=jfcr-li

・•・关于X的不等式以2+(6一左口+。+4攵〉0,即纨2+队+0公；一4%的解集为0<%<4,⑤正确，故

符合要求；

・♦•正确结论的个数为4个，

故选：B.

第II卷(非选择题90分)

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分.不需写出解答过程，请将答案直接写

在答题卡相应位置上)

II.已知。与△互为补角，。=33。27',则6的度数是.

【答案】146。33'

【解析】

【分析】本题考查了补角.熟练掌握互为补角的两角之和为180。是解题的关键.

根据夕=180。一二，计算求解即可.

【详解】解：由题意知,/?=180°-«=146°33\

故答案为：146。33'.

12.因式分解：x2y-9y=

【答案】y(x+3)(x-3)

【解析】

【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式

法，完全平方公式法，十字相乘法等.先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可：

【详解】x2y-9y

=y(r-9)

=y(x+3)(x-3).

故答案为：y(x+3)(x-3).

13.根据(屋)"二心"，可以推出±/=4，由此得出±/=±近，即要使代数式

\/

('-3)2-(5-x)°有意义，则X的取值范围是.

【答案】XW3且XW5

【解析】

【分析】本题主要考查了幕、零次幕的条件，掌握幕的底数不等于零、零次哥的底数不等于零成为解题的

关键.

由基的底数不等于零、零次基的底数不等于零列不等式计算即可.

【详解】解：•••(x-3)2—(5-x)°有意义，

•••工一3/0且5-xwO,即xw3且xw5.

故答案为：x/3且x/5.

14.如图，用若干个正方形拼成一个大矩形，然后在每个正方形中以边长为半径绘制,圆弧，这些圆弧连起

4

来得到一段螺旋形的曲线，我们称之为“斐波那契螺旋线”.若图中最大的矩形的周长为42,则这段“斐

波那契螺旋线”的长度为.

【答案】10乃

【解析】

【分析】本题考查了正方形的性质，弧长等知识，正确表示各正方形的边长是解题的关键.如图，设

AB=2r，则力/=2r,CD=3r,DE=5r,FG=8r,矩形的长为13厂，宽为8/，依题意得

2(13/*+8厂)=42,可求〃=1,根据凝+而+俞+瑟+曲=幺°+生匚+也口+阳2+幺通,

求解作答即可.

【详解】解：如图,

设45=2〃，则//=2〃，CD=3r,DE=5r,FG=8r,矩形的长为13,宽为8尸，

.\2（13r+8r）=42,

解得，r=l,

・•・挪布+俞+55+•=即。+次汉幺Y=io4,

24444

故答案为：10万.

15.如图，矩形4BC。的边43平行于x轴，反比例函数y=g(x>0)的图象经过点民。，对角线C力的

延长线经过原点0,且4C=2/。，若矩形48co的面积是16,则％=.

【Y】12

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，其中相似三角形的判定

与性质是关键.延长C。交x轴于点凡设。(凡：

,利用相似三角形的判定与性质可求得矩形的长与

宽，再由矩形的面积即可求和2的值.

【详解】解：延长CO交X轴于点R如图所示,

•・•矩形48co的边平行于“轴，AB//CD,ADLCD,

・・・CQJ_y轴，AD//OF,

k

则OF=4,OF=-t

•：AD//OF,

・•・ACDAsACFO,

.CDADAC

t'~CF~~OF~~OC1

•：AC=2A0,

AC2

■•=19

OC3

277k

：.CD=-CF=2DF=2aAD=-OF=—

33f3af

2k

VADCD=\6,即2〃x—=16,

3a

・，・攵=12,

故答案为：12.

16.如图，正方形纸片点P为40边上的一点(不与点4点。重合)，将正方形纸片沿EF折叠,

使点8落在P处，点C落在G处，PG交DC于H,连结3尸，下列结论：®BP=EFx

②NAPB=NBPH；③当4£:48=1:3时，PH=45PE;④△尸的周长是个定值.其中所有正确

【答案】①②④

【解析】

【分析】如图1,过尸作于〃，证明“3P也△WE(ASA),则8尸=针，可判断①的正

误；由NAPB+NABP=90。=NEPB+4BPH,/EPB=NABP，可得乙4PB=NBPH,可判断②

的正误，设4E=。，则/£)=48=3。，PE=BE=2a,由勾股定理得，AP=>/PE2-AE2=>/3a»

lPEAEPEa

则0Q=3a—W，证明△力EPs/V)p“，则==、，即,=———可得

PHPDPH3a->]3a

PH弋-也)PE,可判断③的正误：如图2,作8N1PG于N,证明"PB知NPB(AAS),则

PN=PA,BN=AB=BC,证明RtABN"丝RtA8C”(HL),则CH=NH,由的周长为

PN+PD+DH+NH=PA+PD+DH+CH=2AD,可判断④的正误.

【详解】解：如图1,过户作于"，

图1

•・•正方形45C。，

:.AB=BC=AD=CD,Z.A=ZABC=ZC=ZZ)=90°,

・•・四边形8CFM是矩形，

：・MF=BC=AB,

由折段的性质可知，BP工EF,NEPG=ZABC=90。,NEPB=NABP，BE=PE,

・•・NBEF+乙4BP=90°=4BEF+4MFE,即/ABP=4MFE，

Y4ABP=4MFE,AB=MF,NA=NFME=9/,

:・"BP知MFE(ASA),

:・BP=EF,①正确，故符合要求；

•・•ZAPB+ZABP=90°=4EPB+4BPH,4EPB=ZABP，

：・APB=4BPH,②正确，故符合要求；

AE:AB=1:3»

设AE=a>则AD—AB—3a»PE—BE-2a»

由勾股定理得，AP=\IPE2-AE2=V3a»

・，・PD=3a-y/5a，

•・•ZAPE+NAEP=90°=NAPE+ZDPH,

：・4AEP=NDPH,

又・・,〃=",

・•・XAEPsXDPH,

.PEAEPEa

:.-=--,BMPn--=----r=~,

PHPDPH3a-y[3a

:.PH=13-m)PE,③错误，故不符合要求；

如图2,作.BN工PG于N,

图2

•：ZA=NBNP=90。,/APB=NNPB,BP=BP,

.・.△"的ANPB（AAS）,

:,PN=PA,BN=AB=BC,

•/BH=BH,BN=BC,

・•・R3BNH乌RaBCH（HL）,

・•・CH=NH,

：.4PDH的周长为PN+PD+DH+NH=PA+PD+DH+CH=2AD,即4PDH的周长是个定

值，④正确，故符合要求；

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查了正方形与折叠，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，

勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识.熟练掌握正方形与折叠，矩形的判定与性质，全等三角形的

判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键.

三、解答题（本大题共8小题，满分72分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要

的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.

g)+2024°；

（1）计算:-I2-|-cos60°|+-

（2）先化简再求值:其中x=-\.

7

【答案】（1）-

2

(2)1

x+2

【解析】

【分析】（1）先分别计算有理数的乘方，余弦，负整数指数第，零指数塞，然后进行加减运算即可;

（2）先通分，然后进行除法运算可得化简结果，最后代值求解即可.

【小问1详解】

解：-12-|-COS60°|+^-1^+2024°

=-1--+4+1

2

7

=­•

2.

【小问2详解】

x-1-1

______x_____x__-_\____

x-\(x-2)(x+2)

=，

x+2

将工=一1代入得，原式=—；--=1.

【点睛】本题考查了余弦，负整数指数累，零指数塞，分式的化简求值.熟练掌握余弦，负整数指数基，

零指数基，分式的化简求值是解题的关键.

18.端午节吃粽子是中国的传统习俗，某超市计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售.经了解，每个

乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，若购进甲种粽子500个和乙种粽子400个共需6200元.

（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？

（2）甲、乙两种粽子的原售价分别为8元/个和11元/个，为减少库存，超市将这两种粽子搭配成“粽情

端T”礼包（每个礼包含甲、乙共20个粽子），并且按原价八折促销，若使每个礼包利润不低于14元，

则每个礼包中至少含乙种粽子多少个？

【答案】（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是6元、8元；

（2）每个礼包中至少含乙种粽子15个.

【解析】

【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键.

（1）设甲种粽子每个的进价是x元，则乙种粽子每个的进价是（%+2）元，列出方程求解即可；

（2）设每个礼包中至少含乙种粽子V个，则甲种粽子（20-y）个，列出不等式求解即可.

【小问1详解】

解：设甲种粽子每个的进价是X元，则乙种粽子每个的进价是（X+2）元，依题意得：

500x+400（x+2）=6200,

解得：x=6,

x+2=8（元），

・・・甲、乙两种粽子每个的进价分别是6元、8元.

【小问2详解】

解：设每个礼包中至少含乙种粽子N个，则甲种粽子（20-丁）个，依题意得：

80%[8（20-y）+ll^]-[6（20-^）+8y]>14,

整理得：0.4y+8N14,

解得：y>15,

，每个礼包中至少含乙种粽子15个，使每个礼包利润不低于14元，

19.随着快递行业的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间.为调研快递公司服务质量,

更好地服务于农产品种植户，某部门随机抽取50家有快递业务的农产品种植户对甲乙两家快递公司的服务

进行评分（百分制），并整理、描述、分析，将得分（单位：分）分为五组：一组：0<x<60：二组：

60Kx<70；三组：70Kx<80：四组：80<x<90；五组：90<x<100,部分信息如下：

①甲公司得分在二组的户数占参赛户数的24%；乙公司得分在三组中最低的10个得分分别为：70,70,

71,71,71,72,72,74,74,75.

②甲、乙公司得分统计图如下：

户数

6

44

2

0

88

6

4

2

一组二组三组四组五组组别

甲快递公司得分条形统计图乙快递公司得分扇形统计图

③甲、乙公司得分平均数、中位数、众数如下:

平均中位众

数数数

甲快递公

697178

司

乙快递公

70b77

司

根据以上信息，回答下列问题：

（1）填空：a=,b=.

（2）请补全甲快递公司得分条形统计图；

（3）在这次调查中，有一家种植户给甲、乙两个快递公司的打分成绩均为72分，这个成绩在

（填“甲，，或，，乙，，）快递公司排名（从高到低）更靠前：

（4）甲、乙两个快递公司计划推出惠农杳扶活动，现分别从4B,。三家农产品种植户中任选一户合

作，求两个快递公司选择同一家种植户的概率.

【答案】（1）34,73

（2）见解析（3）甲

（4）-

3

【解析】

【分析】本题主要考查求众数，中位数以及画树状图或列表法求概率：

（1）在乙快递公司得分扇形统计图中用1减去一、二、四、五组的百分比即可求出根据中位数的定义

可求出b；

（2）用50乘以24%可得甲公司二组的户数，然后用总数减去一、二、三、四组人数可得五组人数，然后

补全条形统计图即可；

（3）根据中位数进行判断即可；

（4）画树状图得出所有等可能的结果数和两个快递公司选择同一家种植户的结果数，根据概率公式计算即

可

【小问1详解】

解：^%=1-（14%+22%+24%+6%）=34%,

即。二34；

一、二组人数和为50x（14%+22%）=18（人），

72+74

・•・第25,26个数据为72,74,则其中位数6二=73,

2

故答案为：34,73；

【小问2详解】

解：甲公司二组人数为：50x24%=12（人）,

则五组人数为：50-（10+12+14+8）=6（人）

补全条形统计图如下：

6

4

2

0

8

6

【小问3详解】

4

2

一组二组三组四组五组组别

甲快递公司得分条形统计图

甲公司得分的中位数是71,乙公司的中位数是73,

72分在甲公司得分中，更靠前，

故答案为：甲；

【小问4详解】

解：画树状图如下：

从树状图可得，共有9种，其中两个快递公司选择同一家种植户的共有3种，

31

所以，两个快递公司选择同一家种植户的概率为入二不

20.风景秀丽的阿掖山位于日照市岚山区内，是市民旅游休闲的打卡地，从阿掖山东侧的岚山驿站乘坐缆车

只需要187s即可上山，为游客上下山提供了方便.如图，是阿掖山缆车索道平面图，/是山脚驿站，整个

索道分为AB、BC两段，索道AB长500米，且与水平面的夹角Zl=16°,缆车在该段上行驶速度为5m/s,

索道8C与水平面的夹角N2=30。，缆车在该段上行驶速度为4m/s（4、B、C、O在同一平面内）.求阿

掖山OC的高度.（参考数据：sin16°«0.28,cos16°«0.96,tan16°«0.29）

【答案】314m

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质.熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关

键.

如图，作出）_LO4于。，BE工OC于E,则四边形BOOE是矩形，0E=BD,由题意知，索道力5

段的时间为型=100s,则索道8。段的时间为187—100=87s,可求8C=4x87=348m,

CE=-5C=174m,OE=BD={BsinN1,根据OC=OE+CE,求解作答即可.

2

【详解】解：如图，作于0,BE上OC于E,则四边形8Q0E是矩形，

/.0E=BD,

由题意知，索道力6段的时间为平=100s,

・•・索道5c段的时间为187-100=87s,

・•・5C=4x87=348m,

：.CE=-BC=\74m,

2

•・•OE=BD=AB,sinZ1«500x0.28=140m,

・•・OC=OE+CE=314m,

・•・阿掖山。。的高度为314m.

21.如图，在△力5c中，NC=90。，点E是边NC上的点，点。是边上的点，过点E作0。与边

BC,48分别相交于点。，F,DE=EF-

（1）求证：力。为。。的切线；

3

（2）当5c=6,tan/=一时，求力尸的长.

4

【答案】（1）见解析；

（2）4尸的长为：.

【解析】

【分析】此题考查垂径定理、圆周角定理、切线的判定定理、锐角三角函数等知识，正确地作出辅助线是

解题的关键.

（1）连接OR,由8/是。。的直径，得NBDF=90。,由族=前，得0E垂直平分。口，再证明

0E/!BC,则NOE/=NC=90。，即可证明力。为。O的切线；

31

（2）由勾股定理求出48=10,设。£=。3=09=3厂，则8/二6人由1@114=1,进一步求得广=—4£

42

即可求得力尸=2.

2

【小问1详解】

证明：如图，连接。/，

V8尸是OO的直径,

・・・ZBDF=90°,

・•・BC上DF,

':DE=EF

・・・0£垂直平分。尸，

OEA.DF,BC1.DF,

・•・OE//BC,

又•.♦NC=90。，

・•・ZOFJ=ZC=90°,

•・・QE是OO的直径，

・・・力。为OO的切线.

【小问2详解】

3

解：VZC=90°,tanJ=-,BC=6,

/.tanA=

4

：.AC=-BC=8,

3

,,AB=ylAC2+BC2—Vs2+62=10-

设0£=。8=09=3〃，则8/二6r,

•・•NO"=90。，

4八

・•・AE=-OE=4r

3

，OA=dOE?+3=(4).J=5r

：.OA=AF+OF=AF+3r=5r,

VJ5=10,

AF+BF=AF+6r=10,

22.我们知道，对于关于x的一元二次方程a/+bx+c=0（。w0）,如果该方程有两个实数根X1和占，那

bc

么这两个根与方程的系数之间满足以下关系：①%+毛=-一；②演F=£.此外，根与方程的系数的关

aQ

系还可以推广到一元«次方程：对于方程%x"+4Tx〃T+…+.X+%-0,其中玉,乙,…户〃T,玉是方程

的〃个实数根，其中所有根的和为芭+々+…+5-|+居二一&±;所有根的积为

%

%$……匕_/％=(_1)”&,请结合上述材料，解答下列问题：

%

(1)方程/一3%+加=0的一个实数根是一2,则加=：方程d一6工2+1氏一6=0的两个根

凡=1,X2=3,则第三个根匕=.

(2)若m,〃是关于彳的一元二次方程"2+2工一3=0两个实数根，且〃，，丹满足+〃2+加〃=1,求

〃的值.

(3)在平面直角坐标系xQy内，一次函数y=x+f与反比例函数y(-2</<-,//0)图

x2

象的两个交点/、4的横坐标分别是％、X?，设A/BO的面积是S.当/取何值时，S有最大值.

【答案】(1)-10,2

(2)-1或4

(3)t=-2

【解析】

【分析】(1)由3x+〃z=0,可得演一2二3,玉•(-2)=①，计算求解即可；由

x3—6,r2+1lx—6=0*可得1+3+&=——=6.计算求解即可：

23(2Y3

(2)由题意知，m-¥n——"；,mn=一■-,则〃7?+二+机〃=(〃?+〃)“一〃?〃=—+—=1»整理

kkv7\k)k

得,尸一3左一4=o,计算求解，然后作答即可；

(3)由一可知1一/>0,则反比例函数图象在第一、三象限，如图，设一次函数与V轴的交点

2

2

为C,则C(0，，)，联立得x+/=---,整理得，x+tx+t—l=0>则玉+工2=一，，xt-x2=t—1,

X

玉―Z=2—f,由=S“co+S48CO,可得5=5，卜(2—1),当—2口<0时，

S=-1r(2-/)=1(r-l)2-1,求最大值；当时，5=1/(2-/)=-1(/-1)2+1,求最大

值，然后判断作答即可.

【小问1详解】

解：：工2-3x+/n=0，

/.X)-2=3,%1,(-2)=m,

解得，玉=5,w=-10,

,•*x3-6x2+1lx-6=0»

；・1+3+&=-----=6,

解得，X3=2,

故答案为：-10,2；

【小问2详解】

23

解：由题意知，m+n=--,mn=--t

・・.(％+1)("4)=0,

解得，左=一1或〃=4,且符合要求：

:.k的值为-1或4；

【小问3详解】

解：•・・-2WL

2

：.\-t>0,反比例函数图象在第一、三象限，

如图，设一次函数与歹轴的交点为c,则。(0,，),

y=x+t

联立，1—/»得x+f=,整理得，x2+Zx+/—1=0,

y=----x

x

Xj+x2=-r,x1-x2=/-1,

）2）2）（2

（X]-x2=（XI+x2--4X（X2=r-4（Z-l=Z-2）,

x,-x2=2-r,

•**S.wo=S/co+S68co=；OCx&-々）二夕小（2—）,即S=gw・（2—）,

当_2«,<0时，5=-1/-（2-r）=|（^-l）2-1,

当”-2时,S最大=；（一2—仔一;=4；

当0</J时，5=-/（2-/）=--（/-1）2+-,

22v72V72

综上所述，当£=-2时，S有最大值4.

【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，反比例函数与一次函数综

合，二次函数的图象与性质等知识.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，反

比例函数与一次函数综合，二次函数的图象与性质是解题的关键.

23.给出一个新定义有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形

的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形

AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,连接CE,则CEBD(填“〈”或“=”或

“>”)，NBCE=°；

(2)如图②，△力BC和V4OE互为“友好三角形”，点。是5c边上一点，AB=AC,AD=AE,

NB4C=ND4E=120。,M、N分别是底边5C、DE的中点，请探究MN与CE的数量关系，并说明理

由；

(3)如图③，/8C和V4OE互为“友好三角形”，点。是BC边上一动点，AB=AC,AD=AE,

/BAC=/DAE=a,M、N分别是底边8C、OE的中点，请直接写出MN与CE的数量关系(用含。

的式子表示)

【答案】(1)=：120

(2)MN==CE；理由见解析

2

(3)W=CFsin^90°-1a^

【解析】

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理和等腰三角形的性质：

(1)先判断出ZBAD=ZCAE,进而判断出“BOgUCElSAS),得出BD=CE,

NABD=NACE,即可得出答案；

(2)在CM，截取CH,使CH=3D,连接笈〃，先判断出CH=CE="E,进而判断出

MNJEH,最后利用等边三角形性质求解，即可得出答案；

2

(3)方法同(2)可得解

【小问1详解】

解：・；N8/C=NO4E=60。，

・・・NBAD+/CAD=NCAE+/CAD.

・•・/BAD=Z.CAE,

,:AB=AC,AD=AE,

：.AACE(SAS),

BD=CE,NABD=NACE,

VAB=AC,AD=AE,/BAC=/DAE=60°,

・•・4ABC和V4OE是等边三角形，

・•・ZABD=NACB=60°=NACE

：.Z.BCE=ZACB+/ACE=600+60°=120°；

故答案为：=;120；

【小问2详解】

解：MNJCE；理由如下：如图，

2

A

BDMHC

在CM上截取C〃，使CH=BD,连接£〃，

•・•点M是8c的中点，

・•・BM=CM,

:.DM=HM，

•・•点N是OE的中点，

・•・DN=EN,

・•・MN是的中位线，

:,MN=>HE,

2

CE=BD

:.CH=CE,

VAB=AC,AD=AE,ABAC=ZDAE=\20°,

：.ZABC=ZACB=-^(180°-120°)=30°

由(1)知，N4BD=/ACE=30°,

・•・NBCE=60。,

・...CHE是等边三角形,

:,HE=CE,

：.MN=-CE,

2

【小问3详解】

解：MN=CFsin(90°-；a；理由如下：如图，

在CM上截取C",使CH=BD,连接叩交力C于K,

•・•点”是8c的中点，

・•・BM=CM,

:.DM=HM,

•・•点”是。上的中点，

・•・DN=EN,

・・・””是△OE”的中位线，

：.MN=-HE,

2

•：CE=BD

:・CH=CE,

VAB=AC