高考数学专题 三角恒等变换与解三角形讲学案理数(原卷)

【2016考纲解读】和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．预测2016年高考仍将以和差角公式及二倍角公式为主要考点，复习时应引起足够的重视．【重点知识梳理】1．和差角公式(1)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；(2)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(3)tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).2．倍角公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3．半角公式(1)sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))；(2)coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))；(3)taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))；(4)taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).4．正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．5．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.6．面积公式S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)absinC.7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解；(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一，需讨论；(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解；(4)已知三边，利用余弦定理求解．8．“变”是解决三角问题的主题，变角、变名、变表达形式、变换次数等比比皆是，强化变换意识，抓住万变不离其宗——即公式不变，方法不变，要通过分析、归类把握其规律.【高频考点突破】考点一三角函数的定义例1、(1)已知角α的终边上一点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(11π,6)，sin\f(11π,6)))，则角α的最小正值为()A.eq\f(5π,6)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(5π,3)D.eq\f(11π,6)(2)如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，－\f(5,13)))，∠AOC＝α.若|BC|＝1，则eq\r(3)cos2eq\f(α,2)－sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)－eq\f(\r(3),2)的值为________．【规律方法】运用定义可求解的两类问题(1)求三角函数值(或角)：当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直(射)线时，一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值，再求其他．但当角经过的点不固定时，需要进行分类讨论．(2)建模：由于三角函数的定义与单位圆、弧长公式等存在一定的联系，因此在命题思路上可以把圆的有关知识同三角函数建立联系．【变式训练】角速度为eq\f(π,4)的质点P，从点(－1,0)出发，逆时针沿单位圆x2＋y2＝1运动，经过17个时间单位后，点P的坐标是________．考点二同角三角函数间的基本关系及诱导公式例2、(1)已知tanα＝2.则sin2α－sinαcosα的值是()A.eq\f(2,5)B．－eq\f(2,5)C．－2D．2(2)已知eq\f(tanα,tanα－1)＝－1，求下列各式的值：①eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)；②cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))－sin(π－α)cos(π＋α)＋2.【规律方法】1．利用同角三角函数的关系式化简求值的四种常用方法(1)切弦互换法：利用tanα＝eq\f(sinα,cosα)进行转化．(2)和积转化法：利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα进行变形、转化．(3)常值代换法：常用之一就是把“1”代换为“sin2α＋cos2α”或“tan45°”．(4)方程(组)法：同角三角函数关系sin2α＋cos2α＝1和tanα＝eq\f(sinα,cosα)联合使用，可以根据角α的一个三角函数值求出另外两个三角函数值．尤其是把含有sinα，cosα的齐次式化为tanα的关系式．2．利用同角三角函数的关系式化简求值的三个关注点(1)函数名称和符号：利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角的三角函数，其步骤是：去负—脱周—化锐—求值．特别注意解题过程中函数名称和符号的确定．(2)开方：在利用同角三角函数的平方关系时，若开方特别注意根据条件进行讨论取舍．(3)结果整式化：解题时注意求值与化简的最后结果一般要尽可能整式化．【变式训练】已知θ为锐角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),10)，则tan2θ＝()A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(24,7)D.eq\f(24,7)考点三三角恒等变换例3、(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,6)))的值是()A．－eq\f(2\r(3),5)B.eq\f(2\r(3),5)C.eq\f(4,5)D．－eq\f(4,5)(2)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)·sin2x＋eq\f(1,2)cos4x.①求f(x)的最小正周期及最大值；②若a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且f(α)＝eq\f(\r(2),2)，求α的值．【规律方法】1．三角恒等变换的思路(1)和式：降次、消项、逆用公式．(2)三角分式：分子与分母约分或逆用公式．(3)二次根式：切化弦、变量代换、角度归一．2．三角恒等变换的方法(1)弦切互化：一般是切化弦．(2)常值代换：特别是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α＝tan45°等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式(降幂公式)降次．(4)公式的变形应用：如sinα＝cosαtanα，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，1±sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)±cos\f(α,2)))2等．(5)角的合成及三角函数名的统一：asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanφ＝\f(b,a))).(6)角的拆分与角的配凑：如α＝(α－β)＋β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，eq\f(π,4)±α可视为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)±2α))的半角等．【变式训练】求值：eq\f(2cos10°－sin20°,cos20°)＝________.【经典考题精析】【2015高考四川，理12】.....【2015高考浙江，理11】函数的最小正周期是，单调递减区间是．【2015高考天津，理15】（本小题满分13分）已知函数，(I)求最小正周期；(II)求在区间上的最大值和最小值.【2015高考重庆，理18】已知函数（1）求的最小正周期和最大值；（2）讨论在上的单调性.【2015高考上海，理14】在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则．【2015高考广东，理11】设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则.【2015高考湖北，理12】函数的零点个数为．【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度m.【2015高考重庆，理13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_______.【2015高考福建，理12】若锐角的面积为，且，则等于________．【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．(Ⅰ)求；(Ⅱ)若，，求和的长．(Ⅰ)；(Ⅱ)．【2015高考浙江，理16】在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，=.（1）求的值；（2）若的面积为7，求的值.【2015高考安徽，理16】在中，,点D在边上，，求的长.【2015高考陕西，理17】（本小题满分12分）的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（I）求；（II）若，求的面积．1.【2014高考江苏卷第14题】若的内角满足，则的最小值是.2.【2014全国1高考理第16题】已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________．3.【2014全国2高考理第4题】钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=()A.5B.C.2D.14.【2014山东高考理第12题】在中，已知，当时，的面积为________.5.【2014高考广东卷理第12题】在中，角、、所对应的边分别为、、，已知，则.6.【2014全国1高考理第8题】设且则（）（A）（B）（C）（D）7.【2014高考福建卷第12题】在中，,则的面积等于_________.8.【2014江西高考理第4题】在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若则的面积（）A.3B.C.D.9.【2014四川高考理第13题】如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC约等于.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：，，，，）10.【2014浙江高考理第17题】如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值.11．【2014重庆高考理第10题】已知的内角，面积满足所对的边，则下列不等式一定成立的是()A.B.C.D.12.【2014天津高考理第12题】在中，内角所对的边分别是．已知，，则的值为_______．13.【2014大纲高考理第3题】设则（）A．B．C．D．14.【2014高考安徽卷第16题】（本小题满分12分）设的内角所对边的长分别是，且（1）求的值；（2）求的值.15.【2014高考北京理第15题】如图，在中，，点在边上，且，.（1）求；（2）求，的长.16.【2014高考福建理第16题】已知函数.若，且，求的值；求函数的最小正周期及单调递增区间.17.【2014高考广东理第16题】已知函数，，且.（1）求的值；（2）若，，求.18.【2014高考湖北理第17题】某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系；.（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？19.【2014高考湖南理第18题】如图5,在平面四边形中,.(1)求的值;(2)若,,求的长.20.【2014高考江苏第15题】已知.（1）求的值；（2）求的值.21.【2014高考辽宁理第17题】在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：（1）a和c的值；（2）的值.22.【2014高考山东卷第16题】已知向量，，设函数，且的图象过点和点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将的图象向左平移