2024年上海静安区高三二模高考数学试卷（答案详解）

静安区第二学期期中教学质量调研

高三数学试卷

本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2024.4

一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填

对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应

编号后填写答案，否则一律得零分.

1.中国国旗上所有颜色组成的集合为.

2.已知i是虚数单位，复数z="是纯虚数，则实数加的值为______.

2+1

1—V

3.函数y=ln^—的定义域为.

4.若单位向量入石满足则B-可卜.

5.某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩X服从

正态分布N（100,b2）（试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80

分，则数学分数属于闭区间［80,120］的学生人数约为.

6.已知物体的位移d（单位：m）与时间f（单位：s）满足函数关系d=2sinf,则在时间

段fe（2,6）内，物体的瞬时速度为lm/s的时刻/=（单位：s）.

7.已知等比数歹U的前〃项和为+a,则。的值为.

8.在下列关于实数或。的四个不等式中，恒成立的是.（请填入全部正确的序号）

①a+bN2aj;②之ab；③I。IT6区|“―6|；@a2+b2>2b-l-

9.正四棱锥尸-/BCD底面边长为2,高为3,则点A到不经过点A的侧面的距离为.

10.某工厂生产的产品以100个为一批.在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查,

如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的.假定每一批产品中的次品最多不超过2

个，并且其中恰有i（1=0,1,2）个次品的概率如下：

一批产品中有次品的个数i012

试卷第1页，共4页

概率0.30.50.2

则各批产品通过检查的概率为.(精确到0.01)

11.已知实数ae(0,6),记.若函数了=〃x)在区间［0,2］上的最小值为一2,

则。的值为.

12.我们称如图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程

22

x-2^y+y-V2|^+2V2y=0,现将一边在x轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为

心吧.若已知点初(当，-e)“爱心线”上任意一点的最小距离为d,则用d表示心吧面积的

最大值为.

二、选择题(本大题共4小题，满分18分)第13题、14题各4分，第15题、

16题各5分.每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将

代表答案的小方格涂黑.

13.函数了=2sin尤-cosx(xeR)的最小正周期为()

〜-3兀兀

A.2兀B.兀C.—D.—

22

14.设%，〃是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，下列命题中真命题是()

A.若加//口，“〃a,则加〃〃；B.若仅uc,”u加〃〃，则a///?；

C.若机_La,nl/a,则/_L〃；D.若加ua,〃ua,加//月，〃〃/，贝ija///7.

22

15.设。＞1,则双曲线+1^=1的离心率e的取值范围是()

a(a+1)

A.(V2,2)B.(V2，V5)C.(2,5)D.(2,右)

16.如果一个非空集合G上定义了一个运算*,满足如下性质，则称G关于运算*构成一个

群.

(1)封闭性，即对于任意的a/eG,有a*6eG；

(2)结合律，即对于任意的a,6,ceG,有(a*6)*c=a*(6*c)；

试卷第2页，共4页

（3）对于任意的a,beG,方程x*a=6与。*y=%在G中都有解.

例如，整数集Z关于整数的加法（+）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加

法结合律，对于任意的61Z,方程x+a=6与＞=6都有整数解；而实数集R关于实

数的乘法（x）不构成群，因为方程Oxy=1没有实数解.

以下关于“群”的真命题有（）

①自然数集N关于自然数的加法（+）构成群；

②有理数集Q关于有理数的乘法（x）构成群；

③平面向量集关于向量的数量积L）构成群；

④复数集C关于复数的加法（+）构成群.

A.0个；B.1个；C.2个；D.3个.

三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号

的规定区域内写出必要的步骤.

17.在A/3C中，角A、B、C的对边分别为。、b、C,已知a=3,6=5,c=7.

⑴求角C的大小；

⑵求sin（N+C）的值.

18.某高中随机抽取100名学生,测得他们的身高（单位:cm）,按照区间[160,165）,[165,170）,

[170,175）,[175,180）,[180,185]分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）.

（1）求身高不低于170cm的学生人数;

⑵将身高在[170,175）,[175,180）,[180,185]区间内的学生依次记为A,B,C三个组，用

分层抽样的方法从三个组中抽取6人.

①求从这三个组分别抽取的学生人数；

②若要从6名学生中抽取2人，求3组中至少有1人被抽中的概率.

19.如图1所示，48co是水平放置的矩形，43=2百，BC=2.如图2所示，将4BO沿

试卷第3页，共4页

矩形的对角线AD向上翻折，使得平面48。，平面BCD.

(1)求四面体/BCD的体积厂；

(2)试判断与证明以下两个问题：

①在平面BCD上是否存在经过点C的直线/,使得/L4D?

②在平面BCD上是否存在经过点C的直线/,使得///4D?

20.江南某公园内正在建造一座跨水拱桥.如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个

外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点A与点8.现在准备以地平

面上的点C与点。为起点建造上、下桥坡道，要求：①忸。=|/c|；②在拱桥洞左侧建造平

面图为直线的坡道，坡度为1:2亚(坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比)；③在

拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸.

(1)请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；

(2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；(精确到0.1米)

(3)若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土.请设计出所铺设路面的

相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由(如果需要，可通

过假设的运算结果列式说明，不必计算).

21.已知左eR,记/'(无)=+左(。＞0且。41).

(1)当a=e(e是自然对数的底)时，试讨论函数y=/(x)的单调性和最值；

⑵试讨论函数了=/(无)的奇偶性；

(3)拓展与探究：

①当左在什么范围取值时，函数了=/(x)的图象在x轴上存在对称中心？请说明理由;

②请提出函数＞=/(x)的一个新性质，并用数学符号语言表达出来.(不必证明)

试卷第4页，共4页

1.｛红,黄｝;

【分析】根据集合的定义即可求解.

【详解】中国国旗上所有颜色组成的集合为｛红,黄｝.

故答案为：｛红，黄｝.

2.—##—0.5

2

【分析】根据题意，由复数的运算，结合纯虚数的定义即可得到结果.

—m+i（m+i）（2-i）2m+12-m.

［详解］因为z=------=-7------77-----7=--------1---------1,

2+i（2+i）（2-i）55

2m+1

--------=0

,45，则加=一:，

所以复数2=”是纯虚数，则满足v

2+1生，02

5

£

故答案为:

2

3.（-2,1）

【分析】根据题意，结合函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.

【详解】由函数y=lnp有意义，则满足了＞0,即土二＜0,解得_2＜尤＜1,

2+x2+xx+2

所以函数y=lnp的定义域为

2+x

故答案为：(-2,1).

4.2

【分析】依题意可得£%=0,根据卜-J而卜市二凉丁及数量积的运算律计算可得.

【详解】因为单位向量Z、B满足坂，

故答案为：2

5.1360

【分析】根据正态分布的性质，求出尸(804X4120),即可求得结果.

答案第1页，共12页

【详解】根据已知条件有数学成绩低于80分的概率为就=於，

又X~N(100,4),所以数学分数属于闭区间［80,120］的概率为1-2X玉4=木17

所以数学分数属于闭区间［80,120］的学生人数约为2000x共=1360人.

故答案为：1360

65兀

6-T

【分析】可求出导函数"'=2cost,根据1=1即可求解.

【详解】由题可得：d'=2cos/=1,

可得cos/=L,又te(2,6),

2

可得

5兀

故答案为：y.

7.-1

【分析】根据题意，分别求得%=1+*。2=-;，结合第=%的，列出方程，即

可求解.

【详解】由等比数列的前〃项和为S“=+a,

nJQ］=S］=5+Q,a?=S?-Sy—ci-(—+q)=——,%=S3_S?=~+17_+Q)=一~,

所以(-;)2=(2+a)x(-：)，解得a=T,经检验符合题意.

428

故答案为：-1.

8.②③④

【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证⑷-出国”勿即证2同回22ab可判断

③.

【详解】对于①，取。=-1力=1,故①错误；

对于②，-----ab=------------------=-----------=——>0,故②正确;

I2)44I2)

对于③，当时邛要证蚱I”回，即证(|。|一回)2(|。一4)2,

答案第2页，共12页

即|tz|2+|/)|2-2|a||Z)|<a2+b~-lab,即证2时网>2ab,

而2同回22ab恒成立，

当时<问时，问-例｛0,卜-协0,所以⑷-2因”以，故③正确.

对于④，a2+b2-2b+l=a2+(b-\)2>0,所以/+/226-1,故④正确.

故答案为：②③④.

9.回

55

【分析】求出正四棱锥尸-43。的体积，再利用等体积法可求得其距离为巫.

5

【详解】设底面正方形/BCD的中心为。，3C的中点为E,如下图所示：

易知£。=1,高尸0=3,所以其斜高产£=J32+F=历，

由对称性可知点A到侧面尸CO与侧面PBC的距离相等，

易知侧面尸8c和侧面PCD与的面积邑的=%BC=；x2x&U=而，

正四棱锥尸一N8C。的体积为忆=gs4so•尸。=；x2x2x3=4,

设点A到侧面PBC的距离为d,

由等体积法可得y=+叱一心c=+；国网/=gdx2&U=4,

解得〃=亚.

5

故答案为：亚

5

91

10.——##0.91；

100

r10Qr10RQ

【分析】根据条件概率公式求解P(小线)=1,P(A\Bl)=-^=-,尸(如与)=湍=即可

joo1Ujoo11U

利用全概率公式求解.

答案第3页，共12页

【详解】设事件4•表示一批产品中有i个次品(i=0，1，2),

则P(30)=0.3,P(5,)=0.5,P(B[)=02,

设事件A表示这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品，

c10QC1089

则尸(川胡)=1,尸(4困)=注=[,P⑷当)=病=而，

Joojoo1

所以尸(/)=P(/围)P(当)+尸(H4)P(4)+PQIB2)P(S2)=1XO.3+^X0.5+^x0.2»0.91.

故答案为：0.91.

11.3

【分析】先对函数求导，结合导数与单调性及最值关系即可求解.

【详角华】当0<〃<6时，/(x)=y[x(x-a),/<%)=2y，

当0<x<；a时，f'(x)<0,/(x)单调递减，当L<x<2时，f\x)>0,/(x)单调递增，

故X=>时，/(X)取得最小值/(1)=-yX^=_2,

解得，。=3.

故答案为：3.

12.--d2

2

【分析】根据题意，得到+2岳=29，曲线上任意一点尸求得|尸M「的最小值

为屋，进而求得心吧面积的最大值.

【详解】解：由曲线方程Y-2同了+/一eW+2页y=0,

由点〃■(等,-后)“爱心线''上任意一点且点M在V轴的右侧，

所以点M“爱心线”上任意一点的最小距离d,一定出现在爱心线位于了轴的右侧的点，

当x20时，可得/+/一万:+2用=2个，

设曲线上任意一点尸(x,y),(x20),宜叵),

有1PMi2=(x--^-)2+(j,-A/5)2=x2+y2-+2必1+£-=2xy+')―，

因为卢的最小值为屋，所以2孙的最小值为屋-g,

当>>0时，心吧面积为S=2尤加=2孙的最小值为十-g；

答案第4页，共12页

当歹＜0时，心吧面积为S=2x\y\=-2xy的最大值为g-屋.

故答案为：!■一屋.

13.A

【分析】利用辅助角公式将函数化成＞=/sin(①x+0)的形式，代入周期公式可得结论.

【详解】易知歹=2sinx—cosx=6sin(r+。)，其中31。二一；，

27c

由周期公式可得其最小正周期为T=—=2n.

CD

故选：A

14.C

【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案.

【详解】若加//。，nl/a,则加〃〃或加与〃相交或加与〃异面，故A错误；

若以ua,nu°,mlln,则a//或。与/相交，故B错误；

若加J_a,nlla,由直线与平面垂直的性质可得加J_〃，故C正确；

若加ua,nua,ml1/3,nl1(3,当加与〃相交时，有戊///，否则，a与"不一定平行，

故D错误.

故选：C.

15.B

【详解】由题意得，双曲线的离心率e?=(与2=/+(；+以=i+(i++,

aaa

因为,是减函数，所以当。＞1时，0＜-＜1,所以2＜e2＜5,所以也＜e＜石，故选B.

aa

考点：双曲线的几何性质.

【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质及其应用，其中解答中涉及到双曲线的标准

方程及简单的几何性质的应用，函数的单调性及函数的最值等知识点的综合考查，着重考查

了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算、转化与化归思想的应用，本题的解得

中把双曲线的离心率转化为工的函数，利用函数的单调性是解答的关键，试题有一定的难度,

a

属于中档题.

16.B

【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可.

答案第5页，共12页

【详解】对于①，x+3=2,在自然数集中无解，错误；

对于②，Oxy=l,在有理数集中无解，错误；

对于③，3石是一个数量，不属于平面向量集，错误；

对于④，因为任意两个复数的和还是复数，且满足加法结合律，

且对任意的。,6eC,方程x+a=6与。+了=6有复数解，正确.

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，用新定义解题.解题方法

是根据新定义的3个条件进行验证,注意实数或复数运算的运算律与新定义中运算的联系可

以很快得出结论.

17.(i)c=y

(2)正

14

【分析】(1)根据已知条件，结合余弦定理即可求解.

(2)解1,利用正弦定理先求sinB,再由g(/+3=5m8即可求解；解2,先利用正弦定

理求出sin/,再利用两角和的正弦公式即可求解sin(/+C)；解3,先利用余弦定理求出cos/,

再利用两角和的正弦公式即可求解sinQ+C).

【详解】(1)由余弦定理，有coscJ+.T

lab-r所以

b,即sin5=睫£=独.

(2)解1：由正弦定理，有

sinBsinC14

所以sin(4+C)=sin(7i-5)=sin5=

14

aasinC3百

解2：由正弦定理，有,即siih4=

sinAsinC14

.1Q

所以cos/=vl-sin2y4=一

14

5G

故，sin+C)=siiL4cosc+cos/sinC=

14

+「2^-=—,所以$辿=/

解3：由余弦定理，有cos/=--------

2bc1414

故，sin+C)=sirk4cosc+cos/sinC=

18.(1)60A;

3

(2)①30人，20人，10人；②y

答案第6页，共12页

【分析】(1)先求出『0,175)的频率可得结果.

(2)①由分层抽样可得各组的人数;②分别列举各种情况可得概率.

【详解】(1)由频率分布直方图可知口70,175)的频率为

1-5x(0.07+0.04+0.02+0.01)=0.3,

故身高在170c加以上的学生人数为100x(0.3+0.04x5+0.02x5)=60(人).

(2)①A,B,C三组的人数分另IJ为100x0.3=30,100x0.04x5=20,100x0.02x5=10A.

因此应该从A,B,C三组中每组各抽取30x2=3(人)，20、3=2(人)，10x£=l(人

606060

).

②设A组的3位同学为4，4，4，B组的2位同学为g，B2,C组的1位同学为。，

则从6名学生中抽取2人有15种可能：

,B2),(J?j,c；),(4,G).(4,4),(4,4)，(4,4)，(4/2),(4,q),

(4,4)，("2/1),(A2,B2),(A,,c,),(4,BJ,(4,B2),(4,G).

其中B组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能：(片,与)，(耳，G),(与,G),(4,4)，

(4,5)，(4,4)，(4,四)，(4,4)，(4,5).

93

所以8组中至少有1人被抽中的概率为尸=行=《.

19.(1)2；

(2)①证明见解析；②证明见解析.

【分析】(1)过点A作垂足为E.可知ZE为三棱锥的高，利用等面积法求得/E,

再由棱锥体积公式求解；

(2)①过点C作CRLBO,垂足为尸，由直线与平面垂直的判定与性质证明；

②利用反证法证明在平面上不存在经过点C的直线/,使得

【详解】(1)过点A作/垂足为E.

・••平面_L平面8。，两平面交线为AD,/£u平面A8£>,

/E_L平面3cD,

由BD^^IAB2+AET-=4以及4B-AD=BD-AE可得/£=6-

答案第7页，共12页

V=—S.„rn-AE=—x—x2x2-\/3XA/3=2•

332

(2)①在平面8co上存在经过点C的直线/,使得

证明：过点C作CFLBD,垂足为尸.

QAE'5FffiBCD,CFu平面BCD,

AE1CF,

又/Ep|8D=E,8。u平面,

CV_L平面NBD,

40u平面A8£>,故可得C尸_L4D,

即存在/_L/D；

②在平面BCD上不存在经过点C的直线/,使得///4D,

证明：假设存在///4D,

:4。不在平面BCD内，/在平面BCD内，则40//平面BCD,

与4Dc平面矛盾.

不存在///4D.

20.(1)答案见解析

(2)答案见解析

(3)答案见解析

【分析】(1)解法1；以线段的中点。为坐标原点建立平面直角坐标系，求得圆。的方

程，得到了=夫联立方程组,求得1020万

(x+30),E,设圆河的半径为「，求得圆

M的方程为/+(y+40)2=502,进而得到函数的解析式；解法2：以线段⑷?的中点。为坐

标原点建立平面直角坐标系，设圆M的半径为，求得圆N的方程为

(x-30)2+(y-40)2=402,得到G(6,8),,进而得到函数的解析式；

答案第8页，共12页

(2)解法1：求得圆弧"的长为10《-arctan2亚,得到圆弧ED的长为50arctan；,进

而求得过桥道路的总长度；解法2：根据题意，求得〈酝，而〉=arccos-、；二,得到圆弧EG

的长，求得圆弧GD的长为40|^_arctanf|,进而得到过桥道路的总长度；

(3)设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，提出问题，结合面积公式，分别求得铺设过

桥路需要混凝土的值.

【详解】(1)解法1、如图所示，以线段的中点。为坐标原点建立平面直角坐标系,

则，圆。的方程为/+y2=ioo,

由tanC=4^,OE=10得CE=20亚，CO=30,

1其方程为>=击。+30),

过点C作圆。的切线DE,切点为E,直线CE的斜率为

272

所以直线OE的斜率为一20，其方程为了=-2亚x,将其代入f+Vwoo,

1020®、

得点£的坐标为

经过点。作圆”与圆。切于点尸(圆O与y轴的交点)，设圆河的半径为「，

贝|］。£»2+。河2=。”2,即3。2+&-10)2=/,解得r=50,

作圆N与x轴相切于点D,并和圆。切于点G,

设圆M的半径为「，则0。2+。"2=0"2,BP302+r2=(r+10)2,解得，=40,

所以圆N的方程为(x-30)2+(y-40)2=4()2,

答案第9页，共12页

将直线OG的方程代入X?+/=io。得，点G的坐标为（6,8）,

金(x+30),一30。<一？

2

所以用函数表示过桥道路为y=V100—%,——«x<0

A/2500-X2-40,0<X<30

--arctan2后,

2

3

由点。的坐标为（30,0）,点M的坐标为（0,-40）,得/“呼=arctan“

3

所以圆弧即的长为50arctan-«32.175,

4

3

所以过桥道路的总长度为20后+10^|-arctan2+50arctan—«63.9m,

4

解法2：因为赤=竽

，OG=(6,8),

\7

OEOG-3+872-3+8后

则cos〈OE,OG〉=石一,BP(OE,OG)=arccos

OE\\OG~15~

所以圆弧EG的长为10arccos3+8.

Q9.833,

15

jr4

又由点G的坐标为(6,8),得NOND=-—arctan-,

23

所以圆弧GO的长为40生arctang卜25.740,

所以过桥道路的总长度为20后+lOarccos三箸714、

+40——arctan—263.9m.

23

（3）解：设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，则桥拱左侧铺设的是以曲边形为底

面，

高为10米的柱体；桥拱右侧铺设的是以曲边形BDF（&）G）为底面，高为10米的柱体,

提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？

答案第10页，共12页

方案1：S曲边形4CE-S^COE—S扇形/QE—S曲边形5OF二S扇形。“F一^DOM—S扇形台口？，

3

所以，铺设过桥路需要混凝土10(S&COD~S扇形40c+S扇形。出一S^DOM—S扇形)m­

方案2：S曲边形4CE=S^COES扇形ZOE-S曲边形BQG=SAODN~S扇形0NG一扇形30G，

3

所以，铺设过桥路需要混凝土10(Sic。。一$扇形zee+SAO”V-S扇形£＞MG-S扇形BO/)m■

21.(1)详见解析;

(2)详见解析;

(3)①当左＜0时，函数了=〃x)有对称中心(fog,理由见解析；②答案见解析.

【分析】(1)当a=e时，求得/(x)=e，-he-",分发40和后＞0,两种情况讨论，分别求

得函数的单调性，进而求得函数的最值；

(2)根据题意,分别结合〃-x)=/(x)和〃r)=-/a)