2024年广东省汕头市潮南区司马中考数学一模试卷（含解析）

2024年广东省汕头市潮南区司马初级中学中考数学一模试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（）

2.将数据0.000000023用科学记数法表示正确的是（）

A.0.23xICT?B.2.3x10~8C,2.3x10-9D.23xIO-

3.下列各数是不等式x-1>0的解的是（）

A.-2B.-1C.0D.1

4.如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出C。比角N。的大小，需

将4。转化为与它相等的角，则图中与4。相等的角是（）

A.^BEA

B.乙DEB

C.Z.ECA

D.^ADO

5.若关于X的一元二次方程的根为久=-2±J2则这个方程是（）

A.x2+2x+4=0B.x2—2x+4=0C.%2+2x—4=0D.%2—2%—4=0

6.如图，已知a〃8，点4在直线a上，点8,C在直线b上，^BAC=90°,41=30。，贝此2的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

7.从长度为lcm,1cm,2cm,2on的4条线段中任意选3条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率

是（）

A-2-B4■

8.下列计算中正确的是（）

A.(ab3)2=ab6B.a44-a=a4C.a2-a4=a8D.(-a2)3=-a6

9.如图，在矩形力BCD中，对角线AC与BD相交于点。，^ABD=60°,AE1

BD,垂足为点E,F是OC的中点，连接EF,若EF=2门，则矩形A8C。的周长

是（）

A.16<3B.873+4C.4<3+8D.8<3+8

10.如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=勺勺图象在第一

象限内交于点4、B,与x轴交于点C,4B=BC.若AOaC的面积为8,则

k的值为（）

A.2

D.4

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.若式子力苧在实数范围内有意义，贝卜的取值范围为

x—l-------------

12.若a,b互为相反数，c,d互为倒数，爪的绝对值为2,则a+b—2爪2—的值为

13.某青年排球队有12名队员，年龄的情况如下表：

年龄/岁1819202122

人数35211

则这12名队员年龄的中位数是岁.

14.如图，用一个卡钳Q4D=BC,黑=黑=9）测量某个零件的内孔直径28,量得CD长度

UDUA5

为6cm,则AB等于cm.

15.如图，在Rt△ABC中，^ACB=90°,AC=8cm,BC=3cm.D是

BC边上的一个动点，连接2D,过点C作CE1AD于E,连接BE,在点

。变化的过程中，线段BE的最小值是.

三、解答题：本题共10小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题6分）

计算：（1）2+2sin45°-（^2-1）°-V27.

17.（本小题6分）

先化简，再求值：（昌=一二7）+三，其中久=一3.

vxz-2x4-1x—rx—1

18.（本小题6分）

为了了解某学校初三年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校初三年级他名同学，对其

每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图（图一）和扇形统计图（图二）：

根据以上信息回答下列问题：

（l）m=名，阅读3小时的人数为名，并补全条形统计图；

（2）若该校共有1800名初三学生，请你估计该校学生课外阅读时间不低于3小时的人数.

19.（本小题6分）

如图，在平行四边形力BCD中，点E,F分别在力B,CD的延长线上，且BE=DF,连接EF与AC交于点M,

连接4F,CE.求证：△AEM0ACTM.

20.（本小题7分）

如图，在△48C中，N4CB=90。，作4B的垂直平分线MN,直线MN交BC于点、D,连接4D以点4为圆心,

4D为半径画弧，交BC延长线于点E,连接力E.

（1）使用直尺和圆规完成作图过程（保留作图痕迹）;

（2）若BC=6,求△ADE的周长.

21.（本小题7分）

如图，已知点C处有一个高空探测气球，从点C处测得水平地面上48两点的俯角分别为30。和45。.现测得

AB=2km,求4,。两点之间的距离.（结果保留根号）

22.（本小题7分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数丫=^%与反比例函数y=g（k〉O）的图象相交于4（3,爪），B两

点.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点C为x轴正半轴上一点，且满足4C1BC,求点C的坐标.

23.(本小题10分)

实践课上，老师出示了两个长方形，如图1,长方形的两边长分别为m+1,m+7；如图2,长方形的两边

长分别为爪+2,m+4.(其中m为正整数)

请解答下列问题：

(1)图1中长方形的面积Si=；图2中长方形的面积$2=；

(2)比较Si与52的大小;

(3)现有一面积为25的正方形，其周长与图1中的长方形周长相等，求a的值.

24.(本小题10分)

如图，矩形4BCD中，AB=13,4。=6.点E是CD上的动点，以4E为直径的。。与48交于点F,过点F作

FG1BE于点G.

(1)当E是CD的中点时：tan/EAB的值为

(2)在(1)的条件下，证明：FG是。。的切线;

(3)试探究：BE能否与O。相切？若能，求出此时BE的长；若不能，请说明理由.

25.(本小题10分)

已知：y关于久的函数y=(a-2)x2+(a+l)x+b.

(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a=46,贝布的值是

(2)如图，若函数的图象为抛物线，与支轴有两个公共点4(-2,0),5(4,0),并与动直线八x=m(0<m<

4)交于点P,连接PA,PB,PC,BC,其中24交y轴于点。，交BC于点E.设△PBE的面积为ACDE的面

积为52.

①当点P为抛物线顶点时，求AP8C的面积；

②探究直线I在运动过程中，Si-Sz是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：俯视图有3列，从左到右小正方形的个数是2,1,1,

故选：D.

从上往下看，看到的平面图形就是俯视图，选择正确选项即可.

本题主要考查了简单组合体的三视图的知识，俯视图是从上往下看得到的平面图形.

2.【答案】B

【解析】解：0.000000023=2.3X10-8.

故选:B.

根据科学记数法的记数规则判断正误即可.

本题考查科学记数法，掌握科学记数法的记数规则是本题的关键.

3.【答案】D

【解析】W：%-1>o,

•,.%>1,

故选：D.

移项即可得出答案.

本题考查不等式的解集，解题的关键是正确理解不等式的解的概念，本题属于基础题型.

4.【答案】B

【解析】解：由示意图可知：ADOA和ADBE都是直角三角形，

•••N。+AADO=90°,乙DEB+乙4D。=90°,

Z.DEB=Z.O,

故选：B.

根据直角三角形的性质可知：4。与乙4。。互余，NDEB与乙4D。互余，根据同角的余角相等可得结论.

本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键.

5.【答案】C

—2+/22—4xlxf—4^

【解析】解：•••关于X的一元二次方程的根为尤=Z2X1,

•'­a=1,b=2,c=—4,

・・・这个方程是久2+2%-4=0,

故选：c.

根据解一元二次方程-公式法，即可解答.

本题考查了解一元二次方程-公式法，一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程-公式法是解题的关

键.

6.【答案】C

【解析】解：由题可知：^BAC=90°,41=30。，

a//b,

Z1=/.ABC=30°,

又知N4BC+42=90°,

故N2=90°-30°=60°.

故选：C.

根据平行线的性质与三角形的内角和为180。进行解题即可.

本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.

7.【答案】A

【解析】解:从4条线段中任意选3条线段的所有结果为1、1、2；1、1、2；1、2、2；1、2、2,共有4种

等可能的结果，

其中这三条线段能够组成等腰三角形的结果数为2种，

所有这三条线段能够组成等腰三角形的概率=1=1

故选：A.

利用完全列举法展示所有4种等可能的结果，然后根据等腰三角形的判定方法和概率公式求解.

本题考查了列表法与树状图法：利用完全列举法展示所有可能的结果.也考查了三角形三边的关系和等腰

三角形的判定.

8.【答案】D

【解析】解：4、(帅3)2=解/,故此选项错误；

B、a4a=a3,故此选项错误；

C、a2-a4=a6,故此选项错误；

D、(-a2)3=—a6,正确.

故选：D.

直接利用积的乘方运算法则以及同底数幕的乘除运算法则分别计算得出答案.

此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幕的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

9.【答案】D

【解析】解：•••四边形2BCD是矩形，对角线ZC与BD相交于点0,

AABC=90°,OA=OC=^1AC,OB=OD=a1BD,^AC=BD,

OA=OB9

•・•乙ABD=60°,

-，•△AOB是等边三角形，

1

・•.AB=0A=OC=^AC,

AC=2AB,

•••AE18。于点E,

E为。B的中点，

・；F是。C的中点，EF=273,

BC=2,EF=2X2/3=伞历，

AD=BC=4<3,

2222

•••BC=y]AC-AB=V(2AB}-AB=E1AB,

：.=4<3,

AB=CD=4,

•••AD+BC+AB+CD=4<3+4r+4+4=873+8,

矩形/BCD的周长是8c+8,

故选：D.

由矩形的性质得NABC=90。，OA=OB,而4180=60。，则△NOB是等边三角形，所以4B=。力=。。=

\AC,因为4E1B0于点E,所以E为。B的中点，而产是。。的中点，则BC=2EF=4，百，则勾股定理得

BC=<AC2-AB2=s/lAB,则CAB=4，W,AB=4,即可求得矩形2BCD的周长是+8,于是得

到问题的答案.

此题重点考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明A40B是等边三角形是解题

的关键.

10.【答案】C

【解析】解：过点4，B分别作力Dlx轴于D,BE,久轴于E,如图所示:

•••AB=BC,

•­•BE是ATWC的中位线，

AD=2BE,

设BE=3贝以W=2t,

对于y=a1+b，当丫=力时，％=F，当y=2t:时，x=

点Z(~~~,21),点B,t),

,・•点A,B在反比例函数y=(的图象上,

jQ,2t—bt—b

・••k=2t----=t------，

aa

•••b=3t,

对于y=a%+b，当y=0时，x=_*,

•••点C的坐标为(一，,0),

•**oc=—,

a

•■•ACMC的面积为8,

18

2-

1

即XX-8

2-2t

.，t-bt2-bt-o-+8a16

:.k=t-----=-------=-------=—•

dClCL3

故选：C.

过点A,B分别作4D1无轴于。，BE1无轴于E,先证BE是△ADC的中位线，从而得4D=28E,设BE=

t,贝必D=2t,然后求出点4(胃,2t),点B(—,t),进而得k=2t•『=[•?,贝帕=33再求出点

C(--,0),根据△。4。的面积为8得频(一与*21=8,则尻=—8a,将b=3t代入得t?=—到由此根据

k=八史可得出k的值.

a

此题主要考查了一次函数与反比例函数的图象，理解函数图象上的点满足函数的表达式，满足函数表达式

的点都在函数的图象上是解决问题的关键.

11.【答案】X?-2且刀71

【解析】解：根据题意得：久+220且x-140,

解得：x>一2且x*1,

故答案为：*2—2且x力1.

利用分式和二次根式有意义的条件确定关于x的不等式，从而确定答案.

此题考查的是二次根式有意义的条件，掌握其条件是解决此题的关键.

12.【答案】—12

【解析】解：:a,b互为相反数，c,d互为倒数，小的绝对值为2,

a+b—0,cd=1,m2=4,

a+b—2m2—4cd

=0-2x4-4xl

=0—8—4

=-12,

故答案为：-12.

根据a,b互为相反数，c,d互为倒数，机的绝对值为2,可以得到a+b=0,cd=1,m2=4,然后代入

所求式子计算即可.

本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

13.【答案】19

【解析】解：观察统计表可知：共12名队员，中位数是第6,7个人平均年龄，因而中位数是19岁.

故答案为：19.

根据中位数的定义求解.

本题考查了中位数.中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个

数的平均数），叫做这组数据的中位数.

14.【答案】18

【解析】解：V=22=乙COD=LAOB,

UDUAD

・•.△CODs〉AOB,

AB：CD=3,

CD=6cm,

AB=6x3=18（cm）,

故答案为：18.

根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长.

本题考查相似三角形的应用，求出AB：CD=3是解答本题的关键.

15.【答案】1cm

【解析】解：CE_L4D，即N4EC=90。，

AE在以AC为直径的圆上，

如图，取4C的中点M,以4c为直径作圆M,交AB于点、N,连接BM,交圆M于点E',

.•.点E在OM的CN上（不含点C、可含点N）,

.­•BE最短时，即为点E位于连接与OM的交点E'处，

•••Z-ACB=90°,AC—8cm,BC—3cm

AM=CM=ME'=4cm,

在RtABCM中，BM=7cM2+8c2=5cm,

.­.BE长度的最小值BE'=BM-ME'=5-4=1cm,

故答案为：1cm.

由乙4EC=90。得E在以AC为直径的圆上，取力C的中点M,以4C为直径作圆M,交4B于点N,连接BM,交

圆M于点E',则点E在OM的CN上（不含点C、可含点N）,从而得到BE最短时，即为点E位于连接BM与O

M的交点E'处，再由勾股定理求出BM,即可得到结论.

本题主要考查圆周角定理、勾股定理等知识点，根据题意得出BE最短时，即为点E位于连接8M与。M的

交点E'处是解题的关键.

16.【答案】解：©)2+2sin45°-(72-1)°-V27

V+2X年一1一3

=鼻7^—1-3

4

【解析】首先计算乘方、零指数塞、开立方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计

算，求出算式的值即可.

此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高

级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从

左到右的顺序进行.

17.【答案】解：原式=产+1乂*”—七］•目

L（x-1）2x-lJ3

_1、x—1

一~•―

=--x-•-x-—-1

x-13

X

当久=—3时，原式==—1.

【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把第的值代入计算即可.

本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

18.【答案】6020

【解析】解：（1）由题意得，爪=15+券=60.

阅读3小时的人数为60-10-15-10-5=20（名）.

故答案为：60；20.

补全条形统计图如图一所示.

(2)1800x2°啜+5=1050(名).

.•・估计该校学生课外阅读时间不低于3小时的人数约1050名.

(1)由扇形统计图可得“2小时”的百分比，用条形统计图中“2小时”的人数除以扇形统计图中“2小时”

的百分比可得税的值；用zn的值分别减去1,2,4,5小时的人数，即可得阅读3小时的人数，再补全条形

统计图即可.

(2)根据用样本估计总体，用1800乘以样本中3,4,5小时的人数所占的百分比之和，即可得出答案.

本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体是解答本题

的关键.

19.【答案】证明：•••四边形4BCD是平行四边形

AB//DC,AB=DC(平行四边形的对边平行且相等).

"EM=NCFM(两直线平行，内错角相等).

BE=DF,

・•.AB+BE=CD+DF,即AE=CF.

在△%而和△CFM中，

\LAEM=Z.CMF

^AEM=Z.CFM.

AE=CF

【解析】直接利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定方法分析得出答案.

此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定等知识，正确掌握相关性质是解题关键.

20.【答案】解：（1）如图所示:

A

(2)•••MN垂直平分48,

DA=DB,

vAD=AE,/,ACB=90°,

•••CD=CE,

AD4-DC+CE+AE

=2BD+2CD

=2BC

=12,

••.△ADE的周长为12.

【解析】（1）根据线段的垂直平分线的基本作法作图;

（2）根据线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的性质求解.

本题考查了基本作图，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键.

21.【答案】解：如图：过点/作AE1CD,垂足为E,过点8作LCD,垂足为F,

设CF=xkm,

.・.CE=CF+EF=(%+2)km,

在中，^BCF=45°,

.・.BF—CF•tan45°=%(/cm),

在ACE中，Z.ACE=30°,

AE=CE•tan30°=—(%+2)fcm»

/3「、

•,•%=—(z%+2)，

解得：x=V-3+1,

・•.AE=BF=(V-3+

AC=2AE=(2<3+2)km,

答：A,C两点之间的距离是(2+2，3)/OTI.

【解析】过点4作ZE1CD,垂足为E,过点B作BF1CD,垂足为F,根据题意可得：AE=BF,AB=

EF=2km,然后设CF=K/OTI,贝!]CE=(久+2)km,△CBF^RtAACE^,利用锐角三角函数

的定义求出BF和AE的长，最后列出关于x的方程进行计算，即可解答.

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解

题的关键.

22.【答案】解：(1)•••点2(3,爪)在一次函数y=1式的图象上,

4

m=-X3=4.

二点4的坐标为(3,4).

・••反比例函数y=勺勺图象经过点4(3,4),

•••々=3X4=12.

・••反比例函数的解析式为y=y.

(2)过4点作y轴的垂线，垂足为点H,

・•・4(3,4),

则4H=3,0H=4.

由勾股定理，得0A=7AH2+。“2=5,

由图象的对称性，可知。B=。4=5.

又•••AC1BC,

0C=0A=5.

C点的坐标为(5,0).

【解析】(1)先求出4点坐标，再代入反比例函数解析式即可.

(2)根据反比例函数的对称性可求出48的长，再由AC18C并利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半，可求得OC的长，进而解决问题.

本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，熟知反比例函数和一次函数的对称性是解题的关键.

23.【答案】m2+8m+7m2+6m+8

【解析】解：(l)Si=(m+l)(m+7)=m2+8m+7,

2

S2=(m+2)(m+4)=m+6m+8,

故答案为：m2+8m+7,m2+6m+8；

22

(2)Si-S2=m+8m+7—(m+6m+8)=2m—1,

・・•TH为正整数，

2m—1>1,

**•S]—S2>0,即Si>s2；

(3)因为图1中长方形的周长为2(zn+7+m+l)=4m+16,

所以正方形的边长为J(4m+16)=m+4；

q

依题意得(m+4)2=25,

解得根1=1,m2=-9,

m为正整数，

m=-9不合题意，舍去，

答：m的值为1.

(1)根据多项式乘多项式的运算法则计算即可；

(2)用作差法比较即可；

(3)先求出图1中长方形的周长，即可求出正方形的边长，再根据正方形的面积公式计算即可求出小的值.

本题考查了多项式乘多项式，整式的加减运算，解一元二次方程，熟练掌握这些知识点是解题的关键.

24.【答案】||

【解析】(1)解：,•・四边形4BCD是矩形，

.­•4D=90°,CD//AB,CD=AB=13,

•••Z.EAB=Z-DEA,

•••E是CD的中点，

113

・•.DE=^CD=y,

,AD612

■■■tanzDFX=族=亘=许

2

故答案为：!|.

(2)证明：连接OF,

又CE=DE,

•••△4DEWBCE(S/S),

AE=BE,

•••乙EAB=Z-EBA.

OF=OA,

・•.Z.OAF=Z-OFA,

Z.OFA=Z.EBA.

OF//EB.

•・•FG1BE,

・•・FG1OF,

•・.FG是O。的切线.

⑶解：若BE能与O。相切，由4E是O。的直径，则2E1BE,AAEB=90°.

设DE=x,则EC=13-x.

由勾股定理得：AE2+EB2=AB2,

即(36+x2)+[(13-x)2+36]=132,

整理得-13X+36=0,

解得：—4,x2—9,

DE=4或9,

当DE=4时，CE=9,BE=VCF2+BC2=V92+62=3713,

当DE=9时，CE=4,BE=VCE2+BC2=V42+62=2AA13，

••.BE能与。。相切，止匕时BE=或3，H.

(1)可得NEAB=^DEA,求出tan/DEA的值即可；

(2)连接。尸，证明BCE(SAS),得出AE=BE,则N£;4B=NEBA证出。F//EB.可得出FG1OF,

则结论得证；

⑶先假设BE能与O。相切，则即N4EB=90。.设OE的长为》,然后用x表示出CE的长，根据勾

股定理可得出一个关于x的一元二次方程，若BE能与。。相切，那么方程的解即为DE的长；若方程无解,

则说明BE不可能与。。相切.

本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、切线的判

定、解直角三角形的应用等知识，熟练掌握切线判定与性质是解题的关键.

25.【答案】解：(1)0或2或一J；

(2)①如图，设直线/与BC交于点尸，抛物线过4(一2,0),5(4,0),

根据题意得罂

解得

・•・抛物线的解析式为y=-/+2%+8,

当汽=0时，y=8,

C(0,8),

•・•y=-产+2%+8=-(％-I/+9,点P为抛物线顶点，

・•・P(L9),

•••8(4,0),C(0,8),

・•.直线的解析式为y=—2%+8,

•••F(l,6),

.・.P/7=9—6=3,

的面积=-PF=|x4x3=6；

②Si-S2存在最大值，

理由：如图，设直线％=m交%轴于"，

由①得，OB=4,AO=2,AB=6,OC=8,AH=2+m,P(m,—m2+2m+8),

••・PH=-m2+2m+8,

OD//PH,

AAODS^AHP,

AO_OP

AH一丽’

2_OD

2+m—m2+2m+8,

・•.OD=8—2m,

6(-m2+2m+8)2(8-2m)4x8__4..16

cc_ccco2to8m22

•••Sr-S2=SNAB-^LAOD-S^OBC=--------2-------------------2------------2-=+=-3(m--)+

v