2024年广东深圳市高三二模高考数学模拟试卷试题（含答案）

试卷类型：A

2024年深圳市高三年级第二次调研考试

数学

2024.4

本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形

码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按

以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知〃为正整数,且“2>2”,则

A.7i=lB.n=2C.〃=3D.〃三4

2.已知正方体ABC。-A4G。，过点A且以DB1为法向量的平面为a,则a截该正方体所得截面的形

状为

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

3.对于任意集合7，N,下列关系正确的是

A.M\瓯NN=M\NB.瘠N）=（〃"加儿（%NN）

C.MNN=M\ND.瘠N（/N）=（MM&NN）

4.已知a>0,且则函数y=log。1x+4］的图象一定经过

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D.三、四象限

2-

5.已知z=----,其中i为虚数单位，则z・（z-l）=

1+i'7

A.1+iB.1—iC.—1+iD.—1—i

6、已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这

六名同学获得的名次情况可能有

A.72种B.96种C.144种D.288种

22

P是椭圆：+多=〃上一点，耳、工是的两个焦点，点在

7.C+1(>/?>0)CPFXPF2=0,0/々PB

ab

的平分线上，。为原点，OQ//PF.,且|OQ|=〃.则。的离心率为

£A/6

A.2B.C.VD.

8.设函数/(x)=x+/,g(x)=x+lnx,若存在%，/，使得/(%)=8(兀2)，则上一百的最小值为

1

A.-B.1C.2D.e

e

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知加，〃是异面直线，mcza,nu§,那么

A.当m_L/?,或〃_Le时，aVP

B.当相〃/?,且〃〃a时，a//P

C.当a_L/?时，m±/?,或〃J_a

D.当a,夕不平行时，冽与夕不平行，且〃与a不平行

10,已知函数/(x)=sinG%+acosGX(xeR,ct)>0)的最大值为2,其部分图象如图所示，则

B.函数/I为偶函数

C.满足条件的正实数0,存在且唯一D.了(%)是周期函数，且最小正周期为万

11.设函数/(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数y=/(x)的图

象与圆(工一。2+(y+"2=2/2(.>0)的公共点个数可以是

A.1个B.2个C.3个D.4个

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.己知样本X],x2,%3的平均数为2，方差为1，则X；,后，后的平均数为.

13.已知圆锥的内切球半径为1,底面半径为四，则该圆锥的表面积为.

注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球.

14.已知△ABC中，tan—=3tan—,双曲线E以2,C为焦点，且经过点4则E的两条渐近线的夹角

22

AC

为；tan—+tan—的取值范围为.

-------------22-------------

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

如图，三棱柱ABC—a与G中，侧面BB1GC_1_底面4BC,且AB=AC,.

(1)证明：_L平面/2C；

(2)若A4,=3C=2,ZBAC=90°,求平面与平面夹角的余弦值.

16.(15分)

已知函数〃%)=(依+1)/,/⑺是)(力的导函数,且尸(x)—〃x)=2".

(1)若曲线y=/(x)在x=0处的切线为y=Ax+Z?,求左，6的值；

(2)在⑴的条件下，证明：f[x}^kx+b.

17.(15分)

某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工

厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件

混合放在一起，则合格品率为97%.

(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X,

求X的分布列和数学期望；

(2)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标.已知在甲工厂提高质量指标

的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业

把零件交给甲工厂生产的概率.

设事件4="甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件8="该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知

O<P(B)<1,证明：P(A⑻〉同.

18.(17分)

设抛物线C：x2^2py(p>0),直线/：y=而+2交C于/,8两点.过原点。作/的垂线，交直线

y=一2于点〃；对任意左eH,直线/M,AB,3M的斜率成等差数列.

(1)求C的方程；

(2)若直线且/'与C相切于点N,证明：的面积不小于20.

19.(17分)

无穷数列%,%,…，明，…的定义如下：如果〃是偶数，就对〃尽可能多次地除以2,直到得出一个奇

数，这个奇数就是生；如果"是奇数，就对3〃+1尽可能多次地除以2,直到得出一个奇数，这个奇数就是

(1)写出这个数列的前7项；

(2)如果q=加且。根=〃，求冽，〃的值；

(3)记为=/(〃)，neN*，求一个正整数几，满足几))<</(/(/(n))).

20244/

2024年深圳市高三年级第二次调研考试

数学试题参考答案及评分标准

本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

题号12345678

答案CABDBCCB

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

题号91011

答案ABACDABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.513.8万14.|芋，+8（注：第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

证明：

（1）取8c的中点连结MA].

因为AB=AC,A1B=A1C,所以BCVA.M.

由于NM,AA/u平面A1A£4,且4知「14〃=”，

因此平面4跖4.

因为AAu平面4MA,所以

又因为AA〃耳3,所以用BLBC,

因为平面381cle_L平面48C,平面平面ABC=5C,

且ABu平面所以48,平面N8C.

因为AA〃与5,所以A&J_平面48c.

解:

（2）（法一）因为NR4c=90°,且3C=2,所以AB=AC=亚.

以AC,A4］所在直线分别为x轴，＞轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则A（0,0,2），B（V2,0,0）,C（0,^,0）,G（O,0,2）.

所以A3=（"o,—2）,AC=（0,"—2）,AG=（0,0,0b

=°,可得!石-&

m-AXBZ]=0

设平面ABC的法向量为7”=（%,%,zj,贝卜

m-4C=o%_Si=0

令4=1,则机=（后,四,1）,

n・A】B二0光2-A/2Z2=0

设平面AjBC］的法向量为〃=（九2，%，z2），则,可得

n-AG二0[%=0

令Z2=l,则〃=（四,0,1）,

m-n3715

设平面A|BC与平面ABQ夹角为。，则cos£=

m||n一&x石5

J15

所以平面ABC与平面AXBCX夹角的余弦值为?

（法二）将直三棱柱ABC-451cl补成长方体ABDC-4片口£.

连接G。，过点C作CP，G。，垂足为P,再过尸作PQLAQ,垂足为0,连接C。.

Dx

因为应)，平面CDDiG,且CPu平面CDD©,

所以BDLCP.

又因为CP，G。，由于AD，GOu平面45£>G，且BDiCQ=D,所以CP_L平面.

由于平面A5Z)G,所以45,CP.

因为C。，PQu平面CPQ,且CQPQ=Q，

所以45,平面CPQ.

因为CQu平面CPQ,

所以CQ，45.

则NCQP为平面ABC与平面的夹角或补角，

在AA3C中，由等面积法可得。。=半.

因为。。=401=拒，所以cos/CQP=^=半，

J15

因此平面\BC与平面A.BC,夹角的余弦值为二厂.

16.(15分)

解：

(1)因为/(£)=(依+1)/,所以/'(x)=(izx+a+l)e"

贝U/'(x)-/(x)=ae".

因为尸(x)—/(x)=2e"所以a=2.

则曲线y=/(%)在点％=0处的切线斜率为/'(0)=3.

又因为y(o)=i,

所以曲线y=/(x)在点x=0处的切线方程为y=3x+l,

即得左=3,b=l.

(2)证：设函数g(x)=(2x+l)e*-3x-l,XGR,

贝Ug'(x)=(2x+3)e*-3.

设g'(x)="(x),贝1J/z'(x)=e、"(2x+5),

所以，当x〉—g时，"(x)>0,g'(x)单调递增.

又因为g'(O)=O，

所以，x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增;

—g<x<0时，g'(x)<0,g(x)单调递减.

又当xW—g时，g'(x)=(2x+3)e*-3<0,

综上g(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,长。)上单调递增，

所以当x=0时，g(x)取得最小值g(0)=0,

即(2x+l)e*-3x-l20,所以,当xeR时，/(x)23x+l.

17.(15分)

解：

(1)设甲工厂试生产的这批零件有加件，乙工厂试生产的这批零件有〃件，

事件〃="混合放在一起零件来自甲工厂"，事件N="混合放在一起零件来自乙工厂”，事件。="混

合放在一起的某一零件是合格品”，

则,P(N)=^—,

m+nm+n

P（C）=P（C|M）P（V）+P（qN）P（N）=94%x—^-+98%x^—=97%

计算得3根=几.

所以P（M）="_

m+n4

X的可能取值为0,1,2,3,X~B[3^

E（X）=3x-^-,

V'44

尸用音…二叱间音

尸（X=2）=C；m号P”=3）臼拼|。专

所以,X的分布列为:

X0123

272791

p

64646464

证明：

（2）因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提

高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，

所以P（8|A）〉尸（8区）.

P（明P（附

尸（⑷P（A）

因为P（A）＞0,尸（A）〉0,

所以P（AB）P（A）＞P（AB）P（A）.

因为网可=1-P（A）,P（AB）=P（B）-P（AB）,

所以P（A0（1-P（A））＞（P（3）-P（AB））P（A）.

即得尸（AB）＞P（A）尸⑻,

所以P（AB）-P（AB）P（B）＞P（A）P（B）-P（AB）P（B）.

即P（AB）（1-P（B））＞P（B）（P（A）-P（AB））.

又因为1—P（B）=P（国,P（A）-P（AB）=P（AB）,

所以P（AB）P（B）>

因为O<P（3）<1,O<P（B）<1,

所以

P（B）P⑻

即得证尸（A⑻〉「回回.

18.（17分）

解：

（1）设点B（x2,y2）,

由题可知，当左二。时，显然有左A/+%8M=0；

当左力0时，直线（W的方程为y=—4》，点以（2匕一2）.

k

联立直线AB与C的方程得x2-2pkx-4p=0,A=4p2/+I6p>0,

所以玉+%2=2p左，玉％2=—4p，

因为直线4",AB,3M的斜率成等差数列，

所以上2+上匕=2左.

xx-2kx2-2k

^+4kr2+4_（g+4）（々一2左）+（3+4）（/一2左）_

即十一乙K,,7~,r—乙K,

xx-2kx2-2k（%—2左—2人）

化简得2（左2+2）（%+/-%=0.

将项+%2=2p左代入上式得2（左之+2）（2〃左一4左）=0,

则p=2,

所以曲线C的方程为12=4y.

（2）（法一）设直线/'：y=kx+n,联立C的方程，得f一4日—4/2=0.

由A=0,得〃=一公，点N（2左左2）,

设N8的中点为E,

因为玉+%=2般"％=3+々）+4=

2k2+2,则点后（2匕2扇+2

…21+2_2,,

因为----------=/，

2

所以点M,N,E三点共线，且点N为ME的中点，

所以面积为△4BM面积的’.

4

2k2+4

记△/〃可的面积为S,点/（2左2）到直线43区—y+2=0的距离d=:左之J

1]____,--------------------12k2+4）2

所以S='AB|xd=GJ1+左2XX+/）2-4卒2X'Q）=（左2+2）5三2后,

当左=0时，等号成立.

所以命题得证.

（法二）设直线/'：y=kx+n,联立C的方程，得d-4立—4〃=0.

由A=0,得〃=—公，点N（2猊左2）.

所以直线"N与x轴垂直.

分记△，九W的面积为S,

1%］一%21

所以S=—X\MN\x=­X|MN|x+%2)2—4演九2

224

=（左2+2产>20.

当左=0时，等号成立.

所以命题得证.

19.（17分）

解：