2024年太原市高三数学5月三模考试卷附答案解析

2024年太原市高三数学5月三模考试卷

全卷满分150分，考试时间120分钟.

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

A.-iB.iC.-1D.1

2.已知全集U=R，^={x|x|>l},5={x|log2x<l},贝=()

A.(0,1]B.[1,2)C.[-1,1]D.[-1,2)

3.数据1,5,4,3,6,5,2,6的第25百分位数为()

A.2B.2.5C.3D.4.5

4.(x+y-1)，的展开式中孙2的系数为()

A.-20B.20C.-30D.30

5.已知"3C中，』=120。,。是3C的中点，且AD=],则“BC面积的最大值()

A.V3B.2百C.1D.2

6.已知函数/(x)=asinx+cosx的图象关于直线x=—对称，则函数g(x)=sinx+acosx的图象关于

6

()

A•点对称B,点L对称C,点[至，°]对称D•点(不，对称

7.已知定义域是R的函数/(x)满足对于任意x,yeR都有/(肛+l)=/(x)/(y)—2/(x)-2>+3,

k=i]

且〃°)=2,则泵7W7gr()

6742025—2024225

A.------B.------C.------D.-----

202520266081676

8.已知点用耳分别是椭圆C的左、右焦点，P(4,3)是。上一点，△尸耳B的内切圆的圆心为/(加,1),

则椭圆C的标准方程是()

2222C.《+片=1D.工+广=1

A.——+—=1B.——+—=1

2427282152136412

二、选择题：本题共3小题，每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

1

要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知曲线C:x2+y2cosa-l（0<<z<7t）,则下列结论正确的是（）

A.曲线C可能是直线B.曲线C可能是圆

C.曲线C可能是椭圆D.曲线C可能是双曲线

10.已知为是函数/（力=》3+必+〃（加<0）的极值点，若/色齐/包乂不力超），则下列结论正确的

是（）

A./（x）的对称中心为（0,〃）B.）>/（xJ

C.2/+/=°D.玉+%>°

11.已知正方体/BCD中，E是4片的中点，点尸是线段4c上的动点，则下列结论正确的是（）

A.三棱锥8-尸的体积为定值

B.存在点尸，使得。尸人平面8。也

C.不存在点尸，使得〃平面NEF

D.不存在点尸，使得平面/£尸，平面BQE

第II卷（非选择题共90分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.抛物线y=5/的焦点坐标是.

13.已知直线/过点/（1,2,0）,且直线/的一个方向向量为而=（0,-1,1）,则坐标原点O到直线/的距离d

为.

14.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾

股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以直角三角形的斜边为边得到的正方形）.类比“赵爽弦图”，构造如图所示

的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且。F=/尸，

点尸在48上，BP=2AP,点。在血尸内（含边界）一点，^PQ=APD+PA,则2的最大值为.

2

c

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知等比数列｛叫的前〃项和为4=1,且｛S“+l｝也是等比数列.

(1)求｛4｝的通项公式；

⑵若b,,=%•log?。"]eN"),求数列也｝的前〃项和T-

16.为预防季节性流感，某市防疫部门鼓励居民接种流感疫苗.为了进一步研究此疫苗的预防效果，该

防疫部门从市民中随机抽取了1000人进行检测，其中接种疫苗的700人中有570人未感染流感，未接

种疫苗的300人中有70人感染流感.医学统计研究表明，流感的检测结果存在错检现象，即未感染者其

检测结果为阳性或感染者其检测结果为阴性.已知未感染者其检测结果为阳性的概率0.01,感染者其检

测结果为阳性的概率0.95.将上述频率近似看成概率.

(1)根据所给数据，完成以下列联表，并依据a=0.10的独立性检验，能否认为接种流感疫苗与预防流感

有关？

疫苗流感合计

感染未感染

接种

未接种

合计

(2)已知某人流感检测结果为阳性，求此人感染流感的概率(精确到0.01).

附：______Mad_bc｝_______.

(Q+6)(c+d)(Q+c)(6+d)9

a0.100.050.01

X2.7063.8416.635

3

17.如图，四棱柱48co的底面48co是平行四边形，4。，底面48c0,

AB=AXB=2AD,ZDAB=60°.

(1)求证：平面―平面4D24；

⑵求AB与平面所成角的正弦值；

⑶求平面AAXB}B与平面BBRD夹角的余弦值.

22

18.已知双曲线C:'-5=1(。>0/>0)的左、右顶点分别为A与3,点。(3,⑹在C上，且直

线/。与AD的斜率之和为0.

⑴求双曲线C的方程；

⑵过点尸(3,0)的直线与C交于M,N两点(均异于点48),直线MA与直线x=l交于点。，求

证：B,N,Q三点共线.

X

19.已知函数/(X)=—+x-iwc-k(kGR).

e

⑴若/(x)>0恒成立，求实数左的取值范围；

(2)设石户2£(°，+⑹(石<々)满足/(再)=/(X2)，证明：玉+々>2.

1.C

【分析】根据给定复数，利用复数除法及乘方运算计算即得.

【详解】(亨)2=忤竽¥=(等2=(少=-1.

l+i(l+i)(l-i)2

故选：C

2.A

【分析】先化简两个集合，利用补集和交集运算求解即可.

【详解】因为国>1,所以x>l或x<-l,所以d/={x|—14xwl}；

因为log2X<l=log22,所以0<无<2,即3={x[0<x<2}.

(2/)c5={x[0<xVl}.

4

故选：A

3.B

【分析】将数据从小到大排列，利用百分位数的定义求出答案.

【详解】将8个数据从小到大排列,得到1,2,3,4,5,5,6,6,

8x25%=2,

故选取第2个和第3个数的平均数作为第25百分位数，即2签+3=2.5.

故选：B

4.D

【分析】先把x-1看作整体写出二项式展开的通项，再根据指定项确定x-1的次数，最后根据指定项配

凑出项的系数.

【详解】因为(x-1+4的展开式通项为"C；(X-1)“'V，

当厂=2时，出现即(=C；(x-l)3犷

止匕时(x-l)3中含x的项为C；x(-1)2,

所以孙2的系数为C砥(-1)2=30.

故选：D.

5.A

【分析】利用中线得到4=。2+02一左，结合不等式得出6cV4,进而得到面积的最大值.

【详解】因为/=120。,所以在.就=两国|cos120。=-；儿，

因为4D是中线，所以而=，方+就)，AD+AC2+2AB-ACy

所以4=/+/一bczbc,当且仅当6=c时，等号成立；

“BC面积为S=L6csin/V,x4x#=6.

222

故选：A

6.D

【分析】利用函数［(x)=asinr+cosx的图象关于直线》=看对称，找到一个必要条件〃。》/图，就

可以求出°=@,从而去化简g(x)=^msinjx+工］,然后对四个选项逐一检验可得答案.

5

【详解】由函数/(xhasiru+cosr的图象关于直线x=£对称,

6

所以asinO+cosO=asin—+cos—,

即：1=a^-+—J解得Q=

因为g[工]=£lsin(工+2]=勾lsin2NO,所以选项A是错误的;

V6J3166J33

因为一工]=汉Lin化+工]=侦行3NO,所以选项B是错误的;

\3J3136J32

因为g[g[=手m[g+1浮吟片0,所以选项CM时

因为g|^]=平sin1*§=，sin%=0,所以选项D是正确的;

故选：D.

7.C

k=\]

【分析】赋值法先求出“X)的部分值，猜想出/㈤=左+2,利用裂项相消法求左"上"优+1)即可•

【详解】因为/(肛+l)=((x)/a)-2/(x)-2y+3,/(0)=2,

所以令x=y=0,则/(1)=〃0)/(0)-2/(0)+3=4-4+3=3,

令x=y=l,贝旷(2)=/(1)/■⑴一2/(1)-2+3=9-6+1=4,

令x=l,y=2,则〃3)=/(1)〃2)-2/(1)-4+3=12-6-1=5,

令x=l,y=3,则/■(4)=〃1)/(3)-2/(1)-6+3=15-6-3=6,

令x=y=2,则〃5)=〃2)/(2)-2〃2)-4+3=16-8-1=7,

所以/■(左)=左+2,/(左+1)=左+3,

%T1k=i1111

所以Z―7-r—7r=Z77；r=H1F--------------

"I"2024/(左)/(左+1)2024化+2)0+3)3x44x52026x2027

11]___1_2024

3~44~5202620273-2027-6081

6

故选：c.

8.B

【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式，结合椭圆的定义求解即得.

Y22169

【详解】依题意，设椭圆C的方程为会+v方=1伍>6>0),由尸(4,3)在c上，得号+亳=1，

显然△尸与B的内切圆与直线片亮相切，则该圆半径为1，而邑网内=；(2"+2c)J="+c,

又尸尸=L2c-3=3c,于是a=2c,b2=a2-c2=—a2,因此"+£=1,解得/=28,62=21,

1224aa

22

所以椭圆。的标准方程是工+匕=1.

2821

故选：B

【分析】因为ae(Om),由cosa的符号和取值结合对应方程的特点，结合条件逐项判断可得答案.

【详解】因为ae(0,7t),所以cosae(-l,l).

对于A,当COS(Z=0时，曲线C：尤=±1为直线，故A正确；

对于B,如果曲线C是圆，贝Ucosc=l,矛盾，故曲线C不可能是圆，故B错误；

2

V2__11

对于C,当cosce(0,l)时，曲线C可化为X+1T,且——>1,表示焦点在y轴上的椭圆，故C

COS6Z

cosa

正确；

对于D,当cosae(-1,0)时，曲线。为焦点在x轴上的双曲线，故D正确.

故选：ACD.

10.AC

【分析】禾佣/(O+x)+/(O-x)=2〃,可判断A；令分(x)=0,解得x,代入/(f)-/(再)可判断B：

利用导数判断出了=/(x)的单调性并求出极值点，结合图像分情况由/(马)=/(占)(X尸X2)解出工2,可

7

得2匹+迎=0可判断C；利用C选项，若xi=t,超=士了

，得出匹+/<0可判断D.

【详角军】对于A,因为/"(O+x)+/(O-x)=+/MX+〃一X3+〃=2〃，

所以/'(x)的对称中心为(0,〃)，故A正确;

对于B,r(x)=3x2+m,令/,(x)=0,解得x=±.—m

~T

当X1=T时,

f=-x：-mxl+n-x1-mxx-n

f(一再)一/(再)=t：-+〃_%；_mxx-n

c/2\一m(一m\4m/-m

―_玉(石+m)-+mJ—?｛丁，

因为加<0,所以普■疗<0,可得

故B错误；

对于C,令/'(6=0,解得工=±行，

当x>行或时，r(x)>0,y=/(x)是单调递增函数，

当一行时，/'(“<0,y='(x)是单调递减函数'

所以y=/(x)在x=-行时有极大值，在》=行时有极小值，

如下图，当网=一1时，若/优)=/(西)口尸乙)，贝IJ

=X+mXmXn

/(^2)^l~^2~2~-Ri—12+11%2+%；+加$0，

8

可得x；+占超+尤；+加=0,即++0,解得/=2A/13相

所以2国+工2=0；

当王=彳时，如下图，若/6）=/（再）卜尸制,则

X-=X3mX+Z2-mXn=-X

f(l)/(^2)l+l-%22~^12)卜；+再工2+工；+加卜0,

可得％；+xxx2+xf+m=0,即

所以2占+%2=0；

对于D,由C选项可知,

2y-3m

所以再+%2=三＜0故D错误.

3

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用导数研究函数的单调性和极值点.

II.AB

【分析】建系，设/8=2,CF=2C4,可得尸（24,2-242九），对于A：利用向量可知C4〃平面8Cg,

结合转换顶点法分析判断；对于B：利用空间向量说明线面垂直；对于C：利用空间向量说明线面平行;

9

利用空间向量说明面面垂直.

【详解】如图所示，以。为坐标原点，分别为x/，z轴，建立空间直角坐标系,

不妨设43=2,则4(2,0,0),5(2,2,0),C(0,2,0),2(0,0,0),4(2,0,2),a(0,2,2),£(2,1,2),

设

设丽=2C4=(22,-22,22),2e[0,1],

贝I]而=衣+而=AC4=(2A,2-22,22),即尸(22,2-22,22),

对于选项A：因为属=(-2,0,2),砺=(0,-1,2),豆=(2,-2,2),

/、n♦BQ=-2x+2z=0

设平面BQE的法向量行=(x/，z),则一一1，

n-BE=—y+2z=0

令X=l,则y=2,z=l,可得拓=(1,2,1),

XLILlll

因为〃=且C4a平面3GE，则C4〃平面3GE,

可知点尸到平面8GE的距离为定值，即三棱锥F-BGE的高为定值，

又因为△BGE的面积为定值，

所以三棱锥B-C.EF的体积VB_CiEF=VF_BCiE为定值，故A正确；

对于选项B：因为砺=(22,2-2九22),平面BQ『的法向量拓=(1,2,1),

若砺〃K则牛=^^=中，解得4=；,

UUT]UU1T

即当时，。尸」平面5。也，故B正确；

对于选项C：因为赤=(2,0,0)，方=(2^-2,2-22,22),ZE=(0,1,2),

玩•箫=(24-2)a+(2-22)6+2/lc=0

设平面/跖的法向量成=(a,6,c),则，

m-AE=6+2c=0

10

令c=2—1,则=—2（4—l）,。=_（3%—2）,可得加=（—（32—2）,—2（4—1）,4—1）,

—►2

令C5•比=—2（34—2）=0,解得;1=§,

UUJT2UU1T

即当。尸=§C4时，BC〃平面/跖，故C错误；

1LL5

对于选项D：令”.加=-62+5=0，解得力=工，

6

UUT5UU1T

即当时，平面/所，平面8。也，故D错误；

6

故选：AB.

【点睛】方法点睛：利用空间向量求解探索性问题的策略

（1）假设题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中的一部分结论.

（2）在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题

转化为“点的坐标（或参数）是否有解，是否有规定范围内的解”等.若由此推导出矛盾，则否定假设；否

则，给出肯定结论.

12.尸（0,1）

【详解】抛物线y=X即x2=4y,.-.p=2,^=l,所以焦点坐标为（0,1）.

13.V3

【分析】根据空间中点到直线距离公式计算即可.

【详解】由题知，直线/过点2,0）,且直线/的方向向量为沅=（0,T1）,点。（0,0,0）,

所以尿=（-1,-2,0）,

所以点。（0,0,0）到/的距离为

故答案为：百.

14.3

2

DP7

【分析】先利用向量线性运算得到而=4而，作出辅助线，得到。尸//4H,且凭=：，从而得到答

案.

【详解】PQ=APD+PA^PQ-PA=APD^AQ=APDf

11

取DE的中点H,连接///,

因为BD=DE,故BD=2HD,

又BP=2AP,所以BP处=B把D=2工故DPHAH,且DP2

ABBH3AH3

3

所以人的最大值为万，此时点。与点H重合.

3

故答案为：-

15.⑴%=2"T("eN*)(2)7；=(〃-l)-2n+l

【分析】⑴根据｛$,+1｝是等比数列得6+以=(耳+1)(品+1)，利用等比数列求和公式基本量运算求

得《=2,即可求出等比数列通项公式;

(2)利用对数运算得然后利用错位相减法求和即可.

【详解】(1)设数列｛4｝的公比为心

由｛5+1｝是等比数列得(邑+1)'=(H+1)(S3+1),

；.伍+2)2=2x(/+q+2),=2或4=0(舍去)，

=2"一(〃eN)

(2)由⑴得。“=2"T,所以“=ajlog2。用="2["eN*),

2n-1

:.Tn=6|+4+…+或=1x2°+2x2+3x2+•••+«-2,

.-.27；=lx2+2x22+3x23+---+w-2n,

两式相减得一9=1+2+2?+…+2"T-〃-2"=__^n,2"=-1+(1-«)-2",

.U=(I>2V1.

16.(1)表格见解析，能(2)0.96

【分析】(1)根据所给数据完善列联表，计算出卡方，即可判断；

12

（2）设/="某人流感检测结果为阳性"，B="此人感染流感”，由全概率公式求出尸（，），再由条件概

率公式求出尸（8M）.

【详解】（1）由题意得

疫苗流感合计

感染未感染

接种130570700

未接种70230300

合计2008001000

零假设为〃o：接种流感疫苗与感染流感无关,

根据列联表中的数据，经计算得到

1000x（570x70-130x230）2125

石^2.976>2.706=x,

700x300x800x200010

根据小概率值a=0.10的独立性检验，推断不成立,

即认为接种流感疫苗与感染流感有关，此推断犯错误的概率不超过0.10；

接种流感疫苗中未感染流感和感染流感的频率分别为57天和1苗3，

未接种流感疫苗中未感染流感和感染流感的频率分别为三和点，

根据频率稳定于概率的原理，可以认为接种疫苗时未感染流感的概率大；

（2）设/="某人流感检测结果为阳性"，B="此人感染流感”，

由题意得尸（3）=0.2,尸例）=0.8,P（A\B）=0.95,尸（小町=0.01,

=0.2x0.95=0.19,

P（A）=P（B）P（A15）+15）=0.2x0.95+0.8x0.01=0.198,

0.19

»0.96

0.198

即某人流感检测结果为阳性，则此人感染流感的概率约为0.96.

13

17.(1)证明见解析(2)：(3)运

47

【分析】(1)先分别得到12。和4。，8。，进而得到5。/平面问题得证；

(2)先建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量求法求解即可；

(3)求出平面//出田的法向量，由面面角的向量求法求解即可.

【详解】(1)证明：••,同。，底面48CZ),40,3。(=底面/3。£),，4。_1/。，4。_12。

1AT)

在△/即中，AB=2AD,ZDAB=60°,则cos/DA8=-=——,

2AB

/ADB=90°,ADLBD,

AD1BD,AtD1BD,/。0：平面4。24，4。u平面/。24，ADcAR=D,

BD1平面ADD.A,，且5。u平面BDDtBt,

平面BDD艮1平面ADD^；

(2)由(1)知4D_L/DAXD1BD,ADLBD,

以。为原点，DA,DB,所在直线分别为x轴、V轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

设AD=1,则。(0,0,0),/(1,0,0),8(0,0,0),A,(0,0,1),Dt(-1,0,1),

(-1,73,1),C(-l，V3,0),

设而=a，%zj是平面8DD4的一个法向量，

则收吧」舟=0,

mJ_DDp[_项+Z]=0,

取Z1=1,则再=1,%=0,/.m-(1,0,1),

•.•布=卜2,"1),

14

m-AB_-1-1

/.cos玩,/片x

I利|福厂也X说一4

与平面明9所成角的正弦值为%

（3）设元=（%2,%,Z2）是平面AAXBXB的一个法向量,

nJ_AA,,{~x2+z2=°，

则一—rn

nJ_AB,[-%+73y2=0,

取％=1,贝U/=z2=瓜n=（百,1,百），

一一m-n273V42

cosJTIn—■；—r.~7

9同同V2xV7-7

平面44向5与平面瓦?QQ夹角的余弦值为31.

7

18.（1）：-/=］（2）证明见解析

【分析】（1）由题意点。（3,3）在C上，且直线AD与8。的斜率之和为逝，建立方程组求解即

可;

（2）B,N,Q三点共线，即证丽//丽，设出直线的方程联立双曲线的方程，由韦达定理，求出的

坐标，由坐标判断丽//殖，证明即可.

2二=1

a2b2[a2=3x2

【详解】（1）由题意得工（一见0）,8（氏0）,

、3+Q3—a

（2）由（1）得4--,0）,8（百⑼,

设直线MV的方程为x=q+3（f片土石）,可卜,为），贝1JBN=卜一百,为卜

x=卬+3

由得（/一3）/+6夕+6=0,;.必+%=--r-^--^2=^—7>

---y=1t-3t-5

[3

直线N”的方程为了=1%1+6），令》=1，则〉=黄石（1+"）‘

5

x1+V3

15

Ji

%]+5/3y?=

+3

1=2°仄(夕i%+必+%)=6t6t

[("2+3-0)，(1+6)%+(百-1)(以+3+VJ)T=0,

2

石+G再+A/3--3?-3

:.BN//BQ,所以8,N,0三点共线.

【分析】(1)根据给定的函数，