2025优化设计一轮课时规范练29　利用导数研究函数的零点

课时规范练29利用导数研究函数的零点高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI20251234561.(2024·山东济南模拟)已知函数f(x)=x3+3ax-2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若函数f(x)只有一个零点,求实数a的取值范围.1234561234561234562.(2024·广东江门模拟)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,其中a≥1.(1)若a=1,求f(x)的单调区间;(2)讨论函数f(x)的零点个数.123456解

(1)函数定义域为R,当a=1时,f(x)=e2x-ex-x,所以f'(x)=2e2x-ex-1=(2ex+1)(ex-1).当x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)>0,则函数f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,即函数f(x)的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞).(2)当a=1时,由(1)知,f(x)min=f(0)=0,因此函数f(x)只有1个零点.当a>1时,f'(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1),由f'(x)=0,得x=-ln

a,当x<-ln

a时,f'(x)<0,当x>-ln

a时,f'(x)>0,因此函数f(x)在(-∞,-ln

a)内单调递减,在(-ln

a,+∞)内单调递增,当x=-ln

a时,于是函数f(x)无零点.故当a=1时,函数f(x)有1个零点,当a>1时,函数f(x)无零点.1234563.(2024·福建宁德模拟)已知函数f(x)=ex-4sinx,其中e为自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程;(2)证明:f(x)在[0,+∞)内有两个零点.123456(1)解

因为f(x)=ex-4sin

x,所以f'(x)=ex-4cos

x,则f(0)=1,f'(0)=-3,故所求切线方程为y-1=-3(x-0),即3x+y-1=0.1234564.(2024·陕西渭南模拟)已知函数f(x)=xe2x-ax3(a∈R).(1)求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当a≥16时,证明:函数f(x)在(0,+∞)内有两个不同的零点.123456(1)解

因为f(x)=xe2x-ax3,则f'(x)=(2x+1)e2x-3ax2,所以f(1)=e2-a,f'(1)=3e2-3a,因此曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e2-a)=(3e2-3a)(x-1),即y=3(e2-a)x-2(e2-a).123456x(0,1)1(1,+∞)g'(x)-0+g(x)↘极小值e2↗1234565.(2024·辽宁锦州模拟)已知函数f(x)=x3-alnx.(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;(2)函数f(x)在区间(1,e]上存在两个不同的零点,求实数a的取值范围.1234561234561234566.(2024·北京海淀模拟)已知函数f(x)=alnx+x2-(2a+1)x,其中a>0.(1)当a=1时,求函数f(x)的极小值;(2)求函数f(