北京市某中学2024届中考数学模试卷含解析

北京市二中学教育集团重点中学2024届中考数学模试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.-3的相反数是（）

11

A.-B.3C.——D.-3

33

2.共享单车已经成为城市公共交通的重要组成部分,某共享单车公司经过调查获得关于共享单车租用行驶时间的数据,

并由此制定了新的收费标准：每次租用单车行驶a小时及以内，免费骑行；超过a小时后，每半小时收费1元，这样

可保证不少于50%的骑行是免费的.制定这一标准中的a的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

3.某校今年共毕业生297人，其中女生人数为男生人数的65%,则该校今年的女毕业生有（）

A.180人B.117人C.215人D.257人

4.如图，甲、乙、丙图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体

的个数.其中主视图相同的是（）

A.仅有甲和乙相同B.仅有甲和丙相同

C.仅有乙和丙相同D.甲、乙、丙都相同

5.如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180。得到ACDA,点A,B,C的坐标分别为（-5,2）,（-

2,-2）,（5,-2）,则点D的坐标为（）

A.(2,2)B.(2,-2)C.(2,5)D.(-2,5)

6.某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做

件才能按时交货，则x应满足的方程为（）

720720「720=720

A.----------=5B.

48+x484848+x

720720「720720仁

C.---------=5D.

48x4848+x

7.下列二次根式中，是最简二次根式的是（)

8.已知抛物线y=x?+bx+c的对称轴为x=2,若关于x的一元二次方程-x?-bx-c=0在-1VXV3的范围内有两个相

等的实数根，则c的取值范围是（）

A.c=4B.-5<c<4C.-5VcV3或c=4D.-5VcW3或c=4

9.由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）

11.若X。4.X-4=O,则3/X-2产-6（x+的值为（）

A.-6B.6C.18D.30

12.将抛物线i，=-2x2+7向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（）

A.y=-2（x+I）2B.y=-2（x+I）2+2

C.y=-2（x-I）2+2D.y=-2（x-I）2+1

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，。。的半径0。，弦A5于点C,连结4。并延长交。。于点E,连结EC.若45=8,CD=2,则EC的长

为.

14.如图，在菱形ABC。中，AB^BD.点E、尸分另lj在AB、AO上，且AE=。尸.连接3尸与OE相交于点G,连

接CG与30相交于点77.下列结论：①△AEO丝△£）尸&②S四边形BCDG=且CG?；③若A歹=2。尸，贝！IBG=6GF.其

15.分解因式：m2n-2mn+n=.

16.图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一

种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则Nl+N2+N3+N4+N5=度.

17.菱形的两条对角线长分别是方程14%+48=0的两实根，则菱形的面积为.

k+1

18.已知双曲线y=——经过点（一1,2）,那么k的值等于.

x

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图1,是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘的四个扇形面积相等，分别有数字1,2,3,1.如图2,

正方形ABCD顶点处各有一个圈.跳圈游戏的规则为：游戏者每转动转盘一次，当转盘停止运动时，指针所落扇形中

的数字是几（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘），就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长.

如：若从图A起跳，第一次指针所落扇形中的数字是3,就顺时针连线跳3个边长，落到圈D；若第二次指针所落扇

形中的数字是2,就从D开始顺时针续跳2个边长，落到圈B；……设游戏者从圈A起跳.

（1）嘉嘉随机转一次转盘，求落回到圈A的概率Pi；

（2）琪琪随机转两次转盘，用列表法求最后落回到圈A的概率P2,并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗？

A

图1图2

20.（6分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟

通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统

计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

⑴这次统计共抽查了名学生，最喜欢用电话沟通的所对应扇形的圆心角是一°；

⑵将条形统计图补充完整；

（3）运用这次的调查结果估计1200名学生中最喜欢用QQ进行沟通的学生有多少名？

（4）甲、乙两名同学从微信，QQ,电话三种沟通方式中随机选了一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求

出甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率.

21.（6分）某班为确定参加学校投篮比赛的任选，在A、B两位投篮高手间进行了6次投篮比赛，每人每次投10个

球，将他们每次投中的个数绘制成如图所示的折线统计图.

（1）根据图中所给信息填写下表：

投中个数统计平均数中位数众数

A8

—----------:—

B77

（2）如果这个班只能在A、B之间选派一名学生参赛，从投篮稳定性考虑应该选派谁？请你利用学过的统计量对问题

进行分析说明.

22.(8分)问题探究

(1)如图①，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,如果BC边上存在点P,使ZkAPD为等腰三角形，那么请画出满足

条件的一个等腰三角形小APD,并求出此时BP的长；

(2)如图②，在△ABC中，NABC=60。，BC=12,AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6

时，BC边上存在一点Q,使NEQF=90。，求此时BQ的长；

问题解决

(3)有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE,山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用

来监视边AB,现只要使NAMB大约为60。，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知NA=NE=ND=90。，AB=270m,

AE=400m,ED=285m,CD=340m,问在线段CD上是否存在点M,使NAMB=60。？若存在，请求出符合条件的DM

的长，若不存在，请说明理由.

23.(8分)某服装店用44000元购进一批某品牌的文化衫若干件，很快售完，该店又用6300元钱购进第二批这种文化

衫，所进的件数比第一批多40%,每件文化衫的进价比第一批每件文化衫的进价多10元，请解答下列问题：

(1)求购进的第一批文化衫的件数；

(2)为了取信于顾客，在这两批文化衫的销售中，售价保持了一致.若售完这两批文化衫服装店的总利润不少于4100

元钱，那么服装店销售该品牌文化衫每件的最低售价是多少元？

24.(10分)庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡

山脚B处出发.如图，已知小山北坡的坡度，］：、《,山坡长为240米，南坡的坡角是45。.问李强以什么速度攀登

A

才能和庞亮同时到达山顶A?（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）

25.（10分）如图，直线y=-x+4与x轴交于点A,与y轴交于点5.抛物线y=-1好+&+。经过A,B两点,与x

轴的另外一个交点为C填空：b=—,c=—,点C的坐标为—.如图1,若点P是第一象限抛物线上的点，连

接。尸交直线45于点。，设点尸的横坐标为机.与。。的比值为了，求y与机的数学关系式，并求出尸。与0。

的比值的最大值.如图2,若点尸是第四象限的抛物线上的一点.连接P3与AP,当NPR4+NC5O=45。时.求△PR4

26.（12分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需要时间与原计划生产450台机

器所需时间相同.现在平均每天生产多少台机器；生产3000台机器，现在比原计划提前几天完成.

27.（12分）已知关于x的一元二次方程x2-6x+（2m+l）=0有实数根.求m的取值范围；如果方程的两个实数根为

X1，X2，K2X1X2+X1+X2>2O,求m的取值范围.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、B

【解题分析】

根据相反数的定义与方法解答.

【题目详解】

解：一3的相反数为—（—3）=3.

故选：B.

【题目点拨】

本题考查相反数的定义与求法，熟练掌握方法是关键.

2、B

【解题分析】

根据需要保证不少于50%的骑行是免费的，可得此次调查的参考统计量是此次调查所得数据的中位数.

【题目详解】

因为需要保证不少于50%的骑行是免费的，

所以制定这一标准中的a的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的中位数，

故选B.

【题目点拨】

本题考查了中位数的知识，中位数是以它在所有标志值中所处的位置确定的全体单位标志值的代表值，不受分布数列

的极大或极小值影响，从而在一定程度上提高了中位数对分布数列的代表性。

3、B

【解题分析】

设男生为x人，则女生有65%%人，根据今年共毕业生297人列方程求解即可.

【题目详解】

设男生为x人，则女生有65%x人，由题意得，

x+65%x=297,

解之得

x=180,

297-180=117人.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系列出方程是解答本题的关键.

4、B

【解题分析】

试题分析：根据分析可知，甲的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2,2；乙的主视图有2列，每列小正方数

形数目分别为2,1；丙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2,2；则主视图相同的是甲和丙.

考点：由三视图判断几何体；简单组合体的三视图.

5、A

【解题分析】

分析：依据四边形ABCD是平行四边形，即可得到BD经过点O,依据B的坐标为（-2,-2）,即可得出D的坐标

为（2,2）.

详解：••,点A,C的坐标分别为（-5,2）,（5,-2）,

点O是AC的中点，

VAB=CD,AD=BC,

•*.四边形ABCD是平行四边形，

ABD经过点O,

；B的坐标为（-2,-2）,

AD的坐标为（2,2）,

故选A.

点睛：本题主要考查了坐标与图形变化，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的

坐标.

6、D

【解题分析】

因客户的要求每天的工作效率应该为：（48+x）件，所用的时间为：------

48+x

根据“因客户要求提前5天交货”，用原有完成时间7?笠o减去提前完成时间7工20一

4848+x

720720

可以列出方程:

4848+x

故选D.

7、B

【解题分析】

根据最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式判断即可.

【题目详解】

A、748=4若，不符合题意；

B、+是最简二次根式,符合题意;

…,不符合题意；

D、而=叵，不符合题意；

10

故选B.

【题目点拨】

本题考查最简二次根式的定义.最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得

尽方的因数或因式.

8,D

【解题分析】

解：由对称轴x=2可知：b=-4,

，抛物线j=x2-4x+c,

令x=-1时，y-c+5,

x=3时,y=c-3,

关于x的一元二次方程_加_c=0在-1VxV3的范围有实数根，

当4=0时，

即c=4,

此时x=2,满足题意.

当4>0时，

(c+5)(c-3)<0,

-5<c<3,

当c=-5时，

此时方程为：-x2+4x+5=0,

解得：x=-1或x=5不满足题意，

当c=3时,

此时方程为：-x2+4x-3=0,

解得：x=l或x=3此时满足题意，

故-5<c<3或c=4,

故选D.

点睛：本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系.理解二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键.

9、A

【解题分析】试题分析：几何体的主视图有2歹!),每列小正方形数目分别为2,1.

故选A.

考点：三视图

■F视频.

10、B

【解题分析】

根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案.

【题目详解】

7的相反数是-7,

故选：B.

【题目点拨】

此题考查相反数，解题关键在于掌握其定义.

11>B

【解题分析】

试题分析：；一一-即V2+=4，；•原式=3*_4X+4)-Sb2-/尸3/-I2x+12-6x?+6

=-3x2-12x+18=-3(x2+4x)+18=-12+18=1.故选B.

考点：整式的混合运算一化简求值；整体思想；条件求值.

12、C

【解题分析】

试题分析：；抛物线1，=-2，+/向右平移1个单位长度，二平移后解析式为：旷=_2笈/尸+1,二再向上平移1个单

位长度所得的抛物线解析式为：旷=一2收」尸+2.故选C.

考点：二次函数图象与几何变换.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、2713

【解题分析】

设。O半径为r,根据勾股定理列方程求出半径r,由勾股定理依次求BE和EC的长.

【题目详解】

连接BE,

设（DO半径为r,则OA=OD=r,OC=r-2,

VOD±AB,

/.ZACO=90o,

1

AC=BC=-AB=4,

2

在RtAACO中，由勾股定理得：r2=42+(r-2)2,

r=5,

:.AE=2r=10,

；AE为。O的直径，

...NABE=90。，

由勾股定理得：BE=6,

在RtAECB中，EC=dBE'BC?=762+42=2713•

故答案是：2岳.

【题目点拨】

考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键.

14、①②③

【解题分析】

(1)由已知条件易得NA=NBDF=60。，结合BD=AB=AD,AE=DF,即可证得△AED^^DFB,从而说明结论①正

确；(2)由已知条件可证点B、C、D、G四点共圆，从而可得NCDN=NCBM,如图，过点C作CMLBF于点M,

过点C作CNLED于点N,结合CB=CD即可证得△CBMgZ\CDN,由此可得S四边形BCDG=S四边形CMGN=2SACGN，在

RtACGN中，由NCGN=NDBC=60。，NCNG=90。可得GN=^CG,CN=—CG,由此即可求得SACGN=Y^CG2,

228

从而可得结论②是正确的；(3)过点F作FK〃AB交DE于点K,由此可得△DFKs^DAE,△GFK<-AGBE,结

合AF=2DF和相似三角形的性质即可证得结论④成立.

【题目详解】

(1)I•四边形ABCD是菱形，BD=AB,

AB=BD=BC=DC=DA,

.,.△ABD和小CBD都是等边三角形，

/.ZA=ZBDF=60°,

又；AE=DF,

.,.△AED^ADFB,即结论①正确；

(2)VAAED^ADFB,△ABD和△DBC是等边三角形，

:.ZADE=ZDBF,ZDBC=ZCDB=ZBDA=60°,

.,.ZGBC+ZCDG=ZDBF+ZDBC+ZCDB+ZGDB=ZDBC+ZCDB+ZGDB+ZADE=ZDBC+ZCDB+ZBDA=180°

.,.点B、C、D、G四点共圆,

/.ZCDN=ZCBM,

如下图，过点C作CMLBF于点M,过点C作CNLED于点N,

二NCDN=NCBM=90°,

XVCB=CD,

/.△CBM^ACDN,

•".S四边彩BCDG=S四边形CMGN=2SACGN,

•.,在R3CGN中，ZCGN=ZDBC=60°,ZCNG=90°

AGN=-CG,CN=—CG,

22

•,.SACGN=—CG2,

8

•'•S四边形BCDG=2SACGN，=-^-CG2,即结论②是正确的；

4

(3)如下图，过点F作FK〃AB交DE于点K,

.△DFK^ADAE,AGFK^AGBE,

FKDF_DFFGFK

'AE~DA^DF+AF'BG~BE'

，AF=2DF,

FK_1

,瓦—丁

*AB=AD,AE=DF,AF=2DF,

.BE=2AE,

FGFK_FK_1

"BG~BE~2AE~6'

.BG=6FG,即结论③成立.

综上所述，本题中正确的结论是：

故答案为①②③

点睛：本题是一道涉及菱形、相似三角形、全等三角形和含30。角的直角三角形等多种几何图形的判定与性质的题，

题目难度较大，熟悉所涉及图形的性质和判定方法，作出如图所示的辅助线是正确解答本题的关键.

15、n(m-I)】.

【解题分析】

先提取公因式n后，再利用完全平方公式分解即可

【题目详解】

m1n-lmn+n=n(m1-lm+1)=n(m-1)1.

故答案为n(m-1)i.

16、360°.

【解题分析】

根据多边形的外角和等于360。解答即可.

【题目详解】

由多边形的外角和等于360。可知，

Zl+Z2+Z3+Z4+Z5=360°,

故答案为360°.

【题目点拨】

本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360。是解题的关键.

17、2

【解题分析】

解：x2-14x+41=0,则有(x-6)(x-l)=0解得：x=6或x=l.所以菱形的面积为：(6x1)+2=2.菱形的面积为：2.故

答案为2.

点睛：本题考查菱形的性质.菱形的对角线互相垂直，以及对角线互相垂直的四边形的面积的特点和根与系数的关系.

18、-1

【解题分析】

VI1V1

分析：根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将点(一1,2)代入y=——，得：2=——，解得：k=-l.

x-1

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)落回到圈A的概率Pi=L；(2)她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样.

4

【解题分析】

(1)由共有1种等可能的结果，落回到圈A的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案；

(2)首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与最后落回到圈A的情况，再利用概率公式求解即

可求得答案；

【题目详解】

(1)•••共有1种等可能的结果，落回到圈A的只有1种情况，

.,.落回到圈A的概率Pi=—；

(2)列表得:

1231

1(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(1,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(1,3)

1(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)

•••共有16种等可能的结果，最后落回到圈A的有(1,3),(2,2)(3,1),(1,1),

41

,最后落回到圈A的概率P2=—=—,

164

.••她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样.

【题目点拨】

此题考查了列表法或树状图法求概率.注意随机掷两次骰子，最后落回到圈A,需要两次和是1的倍数.

20、(1)120,54；(2)补图见解析；(3)660名；(4)1.

【解题分析】

⑴用喜欢使用微信的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用360。乘以样本中电话人数所占比例；

⑵先计算出喜欢使用短信的人数，然后补全条形统计图；

(3)利用样本估计总体，用1200乘以样本中最喜欢用QQ进行沟通的学生所占的百分比即可；

(4)画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数，然后根据概率公

式求解.

【题目详解】

1Q

解：(1)这次统计共抽查学生24+20%=120(人)，其中最喜欢用电话沟通的所对应扇形的圆心角是360°x——=54。,

120

故答案为120、54；

⑵喜欢使用短信的人数为120-18-24-66-2=10(人),

(3)1200x——=660,

120

所以估计1200名学生中最喜欢用QQ进行沟通的学生有660名;

⑷画树状图为：

微信8电话

z4\XX

微信QQ电话微信QQ电话微信QQ电话

共有9种等可能的结果数，甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数为3,

所以甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率g.

【题目点拨】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果

数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率.也考查了统计图和用样本估计总体.

21、(1)7,9,7；(2)应该选派B；

【解题分析】

(1)分别利用平均数、中位数、众数分析得出答案；

(2)利用方差的意义分析得出答案.

【题目详解】

(1)A成绩的平均数为工(9+10+4+3+9+7)=7；众数为9；

6

B成绩排序后为6,7,7,7,7,8,故中位数为7；

故答案为：7,9,7；

1

(2)S；9=—[(7-9)2+(7-10)2+(7-4)2+(7-3)2+(7-9)2+(7-7)2]=7；

6

11

59-=-[(7-7)2+(7-7)2+(7-8)2+(7-7)2+(7-6)2+(7-7)2]=-；

63

从方差看，B的方差小，所以B的成绩更稳定，从投篮稳定性考虑应该选派B.

【题目点拨】

此题主要考查了中位数、众数、方差的定义，方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散

程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.

22、(1)1；2-77;币;(1)4+73；(4)(200-2573-4072)米.

【解题分析】

(1)由于△PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可

解决问题.

(1)以EF为直径作OO,易证。O与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方

形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长.

(4)要满足NAMB=40。，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然

后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长.

【题目详解】

(1)①作AD的垂直平分线交BC于点P,如图①，

则PA=PD.

/.△PAD是等腰三角形.

•••四边形ABCD是矩形，

/.AB=DC,ZB=ZC=90°.

VPA=PD,AB=DC,

ARtAABP^RtADCP(HL).

；.BP=CP.

VBC=2,

/.BP=CP=1.

②以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P，，如图①，

则DA=DP'.

...△P，AD是等腰三角形.

•••四边形ABCD是矩形，

，AD=BC,AB=DC,ZC=90°.

VAB=4,BC=2,

/.DC=4,DP，=2.

•••CP占"—32=币.

，BP，=2-S.

③点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P”,如图①，

贝！］AD=AP".

.•.△P"AD是等腰三角形.

同理可得：BP"=J7.

综上所述：在等腰三角形AADP中，

若PA=PD,贝!1BP=1；

若DP=DA,贝!|BP=2-V7；

若AP=AD,贝！|BP="

(1)；E、F分别为边AB、AC的中点，

；.EF〃BC,EF=-BC.

2

VBC=11,

；.EF=4.

以EF为直径作。O,过点O作OQLBC,垂足为Q,连接EQ、FQ,如图②.

A

BGD0C

图②

VAD1BC,AD=4,

AEF与BC之间的距离为4.

.*.OQ=4

/.OQ=OE=4.

.•.(DO与BC相切，切点为Q.

TEF为。O的直径，

.,.ZEQF=90°.

过点E作EGLBC,垂足为G,如图②.

VEG1BC,OQ1BC,

，EG〃OQ.

；EO〃GQ,EG〃OQ,ZEGQ=90°,OE=OQ,

二四边形OEGQ是正方形.

/.GQ=EO=4,EG=OQ=4.

VZB=40°,ZEGB=90°,EG=4,

；.BG=6.

.•.BQ=GQ+BG=4+3

.•.当NEQF=90。时，BQ的长为

(4)在线段CD上存在点M,使NAMB=40。.

理由如下：

以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG,

作GP_LAB,垂足为P,作AK_LBG,垂足为K.

设GP与AK交于点O,以点。为圆心，OA为半径作。O,

过点。作OHLCD,垂足为H,如图③.

则。0是4ABG的外接圆，

,••△ABG是等边三角形，GP±AB,

1

AAP=PB=-AB.

2

VAB=170,

AAP=145.

VED=185,

.*.OH=185-145=6.

二•△ABG是等边三角形，AK±BG,

.\ZBAK=ZGAK=40o.

；・OP=AP*tan40°

=145x1

3

=25G

.*.OA=lOP=9073.

/.OH<OA.

...（DO与CD相交，设交点为M,连接MA、MB,如图③.

:.NAMB=NAGB=40。，OM=OA=906..

VOH±CD,OH=6,OM=905

**-HM=yjoM2-OH2=7（90A/3）2-1502=40夜.

VAE=200,OP=256,

.\DH=200-25V3.

若点M在点H的左边，则DM=DH+HM=200-256+40夜.

V200-2573+400>420,

/.DM>CD.

.•.点M不在线段CD上，应舍去.

若点M在点H的右边，则DM=DH-HM=200-25逝-400.

V200-2573-40^2<420,

/.DM<CD.

点M在线段CD上.

综上所述：在线段CD上存在唯一的点M,使NAMB=40。，

此时DM的长为(200-256-40&)米.

【题目点拨】

本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周

角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，考查了操作、探

究等能力，综合性非常强.而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键.

23、(1)50件；(2)120元.

【解题分析】

(1)设第一批购进文化衫x件，根据数量=总价+单价结合第二批每件文化衫的进价比第一批每件文化衫的进价多10

元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

(2)根据第二批购进的件数比第一批多40%,可求出第二批的进货数量，设该服装店销售该品牌文化衫每件的售价

为y元，根据利润=销售单价x销售数量-进货总价，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其内的最小值即可得出

结论.

【题目详解】

解：(1)设第一批购进文化衫x件，

40006300

根据题意得：—+1。=(1+40%»，

解得：x=50,

经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，

答：第一批购进文化衫50件；

(2)第二批购进文化衫(1+40%)x50=70(件)，

设该服装店销售该品牌文化衫每件的售价为y元，

根据题意得：(50+70)y-4000-6300>4100,

解得：y>120,

答：该服装店销售该品牌文化衫每件最低售价为120元.

【题目点拨】

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)

根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式.

24、李强以1272米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A

【解题分析】

过点A作ADLBC于点D,

在RtAABD中，NB=45°；.AB=、uAD=120、二(米)

120、2+(2404-24)=120、24-10=12、二(米/分钟)

答：李强以12米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A

25、(3)3,2,C(-2,4)；(2)y=--m2+-m,P0与0。的比值的最大值为工；(3)SAPBA=3.

822

【解题分析】

(3)通过一次函数解析式确定A、B两点坐标，直接利用待定系数法求解即可得到b,c的值，令y=4便可得C点坐

标.

PQED

(2)分别过P、Q两点向x轴作垂线，通过PQ与OQ的比值为y以及平行线分线段成比例，找到凌=万万，设点

P坐标为(m,-；m2+m+2),Q点坐标(n,-n+2),表示出ED、OD等长度即可得y与m、n之间的关系，再次利用

PEQD口r-5

——=——即可求解.

OEOD

(3)求得P点坐标，利用图形割补法求解即可.

【题目详解】

(3)•.•直线y=-x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B.

AA(2,4),B(4,2).

又,抛物线过B(4,2)

.•.c=2.

把A(2,4)代入y=-x?+bx+2得,

4=--x22+2b+2,解得，b=3.

2

.••抛物线解析式为，y=-1x2+x+2.

1,

令A---x2+x+2=4,

2

解得，x=-2或x=2.

Z.C(-2,4).

(2)如图3,

分别过P、Q作PE、QD垂直于x轴交x轴于点E、D.

设P(m,-—m2+m+2),Q(n,-n+2),

2

则PE=--m2+m+2,QD=-n+2.

2

PQm—n

X又TOQ=----n----=vy-

m

PEOE-m2+m+4

又；亚m

~0D2

一〃+4n

m

把n=—;代入上式得,

y+i

12

—m+m+4A

2m

mm

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