河北省衡中清大教育集团2025届高一数学第二学期期末综合测试模拟试题含解析

河北省衡中清大教育集团2025届高一数学第二学期期末综合测试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中，，，，则B等于（）A．或 B． C． D．以上答案都不对2．若函数（）有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．3．如下图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①②与成角③与为异面直线④以上四个命题中，正确的序号是（）A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④4．在明朝程大位《算法统宗》中，有这样一首歌谣，叫浮屠增级歌：远看巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问层三几盏灯．这首古诗描述的浮屠，现称宝塔．本浮屠增级歌意思是：有一座7层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，宝塔中共有灯381盏，问这个宝塔第3层灯的盏数有()A． B． C． D．5．的值等于（）A． B． C． D．6．已知直线与平行，则等于()A．或 B．或 C． D．7．已知向量，，则（）A．-1 B．-2 C．1 D．08．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则的面积的最大值为()A． B． C． D．9．已知锐角三角形的边长分别为1，3，，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．已知向量，，若，，则的最大值为()A． B． C．4 D．5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．计算：________12．在中，若，则____________.13．一艘海轮从出发，沿北偏东方向航行后到达海岛，然后从出发沿北偏东方向航行后到达海岛，如果下次直接从沿北偏东方向到达，则______.14．在空间直角坐标系中，三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，为球心，，，，，则球的体积与三棱锥的体积之比是_____.15．下列说法中：①若，满足，则的最大值为；②若，则函数的最小值为③若，满足，则的最小值为④函数的最小值为正确的有__________．（把你认为正确的序号全部写上）16．函数的最小正周期是__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知点，圆.（1）求过点的圆的切线方程；（2）若直线与圆相交于、两点，且弦的长为，求的值.18．在平面直角坐标系中，已知点,,坐标分别为，，，为线段上一点，直线与轴负半轴交于点，直线与交于点．（1）当点坐标为时，求直线的方程；（2）求与面积之和的最小值.19．设的内角的对边分别为，且满足.（1）试判断的形状，并说明理由；（2）若，试求面积的最大值.20．如图，在正中，，.（1）试用，表示；（2）若，，求.21．已知向量（cosx+sinx，1），（sinx，），函数．（1）若f（θ）＝3且θ∈（0，π），求θ；（2）求函数f（x）的最小正周期T及单调递增区间．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】试题分析：由正弦定理得，得，结合得，故选C．考点：正弦定理.2、A【解析】

函数（）有两个不同的零点等价于函数在均有一个解，再解不等式即可.【详解】解：因为，由函数（）有两个不同的零点，则函数在均有一个解，则，解得：，故选：A.【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，重点考查了分式不等式的解法，属中等题.3、D【解析】由已知中正方体的平面展开图，得到正方体的直观图如上图所示：

由正方体的几何特征可得：①不平行，不正确；

②AN∥BM，所以，CN与BM所成的角就是∠ANC=60°角，正确；③与不平行、不相交，故异面直线与为异面直线，正确；

④易证，故，正确；故选D．4、C【解析】

先根据等比数列的求和公式求出首项，再根据通项公式求解.【详解】从第1层到塔顶第7层，每层的灯数构成一个等比数列，公比为，前7项的和为381，则，得第一层，则第三层，故选【点睛】本题考查等比数列的应用，关键在于理解题意.5、D【解析】

利用诱导公式先化简，再利用差角的余弦公式化简得解.【详解】由题得原式=.故选D【点睛】本题主要考查诱导公式和差角的余弦公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6、C【解析】

由题意可知且，解得．故选．7、C【解析】

根据向量数量积的坐标运算，得到答案.【详解】向量，，所以.故选：C.【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，属于简单题.8、A【解析】

由以及，结合二倍角的正切公式，可得，根据三角形的内角的范围可得，由余弦定理以及基本不等式可得，再根据面积公式可得答案.【详解】因为，且，所以，所以，则.由于为定值，由余弦定理得，即.根据基本不等式得，即，当且仅当时，等号成立.所以.故选：A【点睛】本题考查了二倍角的正切公式，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了三角形的面积公式，属于中档题.9、B【解析】

根据大边对大角定理知边长为所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出的取值范围．【详解】由题意知，边长为所对的角不是最大角，则边长为或所对的角为最大角，只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到，由于，解得，故选C．【点睛】本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：为锐角；为直角；为钝角.10、A【解析】

设，由可得点的轨迹方程，再对两边平方，利用一元二次函数的性质求出最大值，即可得答案.【详解】设，，∵，∴，整理得：.∵，∴，当时，的最大值为，∴的最大值为.故选：A.【点睛】本题考查向量模的最值、模的坐标运算、一元二次函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的运用.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

用正弦、正切的诱导公式化简求值即可.【详解】.【点睛】本题考查了正弦、正切的诱导公式，考查了特殊角的正弦值和正切值.12、2【解析】

根据正弦定理角化边可得答案.【详解】由正弦定理可得.故答案为：2【点睛】本题考查了正弦定理角化边，属于基础题.13、【解析】

首先根据余弦定理求出，在根据正弦定理求出，即可求出【详解】有题知.所以.在中，，即，解得.所以，故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的实际应用，熟练掌握公式为解题的关键，属于中档题.14、【解析】

首先根据坐标求出三棱锥的体积，再计算出球的体积即可.【详解】有题知建立空间直角坐标系，如图所示由图知：平面，...故答案为：【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，根据题意建立空间直角坐标系为解题的关键，属于中档题.15、③④【解析】

①令，得出，再利用双勾函数的单调性判断该命题的正误；②将函数解析式变形为，利用基本不等式判断该命题的正误；③由得出，得出，利用基本不等式可判断该命题的正误；④将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值，进而判断出该命题的正误。【详解】①由得，则，则，设，则，则，则上减函数，则上为增函数，则时，取得最小值，当时，，故的最大值为，错误；②若，则函数，则，即函数的最大值为，无最小值，故错误；③若，满足，则，则，由，得，则，当且仅当，即得，即时取等号，即的最小值为，故③正确；④，当且仅当，即，即时，取等号，即函数的最小值为，故④正确，故答案为：③④。【点睛】本题考查利用基本不等式来判断命题的正误，利用基本不等式需注意满足“一正、二定、三相等”这三个条件，同时注意结合双勾函数单调性来考查，属于中等题。16、；【解析】

利用余弦函数的最小正周期公式即可求解.【详解】因为函数，所以，故答案为：【点睛】本题考查了含余弦函数的最小正周期，需熟记求最小正周期的公式，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或；（2）【解析】分析：（1）根据点到直线的距离等于半径进行求解即可，注意分直线斜率不存在和斜率存在两种情况；（2）根据直线和圆相交时的弦长公式进行求解.详解：（1）由圆的方程得到圆心，半径，当直线斜率不存在时，方程与圆相切，当直线斜率存在时，设方程为，即，由题意得：，解得，∴方程为，即，则过点的切线方程为或.（2）∵圆心到直线的距离为，∴，解得：.点睛：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线和圆相切和相交时的弦长公式是解决本题的关键.18、（1）；（2）.【解析】

（1）求出的直线方程后可得的坐标，再求出的直线方程和的直线方程后可得的坐标，从而得到直线的直线方程.（2）直线的方程为，设，求出的直线方程后可得的坐标，从而可用表示，换元后利用基本不等式可求的最小值.【详解】（1）当时，直线的方程为，所以，直线的方程为①，又直线的方程为②，①②联立方程组得，所以直线的方程为.(2)直线的方程为，设，直线的方程为，所以.因为在轴负半轴上，所以，=，.令，则，（当且仅当），而当时，，故的最小值为.【点睛】直线方程有五种形式，常用的形式有点斜式、斜截式、截距式、一般式，垂直于的轴的直线没有点斜式、斜截式和截距式，垂直于轴的直线没有截距式，注意根据题设所给的条件选择合适的方程的形式.直线方程中的最值问题，注意可选择合适的变量（如斜率、倾斜角、动点的横坐标或纵坐标等）构建目标函数，再利用基本不等式或函数的单调性等求目标函数的最值.19、（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由，利用正、余弦定理，得，化简整理即可证明：为直角三角形；（2）利用，，根据基本不等式可得：，即可求出面积的最大值.试题解析：解法1：（1）∵，由正、余弦定理，得，化简整理得：，∵，所以，故为直角三角形，且；（2）∵，∴，当且仅当时，上式等号成立，∴.故，即面积的最大值为.解法2（1）由已知：，又∵，，∴，而，∴，∴，故，∴为直角三角形.（2）由（1），∴.∵，∴，∴，令，∵，∴，∴.而在上单调递增，∴.20、（1）；（2）-2【解析】

（1）由，可得，整理可求出答案；（2）用、分别表示和，进而求出即可.【详解】（1）因为，则，所以.（2）当时，，因为，所以为边的三等分点，则，故.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查向量的数量积，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题.21、（1）θ（2）最小正周期为π；单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z【解析】

（1）计算平面向量的数量积得出函数f（x）的解析式，求出f（θ）＝3时θ的值；

（2）根据函数f（x）的解析式，求出它的最小正周期和单调递增区间．【详解】（1）向量（cosx+sinx，1），（