湖南省邵阳市邵阳县2025届高一数学第二学期期末复习检测试题含解析

湖南省邵阳市邵阳县2025届高一数学第二学期期末复习检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的函数是（）A． B． C． D．2．若，则的大小关系为A． B． C． D．3．矩形ABCD中，，，则实数（）A．-16 B．-6 C．4 D．4．函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．5．如图，在正方体中，，分别是，中点，则异面直线与所成的角是（）A． B． C． D．6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯：A．281盏 B．9盏 C．6盏 D．3盏7．已知等差数列an的前n项和为Sn，若a8=12，S8A．-2 B．2 C．-1 D．18．一条直线经过点，并且它的倾斜角等于直线倾斜角的2倍，则这条直线的方程是()A． B．C． D．9．已知向量，，，则（）A． B． C． D．10．函数在上零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于______．12．已知,且关于的方程有实数根，则与的夹角的取值范围是______.13．如图，在直角梯形中，//是线段上一动点，是线段上一动点，则的最大值为________．14．已知，则的值为__________．15．若，且，则的最小值是______.16．如图，在B处观测到一货船在北偏西方向上距离B点1千米的A处，码头C位于B的正东千米处，该货船先由A朝着C码头C匀速行驶了5分钟到达C，又沿着与AC垂直的方向以同样的速度匀速行驶5分钟后到达点D，此时该货船到点B的距离是________千米.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，为两非零有理数列（即对任意的，，均为有理数），为一个无理数列（即对任意的，为无理数）．（1）已知，并且对任意的恒成立，试求的通项公式；（2）若为有理数列，试证明：对任意的，恒成立的充要条件为；（3）已知，，试计算．18．求适合下列条件的直线方程：经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的倍；经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形。19．已知数列满足：.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；（2）求数列的前项和.20．已知数列是等差数列，，．（1）从第几项开始；（2）求数列前n项和的最大值．21．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量（千辆/h）与汽车的平均速度之间的函数关系式为：．（1）若要求在该段时间内车流量超过2千辆，则汽车在平均速度应在什么范围内？（2）在该时段内，若规定汽车平均速度不得超过，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

依次分析选项的奇偶性和在区间上的单调性即可得到答案.【详解】因为是奇函数，故A选项错误，因为是非奇非偶函数，故D选项错误，因为是偶函数，由函数图像知，在区间上单调递增，故B选项错误，因为是偶函数，由函数图像知，在区间上单调递减，故C选项正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判断，二次函数单调性的判断，属于基础题.2、A【解析】

利用作差比较法判断得解.【详解】①，∵，∴，故.②∵，∴，所以a＞ab.综上，故选A.【点睛】本题主要考查作差比较法比较实数的大小，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.3、B【解析】

根据题意即可得出，从而得出，进行数量积的坐标运算即可求出实数．【详解】据题意知，,,．故选：．【点睛】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算,属于容易题．4、D【解析】，当时，对于∵对任意，存在，使得成立，，解得实数的取值范围是．

故选D．【点睛】本题考查三角函数恒等变换，其中解题时问题转化为求三角函数的值域并利用集合关系是解决问题的关键，5、D【解析】

如图，平移直线到，则直线与直线所成角，由于点都是中点，所以，则，而，所以，即，应选答案D．6、D【解析】

设塔的顶层共有盏灯，得到数列的公比为2的等比数列，利用等比数列的前n项公式，即可求解．【详解】设塔的顶层共有盏灯，则数列的公比为2的等比数列，所以，解得，即塔的顶层共有3盏灯，故选D．【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．7、B【解析】

直角利用待定系数法可得答案.【详解】因为S8=8a1+a82【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的相关计算，难度不大.8、B【解析】

先求出直线的倾斜角，进而得出所求直线的倾斜角和斜率，再根据点斜式写直线的方程.【详解】已知直线的斜率为，则倾斜角为，故所求直线的倾斜角为，斜率为，由直线的点斜式得，即。故选B.【点睛】本题考查直线的性质与方程，属于基础题.9、D【解析】

利用平面向量垂直的坐标等价条件列等式求出实数的值.【详解】，，，，解得，故选D.【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，解题时将向量垂直转化为两向量的数量积为零来处理，考查计算能力，属于基础题.10、D【解析】

在同一直角坐标系下，分别作出与的图象，结合函数图象即可求解.【详解】解：由题意知：函数在上零点个数，等价于与的图象在同一直角坐标系下交点的个数，作图如下：由图可知：函数在上有个零点.故选：D【点睛】本题考查函数的零点的知识，考查数形结合思想，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1【解析】

由已知中二面角α﹣l﹣β等于110°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，由，结合向量数量积的运算，即可求出CD的长．【详解】∵A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，又∵二面角α﹣l﹣β的平面角θ等于110°，且AB＝AC＝BD＝1，∴，60°，∴故答案为1．【点睛】本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，其中利用，结合向量数量积的运算，是解答本题的关键．12、【解析】

先由得出，再根据即可求出与的夹角的取值范围.【详解】因为关于的方程有实数根，所以，即，设与的夹角为，所以，因为，所以，即与的夹角的取值范围是【点睛】本题主要考查平面向量的夹角公式的应用等，属基础题.13、2【解析】

建立平面直角坐标系，得到相应点的坐标及向量的坐标，把，利用向量的数量积转化为的函数，即可求解．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，因为，，所以,因为，，所以,因为，所以当时，取得最大值，最大值为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，以及向量的数量积的运算的应用，其中解答中建立平面直角坐标系，结合向量的线性运算和数量积的运算，得到的函数关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．14、【解析】

利用诱导公式将等式化简，可求出的值.【详解】由诱导公式可得，故答案为.【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，在利用诱导公式处理化简求值的问题时，要充分理解“奇变偶不变，符号看象限”这个规律，考查运算求解能力，属于基础题.15、8【解析】

利用的代换，将写成，然后根据基本不等式求解最小值.【详解】因为（即取等号），所以最小值为.【点睛】已知，求解（）的最小值的处理方法：利用，得到，展开后利用基本不等式求解，注意取等号的条件.16、3【解析】

先在中，由余弦定理算出和，然后在中由余弦定理即可求出.【详解】由题意可得，在中，所以由余弦定理得：即，所以因为所以所以所以在中有：即故答案为：3【点睛】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，是基本知识的考查．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】

（1）根据不等式可得，把代入即可解出（2）根据化简，利用为有理数即可解决（3）根据题意可知，本题需分为奇数和偶数时讨论，通过求出．【详解】（1）∵，∴，即，∴，∵，∴，∴．（2）∵，∴，∴，∵，，为有理数列，为无理数列，∴，∴，以上每一步可逆．（3），∴．∵，∴，当时，∴当时，∴，∴为有理数列，∵，∴，∴，∵，，为有理数列，为无理数列，∴，∴，∴当时，∴当时，∴，∴．【点睛】本题数列的分类问题，数列通项式的求法、有关数列的综合问题等．本题难度、计算量较大，属于难题．18、（1）（2）或【解析】

（1）根据倾斜角等于直线的倾斜角的倍，求出直线的倾斜角，再利用点斜式写出直线。（2）与两坐标轴围成一个等腰直角三角形等价于直线的斜率为.【详解】（1）已知，直线方程为化简得（2）由题意可知，所求直线的斜率为.又过点，由点斜式得，所求直线的方程为或【点睛】本题考查直线方程，属于基础题。19、（1）见证明；（2）【解析】

（1）由变形得，即，从而可证得结论成立，进而可求出通项公式；（2）由（1）及条件可求出，然后根据分组求和法可得．【详解】（1）证明：因为，所以．因为所以所以．又，所以是首项为，公比为2的等比数列，所以．（2）解：由（1）可得，所以．【点睛】证明数列为等比数列时，在得到后，不要忘了说明数列中没有零项这一步骤．另外，对于数列的求和问题，解题时要根据通项公式的特点选择合适的方法进行求解，属于基础题．20、（1）从第27项开始（2）【解析】

（1）写出通项公式解不等式即可；（2）由（1）得数列最后一个负项为取得最大值处即可求解【详解】（1）．解得．所以从第27项开始．（2）由上可知当时，最大，最大为．【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前n项和的最值，考查推理能力，是基础题2