2024年山东省济南市历下区中考数学一模试卷(含解析)

2024年山东省济南市历下区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.（4分）2024的绝对值是（）

A.-2024B.2024C.1D.一L_

20242024

2.（4分）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯

视图是（）

3.（4分）海水淡化是解决全球水资源危机的战略手段，根据《海水淡化利用发

展行动计划（2021-2025年）》，到2025年我国海水淡化总规模将达到

2900000屯/日以上.数字290000例科学记数法表示为（）

A.0.29X107B.2.9X106C.29X10sD.290X104

4.（4分）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若Nl=56°,则N2的度数

C.36°D.56°

5.（4分）我国民间建筑装饰图案中,蕴含着丰富的数学之美.下列图案中既是

轴对称图形又是中心对称图形的是(

6.（4分）实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示.若。+6=0,则下列结论

中正确的是（）

1I।.»

a01b

A.|a|<|^|B.2a>2bC.ab>0D.tz<-1

7.（4分）有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有“前”、

“程”、“崩（1选）”、“崩（l&ig）”四个汉字，将这四张卡片背面朝上洗匀,

甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人抽到汉字可以

组成“崩崩”的概率是（）

A.1B.1C.1D.1

2468

8.（4分）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，

AB.而所在圆的圆心为点。，点C,。分别在05上，已知消防车道半

径。。=12机，消防车道宽ZC=4机，NZO8=120°,则弯道外边缘标的长与

内边缘而的长的差为（）

1671

A.A2LB.旺1rC.„D.32兀

3n3n3n3n

9.（4分）如图，在△NBC中，AB=AC,ZBAC=108°,分别以点4C为圆

心，以大于aAC的长为半径作弧，两弧相交于〃，N两点，作直线"N分别

交BC,NC于点。，E,连接Z。，以下结论不正确的是（)

AN

E

BN------~、C

A.ZBDA=12°B.BD=2AEC.8=遍-1D.CA2=CD^B

CB-2

10.（4分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于〃（〃巳0）的点叫做这

个函数图象的“〃阶方点”.例如，点（1,3）与点（*,2）都是函数y=2x+l

图象的“3阶方点”.若y关于x的二次函数y=（x-〃）2+〃2-6的图象存在

“〃阶方点”，则〃的取值范围是（）

A,1<n<5B.C.2W〃W3D.1W〃W3

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

11.（4分）分解因式：xy-yi=.

12.（4分）若分式一互有意义，则x的值可以是.（写出一个

x+1

即可）

13.（4分）如图，矩形48CD内的图形来自中国古代的太极图，已知48长为

6,8c长为8.一小球在矩形4BCD内自由地滚动，并随机停留在某区域，

它最终停留在黑色区域的概率为.（结果保留TT）

14.（4分）如图所示，在△/BC中，AB=AC=4,ZA=9Q°,以点N为圆心,

以的长为半径作标，以8c为直径作半圆前,则阴影部分的面积为

A

15.（4分）如图，Rt^ZBC中，ZABC=9Q°,AB=6cm,ZC=10c机，点。为

ZC的中点，过点5作连接EC,若EB=EC,连接ED交5c于点

F,则EE=cm.

16.（4分）如图，已知矩形45CO,AB=6,40=8,点E为边8c上一点，连

接DE,以为一边在与点C的同侧作正方形。ERG,连接4F.当点E在

边5C上运动时，4F的最小值是.

三、解答题（本大题共10个小题，共86分，请写出文字说明、证明过程或演

算步骤.）

17.（6分）计算：|-2|-（IT-2）o+（A）-1-4tan450.

3

3（x+2）>X+4（D

（分）解不等式组：*,x+l，并写出它的所有整数解.

18.6I/丫②

19.（6分）如图，矩形Z5CQ中，NC与8。交于点。，BELAC,CF±BD,垂

足分别为瓦F.

求证：BE=CF.

E

20.（8分）为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”

活动，分为笔试和展演两个阶段.已知年级所有学生都参加了两个阶段的活

动，首先将成绩分为以下六组（满分100分，实际得分用X表示）：

A：70Wx<75,B：75<x<80,C：80<x<85,D：85<x<90,E：90<x<

95,F：95<x<100

随机抽取〃名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信

息如下：

笔试成绩各组人数的扇形统计图展演成绩频数分布直方图

已知笔试成绩中，。组的数据如下：85,85,85,85,86,87,87,88,

89.

请根据以上信息，完成下列问题：

（1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是°;

（2）〃=并补全图2中的频数分布直方图；

（3）在笔试阶段中，〃名学生成绩的中位数是分；

（4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照2：3的权重计入总成绩，总成

绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，

最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由.

笔试展演

甲9289

乙9095

21.（8分）数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下:

活动课题遮阳篷前挡板的设计

问题背景我们所在的社区服务中心在境外安装了遮阳篷，结果发现夏日正

午时纳凉面积不够，现在为使房前的纳凉区域增加到2.76机宽，计

划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1,

现在要计算所需前挡板的宽度5c的长.

A

图1

测量数据我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2,遮阳篷

抽象模型48长为4机，其与墙面的夹角NB4Q=70°,其靠墙端离地高AD

为3.5机.通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太

阳光线与地面夹角NCFE）最小为60°,若假设此时房前恰好有

2.76机宽的阴影。凡如图3,求出8c的长即可.

AA

B

太阳光线

DDF

图2图3

解决思路经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题:

（1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出

遮阳篷前端5到墙面的距离;

(2)继续构造直角三角形，求出NCFE为60。时，的长度.

运算过程・・・

该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部

分.(结果精确到0.0则，参考数据sin70心0.94。cos7ff^0.342tan7ff

^2.747弧=1.732

22.(8分)如图，48为。。的直径，点。为O。上一点，点E是标的中点，

连接5E,AE,过点Z的切线与8E的延长线交于点C,眩BE,NO相交于点

F.

(1)求证：/ADE=/CAE；

(2)若/ADE=30°,AE=Q求好的长.

23.(10分)“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运

兴则体育兴.”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课

间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买45两种跳绳若干，

已知购买3根Z种跳绳和1根8种跳绳共需105元；购买5根幺种跳绳和3

根3种跳绳共需215元.

(1)求Z,8两种跳绳的单价；

(2)如果班级计划购买Z,8两型跳绳共48根，5型跳绳个数不少于Z型跳

绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？

24.(10分)如图，在平面直角坐标系中，△48C的顶点5,C在x轴上，

顶点A在y轴上，AB=AC.反比例函数y=K(x>0)的图象与边ZC交于点E

x

(1,4)和点尸(2,〃).点又为边贴上的动点，过点乱作直线〃N〃x轴，

与反比例函数的图象交于点N.连接OE,OF,(W和ON.

(1)求反比例函数的表达式和点Z的坐标；

(2)求△OEF的面积；

(3)求△。跖V面积的最大值.

25.(12分)【问题情境】

如图1,在四边形Z5CO中，AD=DC=4cm,ZADC=60°,AB=BC,点,E

是线段褴上一动点，连接。E.将线段QE绕点。逆时针旋转30°,且长度

变为原来的机倍，得到线段。G作直线CE交直线于点X.数学兴趣小

组着手研究机为何值时，加斗加BE的值是定值.

【探究实践】

老师引导同学们可以先通过边、角的特殊化，发现机的取值与所加密为定

值的关系，再探究图1中的问题，这体现了从特殊到一般的数学思想.

经过思考和讨论，小明、小华分享了自己的发现.

(1)如图2,小明发现：“当ND48=90°,机=近时，点X与点Z恰好重

_2

合，小二仔BE的值是定值”•小华给出了解题思路，连接5。，易证LDEBS/X

DFC,得到CF与BE的数量关系是，即亭BE的

值是_______.

(2)如图3,小华发现：“当AD=4B,m=除时，HF4BE的值是定

值”.请判断小明的结论是否正确，若正确，请求出此定值，若不正确，请说

明理由.

【拓展应用】

(3)如图1,小聪对比小明和小华的发现，经过进一步思考发现：“连接

DB,只要确定48的长，就能求出他的值，使得印升机5E的值是定值“，老

师肯定了小聪结论的准确性.若AB八々，请直接写出掰的值及加'+加8£的定

值.

26.(12分)在平面直角坐标系中，直线y=-^x+l与了轴交于点Z，与x轴

交于点5,抛物线M：y=ax2+bx+c经过点Z,且顶点在直线Z5上.

(1)如图，当抛物线的顶点在点8时，求抛,物线/的表达式；

(2)在(1)的条件下，抛物线/上是否存在点C,满足/4BC=/4BO.若

存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)定义抛，物线N：y=bx2+ax+c为抛物线"的换系抛物线，点尸。，p),

点0(什3,q)在抛物线N上，若对于2W/W3,都有?<q<l,求a的取值

范围.

v

2024年山东省济南市历下区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.（4分）2024的绝对值是（）

A.-2024B.2024C.1D.一L_

20242024

【分析】依据题意，根据绝对值的意义进行计算可以得解.

【解答】解：由题意得，|2024|=2024.

故选：B.

2.（4分）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯

视图是（）

【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案.

【解答】解：俯视图如选项C所示，

故选：C.

3.（4分）海水淡化是解决全球水资源危机的战略手段，根据《海水淡化利用发

展行动计划（2021-2025年）》，到2025年我国海水淡化总规模将达到

2900000屯/日以上.数字290000例科学记数法表示为（）

A.0.29X107B.2.9X106C.29X1OsD.290X104

【分析】科学记数法的表示形式为。义10〃的形式，其中1W同＜10,n为整

数.确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值

与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，〃是正整数；当原数的绝

对值＜1时，〃是负整数.

【解答】解：2900000=2.9X106.

故选：B.

4.（4分）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若Nl=56°,则N2的度数

C.36°D.56°

【分析】由平行线的性质可得NZCD=N1=56°,再由三角形的外角性质即

可求解.

【解答】解：如图,

由题意得：AB//CD,

：.ZACD=Z1=56°,

•.•△/CD是△CDE的外角，ZE=30°,

：.Z2=ZACD-ZE=26°.

故选:A.

5.（4分）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美.下列图案中既是

轴对称图形又是中心对称图形的是（

【分析】直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可.

【解答】解：A.该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题

意；

B.该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C.该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意.

故选：A.

6.（4分）实数a,6在数轴上对应点的位置如图所示.若。+5=0,则下列结论

中正确的是（）

I111.

a01b

A.臼B.2a>26C.ab>0D.a<-1

【分析】由题可知，a=~b,从数轴上可知，a<O<l<b,据此逐一判断各

选项.

【解答】解:由题可知，a+b=O,

♦♦a=-b,

从数轴上可知，a<O<l<Z>,

A,-：a=~b,：.\a\=\b\,故选项Z不符合题意；

B、'：a<b,：.2a<2b,故选项8不符合题意；

C、•；a〈OVb,：.ab<0,故选项C不符合题意；

D、'：a=-b,a<O<l<&,：.-b<~l,：.a<-1,故选项。符合题意；

故选：D.

7.（4分）有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有“前”、

“程”、“崩（1选）”、“崩（l&ig）”四个汉字，将这四张卡片背面朝上洗匀,

甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人抽到汉字可以

组成“崩蠲”的概率是（）

【分析】利用列表法或树状图法解答即可.

【解答】解：画树状图如下:

甲前程朋

乙前程崩朋前程崩明前程崩崩前程殖崩

一共有16种等可能的情况，其中两人抽到汉字可以组成“崩蠲”有4中可能

的结果，

：.p（两人抽到汉字可以组成“崩崩"）=A=1,

164

故选:B.

8.（4分）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，

AB，而所在圆的圆心为点。，点C,。分别在。4,0B±,已知消防车道半

径0C=12机，消防车道宽ZC=4机，ZAOB=120°,则弯道外边缘标的长与

内边缘面的长的差为（）

B.邺

D・明

【分析】根据线段的和差得到oz=oc+zc,然后根据弧长公式即可得到结论.

【解答】解：'：0C=12m,AC=4m,

：.OA=OC+AC=12+4=16（m）,

VZAOB=120°,

弯道外边缘标的长为120,兀X16=32兀,内边缘面的长为=

120>nxi2=24n⑺),

1803

.•.弯道外边缘标的长与内边缘面的长的差为四E___24兀尸区互(加)，

333

故选：B.

9.(4分)如图，在△N5C中，AB=AC,ZBAC=1Q8°,分别以点4。为圆

心，以大于*AC的长为半径作弧，两弧相交于N两点，作直线"N分别

交BC,ZC于点。，E,连接以下结论不正确的是()

C.CDD.CAi=CD^：B

CB-2

【分析】先由N5=/C,ZBAC=iOS°得N8=NC=36°,由作图可知肱V

为ZC的垂直平分线，则ZQ=CO,进而得ND4C=NC=36°,由此可求出/

B4D的度数,进而可对选项Z进行判断；由为ZC的垂直平分线得ZC=

2AE,则怂=2他，证/BAD=/BDA=72°得幺B=BD,由此可对选项5进

行判断；设CD=x,CB=a,则5£>=C5-CQ=a-x,AC=AB=BC=a-x,

证△CD4和△C48相似得CD：CA=CA：CB,即x：(a-x)=(a-x)：

a,整理得》2-3"+。2=0,由此解出丫上返，，则三=33,由此可对选项C

x-2aa2

进行判断；由得co：CA=CA：CB,由此可对选项。进行判

断，综上所述即可得出答案.

【解答】解：:幺台二幺。，ZBAC=108°,

：.ZB=ZC=l/2(180°-ZBAC)=1(180°-108°)=36°,

2

由作图可知："N为ZC的垂直平分线，

：.AD=CD,

:./DAC=/C=36°,

:./BAD=/BAC-/DAC=108°-36°=72°,

故选项Z正确，不符合题意；

•..MN为ZC的垂直平分线，

：.AC=2AE,

'：AB=AC,

：.AB=2AE,

VZDAC=ZC=36°,

，ZBDA=ZDAC+ZC=72

VZBAD=72°,

:./BAD=/BDA=72°,

：.AB=BD,

：.BD=2AE,

故选项5正确，不符合题意；

设CO=x,CB=a,则

则BD=CB~CD=a-x,

.,.AC=AB=BC=a-x,

VZDAC=ZB=36°,ZDCA=ZACB,

：.ACDA^ACAB,

：.CD：CA=CA：CB,

即x：(a-x)=(a-x)：a,

整理得：X2-3ax+a2=0,

解得：%]a，x?——a(不合题意，舍去),

1222

•x_3-\^5

"7"2

即CD/X:

CB2

故选项C不正确，符合题意;

'：ACDA^ACAB,

:.CD：CA=CA：CB,

：.CA2=CDU^B,

故选项。正确，不符合题意.

故选：C.

10.（4分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于〃（〃20）的点叫做这

个函数图象的“〃阶方点”.例如，点（1,3）与点6，2）都是函数尸2x+l

图象的“3阶方点”.若了关于x的二次函数y=（x-〃）2+〃2-6的图象存在

“〃阶方点”，则〃的取值范围是（）

B.■|^n<2C.2W〃W3D.

【分析】由二次函数解析式可知其顶点坐标在抛物线歹=X2-6上移动，作出

简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点（小-«）和点（-〃，〃）时

为临界情况，求出此时〃的值，由图象可得〃的取值范围.

【解答】解：二,二次函数y=（x-〃）2+〃2-6的顶点坐标为（〃，〃2-6）,

.•.二次函数〃2-6的顶点在抛物线y=x2-6上移动，

'''y关于x的二次函数y=（x-〃）2+〃2-6的图象存在"〃阶方点”，

.•.二次函数二次函数了=（X-〃）2+〃2-6的图象与以顶点坐标为（〃，〃）,

（〃，-〃）,（-〃，〃），（-〃，一〃）的正方形有交点，

将(~n,〃)代入尸(x-〃)2+〃2-6得：4«2+«2-6=n,

解得：或〃=-1(舍去)，

5

当y=(X-77)2+〃2-6过点(n,-n)时，

将(~n,n)代入y=(x-〃)2+〃2-6得：4772+722-6=~n,

解得：n=i,n=-（舍去），

5

由图可知，由图象可得〃的取值范围是：

5

故选：A.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

11.（4分）分解因式：孙一/=y（x-y）.

【分析】直接提取公因式外进而得出答案.

【解答】解：xy-yi=y（x-y）.

故答案为：y（x-y）.

12.（4分）若分式旦有意义，则x的值可以是2（答案不唯一）.（写出

x+1

一个即可）

【分析】根据分母不为0可得x+IWO,然后进行计算即可解答.

【解答】解：:.分式旦有意义，

x+1

...x+1WO,

-1,

x的值可以是2,

故答案为：2（答案不唯一）.

13.（4分）如图，矩形48CD内的图形来自中国古代的太极图，已知48长为

6,8C长为8.一小球在矩形48co内自由地滚动，并随机停留在某区域，

它最终停留在黑色区域的概率为12L.（结果保留TO

—32—

【分析】根据几何概率的计算方法解答即可.

【解答】解：由题意，可知：黑色区域的面积=圆面积的一半,

1

令打X3

：.P（最终停留在黑色区域）=2_______=".

6X8

故答案为：12L.

32

14.（4分）如图所示，在△NBC中，AB=AC=4,NZ=90°,以点幺为圆心,

以Z8的长为半径作标，以8c为直径作半圆确,则阴影部分的面积为8

【分析】由图可知：图案的面积=半圆CAF的面积+AU8C的面积-扇形

Z8C的面积，可根据各自的面积计算方法求出图案的面积.

【解答】解：在A45C中，幺5=ZC=4,ZA=90°,

BC=7AB2+AC2=4也

2_

•••S扇彩“;9°7Tx_4_=4mS^=1TVX（2M）2=4TT,=1X4X

扇形060'CBFQ4ABe?

4=8；

所以阴影面积K半圆CBF+S捻BC-S扇形4cB=4n+8-4TT=8,

故答案为：8.

15.（4分）如图，Rt4/BC中，/ABC=90°,AB=6cm,ZC=10c机，点。为

ZC的中点，过点5作E5L5。，连接EC,若EB=EC,连接ED交8c于点

F,则EF=JAcm.

~3~

【分析】根据勾股定理得出BC=8cm,进而利用直角三角形的性质得出8D=

5cm,进而利用勾股定理得出5E,进而解答即可.

【解答】解；VZABC=90°,AB=6cm,AC=10cm,

5C=VAC2-AB2=7102-62=8(cm)，

•..点。为zc的中点，

.,.BD=l,AC=5cm,

2

'：EB=EC,

••BF=^.BC=4cm,，JE[i，-BF，={5，42=3(c机)，

设EF=x,在RtAE5F中，BE2=EFI+BF2,

■:EBLBD,

在RtA5££>中，BE2=ED2-BD2,

即X2+42=(X+3)2-52,

解得:X=也，

3

：.EF=^-cm,

3

故答案为：凶■.

3

16.(4分)如图，已知矩形48cD,AB=6,幺。=8,点£为边8C上一点，连

接DE,以为一边在与点C的同侧作正方形DEEG,连接4F.当点E在

边8c上运动时，4F的最小值是1072.

【分析】过点£作EHLAD于点H,过点尸作相，8£,交BE的延长线于点

K,交他的延长线于点M,利用矩形的判定与性质，正方形的性质，直角三

角形的性质和全等三角形的判定与性质得到KF=EH=6,KE=HD,设AH=

x,则〃。=EK=8-x,MH=x,利用勾股定理，配方法以及非负数的意义解

答即可得出结论.

【解答】解：过点£作即，3于点〃，过点尸作小，8E,交5E的延长线

于点K,交45的延长线于点如图，

四边形Z8CO为矩形，

：.AB=CD=6,AD=BC=8,ZC=ZADC=90°,

■:EHLAD,

：.四边形CDHE为定形,

：.EH=CD=6,

,：四边形DEFG为正方形，

：.EF=ED,ZFED=90°.

：.ZKEF+ZHED=90°.

•：FKLBE,

：.ZKFE+ZKEF=90°,

/.ZKFE=ZHED.

在AKFE和AHED中，

rZFKE=ZEHD=90°

■ZKFE=ZHED，

EF=DE

:.XKFEmXHED(44S),

：.KF=EH=6,KE=HD.

'：ABAH=ZAHE=ZMKH=90°,

/.四边形为矩形，

：.AH=MK,AM=HK,ZM=90°,

设则HD=EK=8-x,MH=x,

：.AM=HK=HE+EK=14-x,MF=KF+MK=6+x,

在RtZ\dFM中，

AM2+MF2=AF2,

AF=

-'-V(14-X)2+(6+X)2=V2(X-4)2+200'

V2(x-4)220,

，当x=4时，幺/取得最小值为J200=10匹•

的最小值是1072.

故答案为：10匹.

三、解答题(本大题共10个小题，共86分，请写出文字说明、证明过程或演

算步骤.)

17.(6分)计算：|-2|-(TT-2)o+(J.)-1-4tan45°.

3

【分析】直接利用零指数嘉的性质以及负整数指数嘉的性质、特殊角的三角

函数值、绝对值的性质分别化简得出答案.

【解答】解：原式=2-1+3-4X1

=2-1+3-4

=0.

3(x+2)>X+4(D

18.(6分)解不等式组：x/x+1，并写出它的所有整数解.

【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得出答案.

【解答】解：解不等式3(x+2)>x+4得x>-l,

解不等式三V主旦得，x<3,

34

二不等式组的解集为-l<x<3.

二不等式组的整数解为0,1,2.

19.(6分)如图，矩形Z5CD中，AC与BD交于点、O,BELAC,CF±BD,垂

足分别为E,F.

求证：BE=CF.

【分析】要证8E=CF,可运用矩形的性质结合已知条件证5£、CF所在的三

角形全等.

【解答】证明：；四边形48CD为矩形,

：.AC=BD,则80=C0.

「BEL4c于E,于

/.ZBEO=ZCFO=90°.

又：ZBOE=ZCOF,

：.ABOE2ACOF.

：.BE=CF.

20.(8分)为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”

活动，分为笔试和展演两个阶段.已知年级所有学生都参加了两个阶段的活

动，首先将成绩分为以下六组(满分100分，实际得分用x表示)：

A：70Wx<75,B：75Wx<80,C：80<x<85,D-.85<x<90,E：90<x<

95,F：95Wx<100

随机抽取〃名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信

息如下：

笔试成绩各组人数的扇形统计图展演成绩频数分布直方图

已知笔试成绩中，。组的数据如下：85,85,85,85,86,87,87,88,

89.

请根据以上信息，完成下列问题：

(1)在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是54°；

(2)n=20,并补全图2中的频数分布直方图；

(3)在笔试阶段中，〃名学生成绩的中位数是85.5分;

(4)已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照2：3的权重计入总成绩，总成

绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，

最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由.

笔试展演

甲9289

乙9095

【分析】(1)根据£组的人数所占的百分比进行计算即可；

(2)由笔试成绩。组的人数及所占的百分比可得〃的值，即可补全图2中的

频数分布直方图；

(3)根据中位数的定义即可求解；

(4)根据加权平均数的计算方法即可得出答案.

【解答】解：(1)在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是360°

X(1-5%-5%-20%-45%-10%)=54°,

故答案为:54；

(2)〃=9+45%=20,

展演成绩中B-.75<x<80的人数为20-2-6-4-3-1=4,

补全图2中的频数分布直方图：

展演成绩频数分布直方图

(2)将抽取的20名学生的笔试成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数

的平均数为空逊=85.5,

2

故答案为：85.5；

（3）乙同学能获得“环保之星”称号，理由如下:

甲同学的总成绩为因*2+89X3=90.2（分）,

2+3

乙同学的总成绩为90X2^5X3=93（分），

2+3

93>90.2,

乙同学能获得“环保之星”称号.

21.（8分）数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下:

活动课题遮阳篷前挡板的设计

问题背景我们所在的社区服务中心在境外安装了遮阳篷，结果发现夏日正

午时纳凉面积不够，现在为使房前的纳凉区域增加到2.76机宽，计

划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1,

现在要计算所需前挡板的宽度8c的长.

图1

测量数据我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2,遮阳篷

抽象模型48长为4机，其与墙面的夹角NR4Q=70°,其靠墙端离地高

为3.5掰.通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太

阳光线与地面夹角NCFE）最小为60°,若假设此时房前恰好有

2.76机宽的阴影。E如图3,求出8c的长即可.

(1)运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出

遮阳篷前端B到墙面AD的距离；

(2)继续构造直角三角形，求出NCFE为60°时，5c的长度.

运算过程…

该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部

分.(结果精确至"0%,参考数据sin70心0.94Qcos7ff心0.342tan7ff

^2.74773^1.732)

【分析】过点5作5GLZ。，垂足为G,延长8C交。£于点〃，根据题意可

得：BG=DH,BH=DG,BH1DE,然后在RtAASG中，利用锐角三角函数

的定义求出ZG和8G的长，从而求出。G和E汗的长，最后在RtACW中，

利用锐角三角函数的定义求出C〃的长，从而利用线段的和差关系进行计算，

即可解答.

【解答】解：过点8作5GL4D,垂足为G,延长5c交。E于点X,

由题意得：BG=DH,BH=DG,BH±DE,

在中，AB=4m,ZBAG=7Q°,

：.AG=AB^os,70o^4X0.342=1.368(m),

BG=ABUmlO°^4X0.94=3.76(m),

：.BG=DH=3J6(m),

•；AD=3.5m,

：.DG=BH=AD-AG=3.5-1.368=2.132(m),

DF=2J6m,

：.FH=DH~DF=3J6-2.76=1(m),

在中，/CFS60°,

/.CH=FH\^n60°=5/3(m),

：.BC=BH-CH=2.132-1.732=0.40(m),

.IBC的长度约为0.40m.

22.(8分)如图，48为O。的直径，点。为O。上一点，点E是俞的中点，

连接BE,AE,过点幺的切线与的延长线交于点C,眩BE,，。相交于点

F.

(1)求证：/ADE=/CAE；

(2)若N3E=30。，AE=Q求好的长.

【分析】(1)根据切线的性质可得NCMC=90°,从而可得NC4E+N8ZE=

90°,再利用直径所对的圆周角是直角可得NZE8=90°,从而可得/氏4E+N

5=90。，然后利用同角的余角相等可得N8=NC4E,再根据同弧所对的圆

周角相等可得N5=N。，从而利用等量代换可得ND=NC4E,即可解答；

(2)利用(1)的结论可得NZ£)E=N5=30°,然后在中，利用锐

角三角函数的定义求出5E的长，再根据已知易得病=血，从而可得ZE=

DE,然后利用等腰三角形的性质可得/瓦4。=/。=30°,最后在RtAZEF

中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，从而利用线段的和差关系进行计

算，即可解答.

【解答】(1)证明：与O。相切于点4

：.ZOAC=90a,

：.ZCAE+ZBAE=90°,

为O。的直径，

；./AEB=90°,

/.ZBAE+ZB=90°,

ZB=ZCAE,

：./D=/CAE；

(2)解：VZADE=30°,

AZADE=ZB=30°,

在RtAABE中，&E=a，

：.BE=_AE_=毕=3,

tan30°V3

3

.点E是俞的中点，

•■•AE=DE)

：.AE=DE,

：.ZEAD=ZD=30°,

在RtA/EF中，EE=Z£Qin30°=M乂叵=1,

3

：.BF=BE-EF=3-1=2,

:.BF的长为2.

23.(10分)“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运

兴则体育兴.”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课

间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买45两种跳绳若干，

已知购买3根Z种跳绳和1根5种跳绳共需105元；购买5根Z种跳绳和3

根8种跳绳共需215元.

(1)求48两种跳绳的单价；

(2)如果班级计划购买Z,5两型跳绳共48根，5型跳绳个数不少于Z型跳

绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？

【分析】(1)设Z种跳绳的单价为x元，8种跳绳的单价为了元，根据题意列

出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；

(2)设购进Z种跳绳a件，总费用为w元，根据5种跳绳个数不少于Z型

跳绳个数的2倍，求出。的取值，再根据一次函数的性质，即可得到答案.

【解答】解：(1)设Z种跳绳的单价为x元，8种跳绳的单价为y元，

(3x+y=105

|5x+3y=215，

解得:产5

ly=30

答：Z种跳绳的单价为25元，5种跳绳的单价为30元；

（2）设购进Z种跳。件，总费用为w元，

•••8种跳绳个数不少于Z型跳绳个数的2倍，

则2aW48-a,

解得:aW16,

w=25a+30（48-a）=-5a+1440,

V-5<0,

-'-w随a的增大而减小，

当a=16时，w有最小值为1360元，

答：购买跳绳所需最少费用是1360元.

24.（10分）如图，在平面直角坐标系X0中，△4BC的顶点8,C在x轴上，

顶点/在y轴上，AB=AC.反比例函数y上（x〉0）的图象与边ZC交于点E

x

（1,4）和点尸（2,〃）.点/为边油上的动点，过点乱作直线MV〃x轴，

与反比例函数的图象交于点N.连接OE,OF,（W和ON.

（1）求反比例函数的表达式和点Z的坐标；

（2）求△OEF的面积；

（3）求△OAW面积的最大值.

【分析】（1）根据反比例函数y上（x〉o）的图象与边NC交于点E（1，4）

X

和点尸（2,〃）,得到左=1义4=4,于是得到反比例函数的解析式为了=8,

把尸(2,〃)代入得到/(2,2),设直线NC的解析式为y=mx+〃，

X

解方程组得到直线ZC的解析式为了=-2x+6,于是得到Z(0,6)；

(2)根据三角形的面积公式即可得到结论；

(3)根据等腰三角形的性质得到O8=OC=3,求得8((-3,0),得到直

线45的解析式为y=2x+6,设V(根，2根+6),N(〃，A),根据三角形的面

n

积公式和二次函数的性质即可得到结论.

【解答】解：(1)•.•反比例函数y上(x〉0)的图象与边ZC交于点E(1，

X

4)和点尸(2,n),

:・k=1X4=4,

・••反比例函数的解析式为了=刍，

X

把尸(2,«)代入y=4,得〃=4=2,

"x2

：.F(2,2),

设直线ZC的解析式为了=机工+〃，

・|m+n=4

12m+n=2

解得(m=-2,

1n=6

二直线AC的解析式为y=-2x+6,

当x=0时，y=6,

：.A(0,6)；

(2)△OEF的面积=/\AOF的面积-LAOE的面积=_1_义6乂2—―X6X]=

3；

(3)在y=-2x+6中，当y=0时，x=3,

：.C(3,0),

'：AB=AC,AOLBC,

：.OB=OC=3,

：.B((-3,0),

，直线48的解析式为y=2x+6,

设M（m,2m+6）,N（〃，A）,

n

9：MN//x^,

/.2m+6=l,

n

.n=2

m+3

「•△OAW面积=_L（n-m）X（2m+6）=_L（_2_-加）（2掰+6）=-m2-

22m+3

3m+2=-（加+旦）2+-1Z-,

24

••.△OWN面积的最大值为

4

25.(12分)【问题情境】

如图1,在四边形N8CD中，AD=DC=4cm,ZADC=60°,AB=BC,点、E

是线段形上一动点，连接。E.将线段绕点。逆时针旋转30°,且长度

变为原来的机倍，得到线段。凡作直线CE交直线Z5于点〃.数学兴趣小

组着手研究能为何值时，即升他5E的值是定值.

【探究实践】

老师引导同学们可以先通过边、角的特殊化，发现机的取值与加加8E为定

值的关系，再探究图1中的问题，这体现了从特殊到一般的数学思想.

经过思考和讨论，小明、小华分享了自己的发现.

(1)如图2,小明发现：“当ND48=90°,机=近时，点X与点Z恰好重

2

合，小有BE的值是定值”•小华给出了解题思路，连接她，易证ADEBS^

。尸C,得到CF与BE的数量关系是CF=^BE,即号BE的值是4

(2)如图3,小华发现：“当4D=4B,机=哼时，如咚8£的值是定

值”.请判断小明的结论是否正确，若正确，请求出此定值，若不正确，请说

明理由.

【拓展应用】

(3)如图1,小聪对比小明和小华的发现，经过进一步思考发现：“连接

DB,只要确定48的长，就能求出机的值，使得印，+机5£的值是定值“，老

师肯定了小聪结论的准确性.若AB=V7，请直接写出他的值及的定

值.

【分析】(1)根据已知条件得出8。为NC垂直平分线，再根据相似三角形的

判定得出ADFCSADEB,从而得出CF=返BE,最后根据HF十叵BE=

22

HF+CF=HC=AC,即可得出答案；

(2)连接ZC,8D交于。点，根据已知先得出四边形48co为菱形，得出/

BDC=L/ADC=30：在等腰△OC5中，根据AD=«CD,得出