湘豫联考2024届高三年级下册第一次模拟考试（2月）数学试卷(含答案)

湘豫名校联考2024届高三下学期第一次模拟考试(2月)数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.^>^A=｛xeR|x<2｝,B=<xeR|y=-^=j,则(二人)B=()

A.(1,2)B.(2,3)C.(l,2]D.[2,3)

1一一

2.已知复数满足zi+l=—匚,复数的共辗复数为z,则z在复平面内对应的点位于()

2+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知向量2),6=(苍-1)1=(-4,%)若2”+"4-反向共线,则实数％的值为()

A.-7B.3C.3或-7D.-3或7

4.已知正实数苍y满足L+工=1,则4孙-3x的最小值为()

xy

A.8B.9C.10D.11

5.已知等比数列｛q｝的公比与等差数列也｝的公差均为2,且4=乙+2=2,设数列｛g｝

满足与=丁；鲁器’〃eN*,则数列间的前20项的和为()

、598-221「598+221「602+220-602+221

A.-----------B.-----------C.-----------D.-----------

3333

6.党的二十大报告提出:“深化全民阅读活动.”今天，我们思索读书的意义、发掘知识的

价值、强调阅读的作用，正是为了更好地满足人民群众精神文化生活新期待.某市把图书

馆、博物馆、美术馆、文化馆四个公共文化场馆面向社会免费开放，开放期间需要志愿

者参与协助管理.现有A,3,C,D,E共5名志愿者,每名志愿者均参与本次志愿者服务工作,

每个场馆至少需要一名志愿者，每名志愿者到各个场馆的可能性相同，则A乃两名志愿者

不在同一个场馆的概率为()

A4BtCt

7.已知函数/(x)=2sin(<»x+G)+l]oeN*,-7r<G<-1J的图象过原点，且关于点

工,1对称,若函数/(x)在

0,—上单调，则f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为

8.已知角a为锐角，则一■+—\——tana的最小值为()

2sinacosa

A.2B.—-V3C.lD.---

333

二、多项选择题

9.下列说法中，正确的是()

A.设有一个经验回归方程为y=l-2x，变量x增加1个单位时,/平均增加2个单位

B.已知随机变量1~N(0,4),若P(J>2)=0.2，则尸(—2<^<2)=0.6

X

C.两组样本数据X］,%,%3，4和弘，%，%，%的方差分别为S；,.若已知玉+当=10且

司＜%[=1,2,3,4),则5；=5；

D.已知一系列样本点(大，x)(i=l,2,3,)的经验回归方程为y=3尤+&,若样本点(m,3)与

(2,n)的残差相等，则3m+n=10

10.已知函数/0)=45由(。》+9)14〉0,0〉0,|9|<5］的部分图像如图所示、则下列结

A./(%)在［0,7i］上有两个极值点

C.函数y=小-3的图象关于y轴对称

D.若/(%)-/(%2)|=4,则卜-引的最小值为几

22a

11.已知双曲线C:1r-方=1(。〉0］〉0)上一点A到其两条渐近线的距离之积为|，则

下列结论正确的是()

A二+二=2B.abW3C.a2+b->6D.-+-<^

a2b23ab3

12.如图1,在直角梯形A3CD中,AB//CD,AB，Ar>,AB=3石,CD=46,AD=3,点

E,F分别为边AB,CD上的点，且EF//AD,AE=273.将四边形AEFD沿EF折起，如图2,

使得平面AEED,平面E3CR点般是四边形AEED内的动点,且直线M3与平面AE五。

所成的角和直线MC与平面AEED所成的角相等，则下列结论正确的是()

B.点〃的轨迹长度为，

3

C.点”到平面E3CR的最大距离为6

D.当点M到平面EBCF的距离最大时，三棱锥M-BCF外接球的表面积为28兀

三、填空题

13.在(2x+l)5(y-1)3的展开式中,％3y2的系数为.

14.已知圆C:f+(y—4)2=4,点尸(2,4),若直线/:%+0+1)v一7%—1=0与圆C相交于

A,B两点，且NAPfi=90。,则实数m的值为.

15.已知曲线丁=1-1与曲线y=/(x)关于直线x-y=0对称，则与两曲线均相切的直

线的方程为..

16.已知直线4x-4y+3=0与抛物线G：-=y交于A,B两点，且点A位于第二象限，抛

物线上有一动点尸位于曲线A3之间(不含端点)，以线段A3为直径的圆与直线AP

交于异于点A的另一点。，则|的取值范围是.

四、解答题

17.在Z\ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c且cos2B+cos2c=2cos2A—2sin3sinC.

⑴求角A;

⑵若ABAC的平分线父3C于点=3,c=4,求AD的长.

18.已知数歹(]{4},若q=1,%+1-2。“=1.

⑴求证:数列{%+1}是等比数列；

⑵若数列(二的前〃项和为S",不等式log.(1-«)>Sn对任意的正整数n恒成立，求

anan+l

实数。的取值范围.

19.象棋是中国棋文化之一，也是中华民族的文化瑰宝，源远流长，雅俗共赏。某地

举办象棋比赛，规定:每一局比赛中胜方得1分,负方得0分，没有平局.

⑴若甲、乙两名选手进行象棋比赛冠亚军的激烈角逐，每局比赛甲获胜的概率是(，乙获

胜的概率是!■，先得3分者夺冠，比赛结束.

⑴求比赛结束时，恰好进行了3局的概率；

(ii)若前两局甲、乙各胜一局，记X表示到比赛结束还需要进行的局数，求X的分布列及

数学期望；

(2)统计发现，本赛季参赛选手总得分Y近似地服从正态分布NQ2.16,9).若

〃一bVF<〃+2b,则参赛选手可获得“参赛纪念证书”;若y>〃+2b,则参赛选手可获得

“优秀参赛选手证书”.若共有200名选手参加本次比赛，试估计获得“参赛纪念证书”的选

手人数.(结果保留整数)

附:若X~N(〃,"),则—cr<X<〃+cr)H0.6827,—2cr<X<〃+2cr)a0.9545,

尸(〃—3cr<X<〃+3cr)a0.9973.

20.如图，在几何体4G2-ABCD中，平面AG。]〃平面ABCD,四边形A3CD为正方形,

四边形BBRD为平行四边形，四边形QDCCi为菱

形,DC=2,AC1=2五,ZD.DC=120°,E为棱CR的中点，点R在棱CQ上,AEH平面

BDF.

⑴证明DE，平面ABCD；

（2）求平面ABQ与平面3。口夹角的余弦值.

21.在椭圆（双曲线）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,该圆的圆心是

椭圆（双曲线）的中心，半径等于椭圆（双曲线）长半轴（实半轴）与短半轴（虚半轴）平方和（差）

22

的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆石:=+当=1（。〉6〉0）的蒙日圆的面积为

ab

13兀,该椭圆的上顶点和下顶点分别为匕鸟,且由国=2,设过点的直线人与椭圆

E交于两点（不与巳鸟两点重合）且直线4：x+2y-6=0.

（2）证明：的交点P在直线y=2上；

（2）求直线Am4围成的三角形面积的最小值.

22.已知0<a<1力〉1,不等式In（优+^-1）>ax+bx-2恒成立.

（1）求"+方的值犯

（2）若方程优+"=根有且仅有一个实数解，求ab的值.

参考答案

1.答案：D

解析：由题意可得\A=[2,+s),

因为5=<x|y==(-oo,3),

所以(\A)B=[2,3).

故选：D.

2.答案：C

2-i।31.

解析：因为力+1=£,所以”----------------1=1,

(2+i)(2-i)--------55

所以z=^_^_=—2+3i,所以工=—2―3i,

i5555

所以三在复平面内对应的点的坐标为位于第三象限.

故选：C.

3.答案：A

解析：因为a=(1,-2),方=(x,-1),c=(-4,X),

以2a+b=(2+x,—5),a—c—(5,—2—x),

因为2«+/>,a-c共线，所以(2+x)x(-2-x)-(-5)x5=0,

解得x=3或x=—7.又2a+Z>,a-c反向共线，

代入验证可知x=3时为同向，舍去.％=-7满足条件.所以1=-7.

故选：A.

4.答案：B

解析：由x>0,y〉0,且—।—=1,可得冲=x+y.

xy

所以4孙-3龙=4x+4y-3x=x+4y.

又因为x+4y=(x+4y)—+—=5+—+—>9,

Uy)xy

当且仅当至=2，即x=3,y=』时取等号，所以4孙-3x29.

xy2

故选：B.

5.答案：B

解析：因为％=々+2=2,所以4=0.根据题

以以,"为奇数，为奇数，a

息9=[,九为偶数=12〃_2,“为偶数，”，

所以

35

T2Q=(2+2+2++21，+2(1+3+5++]9)=2义心：)+2*10*(；+19)=598；2?[

故选：B.

6.答案：D

解析：5名志愿者分配到4个场馆，共有C；A：种不同的方法,A,B两名志愿者在同一个场

馆共有A：种不同的方法，

A49

所以A乃两名志愿者不在同一个场馆的概率为尸=1^二N.

C5A410

故选：D.

7.答案：D

解析：因为/(0)=2sin°+l=0,

所以夕=2kji-—^(p=2hi-—,keZ,

66

又一R<(p<_5、

所以0=-费，所以/(x)=2sin^x-^^+l.

因为/(x)的图象关于点(2,1〕对称,所以空。—型=E«eZ,

<36)366

所以g=---+6,keZ,因为x£0,—，口>0,

518

11CD5兀<兀

所以公-孚,£?一”.又函数/(%)在0,—上单调，所以<

6618618

G>0,

解得0<口06.因为@wN*,所以当左=0时，①=6.因为/(%)图象的相邻两条对称轴

之间的距离为半个周期，所以工=工义竺=z.

2266

故选：D.

8.答案：A

解析：

11/.,2/11131

----——Ftancr=Ismcr+cosa)\--------F-tan6Z=—+tan2a+--------tana

2sinacosa--------\2sinacosa)22tana

3ii

令/=tana,因为a为锐角，所以/>0.令/⑺=Q+/+m—7，则f\t)=2t-l--,

/"⑺=2+方>0.所以/⑺在/>0时是单调递增函数.又/'⑴=0,所以当/e(0,1)

时,/'Q)<0,/⑺单调递减；

当fe(1,+oo)时,f⑺〉0,/⑺单调递增，所以/(0>/⑴=2.所以当/〉0时，/⑺的最小

值为2.

故选：A.

9.答案：BC

解析：若有一个经验回归方程$=1-2x,随着x的增大,y会减小,A错误;

曲线关于％=0对称，因为PC>2)=0.2，所以<-2)=02,

所以「(—2<2)=1—P(J>2)—P4<—2)=0.6,B正确；

-14_14

因为玉+x=10,x=：£%=所以

4i=i4i=i

i/44\

X=7Z尤i+Zx=10'

4Vi=li=l7

所以

S；=

222222

(%1-X)+(x2-X)+(x3-%)-+(x4-X)_-2x(x+x+-Ix^x+x++X4-2X4X+X

4―4

X；+x；+x：~(2X1+2X2+2%+2%)亍+丁2_xf+x；+xj+_2_2+_2_X；+x；+xj__

444

，同理可

2222

*2¥+¥+¥+贤2_(10-A^)+(1O-X2)+(1O-X3)+(1O-X4)2

何.”--------------y----------------------------uu—1)-

400-205+%+&+%)+玉2+宕+后+/_(]0f2=]00_20»"只+后+仁100+20h？

44

x；+x；：x；+x：_?,故s；=s；,c正确;经验回归方程为9=3x+匾且样本点(m,3)与(2,〃)

的残差相等，则3—(3〃7+©)=〃—(6+©)=>3m+〃=92错误.

故选：BC.

10.答案：AC

解析：由题图知,4=2,37=亚—1―巴]=史所以周期丁=兀,。=@=2.

412v3J471

所以/(x)在[0,兀]上有两个极值点,A正确,又/|1^)=2sin(2x|^+0)=2,

所以2+0=2左兀+二，左EZ,所以夕=2%兀一二，左EZ.

623

因为l9l<],所以令左=0,即夕=一三.所以/(x)=2sin^2x-^.

所以71一|1]=25足12*一一三]=6,：3错误.

因为函数/(x)的周期为兀=/(x)图象上的所有点沿x轴向右平移已个单位长度

后得到V=小-3=2sin12x-3=-2cos2x的图象，为偶函数，所以函数

y=小-目的图象关于y轴对称,C正确.

若|/&)-〃％)|=4,则卜-目的最小值为错误.

故选：AC.

11.答案：ACD

尤2V2A

解析:双曲线C:二-七=1的渐近线方程为丁=土软.设点A(x,y)到两条渐近线的距离

aba

分别为4，%,

则利用点到直线的距离公式可得4d2=1”引•萼丝J=.X)j।.

因为W-1=1，所以3x)2-(ay)2=a%2,所以d&=上"==所以

a2b2a2+b2a2+b22

ii71177

：+3，,A正确;因为与税,所以必N3,B错误；

a2b23a2b23ab

因为/+/=(/+用仪+*}|=]2+〉夕〉*2+2^^1|=6,当且仅

当a=b时等号成立,C正确;

因为D112222+鸿斯以「上嗅当且仅当T时等

a2b1ab3ab3

号成立,D正确.

故选：ACD.

12.答案:BCD

解析：如图，连接CE,EM.因为平面AEFD，平面EBCR,平面AEFD，平面EBCF=EF,

AEu平面AEFD,

又AELEF,所以平面E3CE所以CE为C4在平面E3CT内的射影.易得△BCV

为等边三角形，

显然CE不垂直于3E所以AC不可能垂直于BE,A错误.

易知鹿，£F,所以3E，平面AEFD,^以ZBME为直线MB与平面AEFD所成的角洞

理ZCMF为直线MC与平面AEFD所成的角.所以ZBME=ZCMF，所以

tan=tanNOWF,所以匹=匕.

EMFM

因为CF=2BE,所以FM=2EM.在平面AEFD内，以E为坐标原点，以EE为x轴正方

向,£A为y轴正方向建立平面直角坐标系，则F(3,0)，设/(%y)，则有

7(x-3)2+y2=2打+9，化简得a+1)2+J=4,

即点M在平面AEFD内的轨迹方程为(x+1产+/=火0<x<1,y>0)，所以点M在平面

AEFD内的轨迹为以(-1,0)为圆心,2为半径的圆.易得点/在四边形AEFD内的轨迹为

该圆的一段弧，弧所对的圆心角为全

所以弧长为二义2=B正确.要使三棱锥M-BCF的体积最大,只要点M的纵坐标的

33

绝对值最大即可.

令尤=0,则＞=±百，又加＞0,所以M(o,6)，此时M到平面EBCF的最大距离为V3,C

正确.

三棱锥V-BCE外接球的球心在过△BCF的外接圆圆心且垂直于平面3CT的直线上.

在三棱锥M-BCF中，设点Q为等边ABCF外接圆的圆心，设三棱锥M-BCF外接球的

球心为。，半径为R,

设OQ=a,则有正="+4=(6—幻2+7,解得。=君,所以炉=7,

所以三棱锥M-BCF外接球的表面积S=4成2=28兀,D正确.

故选BCD.

13.答案：-240

解析：由题意，得dy2的系数为C；23=-240.

14.答案：1

解析：由题意，易得圆C的圆心为C(0,4),半径为2,点P(2,4)在圆C上.

因为/APfi=90。,所以所以线段A3为圆C的一条不过点P的直径.直线

/:x+(〃z+l)y—7〃?—1=0与圆C相交于两点，圆心C(0,4)在直线/上，

所以4(m+1)=7〃，+1,解得m=1.检验知m=1符合题意.

15.答案：x—y=0

解析：设曲线y=/(x)上任一点的坐标为(x,y),则该点关于直线x-y=0的对称点为

(y,x),

满足y=e*-1,则x=e＞-1,化简可得y=ln(x+l).设曲线y=e*-1上的切点为Qc-1),

曲线y=ln(x+l)上的切点为(孙皿9+1))，又V=e'T的导函数为y=e*,y=ln(x+l)的

导函数为『商

x+1

2，两式整理得％=-(x2+l)ln(x2+1),

e”(x2-%)=皿9+1)-(e*-1)

所以H+1产叫=(%+l)T,解得》2=0,所以西=。•所以曲线y=e-i与曲线

y=ln(x+l)的公切线的公切点为(0,0),则切线的斜率为1,故与两曲线均相切的直线的

方程为x-y=0.

16.答案：fo,—

%=——x=—

解析：由题意，联立方程广：一4丁+3=0,解得2'或力

x=y,19

I4L4

又点A位于第二象限，所以哈.设PL，则-g<Xo<|.

设直线AP的斜率为k,

则左=―=―^=x0-L所以直线AP的斜率左的取值范围是(-1,1).

112

xo+2X0+2

因为以A3为直径的圆与直线AP交于异于点A的另一点0,所以AQLBQ.

当左=0时，直线AP为y=L直线8。为x=3,此时P［一］,所以|”|=1,|PQ|=1,所以

42124J~

APPQ=1.

当归W0时斯以直线3Q的斜率为-L易得直线AP的方程为6-丁+4+工=0,直线

k24

,1,1八

93kx-y+-k+-=0,

3Q的方程为x+◎-2攵-士=0,联立；:解得点。的横坐标是

42x+Zry--^-―=0,

_—左2+4左+3

，=2(院+1).

（左一）（左+）

^yll+k\k+V）,\PQ\=yJl+k2（x-x）=-112

Q0VF+1

所以|AP|•|PQ|=—(左一1)/+Ip.令于(k)=_(k-W+1)3，贝If'(k)=一(4左-2)(左+1)2,

所以当一1〈人＜g且左WO时,/'(x)〉0;当;〈左＜1时,/'(x)＜0,所以/(左)在区间

(-1,0),(0,£|上单调递增，在区间&，1］上单调递减，因此当左=；时，1”|・|加|取得最

77

大值」，且/(幻＞0,

所以|AP|・|PQ|e0,—

17.答案:

解析：（1）因为cos25+cos2C=2—2sin2A—2sin3sinC,

所以1—Zsi/B+l—2sin2c=2—2sin2A—2sin5sinC,

即sin2A=sin2B+sin2C-sinBsinC,

由正弦定理得a?=82+/-be,又由余弦定理"=匕2+c2-2Z?ccosA,可得COSA=L

2

因为Ae（0,兀），所以A=2,

3

（2）在△ABC中,由等面积法得S油。+SA。，

11A1A

即一ACABsinA=—ABADsin—+—ACADsin—,

22222

BP—x3x4x=—x4xADx—+—x3xADx—,

222222

所以AD=@I.

7

18.答案：（1）{%+l}是首项为2,公比为2的等比数列

解析：(1)因为%+]=2%+1,所以。/]+1=2为+1+1=2(为+1),

又因为q+1=2,所以也+1｝是首项为2,公比为2的等比数列.

(2)由(1)易知a.+l=2x2"T=2",q=2"—l,

所以__=_____r_______=_i______i,

+1n+1

anan+1(2"-l)(2"-l)2-12"-1

所以='(2、1A+—)='［右——卜1一■'

欲使不等式loga(l-a)>Sn对任意正整数n恒成立，只要log”

由题意可得〃且1一〃>0,解得Ovavl.只需1一QVQ,解得

2

综上所述，实数。的取值范围是

19.答案：(1)(i)—(ii)—

2525

(2)164

解析：(1)(i)比赛结束时恰好进行了3局，甲夺冠的概率为=:,

乙夺冠的概率为=—,

2(5)125

所以比赛结束时恰好进行了3局的概率为「=々+£=二+且=亘=工.

1212512512525

(ii)X的可能取值为2,3.

因为P(X3朗+(|)Y，

P(X=3)=1—P(X=2)=!|,

所以X的分布列如下：

X23

P1312

2525

故E(X)=2碟+3费=第

(2)因为比赛成绩y近似地服从正态分布N(〃02),

所以比赛选手可获得“参赛纪念证书”的概率：

P("-a<Y<//+2CT)

二g尸(〃-(7<y<//+cr)+^P(ju-2b<Y<+2a)

»-x0.6827+-X0.9545=0.8186.

22

200x0.8186=163.72®164,

所以估计获得“参赛纪念证书”的选手人数为164.

20.答案：(1)见解析

⑵巫

4

解析：(1)如图，连接DC-因为四边形DQCC为菱形,/DQC=120。，

所以ZDCQ=60。,所以。C=2.

因为AD=DC=2,AG=20,所以=AC；,所以4。，。6.

又AD_LDC,DCDG=D,

所以AD,平面CDDCi，所以A£>J_DE,ADLDC,

因为四边形DXDCCX为菱形，且NDQC=120。,所以DA=DC,=DXCX,

因为E为棱CQ的中点，所以DE，CQ.

又CQJCD，所以DE_LCD.

因为DELAO,ADOC=。所以DE,平面A3CD

(2)以。为坐标原点,D4,DC,DE分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的

空间直角坐标系Dxyz.

易知DE=/，所以4(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,匹),耳(2,1,6),£(0,1,用

所以CG=(0,—1,百)，OC=(0,2,0),AE=(-2,0,5,DB=(2,2,0),DA=(2,0,0),

设CF=tCC^<t<1),贝！JDF=DC+CF=(0,2-1,5).

因为AE〃平面BDF,所以存在唯一的2,〃eR,

使得AE=力。3+gF=2(2,2,0)+〃(0,2-t,a)=(22,24+2〃一.

2

所以22=—2,24+2〃—〃/=0,行m=6懈得/,

所以。尸=0,上拽,DBX=(2,1,73),

、33)

设平面BDF的法向量为〃=(XpX，zJ,

%_n[42A/3八

则['所以”+亍4=0，

DB"=。,12玉+2%=0.

取M=-3，贝UX]=3,Z]=2^/3,

所以平面瓦加的一个法向量为〃=(3,-3,2月).

设平面ABQ的法向量为m=（x2,y2,z2）,

”…所以.2X=0,

则2

2X+%+,Z2=0.

DBX•雨=0,2

取%=3厕々=0,z2=—V3,

所以平面ABQ的一个法向量为帆=（0,3,-百）.

设平面A耳。与平面8。斤的夹角为。，

则cose=3=15理

|nIIm|V30x2V34

故平面ABXD与平面BDF夹角的余弦值为叵

4

21.答案：(1)—+/=1

解析：（1）根据题意，蒙日圆的半径为相，所以/+〃=13.

2

因为|片间=2,所以X,所以。=26,所以椭圆E的标准方程为m+>2=1,

因为直线4过点。［0,；］,且易知直线4的斜率存在，

1，

所以可设直线/：,=丘+-，4（%1，%）,5（%2，%）联立方程12〜

2冗21

A2+y=，

消去y并整理可得（12F+1卜2+］2质_9=0.

由根与系数的关系可得,%+/=——，，中2=--J，

12左+112%+1

因为《（0,1）,已（0,-1）,所以直线4《：丁=入匚％+1,直线5R：y=五"》-1.

国X2

所以y-1_%_x2（yi-1）_何一j_M々_何々―万国+々）+］当

y+1%+12+乡］AXJ%2+—^kxxx2+—xx

%2I2J22

9kIf12ky1

_~12k2+1_5*nk2+l）+2X］

二9k3

12k2+121

3k1

------?-----1—M11

12^+12::

9k3-3,

~12k2+l+2Xi

所以y=2,即直线的交点尸在直线y=2上，

（2）设直线人与直线,期的交点分别为C«,%），为），

则由(1)直线APX:y=—~^x+1,直线BPX:y=—~-x+1.

%1x2

j~-x+1,y=~~~-x+1,

联立石及赴

11

y——x+3,y——x+3,

、2、2

可得x3=—%—,x4=—生一

(2左+1)石一1(2^+1)X2-1

因为上一口=加1+/一4匹=卜/6,16左2+1