山东省临沂市2024届高三年级下册5月高考模拟考试（二模）数学试题（含答案解析）

山东省临沂市2024届高三下学期5月高考模拟考试（二模）数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

2

1.已知i为虚数单位，（l-i）,Z=1+^i,则口=（）

2.若A=〈小

B=|x|log5x<l^则AcB的元素个数为（)

A.0B.1C.2D.3

2

3.一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,加,12,14,21,若该组数据的中位数是极差（，则该

组数据的第45百分位数是（）

A.4B.6C.8D.12

4.若有2名女生和4名男生到“山东旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，分配时每

个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为（）

A.16B.20C.28D.40

5.已知函数"x）=sin（2x+0）（冏<5）图象的一个对称中心为1,04则（）

■JTTT

A.”力在区间上单调递增

B.尤=?是/（x）图象的一条对称轴

0

C.在一上的值域为-1，与

D.将/（尤）图象上的所有点向左平移S三ir个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称

JT

6.若实数。，b,。满足Q=2sinn",K=7,3，=10,则（）

12

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c

7.已知正方体ABC。—AAGA中，M,N分别为CG,G。的中点，贝1J（）

A.直线MN与AC所成角的余弦值为逅B.平面加W与平面3G2夹角的余弦值为

3

10

C.在BG上存在点。使得耳D.在瓦。上存在点P,使得PA//平面BMN

22

8.椭圆三+5=1(a>A>0)的左、右焦点分别为耳，F2,尸为椭圆上第一象限内的

一点，且咫，尸尸2，尸片与y轴相交于点。，离心率e=手，若窗=4两,则2=()

9.已知｛4｝是等差数列，S"是其前”项和，则下列命题为真命题的是()

A.若。3+&=9,%+。8=18,则％+。2=5B,若%+%3=4,则几=28

C.若几<0,贝”7>航D.若㈤｝和｛。屋%｝都为递增数列，则an>0

10.设A(/yJ,3(々,%)是抛物线C：f=8y上两个不同的点，以A,8为切点的切线交

于点尸(七,%).若弦AB过焦点尸，则()

A.%+々=2%0B.若外的方程为x—2y—1=0,则无2=—4

C.点P始终满足尸4尸8=0D./MB面积的最小值为16

11.已知定义在R上的函数“X)满足〃x+l)+〃x+3)=/(2024),〃r)=/(x+2),且

A./(x)的最小正周期为4B."2)=0

C.函数f(x-l)是奇函数D.Xk'f\k

、填空题

12.(l+g](l+xy展开式中/项的系数为.

13.若直线y=«r+l与曲线y=b+lnx相切，则仍的取值范围为.

14.根据统计数据,某种植物感染病毒之后，其存活日数X满足:对于任意的〃eN*,X=n+\

的样本在X>n的样本里的数量占比与X=1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于

试卷第2页，共4页

1,HPP(X=n+\\X>n)=P(X=1)=1,贝i]P(X>〃)=,设a“=〃尸(X=〃)，[an]

的前n项和为S",贝I]S„=.

四、解答题

15.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知

ccos(A-B)=2A/3GsinBcosC-ccosC.

⑴求C;

CD2

(2)若点。在线段AB上，且比＞=2R4,求「——的最大值.

2a2+5/

16.“赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力为了解年轻人对“赶大集”的态度，随机调查了

200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2x2列联表所示(单位：人).

非常喜欢感觉一般合计

男性3t100

女性t

合计60

(1)求/的值，试根据小概率夕=0.01的独立性检验，能否认为年轻人对“赶大集”的态度与性

别有关;

(2)从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和2名

女性非常喜欢“赶大集”.现从这8名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记X为这5

人中非常喜欢“赶大集”的人数，求X的分布列及数学期望E(X).

2w(ad-be)"

参考公式:,(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)'其中n-a+b+c+d.

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，ZR4D=60°,BD〃平面AMHN,

点M,N,X分别在棱尸2,PD,PC上，且MZVLPC.

p

⑴证明：PB=PD；

(2)若〃为PC的中点，PA=PC,B4与平面P8O所成角为60。，四棱锥P-ABCD被平面

4WHN截为两部分，记四棱锥P-4WHN体积为匕，另一部分体积为七,求

18.已知向量&=(0,1),6=(1,0),点尸(1,0),<2(-1,0),直线PD,0。的方向向量分别为

2Aa+b，2a+Ab，其中/leR,记动点。的轨迹为E.

⑴求E的方程；

⑵直线/与E相交于A,B两点，

(i)若/过原点，点C为E上异于48的一点，且直线AC,BC的斜率七c，即c均存在,

求证：为定值；

(ii)若/与圆O：/+丁2=/相切，点"为a?的中点，且|Afi|=2|ON|,试确定圆。的半

径r.

19.己知函数/(x)=ln(依)+(a-l)x-e”.

(1)当。=1时，求证：/(X)存在唯一的极大值点看,且/(与)<-2；

⑵若f(x)存在两个零点，记较小的零点为X1,才是关于x的方程ln(l+x)+3=2⑼+cosx的

根，证明：e'+l>2eX1.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】借助复数的四则运算及复数模长计算公式计算即可得.

]y/3

【详解】1+后1+后(1+后卜1-6+i：：指

(1-i)22x(l-2i-l)-4i-4ixi444

故选：B.

2.C

【分析】分别确定集合AB，再求交集.

【详解】根据题意，可得集合4={xeZ|xW2或x>8},

B={x[0<x<5},

则Ac3={l,2},所以Ac5的元素个数为2个.

故选：C

3.A

【分析】根据题干中该组数据极差和中位数的关系列方程求出租，然后根据百分位数的定义

求解即可.

【详解】根据中位数的定义，该组数据的中位数是f,

2

根据极差的定义，该组数据的极差是21-1=20,

依题意得，丝式=20x(,解得加=4,

6x0.45=2.7gZ,

根据百分位数的定义，

该组数据的第45百分位数是从小到大排列的第3个数，即4.

故选：A

4.C

【分析】先分组后分配，分组时分一组2人一组4人和每组各3人两种情况.

【详解】第一步，先分组，分为一组2人，另一组4人，有C；C；=8种；

答案第1页，共20页

分为每组各3人，有c上Y常=6种，分组方法共有14种.

第二步，将两组志愿者分配到两个服务站共有A；=2种.

所以，总的分配方案有14x2=28种.

故选：C

5.D

【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到

平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.

【详解】由题意可得2x£+e=®(%eZ),解得"=_；+E(左eZ),

又故。=-1，Wf(x)=sin^2.x-^；

,7L71,_717兀兀

对A：当工£一7，丁时，2元一不£，

o3J3|_123_

77r7T

由函数、=sin元在一正，§上不为单调递增，

JTTT

故/(X)在区间上不为单调递增，故A错误；

|_O□_

r_Lc"571r_LC兀471

对B：当x=—时，2%----=—,

633

4TT

由x=w不是函数1=$比尤的对称轴，

Sir

故X=?不是〃x)图象的对称轴，故B错误；

0

,7171,_712兀兀

对C：当r>了£时，2x--e—-—,

64J336_

则-1,1,故C错误；

对D：将〃x)图象上的所有点向左平移三个长度单位后，

(5兀71।(71)

■pf^y=sinl2x+2x---l=sinl2x+—1=cos2x,

该函数关于y轴对称，故D正确.

故选：D.

6.A

【分析】首先判断a<Ll<b<2,且c=log310,根据对数函数的性质可得c>2,即可

判断.

答案第2页，共20页

TTTV

【详解】因为Q=2sin—<2sin—=1,

126

又匕3=7,贝!]b=将，且1〈而〈我=2,即

因为3°=10,所以c=log310>log39=2,

所以c>b>a.

故选：A

7.C

【分析】以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1,由空间

向量计算异面直线所成角，二面角和线线垂直可判断ABC；由MM,氏A四点共面，而A©

平面aWN可判断D.

【详解】以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1,

所以4(1,0,0),0(0,0,0),8(1,1,0),C(0,1,0),4(1,0,1),〃(0,0,1)，4(1,1,1)6(0」,1),

1

2

g，0；AC=(-M,-1)，

对于A,MN=o,-

i

MN•A\C2巫

直线MN与AC所成角的余弦值为gsMN,AQ==W，故A错误;

W||AC

0,一,。],TO,；,

对于B,MN=BM=

n-MN=--y=0

设平面BAW的法向量为〃=（尤,y,z）,则<2

n-BM=-x+—z=0

2

取x=l,可得y=0,z=2,所以“=(1,0,2),

GR=(o,-LO),BG=(T，O，I),

n,CR=—y=0

设平面BCQ的法向量为〃2=a，x，zJ,则<1

n•BQ=-x1+z1=0

取再=1,可得%=O,Z[=1,所以戊=(1,0,1),

平面BMN与平面BCR夹角的余弦值为:

答案第3页，共20页

m-n1+23\/10,,

cosm,n=|||,=~f=~/==——,故B错乐；

\m\-\n\J5xj210

对于C,因为。在BG上，设。a)』,Zo),所以C]Q=XG8,0>A<l,

则C©=(x°,0,z0-1),GB=(1,0,T),所以％=%z。=T+1,

所以。(41,T+1),5^=(2-1,0,-A),5^=(-l,-l,l),

所以解得：A=1.

故8G上存在点。色,1彳)，使得qQLBR,故C正确；

对于D,因为MNIIDCIIAB,所以四点共面，

而Ae平面所以与。上不存在点P,使得上4〃平面故D错误.

【分析】设同卜利、|明=〃，结合椭圆定义及离心率可用c表示摩|、|呜，结合勾股

定理计算即可得解.

36后

【详解】设|尸耳=机则有加+/=4c2，m+n=2a=2x—i=C=-----C

65

贝U(m+n)2=+〃2+2mn=-c2,即2mn=­c2—4c2=-c2,

22222

则=m+n-2mn-4c--c=—c,即机一〃=?心c

555

2A/56A/132756A/5

日n----cH------c--------CH-----C

即554A/5,332y/5,

m=------------------------cn=---------------—-----c

2525

则,用=%|尸用=2根=竽2°，由|/=M，

答案第4页，共20页

整理得84=5,即4

8

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助椭圆定义及离心率，用c表示,用、|?名|,再

借助彳表示出1。叫1，结合勾股定理计算即可得解.

9.BC

【分析】根据题意，求得4结合4+%=(/+%)-4d,可判定A错误；根据数列的

O

求和公式和等差数列的性质，可判定B正确；由几<0,求得/<0,可判定C正确；根据

题意，求得任意的"'2,%>0,结合为的正负不确定，可判定D错误.

【详解】对于A中，由%+0=9,a.,+C8=18,

可得(%+fl8)_(o3+%)=8d=9,所以d=2,

8

99

又由G+々2=(。3+。4)-4d=9—4x^=彳，所以A错误；

82

对于B中，由514(4+%)=14(%+心」,所以B正确；

22

对于c中，由于=15(%：阳)=15%<0,所以&<0,

又因为Sg-S,=为<。，则57>及，所以C正确；

对于D中，因为｛%｝为递增数列，可得公差d>0,

因为｛4%+i｝为递增数列，可得an+2an+l-anan+l=an+l-2d>0,

所以对任意的此2M“>0,但％的正负不确定，所以D错误.

故选：BC.

答案第5页，共20页

10.ACD

【分析】由导数的几何意义，求得可得A处的切线方程，得出直线的方程，联立两

直线方程可判定A；根据已知和A选项可得玉=2,再设直线45:丁=丘+5，联立方程组,

根据根与系数的关系可求演，根据心A・⑥B=T，可判定B错误，C正确；取AB的中点

化简得到,的面积，可判定D正确.

【详解】依题意设4（%,另），*々,%），由方程V=8y,

可得y=:无:贝!iy=J■尤，

84

由导数的几何意义知，直线AP的斜率为占，同理直线成的斜率为左第=5々，

1J1

可得A处的切线方程为：＞—%（1—西），即丁―五=上玉（%—王），

484

22

化简可得＞=五尤-9，所以直线"的方程为y=&x-9，

4848

同理可得：直线取的方程为y咛x-今，

22

联立两直线方程得，五%—2=逸工—五，

4848

1/2

贝”一（再-x）x=-------,

4V2788

因为占片尤2,解得了=受/，y=华，

28

即%+%=2%,所以A正确;

若外的方程为尤-2丫-1=0,根据直线AP的方程为可得%=2,

联立方程组\y仁=k心x+2

设直线A8:y=fcr+2,

整理得Y—8版-16=0，

贝！JA=（—84产+64=64（k+1）>0,

且％1+%=8%,xxx2=-16,

所以々=-8,%=-2,所以B错误;

因为l小咪，子=-1’所以尸4*°,故C正确;

答案第6页，共20页

取AB的中点连接PH,根据中点坐标公式得〃(七三,七%

从而平行＞轴，由前可知？［七上，-2)

3+考、

所以s=；|P”|也=4A+21也一司=：^y^+2…2I

乙乙\乙J乙乙

\7

1（、

2^16+2,|石一马]

7

因为石+%2=82，x^2——16,所以才+龙；=（玉+%?）—2无]%2=64左?+32,

代入可得S=+21841+%2=8（1：）8,1+。=16（1+产）5,

当％=0时，S1nhi=16,所以D正确.

故选：ACD

【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法：

(1)数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解；

(2)构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不

等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值).

11.AB

【分析】据题意，通过赋值得到/(x)+〃x+2)=/(2024),/(x+2)+〃x+4)=/(2024),

即可判断A；令x=2021,可求出/(2022)=0,由周期性可判断B；令x=0,得到〃0)=0,

由周期性”2024)=0,可证明是奇函数，假设函数/(x-l)是奇函数，推出矛盾，判

断C；由周期性及对称性可计算D.

答案第7页，共20页

【详解】对于A,因为〃x+l)+〃x+3)=/(2024),

所以〃x)+/(x+2)=/(2024),/(x+2)+/(x+4)=/(2024),

所以/(x+4)=〃x),故/(x)的最小正周期为4,A正确;

对于B,因为〃龙+1)+〃尤+3)=/(2024),

令龙=2021,贝U/(2022)+/(2024)=/(2024),

所以,(2022)=0,

由A可知，/(2022)"(4x505+2)="2)=0,故B正确;

对于C,因为”—x)=/(x+2),①

令x=0,则〃0)=〃2)=0,

所以/(2024)=〃4x506)=/⑼=0,

所以/(力+/(尤+2)=/(2。24)=。，②

由①②，所以〃x)+〃r)=0,即〃—x)=—/(x),故为奇函数,

若函数/(x-1)是奇函数，贝=

所以/(-%-1)=/[-(%+1)]=-/(%+1),即/(x-l)=/(x+1),

所以〃x+2)="(x+l)+l]=/[(x+l)_l]=〃x),

所以的最小正周期为2,与选项A矛盾，故C错误;

对于D,因为〃尤)为奇函数，且/I；4,所以/

又因为的最小正周期为4,所以71

因为〃_x)=/(x+2)

3533

所以/+2

44Iz2I

所以以""357

=lxf+2x/+3x/+4x/

k=lII

I1c1c

=lx—+2x—+3x+4xT,

444

答案第8页，共20页

命"-3=5x佃+6x猾卜7X/9+8X醺)

=5*吗卜6Ml>7x/图+8x佃

=5x—+6x—+7x(-—|+8xf--|=—1,

44I4；I4_J

以此类推，

2024(-1、

所以左一5=506x(-l)=-506,故D错误.

k=\\ZJ

故选：AB

【点睛】方法点睛：本题以抽象函数为载体综合考查函数的性质，关键是根据已知条件判断

出的周期.

以下是抽象函数周期性质的一些总结，可以适当总结记忆：

设函数y=/(x)xeR,a>0,a^b

(1)若/(x+a)=/(x-。)，则函数的周期为2a；

(2)若"x+a)=-/a),则函数的周期为2°；

若小+力六

(3),则函数的周期为2a；

(4)若/"+0)=-去，则函数/(x)的周期为2a；

(5)若/(x+a)=/(x+6),则函数/(x)的周期为卜-瓦

12.42

【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.

【详解】对(1+尤有小=C；x，,

贝I］有1XCW+JxC*5=(c；+C)尤2=2C>2=42x2.

故答案为：42.

⑶T+4

【分析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得b=2+lna,则必=2a+“lna(a>0),

构造g(a)=2a+“Ina并研究单调性，进而求值域即可.

【详解】函数>=6+lnx的导数为了=2，

X

答案第9页，共20页

,\11

设切点为(天,冰o+l)，所以—="，则。%0=1，即一=%0

xoa

又因为(天,办o+l)在y=b+lnx上，所以"+1=6+In/,

所以A+ln/=2,即b—lna=2,所以b=2+ln〃，

所以"=a(2+lna)=2〃+〃lna(a>0),

令g(a)=2a+alna,g\d)=2+lnQ+〃一=ln〃+3,

a

令g'(a)>0,可得。>工，令/⑷<0,可得o<"4，

eJeJ

所以g(a)在上单调递减，在g，上单调递增，

,、fQ21,1231

所以g(a)m,"g[/J=£+/ln/=/_/=_/.

当。趋近正无穷时，g(〃)趋近正无穷.

所以必的取值范围为：

故答案为：一

【分析】根据条件概率的计算以及递推法可得督*4(心2),根据等比数列的定义

可得P(X=")=3信，即可求解空1,根据错位相减法即可求解空2.

【详解】P(X=»+l|X>n)=P(X=l)=|,

P(X=n+l)J.

因为P(X=〃+1[X>〃)=

P(X>ri)5

所以尸(X=〃+1)=(P(X>〃)，将"换成n-l,此时尸(X=〃)=(P(X>〃-1),

两式相减可得尸(X=〃)-P(X=/7+I)=1P(X>〃-I)-EP(X>〃)=[P(X=〃),

尸(X=〃+l)4,c、114

即~r=~^>2),XP(X=2)=-P(X>l)=-x(l-P(X=l))=-P(X=l),

r(X=n)5555

所以D/Y=_\=7对任意〃£N*都成立，

厂(An)J

14

此时｛P(X=明是首项为、，公比为力的等比数列，

答案第10页，共20页

n-l

4144

所以P(X=〃)=gx|,^l,P(X>n)=5P(X=n+l)=5x-x

n—\

4

an=nP(X=几)=g义几

n-2n—1

444

sn=llxC+2xI++(«-1)XI+nx

444n-14

5S"=15lxI+2x+■+(n-l)xI+〃X

in-l

两式作差得：S“=：1+44;+44

I+I-nx

55

4

lx1-

n

44

-nx=5-(n+5)x

5

5

44

故答案为:，5—(ji+5)x

【点睛】关键点点睛：根据P(X=n+l)=|p(X>〃)，即可利用数列的递推关系求解｛P(X=叨

141n-l

是首项为：，公比为1•的等比数列，a„=jxn4I,利用错位相减法即可求解和.

71

15.⑴§

(2)，

9

【分析】(1)利用cosC=-cos(A+8),结合和差公式化简，再利用正弦定理边化角可解;

21

(2)根据平面向量线性运算可得8=§C4+§CB,两边平方，然后利用重要不等式即可

得解.

【详解】(1)由ccos(A-J3)=2g〃sinBcosC-ccosC得

ccos(A-B)+ccosC=26asinBcosC,

c(cos(A-5)-cos(A+B))=sinBcosC,

答案第11页，共20页

BP2csinAsinB=26Qsin5cosC，

由正弦定理边化角得sinCsinAsin3=6sinAsini5cosc，

因为A5e（0,兀）,sinA>0,sinB>0,

所以sinC=•cosC，**.tanC=6，

又・・・。£（0,兀），AC=1.

（2）・・・。点在线段A3上，且BD=2ZM,

/.CD-CB=2（CA-Cr））,ACD=|cA+IcB,

242124

CD=-CA+-CB+-CACB

999

=—b2+-«2+—ab<—b2+-a2+-（a2+b2）=—a2+-b2,

999999V'99

当且仅当a=6时，等号成立.

2a2+5/

/.CD1v9_1.

2/+5/72/+5/

16.(l)r=20,能；

QO

(2)分布列见解析，E(X)=!|.

【分析】(1)根据表中数据可知37+(60T)=100,求出f值完善列联表，然后计算对

照临界值表即可得结论；

(2)根据古典概型概率公式，结合排列组合求解可得分布列，再由期望公式求解即可.

【详解】(1)由题意可知：3r+(60-r)=100,解得r=20,

2x2列联表如下：

非常喜欢感觉一般合计

答案第12页，共20页

男性6040100

女性8020100

合计14060200

200x(60*20-80x40)2200x200()20…

2--------------------x9.524>6.635.

z140x60x100x100140x60x100x100

根据小概率值e=。01的独立性检验，认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关,

此推断犯错误的概率不大于0.01.

(2)设进一步交流的男性中非常喜欢“赶大集”的人数为,〃，女性中非常喜欢“赶大集”的人

数为n,

则X=m+〃，且X的所有可能取值为1,2,3,4.

C；C；C；2_1

p(X=l)=P(m=0,〃=l)=

-30-15,

13

P(X=2)=P(^m=l,n=l)+P(/H=0,/i=2)=------------------------1-----0—T

C；C；―30’

c、c/c八c/,c、C；C；C；C：C；C：C；122

P(X=3)=P(m=2,n=l)+P(m=l,n=2)=2；：iH——2J。、=—=—,

'\'C；C；C；C；305

C|C|C|_3_1

p(X=4)=P(m=2,〃=2)=

C；C；30—10

所以X的分布列为

X1234

11321

P

1530710

b,、，,2c13c12,338

月f以石'(X)—lxF2xF3xF4x—=—

v73030303015

17.(1)证明见解析

【分析】(1)根据菱形性质知03=8,然后通过证明班)1平面R1C,可得根

据垂直平分线性质可证;

答案第13页，共20页

令先证明平面。，平面然后由匕的。=；何。

(2)AB=2,OP_LABCMZV_LB4C,1_,2•O尸和

匕=2%_4叨=gswMN可解.

【详解】(1)连接AC交8。于点O,连接。P,

：3£>〃平面AMHN,且平面PBD平面4WHN=MN,皮)u平面尸3D,

BD//MN.

VMNA.PC,：.BDLPC,

・••四边形ABCD为菱形，BDA.AC,OB=OD,

VPCnAC=C,且尸C,ACu平面B4C,

平面B4C,又尸Ou平面%C,BDLPO,

：.PB=PD.

(2),：PA=PC,且。为AC中点，

AOP1AC,由(1)得OP_LBD,

BD(^AC=O,5£>,ACu平面A8CD,

OP_L平面ABCD,

令AB=2,又四边形ABC。为菱形，Z&4D=6O°,

ACABD,;.AO=630=1.

AO^BD,AO^PO,POr>BD=O,且都在平面PB。内,

;.AO_L平面PSD,又B4与平面尸8。所成角为60。，

Z.ZAPO=60°,ZB4C=30°,

•*.OP=—AO=\,

3

•v_1oCP一正

**^P-ABCD_3^ABCD,UF—

又H为PC中点、,B.PA=PC=2,：.PH=^PC=1,

答案第14页，共20页

在AB4c中，记AWOP=G,

易知点G在A/N上，且点G为△B4C重心，,

24

又,：MN〃BD,：.MN=-BD=-

33f

由（1）知&）1平面P4C,・•・肱VJ_平面B4C,

又SAPH=-PA.PH-sinl20°=-x2xlx^l=^,

APH2222

,*K=^M-APH=~，SAPH,MN=，

]/_2石2g_4百

■•72一^P-ABCD-匕一~gQ—-9'

.匕」

•“2-

18.⑴尤2_2L=i；

4

⑵（i）证明见解析；（ii）空.

3

【分析】（1）设O（x,y），根据向量尸2以＞分别与2而+6,2°+助平行列方程组，消去几可

得；

（2）（i）根据点A,B关于原点成中心对称，化简口c•怎c，结合点AC在双曲线上，由点

差法化简可证；（ii）分斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，设直线方程为'=辰+》，联

立双曲线方程消去》利用韦达定理代入0408=0,结合直线与圆相切可解.

【详解】（1）设o（%y）,

则尸。=（x—l,y）,QD=（x+l,y）,

又6=（1,0）,

/.2Aa+b=（1,22）,2a+Ab=（2,2）,

22（x-l）-y=0

由已知得，＜

2（x+l）-Xy=0

2

消2得：f上=i,

4

2

••.点。的轨迹方程为尤2一二=1.

4

答案第15页，共20页

(2)设直线/与E的两个交点为4(%,%)，8(%,%)，

(i):直线/过原点，

...点A,8关于原点成中心对称.

设C(x,y),

27

.,,_y-Ji丁一%_>一必y+myj

•,AC限-Xfx—z-fx+占一--"，

X|2_J?=1

由，j得y2-W=4(YrJ),

V-匕=1

[4

2_2

k4

•・LBC-x2_x2--

(ii)：N为A3的中点，且|M|=2|QV|,

OAOB=0.

①当直线/的斜率不存在时，/的方程为x=土乙此时点42关于x轴对称，不妨设点A在

第一象限，

W

西=%=小

-二=1,

14

：.x^=r2=-,

3

・2石

••F—----------•

3

②当直线/的斜率存在时，设/的方程为>=丘+3

y=kx+b

由2/_,得(4一/b2一2如-(。2+4)=0,

14

答案第16页，共20页

-*g4)

0408=0，

；.再3+%%=0，

即(1+左2)%％2+协(%+尤2)+/=0,

整理得：3b2=4+4k2.

又；/与圆相切，

H\b\_2>/3

A时即3-

综上可得r=2亘，

3

•••圆。的半径是逑.

3

19.(1)证明见解析

⑵证明见解析

【分析】(1)求导，利用零点存在性定理判断尸(无)存在零点，利用隐零点方程代入/(%)+2

化简，通过配方即可得证；

(2)令In(办)+(aT)x-e"=0,同构函数g(x)=x+e*,根据单