2024届辽宁省沈阳市高三年级下册5月数学仿真模拟试卷（四模）含解析

2024届辽宁省沈阳市高三下学期5月数学仿真模拟试卷

（四模）

说明：1.测试时间：120分钟总分：150分

2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.设集合幺=[仅=log2>；1,5=y=^,x>0>,则（'）

A.^nS=（-l,l）B,A\JB=B

C.Nn@8）=[l,+s）D.AC\B=B

2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）

A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与都是红球

C.恰有一个黑球与恰有两个黑球D.至少有一个黑球与至少有一个红球

3.在平面直角坐标系中，点尸在直线3x+4y+1=0上.若向量Z=（3,4）,则加在£上的投

影向量为（）

3_4_3___4_34

A.D.

5，-525，-2525?25

71

4.已知单位圆x2+y,2,现将点/绕圆心逆时针旋转一到点8,则点8的

6

横坐标为（）

715-275715+275

A.B.----------

1010

2岳-亚2A/15+A/5

D.----------

‘1010

5.已知函数/（x）=〃x+lnxGeN*）的图象在点—处的切线的斜率为%,则数列

<------>的前〃项和S〃为()

1%%J

13/?2+5n

A.----B.—；----------

〃+12(〃+1)(〃+2)

n3"+5〃

C._______D.----------------

4(7?+1)8(〃+1)(〃+2)

6.双曲线的第三定义是：到两条相交直线的距离之积是定值的点的轨迹是(两组)双曲线.研究发现,

函数y=x+工的图象实际上是双曲线.进一步探究可以发现对勾函数y=依+自，(a>Q,b〉0)的

图象是以直线y=ax,x=0为渐近线的双曲线.现将函数y=x+工的图象绕原点顺时针旋转得到

X

焦点位于％轴上的双曲线C,则它的离心率是()

V4-2V22-V2

D.”-2亚

A.---------B.------C.4-2V2

7.已知定义在R上的函数/(x)满足：对任意xeR,/(x)-/'(x)<0恒成立，其中/'(x)为

/(x)的导函数，则不等式6"(》+1)〉04/(2%—3)的解集为()

A.(4,+8)B.(-l,4)C.(-oo,3)D.(-co,4)

8.经研究发现：任意一个三次多项式函数/。)="3+区2+5+1(。/0)的图象都只有一个对称

中心点GoJQo)),其中X。是/〃(x)=0的根，/'。)是/(工)的导数，/"(X)是/'(X)的导数.

若函数/(》)=》3+"2+》+6图象的对称点为(_1,2),且不等式

e"-加/(lnx+l)2[/(X)-d-3炉+e]》e对任意％e(1,+8)恒成立，贝।()

A.a=3B.Z?=2

C./Tt的值不可能是-eD.根的值可能是—

e

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知a,beR,方程/—3/+以—b=0有一个虚根为1+i,i为虚数单位，另一个虚根为z,

则()

A.a=3B.该方程的实数根为1

C.Z=2-iDZ2024=21012

10.如图，在长方体48。一4用£2中，AB=BC=1,441=4,E是棱5片上的一点，点

尸在棱。。1上，则下列结论正确的是()

A.若4,C,E,F四点共面，则8£=£＞下

B.存在点£,使得平面4CE

C.若4,C,E,F四点共面，则四棱锥G-&ECF的体积为定值

D.若4，C,E,F四点共面，则四边形4ECE的面积不为定值

11.已知函数/(x)和其导函数g(x)的定义域都是R,若/(X)—x与g(2x+l)均为偶函数，则(

)

A.f(0)=0

B.E⑴关于点(0,1)对称

X

C.(g(l)-l)x(g(2)+1)+(g(2)-l)x(g(3)+1)+…+(g(2023)-l)x(g(2024)+1)=0

D.g(2023)=1

三、填空题：本题共三小题，每小题5分，共15分.

12.若点(0,1)在圆/+/一2"-2y+a+1=0外，则实数a的取值范围为.

13.某班成立了A,B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的学习后进行了一次测

试，在该测试中，A组的平均成绩为130分，方差为115,B组的平均成绩为110分，方差为215.

则在这次测试中全

班学生方差为.

14.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿(IssacNewton,1643—1727)在《流

数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设r是函数

y=/(x)的一个零点，任意选取与作为「的初始近似值，过点(%,/(%))作曲线y=/(x)的切

线小设与无轴交点的横坐标为X］，并称王为「的1次近似值；过点作曲线

y=/(x)的切线的设4与X轴交点的横坐标为马，称工2为r的2次近似值.一般地，过点

(%J(%))("eN*)作曲线了=/(X)的切线ln+l,记4+1与X轴交点的横坐标为％+|,并称x„+1为

r的〃+1次近似直若/(x)=/—3,取x0=2作为r的初始近似值，则/(x)=0的正根的二次近

似值为__________.若f(x)=x3+3x-2,X]=1,设%〃eN*,数列｛与｝的前

2片+2

n项积为7；.若任意〃eN*,7；<4恒成立，则整数2的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.

15.(13分)在△4BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sm

cosB-cosA

(1)求角A的大小；

(2)若△4BC为锐角三角形，点F为△4BC的垂心，AF=6,求CE+B/的取值范围.

16.(15分)如图，三棱柱4BC—4用。1中，侧面48片4，底面4BC,AB=BBt=4,

AC=4陋,ZB/Z=60°,点。是棱44的中点，~BC=4BE,DELBC.

(1)证明：ACLAB,

(2)求直线BB［与平面DEA所成角的余弦值.

17.(15分)某校举行篮球比赛，规则如下：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1

次，则获得一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是3和夕，且每人进

球与否互不影响.

3

(1)若夕=—,求乙在一轮比赛中获得一个积分的概率；

4

13

(2)若-W2W—,且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个

34

球，从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？

18.(17分)已知抛物线£：x2=2y,过点7(1,1)的直线与抛物线E交于A,B两点，设抛物线

E在点A,B处的切线分别为4和已知4与x轴交于点M,4与x轴交于点N,设4与4的交

点为P.

(1)证明：点P在定直线上；

(2)若面积为也，求点P的坐标；

2

(3)若P,M,N,T四点共圆，求点P的坐标.

19.记幺==日+机，左，机eR},若存在满足：对任意/。(工工幺，均有

max|/(x)-/(x)|>max|/(x)-/0(x)|,则称/()(x)为函数f(x)在xe［a,6］上的最佳逼近直线.

已知函数f(x)=X2一1,XG[-1,1].

(1)请写出/(x)在xw[-1,1]上的最佳逼近直线，并说明理由;

(2)求函数g(x)=12+2%-3在xw上的最佳逼近直线.

数学答案

1.【正确答案】D

【分析】

本题考查并集运算、交集运算、补集运算、指数函数与对数函数的值域，属于基础题.

化简集合4,B,再对各选项逐项判定，即可求出结果.

解：因为集合2={>卜=log2x,x>^={y\y>-l],

5=卜y=(,x〉0>={引0<〉<1},

所以/口8=(0,1)=8,故A错误，D正确；

所以NU8=N，故B错误；

因为QB=(-oo,0]U[l,+℃)>

所以zn(a8)=(—i,o]u[i,+s),故c错误.

故选D.

2.【正确答案】C

【分析】

本题考查互斥事件与对立事件，属于基础题.

列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可得到结果.

解：A.“至少有一个黑球”发生时，“都是黑球”也会发生，故A不互斥，当然不对立；

B.“至少有一个黑球”说明有黑球，黑球的个数可能是1或2,

而“都是红球”说明没有黑球，黑球的个数是0,

这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，故B是对立的；

C.“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”互斥，但不是必有一个发生，故不对立；

D.“至少有一个黑球”，黑球的个数可能是1或2,表明红球个数为0或1,这与“至少有1个红球”

不互斥，因此它们不对立.

故选c.

3.【正确答案】C

【分析】

本题投影向量的计算，向量的数量积的计算，属于基础题.

根据题意，设尸的坐标为(加,〃)，求出而i的值，进而计算可得答案.

解：根据题意，设尸的坐标为(加,〃)，所以而=(%〃)，

所以OP-a=3m+4n,

又由点尸在直线3x+4y+1=0上，则3冽+4为=一1,

故而i=-1,

故而在Z上的投影向量丝-3].

p|I2525)

故选：C.

4.【正确答案】C

【分析】

本题考查任意角的三角函数的定义，考查两角和与差的余弦公式，属于基础题.

记6Z,6的终边分别为。4,0B,由条件知cosa=2*,sin(z=^-,又

cos尸=cosl«+-结合两角和与差的余弦公式计算即可求解.

解：记尸的终边分别为CM,0B,

由条件知cosa=215,sina=^-

275V3V512V15-

故得cos/=cosI6Z+—1=cosacos1一sinqsin—=

----X--------X-二----------------

525210

2岳-小

即点B的横坐标为

-io-'

故选C.

5.【正确答案】C

【分析】

本题考查数列与函数相结合，数列求和以及函数的导数的应用，裂项相消法求和，考查转化思想以

及计算能力，属于中档题.

利用函数的导数，求出切线的斜率，得到%,然后利用裂项相消法求解数列的前〃项和即可.

解：函数/(x)=+eN*),

可得：f'(x)=n+—,

JC

因为函数/(x)="x+lnx("eN*)的图象在点处的切线的斜率为a”，

可得.%=〃+：=2〃

n

1.11),

an-an+l2〃(2〃+2)n+1)

n

贝！J数歹U<----->的前〃项的和为.一|1----1------1---1--------

anan+iJ41223nn+14(〃+1)

故选C.

6.【正确答案】D

【分析】

本题主要考查双曲线的渐近线与离心率，考查正切的二倍角公式，属于中档题.

首先确定旋转前双曲线的渐近线，得到该函数对应的双曲线焦点在y=x,x=0夹角（锐角）的

角平分线/上，根据斜率与倾斜角关系、二倍角正切公式求双曲线渐近线斜率，进而求双曲线离心

率.

解：由题意得y=%+工的两条渐近线分别为y=x,x=0,

X

所以该函数对应的双曲线焦点在歹=x,x=0夹角(锐角)的角平分线/上，

TT

所以绕原点顺时针旋转得到焦点位于X轴上的双曲线。一条渐近线的倾斜角为一,

2tan—

因为tan^=-------=1,所以=—l（负值舍去）,

41-t.an2—兀8

8

22

设此时双曲线方程为——==1,a>0,b>0,

故选：D.

7.【正确答案】D

【分析】

本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想与构造法的应用，考查了逻辑推理能力

与运算

能力，属于中档题.

设函数g(x)=/J,结合已知条件，利用导数判断g(x)的单调性，不等式

</(x+l)〉e"(2x_3)o勺［3),gpg(x+i)>g(2x-3),得到

x+1>2x—3>解之即可.

解：设函数g(x)=/：)，

因为对任意xeR,/(x)—/'(x)<0恒成立，所以g，(x)=/(x)：/」)〉0,

・•・g(x)在R上单调递增.

，不等式e"(Z)>“(*3)。5>上一。，

eeee

即g(x+l)〉g(2x-3),

■-x+1>2x-3,解得x<4,

・•・不等式e*f(x+l)>e4/(2x-3)的解集为(-oo,4),

故选D.

8.【正确答案】A

【分析】

本题考查利用导数研究不等式恒成立，利用导数研究函数的最值，属于中档题.

由题意可得/(—1)=2且/"(-1)=0,由此列式求得a与b的值，可判断A,B；

ex-mxe(Inx+1)>[/(x)-x3-3x2+e]xe,等价于机W----厂口]一1,利用放缩法求得不

等式右侧的最小值，可得相的范围，由此判断C与D.

解：由题意得/(—1)=—1+a—1+b=2,

f(x)=3x2+lax+1,f"(x)=6x+2a,

・•./"(—1)=—6+2a=0,解得Q=3,b=19故A正确，B错误；

止匕时f(x)=Y+3x2+x+l,

vx>1,e"-mxQ(inx+1)2[/(x)-x3-3x2+e]xe等价于m<'e],

当x>0时，e、>x+l,则+%+1(当且仅当x=e时，等号成立)，

x~eex—(x+l+e)—eInx—e

从而---------------L>------------=-e,故加<e,故C,D错误.

lnx+1lnx+1

故选A.

9.9.BD

【详解】由1+i是方程丁―3/+"—6=0的根，得(1+4—3(l+iy+a(l+i)—b=0,

整理得(〃—b—2)+(a—4)i=0,而G/ER,因此r彳一。，解得^^—2，

对于A,Q=4,A错误；

对于BC,方程d—3Y+4x—2=0,变形为(x—1)(?一2x+2)=0,

显然此方程还有一个实根1,另一个虚根1-i,B正确，C错误；

对于口，22。24=[(j)2「2=(—2广卅2=*2,D正确.

10.BCD

【详解】在长方体4BCD-4与G2中，若4,C,E,F四点共面，平面4B与4〃平面

CDD©,平面4ECFCI平面4s5/1=4£,平面4£。P门平面COQG=CE,贝U

CF//AXE,同理CE〃4万，

对于A,由4，C,E,F四点共面，得口A[ECF,则4E=C尸，Rt/\A^B1ERtCDF,

于是B^E=DF,若E不是棱55]的中点，则有8EW。尸，A错误；

对于B,当E是棱8g的中点时，由选项A知，F为。2的中点，四边形3Mo是平行四边形,

则E尸〃BD,而Ebu平面4。£，8。仁平面耳。£,因此平面4CE,B正确；

对于c,由长方体性质知AB|〃cq，且CGu平面4CG，8四仁平面4CG，

则〃平面&CG，同理可得。A〃平面4CG，即点E，F到平面4CG的距离为定值，

又△4CG的面积为定值，因此三棱锥£-Me。和三棱锥尸-&CG的体积都为定值，

四棱锥G-4ECF的体积为定值，C正确;

对于D,当点E为551中点时，£74EC户是菱形，EF=242,Af=722+22+42=276,

四边形同ECR的面积为:£E-4C=46，当点E与点片重合时，F与D重合，

四边形&ECF为矩形4片。。，面积为2x万百=46，四边形4ECF的面积不为定值，D

正确.

11.BC

【详解】假设/(x)=l+x,贝。g(x)=l,贝u/(x)—x=l,/(x)—x与g(2x+l)=l都为偶函

数，

则所设函数/(x)=l+x符合题意，此时/(0)=1,故A错误；

因为/(x)—x为偶函数，所以/(x)—x=/(—x)+x,即/3+/七。=2,

X—X

令h(x)=/("),贝ij〃(x)+/z(—x)=2,所以/z(%)关于点(0,1)对称，故B正确；

x

又g(2)+g(-2)=2,g(2)=g(—2),所以g(2)=g(—2)=l,

由g(x)+g(—x)=2，得g(O)+g(—O)=2,则g(4)=g(0)=l,所以g(2)+g(4)=2,

由g(x+4)=g(x)知函数g(x)周期为4,则g(x>g(x+l)的周期也为4,贝1!

(g(l)-l>(g(2)+l)+(g(2)-l)x(g(3)+l)+--+(g(2023)-l)x(g(2024)+l)

=g(l)g(2)+g(2)g(3)+.••+g(2023)g(2024)-g(2024)+g(l)-2023

=506[g(l)g(2)+g(2)g(3)+g(3)g⑷+g(4)g(5)]

-g(2024)g(2025)-g(2024)+g(1)-2023

=5O6[(g(2)+g(4))(g(l)+g(3))]-g(O)g(l)-g(O)+g(l)-2O23

=506x4—g(l)—l+g(l)—2023=0,所以C正确.

因为g(2x+l)为偶函数，所以g(2x+l)=g(—2x+l),

所以函数g(x)的图象关于直线x=l对称，即g(l+x)=g(l-x),即g(2+x)=g(-x),

因为/(%)一%=/(一X)+工，所以/'(%)-1=一/'(一工)+1,所以g(x)+g(-x)=2,

则g(x)+g(2+x)=2,故g(x+2)+g(4+x)=2,

所以g(x+4)=g(x),所以g(2023)=g(3),又g(—l)=g(3),g(0)=g(4),

所以g(l)+g(3)=g(l)+g(T)=2,所以无法确定g(2023)的值,所以D错误；

12.a>1

13.265

【分析】利用各层方差与总体方差之间的关系式可求全班学生方差.

【详解】依题意肛=130,5^=115,xg=110,Sg=215,

1030

•••x=xl30+xll0=115(分),

10+3010+30

•••全班学生的平均成绩为115分.

全班学生成绩的方差为

=借卜+5升+玛卜+D

10x(115+225)+30x(215+25)=85+180=265.

10+30'710+30'7

97

14.——2

56

【详解】/'(x)=2x,切线方程为y=2x“(x—居)+/(%),

fM_^-3..1」

f'M~Xn2x「2、"2x„

13=371317697

当=2时，xy=—XQ+——1+——一，X——X]H---——X--1-----

429212再24756

/(X")=x：+3x〃—2,/,(x„)=3x；+3,切线方程为y=/'(x“)(x—x“)+/(%),

2x：+2xn+i_2x：+2_1

则5+1

3x；+3'x”3片+3%an

+后7__XnXn-1X2X1_1,1

a

故5=an-an-\.........\=.......=---<2'

Z+1XnX3X2X“+l

|<0,/(1)=1〉0,故re

函数/(x)=d+3x—2为增函数，fI14

故1<X,+I<1,即1<，<2,彳为整数，2min=2.

2xn+l

7C

15.【正确答案】(1)A=-

3

(2)G①12]

16.【正确答案】(1)证明见解析;

解：⑴

由题意得。ZJ_£>4，即。4,48.

因为平面4BB41平面ABC,且交线为AB,

由£Uu平面4agi4,得平面4BC.

由BCu平面/5C,得ZMLBC,DALAC.

因为。EL8C,DAP\DE=D,且u平面ZME,

所以平面。

由ZEu平面ZUE,得BC

设BE=t,CE=3t,有BN?—r=/。2一。。2,解得：》=2即8£=2

所以5。=8,满足切2+4。2=8。2,即

(2)以4为坐标原点,AB,AC,而分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标

系.

£）0,0,2百）E（3,A0）,4（-2,0,26）,

设平面。£4的法向量〃=（x,y,z）,

由＜____，得到平面的一个法向量〃=（0,2,1）.

n•EAi=0

又函=瑟=32,0,26）,

设直线BBX与平面DEA,所成角的大小为0,

I------I\n-BB\6715

则5出8=卜0$%84=3|^T="~~产=----，COS6=

1卜|•网V5-V410

所以直线BB]与平面DE4所成角的余弦值为飞.

17.【正确答案】（1）——

256

（2）12

【详解】（1）设事件4表示甲在一轮比赛中投进i个球,

3,表示乙在一轮比赛中投进i个球，（;=0,1,2,3）

则尸（4）=']="，尸（4）=c；,J=|，尸（4）=c；\[=|，尸（4）=C；

尸3。）=1[去尸（4）=5P⑻音P⑻啜.

若乙在一轮比赛中获得一个积分，则乙胜利1次,

故其概率

(用尸(鸟

P=P(B^)+P(B2A0)+P(B2A1)+P(B3^)+P4)+4)

=尸。)尸(4)+尸(员)尸(4)+尸(鸟)尸(4)+尸(员)尸(4)+尸(员)尸(4)+尸(员)尸(4)

_153

"256'

(2)设事件C表示乙每场比赛至少要超甲2个球，则

尸(。)=尸(刍4)+尸(鸟)尸(4)+尸侬)P(4)

=*(1—p)x(+p3[(+()=,+)；

OyOO7oo

设随机变量X表示n轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，

显然X~B/〃.一"3_1--p2I,故£(X)=〃(一"3_1--"2

188)、7(88)

要满足题意，则E(X)»3,即〃]13工32。

—p+—p>3,

88)

-1313

又夕e,,故场2.、

3413,32

L」-p+-p

88

人r(、133213

v788L34_

3「[3一

则/'(x)=—x(x+2)>0在-恒成立，

8|_34

13

故/(x)在J,-上单调递增，

又/(x)的最大值为/=(|

13135

则一03H■一02的最大值为---，

88512

3512

-----—的最小值为——，

13,3245

-p+-p

88

Wll<—<12

45

故理论上至少要进行12轮比赛.

18.【正确答案】（1）y=x-l

(2)(0,-1)或(2,1)

(3)—3,2)

,2,2、,2、

解:(1)由％2=2y,得y=y=x,设Zxp^-,B/，=，尸(丁尸"尸)，

2727

2

,整理得.y=X]X—/

所以4方程为：y=xi（x-xi

2

同理可得，4方程为：J=

联立4方程/2方程解得xp=土产，乃,=岁

因为点T在抛物线内部，可知直线48的斜率存在，且与抛物线必相交，

设直线45的方程为y=笈（x—1）+1,与抛物线方程联立得：x2