福建省漳州市2024届高三年级上册第一次教学质量检测数学试题【含答案】

准考证号姓名

（在此卷上答题无效）

福建省漳州市2024届高三毕业班第一次教学质量检测

数学试题

本试卷共6页，22小题，满分150分，考试时间120分钟.

考生注意：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真

核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将

答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

^=（x|l<2x<4）B=[x\y=\lx-l]

1.设全集0TT=区D，若集合II>,〔卜』，则如图所示的阴影部分表示的集合为

C.(2,+oo)D.(-00,0)U(2,+co)

【答案】A

【解析】

【分析】由指数函数单调性以及函数定义域可求出集合43,易知阴影部分表示金利用集合基

本运算可得结果.

【详解】根据题意解指数不等式可得/={X|2°<2Y22}={X[0<X<2},

由函数定义域可得5={中训，所以2°8={巾20}；

阴影部分表示的集合为为（N。8）={x|x<0}.

故选：A

2.已知复数Z满足2+(z—l)i=3(i为虚数单位)，贝!J|z|=()

A.1B.V3C.2D.V5

【答案】D

【解析】

【分析】将等式整理可得2=三|=2-i,即可计算出|z|=J5.

【详解】将z+(z—l)i=3整理可得2=出，

1+i

(3+i)0-i)3-2i-i24-2i

所以z二

(l+i)(l-i)1-i22

可得|z|=j2?+(—=6.

故选：D

3.已知函数/(x)=2*+x,g(x)=log2x+x,〃(x)=x3+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序

为()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

【解析】

【分析】首先可求出c=0,再由〃x)=0得丁=—x，由g(x)=O得log2X=—x,将其转化为y=2'、

y=1。82%与7=一%的交点，数形结合即可判断.

【详解】解：由/z(x)=x3+x=o得x=0,，。=。，

由/'(x)=0得2工=_x，由g(x)=o得log2X=—x.

在同一平面直角坐标系中画出y=2*、y=log2x,歹=一》的图象,

由图象知。<0,b>0,:.a<c<b.

故选：B

【点睛】本题考查函数的零点，函数方程思想，对数函数、指数函数的图象的应用，属于中档题.

4.已知向量N=(T,1),b=(2,x),若，贝9万一5|=()

A.2B.2A/2C.VWD.2G

【答案】C

【解析】

【分析】将向量垂直转换为数量积为零，再结合向量坐标运算公式即可求解.

【详解】因为5=(—1/)，B=(2,x),且万人B，

所以由数量积的坐标公式可知=_lx2+lxx=x-2=0，解得X=2,

因此B=(2,2),由向量减法坐标公式可得a-b=(-3,-1),

最终结合向量模的坐标公式可得\a-b\==V10.

故选：C.

22

5.已知双曲线二-2=13>0,6>0)的一条渐近线被圆(x—2了+丫2=4所截得的弦长为2,则双曲线的离

ab

心率为()

A.V3B.2C.D.V10

【答案】B

【解析】

【分析】由题可以算出圆心到双曲线其中一条渐近线的距离，设出渐近线方程6再结合点到直线之

间的距离公式即可列出方程解出k,进一步即可求出离心率.

【详解】一方面：设双曲线渐近线被圆所截得的弦长为/，圆的半径为「，圆心到渐近线的距离为d,

又根据题意有/=2/="=2，因此根据垂径定理可得d=卜_出2=也―俨=73，

L2

另一方面：不妨设渐近线方程为丘-y=0(其中左2=彳)，又圆(x—2>+/=4的圆心坐标为圆(2,0),

\2k\

因此根据点到直线之间的距离公式有圆d=L-±-

VF+1

结合以上两方面有;£^=囱，解得左2=3,又公=与

所以双曲线的离心率为6=-=J1+左2=J1+3=2.

a

故选：B.

6.若sin则sin2a=(.

3

4A/2口4也77

D.------C.D.

~9~999

【答案】D

【解析】

【分析】由题意利用诱导公式、二倍角公式，求得要求式子的值.

711

【详解】解：若呜一°）所以sinO^—a)=--

则sin2tz=cos(--2a)=1-2sin2(--tx)=1-2•

故选：D.

7.如图，在五面体中，底面/BCD是矩形，EF<AB,EF/1AB,若48=25,40=10,

3

且底面/BCD与其余各面所成角的正切值均为一，则该五面体的体积是（）

5

FE

A.225B.250C.325D.375

【答案】C

【解析】

【分析】利用面面角的定义，结合图形与线面垂直的判定与性质定理求得E0,8G,JG,从而利用切割法,

结合锥体与柱体的体积公式即可得解.

【详解】过E作£。，面48。。于。，过。作GH7/BC分别交48,。。于G,",

记的中点为M,连接£M,(W,同理作出E/,尸/,〃，如图,

FE

因为底面45CD是矩形，所以4818。，

又GHHBC,所以

因为£。上面48C£>,ABcz^ABCD,所以£0,48,

因为G笈nE。=。,G/^E。u面EG/f,所以451面EG//,

因为EGu面EG8,所以48_!EG,

3

所以ZEGH是面ABEF与面ABCD的所成角，则由题意知tanAEGH=->0,

5

3

同理ZEHG是面CDEF与面ABCD的所成角，则tan/EHG=->0,

5

兀71

因为0<NEGH<—,0<NEHG<—,所以/EGH=/EHG,则£G=£8,

22

又易得E0LGH,所以。是GH的中点，

由上述分析易知四边形BC"G是矩形，则8G=5C=40=10,

1771/，-)O

所以OG=—G7/=5,则tanNEG//==—,故£0=3,

2OG5

易得RGBEG=RIACEH,则BE=CE,

因为/为的中点，所以比0L8C,

又易得OMLBC,所以NEMO为面EBC与与面ABCD的所成角，

则tanNEMO=—,即J=—,则(W=5,即GB=5,

50M5

由对称性可知AJ=5,从而JG=48—47—8G=15,

因为同理々J.48,所以EG//EJ,

又EFIIAB,所以四边形EE/G是矩形，

同理可得四边形EFIH与四边形GHIJ是矩形，则几何体FIJ-EHG是直棱柱，

X

由对称性可知VF_ADIJ=VE_BCHG=—SBCHGEO=J5X10X3=50,

VFU-EHG=S、EGH,JG=QX10X3X15=225,

所以该五面体的体积为V=VF_ADIJ+VE_BCHG+VFIJ_EHG=50+50+225=325.

故选：C.

8.已知直线＞=履+6是曲线y=/一（4+1）的切线，也是曲线了=alnx-l的切线，则左的最大值是

（）

24

A.—B.—C.2eD.4e

ee

【答案】B

【解析】

【分析】设切点分别为伍+1））和1），则/'（再）=8'（%）=%，根据题意转化为

aln六+x；=0有解，设/z（a）=aln六+片，求得〃'（a）=l+lna—拈（2再），得出函数的单调性和极

小值/生），结合人（生）V0,即可求解.

ee

【详解】因为y=+6是一（a+1）和g（x）=alnx-l的公切线,

设切点分别为(X],x；-(。+1))和(X2，alnx2T)，则/'(再)=g'C^)=%，

由/(%)=%2-5+1),可得/'(x)=2x,则％=/'(再)=2再

"a

又由g(x)=alnx-l,可得/(%)=一，且x>0,则《=g'(%2)二—，

1a2

2ciIn--------------------X]+Q

》atzInx-x.+a一「》2x,

所以2再=—=----z9—>——=k,可得2再=-------!--------=k,

%%-占--X

2再1

12c

即aln丁a+x；=0,显然生芯同号，不妨设。＞0,芯＞0,

设〃(a)=aln六+x；,(其中a〉0,花〉0),

可得为'（。）=l+lnQ—ln（2xJ,令可得a=

e

2r

当x£（0,—）时，〃'（Q）＜0,单调递减；

e

当工£（生,+8）时，〃'（Q）〉0,单调递增，

e

要使得〃（a）=0有解，则需要场（生）W0,即加生）=生1nlz+12＜0

ee'e2X11一

2x244

即-----+x；<0,解得X]<一,所以左=2西<—,即左的最大值为一.

eeee

故选：B.

【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的

新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩

法，注意恒成立与存在性问题的区别.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9.将100个数据整理并绘制成频率分布直方图（如图所示），则下列结论正确的是（）

B.该组数据的平均数的估计值大于众数的估计值

C.该组数据的第90百分位数约为109.2

D.在该组数据中随机选取一个数据记为〃，已知〃e[100,104）,则〃e[l00,102）的概率为千

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A选项：由阴影部分面积之和为1即可验证；

对于B选项：计算出平均数和众数估计值即可验证；

对于C选项：根据第90百分位数的定义去计算即可验证；

对于D选项：由条件概率计算公式即可验证.

【详解】对于A选项：由阴影部分面积之和为1可知（0.025+4+0.175+0.125+0.125）x2=1,

解得a=0.050,故A选项不符题意.

104+106

对于B选项：不妨设众数和平均数分别为九了,由图可知显然有6==105,

2

x=101x0.025x2+103x0.050x2+105x0.175x2+107x0.125x2+109x0.125x2=105.6，

因此b〈元，即平均数的估计值大于众数的估计值，故B选项符合题意.

对于C选项：设第90百分位数为c,且注意到这100个数据落在区间［108,110］的概率为0.125x2=0.25,

所以c一定落在区间［108,110］内，所以（110—c）x0.125=l—0.9,

解得c=109.2,故C选项符合题意.

对于D选项：记［100,104）、［100,102）分别为事件43,

则由图可知尸(Z)=(0.025+0,050)x2=0.150,P⑻=P(AB)=0.025x2=0,050,

P(AB)0.0501

则由条件概率公式得尸（切z）=—故D选项不符题意.

♦AJ\JJ

故选：BC.

10.函数/（》）=25/（。》+。）12〉0,。〉0［。］＜］］的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

B.y=的图象关于直线x=-二对称

12

TT

C.将v=/（x）的图象向右平移§个单位长度后，得到的图象关于原点对称

D.若y=/（Xx）（X〉0）在［0,兀］上有且仅有一个零点，贝（

L36J

【答案】ABD

【解析】

【分析】由最值求A,由周期求。，再由/［今］=2,可求夕，进而可求函数解析式，然后结合正弦函数

的性质检验各选项即可判断.

7171717r

【详解】由题意可得，A=2,—=-------=—,故T=兀,g=2,/（x）=2sin（2x+。），A正确；

43124

又因为/［l］-2sin^+^?^=2,故g+0=2kii+3kGZ,

所以0=§+2械左wZ，|夕|<Q所以/(x)=2sinl2x+yI.

SjrjrjrSir

对于B,当x=—卑时，2x+±=—2，y=/(x)的图象关于直线》=—上对称,B正确；

123212

TT((兀、兀、(兀、

对于C,将y=/(X)的图象向右平移J个单位长度后，j=2sin121X—§J+=2sin--j得到的图

象不关于原点对称，C错误；

对于D,/(2x)=2sinf22x+1］在［0,兀］上有且仅有一个零点

x€[0,7i],22x+—G—,22TI+—,JT<22TI+—<2TT?/.—<2<—,D正确.

3|_33J336

故选：ABD.

11.已知正项等比数列｛4｝的前〃项积为北，且为〉1,则下列结论正确的是（）

A.若。=<，则工4=1

B.若。=1，则

C.若7；<4，则5<1

D.若北〉《，则7；〉(

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意结合等比数列的通项公式及其性质，逐项分析得出数列｛4｝的单调性，即可得出结论.

【详解】不妨设正项等比数列｛4｝的公比为dq〉0,所以%=%p"T,"cN*;

对于A,若纭=",则07a8=1，由等比数列性质可得/为4=。2%3=…%%=1，

所以可得工4=aia2…。7a8…43al4=1，即A正确；

对于B,若£=(，可得%%=%以6•q=a：切"=1,又％〉1,所以0<q<l；

所以。8<。7，又a7a8=1，可得。7>1，。8<1，

因此可得为〉1,。2>1，…，。7〉1，。8<1，即〈三刀，所以B正确；

对于C,若J<4,可得的=%切6>1,又见〉1,因此^的大小无法判断，所以C错误；

对于D,若。〉4,可得%=%・才<1,又为>1,所以可得0<q<l,即数列｛4｝为递减数列；

可得今=。8<%<1，即。〉禺，所以D正确;

故选：ABD

12.已知定义在R上的函数/(x),其导函数/'(X)的定义域也为R.若〃x+2)=-/(x),且/(x-1)为奇函

数，贝！I()

A./(I)=0B./(2024)=0

C/'(x)=-/'(-x)D./'(x)=/'(2022-x)

【答案】ACD

【解析】

【分析】由题意可以推出"X)的周期以及对称中心，根据〃尤)=-/(》+2)=-[-〃X+4)]=/(尤+4),可得

/⑺的周期是4,又/⑺是由/(x-1)向左平移1个单位得到的，且注意到/(x-1)为奇函数，因此/(x)的

对称中心为(-1,0)；然后对每一选项逐一验证判断即可.

【详解】对于A选项：注意到/⑴=/(—1+2)=，又AM是由/(xT)向左平移1个单位得到的，

且注意到/(x—1)为奇函数，因此"X)的对称中心为(一1,0)即/(—1)=0,因此/(1)=—/(—1)=0；故A

选项符合题意.

对于B选项：4/(%)=cosy,此时/(x)满足题意，但/(2024)=COS(1012TT)=1W0,故B选项不符题

意.

对于C选项：因为"X)的对称中心为(-1,0),所以〃x)+〃-2-x)=0,又已知〃x+2)=-〃x),

所以〃x+2)=〃-2-x),这表明了/(x)关于直线x=0对称，即/(无闫(-何，

由复合函数求导法则且同时两边对x求导得/'(x)=；故C选项符合题意.

对于D选项：由/(x)的对称中心为(—1,0),即/(—l+x)=—/(—1—x),两边对x求导得

/,(-l+x)=/,(-l-x),

结合c选项分析结论f（x）=，可知r（-i+x）=r（-i-x）=-r（i+0,

所以尸（-1+月=-尸（1+可=/（3+月这表明了/0的周期为4,

因此八2022-X）=/（2—X）=—/（4—x）=—/'（f）,注意到f'（x）=,

所以/'（x）=/'（2022-x）；故D选项符合题意.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：解决本题有两个关键之处，一方面：/（幻的周期以及对称中心并举反例排除B选项;

另一方面：得出/（幻的对称轴，进而求出/'（X）的奇偶性、周期性.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.［4+/］的展开式中的常数项是.

【答案】15

【解析】

【分析】利用展开式的通项，当x的指数为0时，求展开式的常数项.

【详解】的展开式的通项为4M（x2）r=C；x3r-6，0<r<6,

令3—6=0,得厂=2,

所以J+v］的展开式中的常数项是C；=15.

故答案为：15

14.有一批同一型号的产品，其中甲工厂生产的占40%,乙工厂生产的占60%.已知甲、乙两工厂生产的

该型号产品的次品率分别为3%,2%,则从这批产品中任取一件是次品的概率是.

【答案】0.024

【解析】

【分析】利用全概率公式直接求解.

【详解】设4，4分别表示甲、乙厂生产的产品，B表示取到次品,

则尸(4)=04,尸(4)=0.6,

P(B14)=0.03,P(B14)=0.02,

从中任取一件产品取到次品的概率为:

⑷+尸）

p⑻=P（4）P@（4*（B|A2

=0.4x0.03+0.6x0.02=0.024,

故答案为：0.024.

15.已知抛物线/=2x的焦点为尸，过点尸的直线与抛物线交于a2两点，则4|4F|+|AF|的最小值是

9

【答案】-##4.5

2

【解析】

【分析】根据题意对直线斜率存在与否进行分类讨论，由焦半径公式写出4|/用+忸/|的表达式，并利用

基本不等式求出其最小值.

【详解】如下图示：

易知焦点设/（石,%）,8（%2/2），且药,％2〉°

当直线斜率不存在时（如图中虚线所示）,可知耳=忸川=1,此时4M尸|+忸尸|=5；

当直线斜率存在时，可设直线方程为>=显然左w0,

y-k

联立直线和抛物线方程4消去了整理可得12——化2+2b+52=0,

y1=2x

利用韦达定理可知王々=；,

又利用焦半径公式可知M尸|=X]+；,忸尸|=々+；，

所以可得4M尸|+忸尸卜^+—j+x2+—=+x2+—>2y[4x~^+—=—,

当且仅当4玉=12，即再=1,12=1时，等号成立；

综上可得，｛4F|+怜尸|的最小值是，

9

故答案为：一

2

16.一个封闭的圆台容器（容器壁厚度忽略不计）的上底面半径为1,下底面半径为6,母线与底面所成的

角为60°.在圆台容器内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体的棱长的最大值是.

【答案】4

【解析】

【分析】根据题意可求出圆台内能放置的最大球的半径，使正方体外接于球即可求出正方体的最大棱长.

【详解】如下图所示：

根据题意可知O/=l,Q/=6；又母线与底面所成的角为60°,即NA8Q=60°,易得qQ=5G；

设圆台内能放置的最大球的球心为。，且与底面和母线分别切于02，。两点，

所以可知球的半径R=OO2=2G,此时球的直径为2R=4^/3<0,02=573,

即此时球与圆台上底面不相切，因此圆台内能放置的最大球的直径为4百；

若放置一个可以任意转动的正方体，要求正方体棱长最大，需要正方体的中心与球心重合，且该球是正方

体的外接球，

设正方体的最大棱长为。，满足由a=2R，解得a=4.

故答案为：4

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.如图，正方体48co—的棱长为2,E为棱的中点.

（1）证明：AD]〃平面/CE；

（2）若尸是棱8片上一点，且二面角尸-/C-£的余弦值为-火，求8F.

3

【答案】（1）证明见解析；

（2）BF=L

2

【解析】

【分析】（1）解法一：连接3。交/C于点G,连接EG,可得GE/Z82,根据线面平行的判定定理即可

证明；

解法二?以A为原点，分别以万，AD，怒的方向为x轴，V轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

写出相关点的坐标，求出平面NCE的法向量证明西•万=0即可；

（2）以A为原点，分别以万，AD＞五工的方向为x轴，＞轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，写

出相关点的坐标，求出平面NCE的法向量为拓，设厂（2,0,左）（0W左＜2）,求出平面/CF的法向量成，根

据卜os伍n）\=也以=—即可求解.

1X71\m\\n\3

【小问1详解】

解法一：

证明：连接8。交/C于点G,连接EG,

则G为。8中点，又E为DD]中点,所以GE〃Bn，

又5£＞i（z平面/CE,G£1平面ZCE,所以台乙〃平面ZCE.

解法二：

如图，以A为原点，分别以方，AD，五不的方向为无轴，V轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则4（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,2,o）,£（0,2,1）,5,（2,0,2）,^（0,2,2）,

所以就=（2,2,0）,ZE=（O,2,l）.

设平面/CE的法向量为〃=（x,j,z）,

n-AC=2x+2y=0

则4一

n-AE=2y+z=0

令x=l,贝ijy=—1,z=2,

所以取为=(1,—1,2).

又西=(—2,2,2),

所以西•■=(—2)xl+2x(—l)+2x2=0,所以西_1五.

又＜Z平面/CE,所以8。〃平面/CE.

【小问2详解】

如图，以A为原点，分别以方，AD，五不的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则

2(0,0,0),5(2,0,0),C(2,2,0),£(0,2,1),4(2,0,2),

所以就=(2,2,0),次=(0,2,1).

设平面/CE的法向量为5=(x,y,z),

n-AC=2x+2y=0

则_,

n-AE=2y+z=0

令x=l,则歹二-1,z=2,

所以取为=(1,—1,2).

设万(2,0㈤(0«左42),

则AF=（2,0,左）.

设平面NC户的法向量为应=(。,ac),

应ZC=2a+2b=0

则〈—.，令a=k,则方=一左，c二一2,

m-AF=2a+ck=0

所以取而=(左，一左,一2).

因为二面角尸—4C—£的余弦值为—里

3

所以Icos伤力|一叵社一雄一4|一正

解得左=1,即8/=工.

22

B+C

18.已知AZ8c的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且asin8=6sin

2

(1)求/；

(2)若。为边BC上一点，且8£>=LBC,AD="C，证明："6C为直角三角形.

33

【答案】(1)/=]

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)结合正弦定理、诱导公式及二倍角公式化简求解即可；

►2.1.

(2)解法一：根据向量运算可得Z£>=—48+—/C,进而结合向量模的计算公式可得6=2c,进而结合

33

余弦定理即可求证；

解法二：直接利用余弦定理结合cosN4D8+cosN4DC=0,进而化简即可求证.

【小问1详解】

B+C

因为asinB=bsin

2

兀A

所以sinZsin8=sinBsin=sin5cos-,

2-72

ZAAA

因为sin5>0,所以sinZ=cos—,BP2sin—cos—=cos—.

2222

AA1

又cos—NO,所以sin彳=

222

PC4兀A7t,兀

又o<一<一,所cri以u不=：，即Hn

22263

【小问2详解】

解法一：因为25=方+诙=9+—就=”+—(充—方)=—9+―太，

所以|力万丫=&益2+L%2++方./M'z+)z+Lcnt

11U3J9999993

即〃+2bc—8c2=0,所以(b+4c)3-2c)=0,所以6=2c.

因止匕/=b?+/一2bccosNBAC=b2+c~-be=3c2，

又b=2c,所以〃=/+°2,

所以3=90°,所以AA8C为直角三角形.

解法二：因为/2。8=兀—4DC,所以cosNZZ>8+cosNADC=0,

,AD2+BD2-AB2AD2+CD2-AC2八

所SCI以>-----------------+------------------=0，

2AD-BD2ADCD

AD="c

又BD=—BC=—ct,

333

42122二J22

—CH-----CL-C-b

399

所以F—+—-----=0,

------ac

9

即6c2-3b2+2a2=0.

又a1=b°+C1-2bccosZBAC=b2+c2-be，

所以6c2一3/+2仅2+。2—姐=0,

BPSc2-2bc-b2=0.所以(4c+b)(2c-6)=0,

所以3=2c,所以°2=3C2.

因此〃=/+°2,

所以5=90°,所以“5。为直角三角形.

19.已知数列｛4｝,也｝满足％=4=1,2+1=4”，记]为也｝的前n项和.

an+2

（1）若｛%｝为等比数列，其公比q=2,求1；

（2）若｛%｝为等差数列，其公差4=2,证明：Tn<~.

【答案】（1）?；=1

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由｛%｝为等比数列，其公比q=2,可得｛〃｝是以4=1为首项，；为公比的等比数列，利

用公式求前〃项和.

（2）求出｛%｝的通项，可得4+]=2上2〃，通过累乘法或构造常数列，求出｛4｝的通项，利用公式求

2〃+3

前〃项和，可证得结论.

【小问1详解】

因为｛4｝为等比数列，q=1,4=2,

又4=1,所以｛〃｝是以乙=1为首项，；为公比的等比数列,

【小问2详解】

解法一

因为｛4｝为等差数列，q=1,d=2,

所以为二2〃-1,所以%+2=2〃+3.

7a.2〃一17bz2〃一1

因为%1=广〃=五M-即才二五百

b2〃—3,、、

所以昔~7(〃22),

如2〃+1

所以当〃22时,

n、

bM-1}bn-2,nb-3,2b,b1

2〃—32“—52〃—731,3

=-------------X--------------X--------------X---X—X—xl=--------------------

2«+l2M-12n-375(2«-l)(2w+1)

又4=i符合上式，

32M______O

所以“=--------------

(2〃—1)(2〃+1)，⑵-12n+l)

所以北=4+b2+&+…+4T+bn

11

•••+

33-55-7272-12/2+1

2（2n+l）2

解法二：

因为｛4｝为等差数列，/=1,4=2,

所以。“=2〃一1,所以%+2=2〃+3.

7a.2〃一17

因为〃+i=_-bn,即bn+l(2〃+3)=(2〃-1)〃,

。"+2/〃十3

所以bn+l(2〃+1)(2〃+3)=〃(2〃—1)(2〃+1),

所以数列{4(2〃—1)(2〃+1))为常数列.

因此功(2〃-1)(2〃+1)=34=3,

所以4=7^=t|n11\

(2n-l)(2n+1)2\2n-l2n+l

所以北=4+&+a+…+4T+”

1££_J_£_J_11

4-33-55-72n—\2〃+1

寸1一13

<-.

2M+12

20.甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用2〃-1(〃eN*)局"胜制(当一选手先赢下〃局比赛时，该

选手获胜，比赛结束).已知每局比赛甲获胜的概率为P，乙获胜的概率为1-2.

(1)若〃=2,p=~,比赛结束时的局数为X,求X的分布列与数学期望;

2

(2)若〃=3比〃=2对甲更有利，求p的取值范围.

【答案】(1)分布列见解析，-

2

(2)-<D<1

2

【解析】

【分析】(1)根据题意，得到X所有可能取值为2,3,求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式,

即可求解；

(2)解法一：分别求得采用3局2胜制和5局3胜制，甲最终获胜的的概率Pi="(3-22)，和

22="(6/2-15,+10),结合夕2-。1>0,即可求解；

解法二：用〃表示3局比赛中甲获胜的局数，得到彳〜3(3,0)和〃〜8(5,夕)，分别求得甲最终获胜的

的概率01=02(3-2))，和。2="(622—15夕+10),结合22一0>0,即可求解;

【小问1详解】

解：依题意得，随机变量X所有可能取值为2,3,

可得P(X=2)=g

2

所以随机变量X的分布列为

X23

P~2

所以X的数学期望E(X)=2x；+3x；=g.

【小问2详解】

解法一：若采用3局2胜制，甲最终获胜的概率为0=?2+(2"2。—夕)=P2(3—20)，

若采用5局3胜制，甲最终获胜的概率为：

。2="+C；/(l—0+C初30—=/(6"-150+10),

若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利,则02-Pi〉0，

即夕3(6夕2-157+10)-夕2(3-20)=夕2(6,3一15,2+102一3+2,)

=3p2(2p3-5p2+4p-l)=3p2(p-l)(2p2-3p+l)=3p2(p-l)2(2p-l)>0,

解得g<P<L

解法二：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用《表示3局比赛中甲获胜的局数，则J〜3(3,0),

甲最终获胜的概率为：Pi=P它=2)+P它=3)=C；22(1一夕)+&/

=p2©(l-p)+C5]=p2(3_2p),

采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用〃表示5局比赛中甲获胜的局数，则〃〜8(5,p),

甲最终获胜的概率为：

35

P2=PS=3)+P(7=4)+P(77=5)=C^(1-p)2+C：/(1—夕)+仁p

=/3(6,2-15,+10),

若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，则2-B〉0，

即,3(622-157+10)-r2(3-22)=p2^6p3-15p2+10p-3+2p^

=3p\2pi-5p2+4p-l)=3p\p-l)(2p2-3p+l)=3p2(p-l)\2p-V)>0,

解得

21.已知椭圆。：1+\=1(。〉6〉0)的左焦点为£(一6,0),且过点

(1)求C的方程；

(2)不过原点。的直线/与C交于P,0两点，且直线OPPQ,。0的斜率成等比数列.

(i)求/的斜率;

(ii)求△OPQ的面积的取值范围.

2

【答案】(1)—+v2=l

4.

(2)(i)土;(ii)(0,1)

【解析】

【分析】(1)利用左焦点和点A求出。，仇c,即可求出C的方程;

(2)(i)设出直线/的解析式和点P,。的坐标，表达出直线OP,PQ,。。的斜率，即可求出直线/的斜

率；

(ii)表达出点。到直线尸。的距离，线段PQ的长度，进而表达出△OP。的面积，即可得到面积的取值

范围.

【小问1详解】

由题知，

椭圆c的右焦点为《(百,0),且过点

所以2a=j(G+6r+：+：=4,所以a=2.

又c=A/3，所以Z?=a2—c2=1,

所以C的方程为二+/=1.

4

【小问2详解】

(i)由题知，直线/的斜率存在，且不为0.

^l:y=kx+m(m^O),尸(再,乃),Q(x2,y2),

y=kx+m

所以(1+4左必+8kmx+4^m2-1^=0,

2

X+4/-4=0

-8km-1)

所以西+x2=

1+4〃'92=