泛函分析第6章-广义函数与Sobolev空间简介

第六章广义函数与Sobolev空间简介函数是经典分析中的根本概念之一，然而这样的一个根本概念，在近代科学技术的开展中逐渐不够用了。下面用几个例子加以说明。例6.1〔脉冲〕20世纪初，Heaviside在解电路方程时，提出了一种运算方法，称之为算子演算。这套算法要求对如下函数求导数，并把导数记为。但按照经典分析的理论，并不可导，因此不可能是普通意义下的函数，它除了作为一个记号进行形式演算外，在数学上是没有意义的。但是，这个在实际中是没有意义的，又代表一种理想化的“瞬时”单位脉冲。例6.2〔Dirac符号〕在微观世界中，把可观测到物质的状态用波函数来描述，最简单的波函数具有形式，是实参数，并考虑如下形式的积分这种积分按Cauchy积分来定义，即显然，这个极限在普通意义下不存在。然而，物理学家认为这个极限是前面所提到的，并认为是Dirac符号。特别，在量子力学中，进一步开展了不少关于的运算法那么，并广泛地使用。例6.3〔广义微分〕在数学本身的开展中，也时常要求冲破经典分析中对一些根本运算使用范围所加的限制。20世纪30年代，Sobolev为了确定微分方程的存在性和惟一性问题，通过分部积分公式，推广了函数可微性的概念，建立了广义微商理论，形成了以他的名字命名的Sobolev空间理论。这标志着现代微分方程理论的诞生。基于上述原因，扩充函数概念，为广义函数寻找坚实的数学根底，对数学家提出了新的挑战。20世纪40年代，Schwartz完成了这一艰巨的任务，创立了广义函数的系统理论，并因此于1950年获得数学最高奖——菲尔兹奖。根本函数空间与广义函数根本函数空间把普通函数视为某类函数空间上的线性泛函是推广函数概念的一条行之有效的途径。广义函数正是定义在一类性质很好的函数空间上的线性泛函。这类函数空间称为根本函数空间。在引进根本函数空间之前，先介绍一些记号和术语。对于欧氏空间表示中的点，范数。设为个非负整数，有序数组称为多重指标。。对于多重指标，引进偏微分算子是非空开集，是的闭包。表示在上定义的连续函数全体组成的线性空间。对于任何非负整数，表示全体在内由次连续可微的偏导数，且在上的连续的函数组成的线性空间，特别。设的支集是集合在内的闭包，并记为。表示中满足支集是内紧集〔有界集〕的所有函数组成的空间，，即表示支集是内紧集的无穷次可微函数全体。显然，下面的包含关系成立设上定义的函数为这里是依赖于维数的常数，即＝那么是无穷次连续可微的，且，，因此。从出发，我们可以构造出许多中的函数。下面我们来构造对任何非空开集，中的函数。为此，对任意，记，那么【定理6.1】设是上定义的一个可积函数，并且在的一个紧集外恒为零，那么当充分小时，可积函数是中的函数。证明：记，这里表示到的距离，当充分小时，，当时，对一切均有，于是。因此，而上式利用了微分中值定理，，又是连续可微函数，因此存在使应用Lebesgue控制收敛定理，得由于，对任何多重指标重复上述过程，可得到于是。下面我们在上引进收敛的概念。【定义6.1】设，，如果满足以下条件：存在一个紧集，使得对于任意多重指标，函数列在K上一致收敛于，即那么称收敛于，记为，而称按照收敛概念及线性运算为根本函数空间，并记为，在明确时，可简写为D。根据D中收敛概念的定义，容易证明：设，；，，如果那么对任何数有这说明中的线性运算关于收敛概念是连续的。对任一多重指标，这一线性映射是连续的，即那么假设那么。【定义6.2】称为Cauchy列，如果满足：存在紧集K使对，及多重指标，存在自然数N，使当时，有【定理6.2】D是完备的，即假设是任意一个Cauchy列，那么存在，使得。证明留作习题。广义函数的根本概念【定义6.3】D上的一切线性连续泛函，称为广义函数，即D上的广义函数满足线性：对任何数及有连续：设，假设，那么有一切广义函数所组成的集合，记作。例6.5函数，设是非空开集，，对于任意，定义那么是广义函数。证明：显然是D上的线性泛函。设，假设，那么更有从而即在D上是连续的，所以是一个广义函数，称为集中在点的Dirac广义函数，简称为函数。特别，当时，记为。例6.6设是非空开集，是上定义的一个局部可积函数，即对于的任何紧子集K，积分通过局部可积函数定义D上的泛函〔6.1〕那么是广义函数。证明：由于是局部可积的，那么对任何，在上可积，从而由式〔6.1〕定义的积分有意义。根据式〔6.1〕，显然是线性的。设，且，于是存在紧集K使，，且在上一致收敛于。取常数，使，那么由Lebesgue控制收敛定理，有即这说明连续，因此是D上的广义函数。记为上全体局部可积函数组成的集合，通过例6知道，每个都对应一个广义函数，称这样的为函数型广义函数。【定理6.3】映射定义为那么T是一对一线性映射。由于证明较繁琐，这里略去。通过定理6.3，我们可以把局部可积函数与由定义的广义函数视为同一，这样局部可积函数是广义函数。考察在R上的函数通常称为Heaviside函数。显然，，于是它定义上的广义函数为是否每个广义函数都是函数型的，即对广义函数，是否存在局部可积函数使答复是否认的。也就是说中确实存在非函数型广义函数。例6.8不是函数型的广义函数。证明：用反证法。设是函数型的，那么存在一个定义于上的局部可积函数使得对一切成立〔6.2〕取正数充分小，使，定义函数显然，，由式〔6.2〕得〔6.3〕另一方面，，由Lebesgue控制收敛定理，有〔6.4〕这样式〔6.3〕与式〔6.4〕矛盾，故不是函数型的。【定理6.4】当且仅当对任意紧集，存在常数C及非负整数，使得当时有〔6.5〕证明：充分性。由式〔6.5〕知是上定义的连续性泛函，因此。必要性。用反证法。假设不然，有紧集K，使式〔6.5〕不成立。于是对任何自然数，存在函数，且使〔6.6〕于是令那么，且，再由式〔6.6〕可得〔6.7〕又因此，，于是，这与式〔6.7〕矛盾。在广义函数空间上规定加法与数乘运算：设定义那么很容易证明，因此是一个线性空间。【定义6.4】设，如果对于一切成立那么称在中收敛于，记为。按照这种收敛概念，称为广义函数空间。容易证明，中加法与数乘运算关于收敛是连续的，即如果，，那么对任何数有例6.9在R上，函数列是中的函数列，从而可视为广义函数列，那么。证明：由于，因此对任意，存在，使。那么当时另一方面，对取足够大，使当时有从而当时有对于固定，由于函数是Riemann可积的，因此由Riemann引理于是存在自然数，当时因此由的任意性得故。这个例子给出了关于本章例2中的Dirac符号的合理数学解释。注：〔Riemann引理〕设是上Riemann可积函数，那么。读者可在任何一本《数学分析》教科书中找到。习题6.1在中证明：。设，证明：。设是一个开集，是上的一列局部可积函数，并且对任意紧集，存在常数使得，又，证明：。设是一个非空开集，是紧集。证明：存在函数，使得，且在上恒有。证明定理6.2。广义函数的导数及性质广义函数求导的思想来源于经典分析学中的分部积分，为此，先回忆一下分部积分的根本思想。设，和是上定义的两个连续可微函数，假设是内的紧集，那么，于是有可见，利用分部积分可将一个函数的求导运算化为对另一个函数的求导，广义函数的导入引入，就是遵循这一法那么而得来的。对任一多重指标，是一个由D到D的连续映射，因此可有：【性质6.1】设，定义，那么。证明：显然是D上线性泛函，设，假设，那么从而因此，故。【定义6.5】定义对的一阶偏导数为，并记为，那么仍然是广义函数。一般地对任意多重指标，定义为如下广义函数：即。从定义6.5可以看出，广义函数可进行无限次求导运算。由Heaviside函数所定义的函数的广义导数。证明：对任意，有因此。注：如果是一元广义函数〔即为上的连续线性泛函〕，那么的一阶、二阶导数等分别用等来表示。例6.11证明：。证明：对任意，取，使。那么有所以。【定义6.6】设，，定义D上的泛函为那么显然是D上连续线性泛函，即，称是的一个乘子。注：对于，可定义乘积，但对于两个广义函数不能定义乘积运算。例6.12证明。证明：，又故即。注：对于任何正数，为按如下公式定义的广义函数【性质6.2】〔1〕设是数，那么〔2〕设，那么证明：〔1〕由定义显然。我们来证〔2〕，对于任意，那么故〔2〕成立。【性质6.3】设，假设，那么证明：对于任意，由于因此，。【定义6.7】设，称级数在中收敛于，是指前项和在中收敛于，记为。由性质6.3得：【性质6.4】假设级数收敛于，那么级数收敛于。注：对于广义函数级数可以逐项求导，然而普通函数级数即使每项是连续可导函数，且处处收敛于某个连续可导数，也不能逐项求导。例13，那么一致收敛于，但其导函数不收敛于。如果将看成广义函数，那么在中有。【性质6.5】设，如果对每个，极限存在且有限，那么必存在，使得。证明性质6.5需要用到拓扑线性空间的专门知识，故此略去其证明。通过广义函数上述的性质，我们看到，广义函数空间关于求导与极限运算是封闭的，因此，广义函数的求导与极限运算比普通微积分中函数的相应运算既灵活又方便。习题6.21.计算。2.，计算。3.求证，即。4.设在内除点外是连续可微的，且在点是第一类间断点，在内有界。证明的广义函数为6.3Sobolev空间的定义及性质Sobolev空间设即在内连续可微，，由分部积分公式可得类似地，如果是一个正整数，是一个多重指标且，那么反复使用〔1〕，我们有这里，因此根据公式〔2〕的左边，我们仅需要函数在上局部可积，那么公式有定义，这样可以将函数导数的概念通过〔2〕来推广。记为上的局部可积函数全体。【定义6.8】设是一个多重指标。我们称是的第次弱偏导数，记为，如果满足对任何成立。注：如果的次弱偏导数存在，那么在除去一个零测度集外是惟一的。事实上，设，那么由得对一切成立。不难证明〔留为习题〕。例14设，且那么是的偏导数。证明：对任何，有另一方面，，所以，因此，。是否每个局部可积函数都存在弱导数呢？答复是否认的，见下面的例15。例15设，且那么不存在弱导数。证明：事实上，假设有，那么又故〔6.8〕选择中一列函数满足且据式〔6.8〕有再由Lebesgue控制收敛定理，令得这显然是不可能的。【定义6.9】记号表示满足下面条件的函数的全体：；注：，是的一个线性子空间。【定义6.10】对于，定义范数那么是赋范线性空间，更进一步，我们有【定理6.5】是Banach空间证明：即证明是完备的。设是中的一个Cauchy列，那么，对于每个多重指标，是中的Cauchy列。因完备，因此存在使〔在范数下〕令。我们来检验。事实上，对任何有这说明。于是由〔在范数下〕知〔在范数下〕，因此是Banach空间。通常称为Sobolev空间。【性质6.6】设，那么，且；对任何多重指标，假设，那么；如果，那么且。这里记号为。这些性质的证明十分容易，留给读者做练习。【定义6.11】记那么是的闭子空间，因此是Banach空间，同样也是一类Sobolev空间。注：当时，及通常用及表示，它们都是Hilbert空间，其内积为。【定义6.12】设，称为的Sobolev共轭指数。【性质6.7】设，那么存在一个仅与和有关的常数，使对任何有。注：性质6.7是著名的不等式，其中这里表示向量在空间中的欧式范数。为了使读者能更好地这个不等式，我们给出的证明。证明：当时，先证的情形，这时。因为，于是。这里，因此进一步〔6.9〕故。现在设。取，那么。令，那么。由式〔6.9〕得〔6.10〕由Holder不等式得代入式〔6.9〕得注意到，那么有对于的情形，可以类似证明。【定义6.13】设使有界开集，是表示的边界。称是光滑的，是指对每个点，存在及一个函数满足例16那么是光滑的。根据性质6.7，我们有下面的Sobolev嵌入不等式。【定理6.6】设是的有界开集，且是的，那么对于及有且，这里常数仅依赖于和。【推论6.1】设是的有界开集，是的，，，那么对任何，成立式中，是仅依赖于和的常数。证明：由于，那么存在使得。亦即和记，那么。根据性质6.1有即故令，由定理6.6得另一方面，因为有界，故，于是对有结合上面两式，可得这里常数不加以区别。【推论6.2】设有界开集，且，那么存在仅依赖于的常数，使这个不等式就是著名的Poincare不等式，我们给出它一个直接证明。证明：取方体，使，对任意有故于是故。注意到，因此于是有〔6.11〕设，那么存在使及根据式〔6.11〕，有令，得这里。接下来我们研究Sobolev空间的情形，为此我们引入有关Holder连续函数空间的概念。【定义6.14】设是开集，，称为次Holder连续的，是指存在常数，使对，成立。此时，记那么。【定义6.15】设，在上次连续可微，且在上自身及其所有次数小于等于的偏导数连