高考数学复习之数列

~1

第

板数列

■■

块

一、高考初感知一集训真题、明考法、验能力，找准二轮努力方向

（一）小题考法——三年新课标卷考点分布及考情分析

考点考题呈现（真题验能力，最具说服力）考法定位

（2023•新课标I卷，T7）记S”为数列｛斯｝的前〃项和，设甲：｛斯｝为等差数

歹U；乙：佛为等差数列.则（C）

综合考法

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

（2022.新课标II卷，T3）图1是中国古代建筑中的举架结构，A4'

等,BB',

是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2

差CC,DD'

是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中。。1，CC1，A41是举，（901，

数BB],

列DCi,CBi，M是相等的步，相邻桁的举步之比分别为第一0.5,黑一

i，效*已知垢卜。,依成公差为。」的等差数列，且直线应用考法

争一

04的斜率为0.725,则依=（D）图1图2

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

(2023•新课标II卷，T8)记S,为等比数列｛©,｝的前〃项和，若S4=—5,S6

=21&，则&=(C)基础考法

A.120B.85C.-85D.-120

等比

（2021•新课标I卷，T16）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经

数列

常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dmX12dm的长方形纸，对

应用考法

折1次共可以得到10dmX12dm,20dmX6dm两种规格的图形，它们

的面积之和Si=240dn?,对折2次共可以得到5dmX12dm,10dmX6

dm,20dmX3dm三种规格的图形，它们的面积之和8=180dn?,以此类

推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5；如果对折"次，那

么储产上一120162叶"dn?.

1.考多少：一般考查1道小题，小题分值为5分.

2.考哪里：等差、等比数列基本量的运算及性质，偶尔考查数列求和.

考情3.考多深：本板块对小题的考查一般是中低档难度，也可能以新情境问题为背景出现

分析

在压轴题位置.

4.考多宽：数列可与充分必要条件、平面向量、二次函数综合考查.

5.还可能怎么考：可能结合新定义考查数列的递推公式，与概率交汇命题.

(二)大题考法——由三年新高考把握命题动向

数列解答题主要考查内容：一是考查等差数列、等比数列的通项公式、前〃项和公式等

基本量的运算或等差、等比数列的判断与证明；二是通过转化与化归思想利用错位相减、裂

项相消、分组求和等方法求解数列的前〃项和.在创新角度上，如2023年新课标I卷出现了

两道关于数列的大题，T21是结合概率考查数列的递推公式，加强了知识间的横向联系，也可

能与不等式相结合考查.

\an~6,“为奇数，

［典题热身］(2023•新课标II卷)已知｛%｝为等差数列，仇=°.记S“，T,,

［2an,〃为偶数.

分别为数列｛斯｝,｛儿｝的前“项和，$4=32,73=16.

(1)求｛诙｝的通项公式；

(2)证明:当w>5时，Tn>Sn.

［解］(1)设等差数列｛诙｝的公差为d.

\an—6,w为奇数，

因为,所以乩=的一6,b7—2a7—2ai+2d,63=43-6=m+2d—

1.2a,,,w为偶数，

6.

因为S4=32,T3=16,

14〃i+6d=32,

所以《

—6)+(2〃i+2d)++2d—6)=16,

［2〃i+3d=16=5,

整理得工-r解得，

十d=7,d=2,

所以｛斯｝的通项公式为斯=2〃+3.

(2)证明：由(1)知斯=2"+3,

、n[5+(2n+3)]

所以Sn=2=ft9+4〃.

当〃为奇数时，7；=(-l+14)+(3+22)+(7+30)H——F[(2n-7)+(4«+2)]+2«-3=[-

〃+1

~2~(—1+2〃-3)

1+3+7+...+(2n—7)+(2n—3)]+[14+22+30+…+(4几+2)]=+

n—1

亍(14+4〃+2)_3n2+5〃—10

2=2-

,.3层+5〃-10o।n2-3n-10(n-5)(几+2)

=>0

当〃>5时，Tn-Sn=----2----一(层+4九)=-----2------2----^所以乙》

S〃.

当〃为偶数时，7；=(-l+14)+(3+22)+(7+30)+-+[(2n-5)+(4«+6)]=[-1+3+7

HYl

.........................乎―1+2/—5)于14+4"+6)3层+7〃

+…+(2〃-5)]+[14+22+30+…+(4〃+6)]=+5=2•

,,3/?2+77I,,re—nn(n~1)~

当〃>5时，TLSL―——(层+4w)=—~=2>°，所以。>S".

综上可知，当〃>5时，T„>Sn.

二、知识再回首一自主研习主干知识，为二轮深化学习赋能

(一)主干知识•以点带面

主干知识点

(1)等差数列：为+i—斯=d(常数).

两个定义

(2)等比数列：等=式常数)

(1)定义法：等差数列0出+1—斯=d；

两种证明

等比数列：*=q.

方法

(2)等差(比)中项法：等差数列=2念=斯+1+%-1；等比数列Q星=。〃+1•斯-1

(1)等差数列的通项公式：。〃=。1+("一l)d=〃机+(〃一加)d(九，N*).

(2)等差数列的前n项和公式：5“=〃0+迎口=幽产.

四组基本

公式

ni=nm

(3)等比数列的通项公式：an=aiq~amq~(n,m^N*).

(4)等比数列的前几项和公式：

YIQ,\fq=1,

Sn=\a\~aq。1（1一夕"）"

---n-=-；-----，产1

lLqLq

(二)常用结论•记清用活

1.等差、等比数列的性质

(1)等差数列的常用性质

①若4+/=机+"(左，I,m,N),则四+。/=。,”+斯.

②数列S”$2"-S”$3"—$2",…也是等差数列，其公差为"2。.

(2)等比数列的常用性质

①若左+/=m+〃(左，I,m,“GN"),则。*幻/=斯1a.

②当—1或q=-1且”为奇数时，S",S2n-S„,S%—S2,”…仍成等比数歹！J,其公比

为q".

2.求通项公式的四种常用方法

、pi，n=l,

⑴由S“求斯=£„

S〃-1，〃z2.

-

(2)累加法：an=(an—an-1)+(an-Ian-2)H---1~(〃2—3i)+〃i.

(3)累乘法：斯=旦-々」•…詈g.

(4)构造法：形如斯+i=pa=+q(pWO,l,qWO),可化为的形式,

斯+1=」，O〉WO)可化为一匚一的形式.

an+p斯+1dnp

3.如果数列｛斯｝成等比数列，且斯＞0,那么数列｛log小"｝。0且aWl)必成等差数列.

4.如果数列｛诙｝既成等差数列又成等比数列，那么数列｛斯｝是非零常数列；数列｛斯｝是

常数列是数列｛斯｝既成等差数列又成等比数列的必要不充分条件.

5.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，

且新等差数列的公差是原来两个等差数列的公差的最小公倍数.

6.如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成一个新数列，那么常选用“由

特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公

共项，从而分析构成什么样的新数列.

7.关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质

⑴若项数为2〃，贝”倜一S奇=/疝，今=凡~.

an+i

(2)右项数为2〃一1,则S偶=(〃—1)斯，S奇=〃斯，S奇—S偶=斯,c——7.

»偶n—1

8.若两个等差数列｛%｝,也｝的前〃项和分别为S",Tn,则会=要二

(三)易错易误•注意防范

1.忽略公式a〃=S〃一S.T成立的条件是〃N2,«eN*.

2.星=斯一1斯+1(〃22,”GN*)是｛诙｝为等比数列的必要不充分条件，因此在判断一个数

列是等比数列时，要注意各项不为0.

3.应用等比数列的前“项和公式时，应注意条件是否暗示了q的范围，否则，应注意讨

论.

4.等差数列的单调性只取决于公差1的正负，等比数列的单调性既要考虑公比q又要考

虑首项.

小题考法等差数列与等比数列

命题占一

;.豢通等差、等比数列的基本运算

1.(2023•全国甲卷)记S八为等差数列｛念｝的前几项和.若。2+〃6=10，。4〃8=45,则S5=

()

A.25B.22

C.20D.15

解析：选C由。2+。6=10,可得2〃4=10,所以。4=5,又。4〃8=45,所以“8=9.设等

差数列｛斯｝的公差为d,则d=p.=-T-=1,又。4=5,所以=2,所以S5=5“I+-z

OT-'乙

Xd=20,故选C.

2.(2023•唐山一模)已知等比数列｛诙｝的前w项和为S,，若7ai+2S2=2S3，则詈=()

解析：选D设等比数列｛诙｝的公比为q,7ai+2s2=2$3,则7/+2可+2a2=2(刃+°2+

。372as14正

4"3)=—=72=4"•故a一n=一q?=启49•故选D.

3.已知｛如｝是各项均为正数的等差数列，其公差为dWO,若Ina1,In俏，In%也是等

差数列，则其公差为()

A.IndB.InId

23

C.呵D.吗

解析：选D因为Ing,ln〃3,In是等差数列，所以21n〃3=ln〃i+ln的nin曷=ln的%.

所以曷=的。6.即3I+2J)2=〃I(〃］+5J).又［WO,可得。i=4d,所以公差In的一In〃1=1咪=

Iai+2d6d।3必*「

In--------=ln73=ln不故选D.

a\4d2

4.设等比数列｛〃〃｝的前〃项和为鼠已知S〃+i=2S〃+g及£N*,则S6=()

31

A.工B.16

n

C.30D.y

解析：选D由题得S“+i=2S〃+W①，S"+2=2S〃+I+3②，②一①得斯+2=2a“+i,即公比

q=2,则8=’“(；_；)=(2"—1)的,代入①中，即(2"+1—1)0=2(2"—1)m+3，oi=1,故

$6=竽，故选D.

5.(2023•马鞍山一模)若数列｛斯｝是公差为2的等差数列，$5<3。4，写出满足题意的一个

通项公式斯=.

解析：设等差数列的首项为的，且公差d=2,则S5<3a4O5ai+10d<3ai+9d,即。1<一1,

=

所以%=。1+(〃-l)d=2〃-2+0i.令k-2+。1<—3,所以a”=2n+k(k<—3).所以可取an

=2n—4.

答案：2〃一4(答案不唯一)

［思维建模］

等差(比)数列基本运算的解题步骤

(1)设基本量：设出首项的和公差d(公比幻.

(2)列、解方程组：把条件转化为关于的和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算的

技巧，以减少运算量.

超罚等差、等比数列的性质

［讲评提能］

［例1］(2023・广州模拟)已知S,表示等差数列｛如｝的前"项和，且知=/那么£=()

1X

A.9B10

C.dD.T

oJ

［解析］由题意得名■=),因为在等差数列｛〃〃｝中，若机，n,p,q£N*,且机+〃=p+q,

D10D

则有功+斯=他+@.所以4；恁=?即。I=3D那么益=1050，］1)=2(2：1+19砌=正,故

选B.

［答案］B

［例2］(多选)已知等比数列｛斯｝满足。1>0,公比9>1,且。1〃2…。2021<1，的〃2…〃2022>1，

则()

A.。2022>1

B.当〃=2021时，〃1。2…斯最小

C.当"=1011时，…即最小

D.存在〃<1011,使得斯斯+1=斯+2

［解析］对于A,V4Zl>0,q>\,4〃>0.又41〃2…〃2021V1,〃1。2…。2022>1,「・〃2

022>----------->1.故A正确；对于B、C,由等比数列的性质，4142021=。2〃2020=…=。1010〃1012

…。2021

=。彳011,故〃1。2…。2021=届8彳1<1,011<L:〃2〃2022=〃3〃2021=…=。1011〃1013=届012,«*•

〃2。3。4…。2022=。彳8初三二…〃2021<1,«1>0,q>l,万>1.「・012>1.故当九=1。口

时，OQ…即最小，B错误，C正确；对于D,当w<l011时，an<a\on<l,anan+i<an+i<an

+2,故D错误.故选A、C.

［答案］AC

［思维建模］

(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入

手选择恰当的性质进行求解.

il

(2)应牢固掌握等差、等比数列的性质，特别是等差数列中若m+n=p+q,贝|am+an

=ap+aq(m,w,p,“GN*)”这一性质与求和公式5.=迤的综合应用.

（3）活用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，

可利用函数的性质解题.

［过关训练］

1.现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大

的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（）

A.0.25升B.0.5升

C.1升D.1.5升

解析：选B设九只茶壶按容积从小到大依次记为02,。9.由题意得。1+。2+43

=0.5,。7+。8+。9=2.5,所以3。2=0.5,3。8=2.5=。2+。8=1.所以。5=5=0.5.

2.（2023・盐城模拟X多选）等差数列｛⑥｝的前n项和为Sn,公差为d,若（5厂㈤⑶。一$5）<。，

则下列结论正确的是（）

A.若d<0,则邑4>0B.若内0,则S8最小

C.|。7|>|。8|D.（fy>a6a9

解析：选ACD因为（员一S5）（S10—$5）<0,即（。9+。8+。7+。6）（的0+。9+48+。7+。6）<0.因

为。9+。8+。7+。6=2（a8+。7）,。10+。9+。8+。7+。6=5。8,所以10。838+。7）<0.所以当d>0时，

/8a7<。所以a8a7<。即。8>0,«7<0,所以痣+。7<0.所以|a7|>|。8|,$7最小，此时屑>0>。6。9；

当d<Q时，点+a8a7<0,所以。8。7<0.即as<0,的>0,所以念+的〉。.即aj>—aS>0,所以|阂>|。8|,

514=刿吟色"=7（。7+。8）>0,此时曷>0>a6a9.故A、C、D满足题意.

3.（2023•全国模拟预测）已知正项等比数列｛。“｝的前〃项和为S”，若$4=3,则S2+S6的

最小值为（）

A.6B.6V^-3

C.6^2D.9

解析：选B设数列｛斯｝的公比为q,

若则由题意知S2,S4-S2,S6—S4成等比数列，贝MS4—S2）2=S2（S6—S4）.又$4=3,

99I-93、历

所以$6=不+52—3.所以S2+S6=F+2S2—3265一3.当且仅当不=2$2,即$2=七一时

ry=----3（1——1）（V^+1）々Lr

取等号，即夕也一1,«i=——2-----时等号成立，则S+S6的最小值为6也

一3.当夕=1时，由&=3,得4〃i=3,所以S2+S6=2〃I+6〃I=6.故S2+S6的最小值为6也一

3.

命题点三

数列的递推关系及其应用

深化学习

［讲评提能］

12

［例3］若数列｛斯｝满足的=1,卜1,则。9=（）

1

A.210TB.29-1

C.210-1D.29-1

因为“尸1，£4+1，所以£+1=2质+1）・又5+1=2,所以数列上+1，

［解析］

是首项为2,公比为2的等比数列.所以;+1=2篦，即诙,所以=

斯Z1Z1

［答案］B

［例4］数列｛〃〃｝满足。1=1,即一1=£N*）,则〃斯的最小值是（）

A.0B.1

C.1D.2

［解析］诙一斯+1=，忆:\（九£N*）,易知斯W0,两边同时除以〃〃斯+i,得」一一；=/

十1）an+iQnn（n-\-1）

1_1所以当时，2=(\—£)+(£—£)+…+R—£)+《=(即—0+

nn+V

Vi一日I）-1---^（|一?+11-9+1=2-5,当n=i时，41=1，满足上式，故几斯=三匕

1

所以当n=1时取得最小值为1.故选C.

［答案］C

［思维建模］

由递推关系式求数列的通项公式常用的方法

（1）求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式（注意验证）；

（2）将已知递推关系式整理、变形得到等差或等比数列的通项公式，或用累加法（适用于

呢+1=斯+式〃）型）、累乘法（适用于所+1=。"八"）型）、待定系数法（适用于an+i=pan+q型）求通

项公式.

［过关训练］

3〃厂1

4.（2023・长沙雅礼中学一模）已知数列｛诙｝满足的=2,斯+1=若印表示不超过x

斯+1

的最大整数，则［。向=（）

A.1B.2

C.3D.5

3a~13ai-153。2一133«3—1

解析：选An

因为G—2,an+l-斯+],所以s—fl)+1-3,。3—怎+]-2,雨一的+1

73a4~143。5一193〃61153。7一1113。8116

一5,“5一四+1・3,"6一%+]―7,“7—期+1-4,"8-47+1_9,“9_痣+]—5'"1°

3〃9—113

——［1，所以［。向一1.故选A.

。9十1

5.已知非零数列｛诙｝的前〃项和为S”,若的=2,恁=3,anan+l=2Sn+2,则No的值为

解析：由。〃斯+i=2S〃+2得斯+2〃〃+I=2S〃+I+2,故两式相减得斯+2斯+1—斯斯+i=2S〃+1

+2一（2S〃+2）=2a〃+i,所以斯+1（。〃+2一。〃）=2〃〃+i.由于｛念｝为非零数列，故。〃+2—〃〃=2,所

以｛斯｝的奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列，且公差均为2,所以S10=（〃2+〃4+〃6+

_5X45X4

〃8+〃10）+（。1+。3+。5+。7+〃9）=2义5+~~2~~X2+3X5+~~X2=65.

答案：65

1=5

6.（2023•新乡统考二模）已知正项数列｛斯｝满足。1,<22=64,anan+2=ka^+i，若。是

｛斯｝唯一的最大项，则k的取值范围为.

解析：因为斯斯+2=%欣+1,所以也必=W.又的=1,欧=64,所以［色色］是首项为64,

斯+1斯〔斯J

公比为女的等比数列，则包口=64火-1=26父-1,

斯

则a„=—•…•--fli=26r-2-26r-3・…•26⑶1=26-6加—2嗫_1）.

〃鹿-1斯-2"12

［。5>。6,［224^>23%10,1S

因为“5是｛〃”｝唯一的最大项，所以即L45cl8,3解得"<衣牛.

41844

［a5>a4,［2-F>2r,

即发的取值范围为乎）

答案:&£）

身课堂训练一精选好题•做一当十

1.（渗透“五育”教育）十二平均律是我国时代音乐理论家和数学家朱载埴发明的，明万

历十二年，他写成《律学新说》提出了十二平均律的理论.十二平均律的数学意义是：在1

和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之

和为插入11个数后这13个数之和为N,则依此规则，下列说法错误的是（）

A.插入的第8个数为布

B.插入的第5个数是插入的第1个数的也倍

C.M>3

D.N<7

解析：选D设该等比数列为｛斯｝,公比为q,则°1=1,。13=2,故q"=；：=2,插入

的第8个数为a9=aiX«8=甑，故A正确；插入的第5个数为恁二见义八插入的第1个数

uY.,.06aiXq543r-.。2（1-/1）5（1一产）

为。2=aiXq,所以7=—，=q"=72,故B正确；M=~:--------=-------------------1-

«2aiXq1v\—q

1-5/2

—.要证M>3,即证一1一一j->3,即证——>4,即证］>24，即证O>2,而

1-2—1—2—?—-1

1z121z12z12'

6>2成立，故C正确；N=M+3.因为自12>（1.4）6>（1.9）3>2,所以1>22，所以——>5,所以

212-1

-1--彳>4,即M>4,所以N=M+3>7,故D错误.

1-212

2.（强化数学建模）血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、

合理.某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药3小时的

时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测

血药浓度的40%,当血药浓度为峰值的1.024%时，给药时间为（）

A.11小时B.13小时

C.17小时D.19小时

解析：选B设检测第w次时，给药时间为历”则｛6〃｝是以3为首项，2为公差的等差

数列，所以乩=3+2（〃-1）=2"+1.设当给药时间为2〃+1小时的时候，患者血药浓度为④,

血药浓度峰值为a,则数列｛斯｝是首项为a,公比为0.4的等比数列，所以斯=aX0.4"r.令

a„=0.0102.4a,即0.450=。乂0.4"-1,解得a=6.所以当血药浓度为峰值的1.024%时，给药时

间为06=2X6+1=13（小时）,故选B.

3.（体现数学应用）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商

功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.“三角垛”

的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球,

第四层有10个球，…，设“三角垛”从第一层到第〃层的各层球

的个数构成一个数列｛斯｝,贝1（）

A.46=16B.。10=66

C.2an+\—an+2D.a2023-"2022=2023

解析：选D由相邻层球的个数差，可知念+i—斯=〃+1,〃i=l,

1）

所以当"22时，斯=。1+（。2—。1）+（。3—a2）H-------卜@—<an-i）=1+2+3H-----Fn=,

将w=l代入a*=♦（"JD得q=1符合题意，所以斯="。’：'1）.当n=6时，。6=）02=21,

故A项错误；当力=10时，。10=2=55,故B项错误；因为=（2所以a”+a”

H

n(n+1)(n+2)(w+3),i(n+1)(+2)92

2+---------------^="2+3w+3,2a”+i=2X------J-------=«+3w+2,所以2a“+i力斯

2023X20242022X2023"

+an+2,故C项错误;“2023—。2022=—入=2023,故D项正确.

4.（聚焦综合交汇）已知圆C的方程为f+j2—以=0,过点P（2,小）作直线/与圆C交

于A,B两点，弦长AB的最大值和最小值分别是等差数列｛〃”｝的首项和公差，则02021=（）

A.4044B.8082

C.4042D.8084

解析：选A圆C的方程化为标准方程为（x—2>+y2=4,其圆心坐标为（2,0）,半径r=

2.又可知尸（2,小）在圆C内，过此点最长的弦长为圆C的直径，即|A8|max=4=CZl,最短的弦

长为过此点且与直径垂直的弦，由勾股定理及垂径定理可知|A3|mm=2=d,所以42021=01+2

020d=4044.故选A.

5.（体验开放探究）已知等差数列｛斯｝的前〃项和为S”若S6<S］，Si=Ss，S>S9,则符合

题意的等差数列｛诙｝的一个通项公式为an=.

解析：因为S（,<ST,SJ=S&,S&>SI）,所以。7>0,<78=0,。9<0,设数列｛a“｝的公差为d,则

d<0.取d=—1,又麴=。，可得ai=7,故数列｛。“｝的一个通项公式为a“=8—九

答案：8一〃（答案不唯一）

［专题跟踪检测］

一、题点考法全面练

1.（2023•邯郸一模）在等差数列｛斯｝中，''。2+。5=的+而”是"相=4"的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选A当｛斯｝的公差d=0时，由。2+。5=。3+斯7,得相是任意的正整数.由m=

4,得。2+45=43+。%则“。2+。5=。3+〃/‘是=4"的必要不充分条件.故选A.

2.已知数列｛。“｝是等差数列，数列｛6"｝是等比数列，若。2+。4+。6=5兀，b2b4b6=3/,

A.小B.一小

解析：选A由〃2+。4+。6=3〃4=5兀，得'。4=3'则。2+。6=。1+〃7=~~,由b2b4b6=

尻=3/，得。4=事,则。2^6=3,所以tai”土与我=tan]-tai^=6.故选A.

3.(2023・天津高考)已知｛斯｝为等比数列,S〃为数列｛〃〃｝的前〃项和,an+i=2Sn+2,则

。4的值为()

B.18

C.54D.152

解析：选C因为an+i=2Sn~\~2,所以当"22时，斯=2S〃—1+2,两式相减得an+i~an

=2斯，即斯+1=3诙，所以数列｛诙｝是公比4=也产=3的等比数列.当〃=1时，.2=251+2

=2(2I+2,又。2=3。1，所以3的=2。1+2,解得〃1=2,所以Q4=〃q3=2><33=54,故选C.

4.已知数列｛斯｝为各项均为正数的等比数列，s=4,8=84,则log2(〃142〃3…〃8)的值为

()

A.70B.72

C.74D.76

22

解析：选B设等比数列｛斯｝的公比为必则〃>0,S3=ai(l+q+q)=4(l+q+q)=849

整理可得q2+q~20=0,解得q=4,所以斯=。©〃一]=4".所以log2(〃Q〃3…〃8)=

128

log2(4X4X-X4)=2X(l+2+3H——F8)=­—=72.故选B.

5.(2023•孝感模拟)已知｛〃〃｝是各项均为正数的等差数列，S〃为其前〃项和，且诙+2。7

+〃10=20,则当取最大值时，510=()

A.10B.20

C.25D.50

解析：选D〃6+2〃7+〃10=（46+〃10）+2〃7=2〃8+2〃7=20,.•・〃7+。8=10.由已知，得

«7>0,«8>0,工〃7&W（〃7:念）=（$2=25,当且仅当47=48=5时等号成立.此时数列为常

数歹［5,所以310=50,故选D.

6.（多选）已知各项均为正数的等差数列｛为｝,且斯+1>为，则（）

A.。3+〃7=。4+。6

B.

C.数歹1」｛。2”+1｝是等差数列

D.数列｛“2”｝是等比数列

解析：选AC设等差数列｛念｝的公差为d（d>0）,对于A,因为｛斯｝是等差数列，且3+7

=4+6,则由等差数列性质可得。3+。7=。4+。6,故A正确；对于B,。4-。6一的。7=（41+

3办（。1+5①一31+2办（。1+6毋=3法>0,贝U03刈7<44自6,故B错误；对于C,因为02"+l—

-i=2d,则数列｛。2〃+1｝是等差数列，故C正确；对于D,如数列｛为｝为1,2,3,4,5,6,…,显

然数列｛。2〃｝不是等比数列，故D错误.故选A、C.

7.（2023•揭阳模拟）已知正项等比数列｛斯｝中,z=2,04=8,数列｛斯+斯+3｝的前〃项和

为%,则S5=（）

A.288B.99

C.99或279D.279

解析：选D设等比数列｛斯｝的公比为q,则q>0.依题意好=兴=4,所以g=2.又0=彳

=1,所以。"=。口"7=2"-1.所以诙+。"+3=2"-1+2"+2=9*2"-1.55=9(1+2+22+23+24)=

1—25

9X-一7=279,故选D.

1—1

8.已知等差数列｛小｝,⑻的前"项和分别为S”Tn,若(2"+3)S"="T“，则消=()

A-25B'3

LC2D小

.21u.25

Sn

解析：选A(2n+3)S尸阈，即寸=二二，又等差数列｛斯｝的前"项和S,形式满足S,=

InznIJ

a/+b〃(a,Z7GR,N*),故关=23="Q；；3/,贝Sn—an2,O=a(2w+3)w,故肾

S5—S4_________a(52_42)_________Qa___9

=^,-75=a[6(2X6+3)-5(2X5+3)]=25^=25'

[in—13,1W〃W6,

9.(2023•南通二模)(多选)已知数列｛诙｝的前w项和为S“，诙=,、一，若

[(—3)"7—1,n>6,

Sk=-32,则上可能为（）

A.4B.8

C.9D.12

—ll+2fe—13

解析：选AC=当1WAW6时，由&=-----------Xk=诺一\2k=-32,解

—11+(—1)

X

得k=4或左=8(舍去)，所以A选项正确；$6=----~6=-36,防=(-3)°—1=0,as

—(—3)1—1=—4,Ss=-36+0+(—4)——40,所以B选项错误；砌=(-3)2—1=8,Sg——

40+8=-32,所以C选项正确；aio=(一3>—1=一28,an=(-3)4-l=80,勾2=(一3户一1

=一244,所以邑2=—32—28+80—244=—224,所以D选项错误.故选A、C.

10.（2023・泉州模拟）（多选）已知正项的等比数列｛诙｝中ai=2,04=202+03，设其公比为

0前〃项和为Sn,则（）

n

A.q=2B.an=2

C.Sio=2O47D.。〃+。八+1<。〃+2

解析：选ABD因为〃4=2〃2+的，所以”iq3=2aiq+Qiq2.即乡2—g—2=0,解得夕=2或

夕=一1.又由正项的等比数列｛斯｝,可得力0,所以9=2,所以A正确；数列｛斯｝的通项公式

2（1一21°）

为a=sq〃—1=2〃,所以B正确；则51（）=当一尸=2"-2=2046,所以C不正确；由斯=

n1—2

n+2n

2",则斯+a“+i=2"+2"+i=3-2",an+2=2=4-2,所以斯+%+1<。"+2,所以D正确.故选

A、B、D.

11.（2023・唐山二模）修选汝口图，△ABC是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到

△A1B1G,再连接△4B1G的各边中点得到△A2&C2,…，如此继续下去，设△4&C”的边

长为诙，△4BC,的面积为则（)

A.

B.曷=。3a5

C.ai+a2H---Fa"=2—22n

-J3

D.-----kAf„<2

解析：选ABD显然&G,是正三角形，因此,=,A正确；由中位线性质易

得斯=3斯-1,即｛斯｝是等比数列，公比为3，因此曷=的