黑龙江省部分学校2024届高三年级下册第二次模拟考试数学试卷(含答案)

黑龙江省部分学校2024届高三下学期第二次模拟考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.已知Z=g,则Z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知4={乂，6={Nlog2xWa},若4口3,则实数a的取值范围为()

A.[0,+oo)B.[l,^o)C.(O,l]D(0，g

3.为了学习、宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史、知国

情、圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动.已知该班男生26人，女生24人，根据

统计分析，男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为82,86,则该班成绩的平均分是

()

A.82B.83.24C.83.92D.84

4.已知向量a=(3,2),)=(—1,%),贝是“(a+"，(a—〃广的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

丫21%

5.已知a>0且"1,若函数/(x)=3^■为偶函数，则实数。=()

A.3B.9C.-D.-

39

6.已知点P是圆C:(x-2)2+(y-/y=l上的动点，点A0,0),B(0,V3),则当

ZPAB最大时，sinZPAB=()

A.—B.lC.—DV6+V2

244

7.函数/(x)=Acos(azx+0)(A>O,a>>O，M<兀)的部分图象如图所示，贝U函数

y=/(x)—1在区间[0,2司内的零点个数为()

A.3B.4C.5D.6

8.某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为工，从第二题开始，若甲同

11

学前一题答错，则此题答对的概率为,；若前一题答对，则此题答对的概率为L记甲

43

同学回答第〃题时答错的概率为匕，当2时，匕<“恒成立，则M的最小值为()

A.2LB,eC.%D.竺

1321326666

二、多项选择题

22

9.已知椭圆C:3+g=l的左、右焦点分别为耳，&，上顶点为P，若过耳且倾斜角

为30。的直线/交椭圆C于A,3两点，贝U()

1

A.C的离心率为5B.PF^PF,=2

C.点心到直线/的距离为由D.ZSK钻的周长为8

10.已知正方体A3CD-44Gq的棱长为3，点后是线段A3上靠近3点的三等分

点，R是A2中点，则()

A.该正方体外接球的表面积为27兀

B.直线所与所成角的余弦值为峥

61

C.平面B.EF截正方体所得截面为等腰梯形

D.点R到平面AdG的距离为乎

11.已知函数/(x)=lnx+2,g(犬)=3-，%>0),则()

A.函数7z(x)=/(x)-g(x)没有零点

B.直线y=x+l是函数/(%)与g(x)图象的公共切线

C.当xwl时，函数g(x)的图象在函数/(%)图象的下方

D.当!<x<2时，

3g(〃x))“,

三、填空题

6

12.已知卜+：J的二项展开式中，一项的系数是18,则机的值为.

13.已知双曲线。:三-口=1(。〉0］〉0)的离心率为巫，其左、右焦点分别为百，

ab3

F2,过工作C的一条渐近线的垂线并交C于M,N两点，若则△MNG的

周长为.

四、双空题

14.如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为3,一只小虫从圆锥的底面

圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为3百，

则这个圆锥的高为•,体积为.

五、解答题

15.已知函数/(x)=odn(x+l)(awR).

(1)若a>0,求函数的单调区间；

(2)若a=l,求函数/(%)的最值.

16.2023年是全面贯彻落实党的二十大精神的开局之年，也是实施“十四五”规划承上

启下的关键之年，经济增长呈现稳中有进的可喜现象.某省为做好刺梨产业的高质量发

展，项目组统计了全省近5年刺梨产业综合产值如下：

年份代码x,综合产值y(单位：亿元)

201202202202202

年份

90123

年份代码

12345

X

综合产值

1.523.5815

y

(1)请通过样本相关系数，推断y与x之间的相关程度;

(若卜|之。75,则线性相关性程度很强；若0.25＜忖＜0.75,则线性相关性程度一般,

若小0.25,则线性相关性程度很弱.)

(2)求出y关于x的经验回归方程，并预测2024年该省刺梨产业的综合产值.

元)(％-9)

参考公式：样本相关系数r=।,经验回归方程$=%+©中斜率

Vi=li=l

和截距的最小二乘法估计公式分别为5=上―----------，a=y-bx.

会千―可2

Z=1

参考数据：同土7.14.

17.如图，四棱锥A-5CDE中，平面ABEL平面BCDE,底面3cDE为直角梯形,

DEHBC,CDLDE,AB±AE,AB=6，AE=3,DE=1,BC=4.

(1)求证：AB±CE；

(2)求二面角C-AB-E的正弦值.

18.已知动圆过定点4(2,0),且截y轴所得的弦长为4.

(1)求动圆圆心C的轨迹方程；

(2)若点尸(1,0),过点P(5,T)的直线交C的轨迹于M,N两点，求|引外|小|的最

小值.

19.已知集合4={%,外,…,a”,},3={4也,,bn,},{%}是公比为2的等比数列

且%+3,G3+1,。4-3构成等比数列.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设｛2｝是等差数列，将集合A_8的元素按由小到大的顺序排列构成的数列记为

R｝-

①若2=5〃-1,数列｛%｝的前冏项和为S“，求使S“<2024成立的〃的最大值；

②若AB=0,数列｛c“｝的前5项构成等比数列，且q=l,C9=8,试写出所有满足

条件的数列出｝.

参考答案

1.答案：D

他工l-3il-3i(1-3i)(l+i)l-3i+i-3i24-2i。.

解析：z=—T=——,；=-------------=--=2-1,所以z在复平面内

l+il-i(l-i)(l+i)22

的对应点为(2,-1),在第四象限.

2.答案：A

解析：由》(%—1)<0，得。<X<1，则A={x[O<x<l},由logzXWa,得0cx〈2",贝U

3={%[0<尤《2”}.因为4口3,所以2〃21,a>Q.

3.答案：C

解析：根据题意，可得该班成绩的平均分是82x26+86x24=83.92.

50

4.答案：A

解析：由已知得，a+8=(2,2+x),

a—8=(4,2—x).(a+»，3—〃)o(a+»—(a—6)=0,即2x4+4—J=o,解得

x=±2A/3,所以“x=2C是"(a+5)_L(a-5)”的充分不必要条件.

5.答案：B

解析：已知a>0且y1,若函数八x)=1龙2.33%为偶函数，则有/(r)=/(x),即

<7+1

(~x)2-3-c_x2-3A化简得1=3*,所以a=9.

ax+\~ax+\

6.答案：B

解析：圆C:(x-2)2+(y-0『=1的圆心为(2,0)，半径为1,点4(1,0),5(0,®

如图所示：则当NR4B最大时，心与圆C相切，连接CP,AC,可知PCLQ4,

|AC|=7(2-l)2+(V3-0)2=2,\AB\=\BC\^2,故NC4P=30。，ZBAC=60°,所以

NE4B=90°,sinZPAB=l.

7.答案：C

5兀

解析：由图可知A=2,T=——兀，a>=—=2,所以/(%)=2cos(2%+").因

12

为函数/⑺的图象过点「音,0＞且x=-三在/(x)的单调增区间上，所以

-^+(P=~^+2kji,左GZ,因为|例＜兀，所以/(%)=2008^2%+-1-^.^

/(x)=2cos|2x+—|=1,M2%+—=—+2kn^2x+-=-—+Ikn,所以x=E或

I3j3333

x=-—+kn,keZ,又xe［0,2兀］,所以尤=0或0或兀或名或2兀，所以函数

333

y=/(x)-1在区间［0,2兀］内有5个零点.

8.答案：D

解析：根据回答第〃-1题时有答对、答错两种情况，写出回答第〃个问题时答错的概

率，回答第〃题(心2)时答错的概率匕么1)=*1+(,所以

巴-由题意知《=*则6—'='所以k，-是首项为

7公比为上1的等比数列,所以匕—§=2义/，即匕=§+工义/.显然数列

“111112"T"111112”T

｛匕｝递减，所以当时，P＜^=-+-xl=^,所以M的最小值为丝.

I"J"21111126666

9.答案：ABD

解析：由题知，a=2,b=A/3,c=l,所以禺心率6=—=一，A正确；

|尸国二|尸闾=山胤=2,所以△P/花为等边三角形，尸片.尸耳=2,B正确；因为直线

/的方程为X-百y+l=o,鸟(L0),所以点工到直线/的距离d=/"+”==1,C

^+(_a2

错误；由题知直线/为的角平分线，则点P,工关于直线/对称，所以△鸟A3

的周长=忸耳|+忸闾+|/阂+|4闾=4。=8,即△PAB的周长为8,D正确.

解析：由题知，该正方体的体对角线长为，32+3?+32=3百,故外接球的半径为

亭，表面积为4r乎j=2771,A正确；

以A为坐标原点，AB,AD,AA所在直线分别为x,»z轴，建立空间直角坐标系

(如图①)，则E(2,0,0),F^0,|,3^C(3,3,0),D(0,3,0),故EF=，2,|,3；

CD=(-3,0,0),则cos〈EF,CD)=跖=——J=生叵，故直线EF与⑺

|£FNCD,61

如图②，取AD的中点W,连接fW,因为E是42中点，故同¥〃3片，且

FW=BBX,所以四边形EWB用为平行四边形，则5卬〃/与，在AW上取点N,使得

AN=2NW,因为AE=2E5,所以硒〃WB,故ENHFB1,故四边形E5/N即为平面

耳截正方体所得截面，又E片与平面ADD14不平行，故E用与FN不平行，故四边

形E31FN为梯形，又46=而，硒=卜+11=孚,所以梯形E3i*V不为等腰

梯形，C错误；

如图③，p[o,|,31,4(0,0,3),3(3,0,0),G(，3,3),设平面43c的法向量为

,、J"T5=(x,y,z)-(3,0,-3)=3x-3z=0

〃=(x,y,z),贝叫.令1=1,贝(Jy=-1,z=l,故

〃•AG=(%，V，z),(3,3,0)=3x+3y=0,

f3,—,—31•(1,—1,1)t—

〃=(L-M)，则点R到平面43G的距离为欧叫—2.J-----=包，D正

\n\Vl+1+12

确.

11.答案：BC

解析：h(x)=/(x)-^(x)=lnx+--l(x>0),h'(x)=——-1=土」，在区间(0,1)上，

XXXX

〃(x)<0,/z(x)单调递减；在区间(l,+oo)上〃(x)>0,/i(x)单调递增，由于丸⑴=0,

所以函数〃(X)=/(%)-g(x)只有一个零点，故A错误；⑴=0恒成立，所以

/(x)2g(x)恒成立，且当xwl时，/(x)>g(x),所以当xwl时，函数g(x)的图象在

函数/(x)图象的下方，故C正确；f'(x)=~,/'(1)=1,/⑴=2,g，(x)=3，

XX

g")=l,g⑴=2,所以函数/(x)与g(x)图象在点(1,2)处的切线方程均为

y-2=lx(x-l),即y=x+l,故B正确；当;<%<2时，取x=l,

/(£(l))=/(2)=21ln2=2n6故口错误.

g(/■⑴)g(2)55、5

2

12.答案：3

解析:x+展开式的通项为2令6—2%=4,得

k=l,所以一项的系数为相c；=6加=18,所以加=3.

77

13.答案：—

2

22

222

解析：由e=£=a+b=c9得a=3b,c=Mb,则双曲线C:康—%=1,

a3

1.—

片《W,0),渐近线y7=±-x,不妨设直线MN:y=-3(冗一410b),,

y=-3(x-^/10Z?),

N(2,%),联立方程＜f>2消去y得801—162历法+819/=0,贝！J

遁卞=L

222

A=(162A/10Z?)-320X819Z?=360Z?>0,,%1x2=,可得

|MN|=JUJ('而-4x^^=-&=-,解得b=l,可得a=3,由双曲线的定

40J8044

义可得|.|—|叫|=6,|岫|—|伸|=6,则

(|A^|+|A^|)-(|M^|+|A^|)=(|MF；|+|A^|)-|iW|=12,可得|阿|+|明仁日，所以

27

△MNK的周长阿4|+1州|+1MN|=;-.

解析：作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为PP,由余弦

定理可得："8=土部产=法廿=j所以

设底面圆的半径为，，则有2"=望.3,解得r=L所以这个圆锥的高

15.答案：(1)/(x)的单调递减区间是(-1,0),单调递增区间是(0,+8)

(2)最小值0,无最大值

,X

解析：(1)/(x)=avln(x+I)(x>-1),f\x)-azln(x+l)+----

x+1

令尸(%)=〃ln(x+l)H----(x>-1),已知a>0,则户'(x)=a—二+'>0,

x+1(x+1)2x+1

所以函数尸(x)在(-1,+oo)上单调递增.

又歹(0)=0,所以当xe(—1,0)时，F(x)<0；当xe(0,+s)时，F(x)>0,所以函数

/(X)的单调递减区间是(-1,0),单调递增区间是(0,+8).

(2)由(1)知，a=l时，/(x)在(-1,0)上单调递减，在(0,+oo)上单调递增，

所以/3mm=/(0)=0,无最大值・

16.答案：(1)变量y和x的线性相关程度很强

(2)17.7亿元

解析：(1)由题意，x=1(l+2+3+4+5)=3,y=1(1.5+2+3.5+8+15)=6,

5

£(王—亍)他一了)=(—2)x(—4.5)+(—1)x(—4)+0x(—2.5)+1x2+2x9=33,

/=1

5

J(x.-x)2=(-2)2+(-1)2+02+12+22=10,

i=l

次他—y)2=(-4.5)2+(—4)2+(—2.5)2+22+92=127.5,

1=1

5

所以―1TI=/:=—^=«0.92,

第Z7WZ7y/lOxy/12735xV51

JL(yi-y)

Vi=lVi=l

因为|r|»0.75,所以变量y和x的线性相关程度很强.

5

人^(x,.-x)(x-y)

(2)由(1)知，&=----------=—=3.3,&=6—3.3x3=—3.9,

V/-V10

Z=1

所以$=3.3x-3.9,

当光=6,贝119=3.6x6—3.9=17.7亿元.

17.答案：(1)证明见解析

⑵巫

13

解析：(1)证明：因为AB=6，AE=3,所以

=旃+(指了=2上,在BC上取一点又使得CN=1,BM=3,由题意易知四边

形CDEM为矩形，所以ME工BC且ME=CD=JBE?—BM?=0),所以

CE=ylDE2+CD2=2.H^JBE2+CE2=(2A/3)2+22=16=BC2,所以CELBE,因为

平面ABEL平面BCDE,平面ABE(平面CEu平面BEC,所以CEL平

面ABE,又ABu平面ABE,所以ABLCE.

(2)过点A作AF,BE,垂足为E则AF,平面BCDE,AF=~,EF=史.如

22

图，以E为坐标原点，以直线EC,EB为x,y轴，以过点E垂直于平面3CDE的直线

为z轴，建立空间直角坐标系，

A="

ED

「3W

则

E(0,0,0),C(2,0,0),8(0,26,0),AI22J,

「后3、一

则A5=0,—,BC=(2,—26,0),EC=(2,0,0),

「2j

由(1)知平面ABE的一个法向量为EC=(2,0,0),

设平面ABC的法向量为/=(%,y,z),

r[V|_3_

则"'得]彳'—2"'令y=G得％=3,z=l,贝I]j=(3,后1),

3•上。，以-28=0,

设二面角C—AB—石的平面角为，，则|cos8|=IE。—=—^=巫,故

|EC|-|j|2X71313

sin6=Jl—cos2g=^^,即二面角C—AB—E的正弦值为名叵.

1313

18.答案：(1)>2=4%

解析：(1)设动圆圆心为C(x,y),\CA\=^x-2)2+y2,

C到y轴距离为忖，动圆截y轴所得半弦长为2,

则(x—2『+/=|+22,化简得丁2=©；

所以动圆圆心C的轨迹方程为/=4x.

(2)设〃(%,%),N(x2,y2),当直线MN斜率存在时，由题易知直线MN的斜率不

为0,

设直线MN的方程为y=k(x-5)-4-kx-5k-4(k丰0),

与C的轨迹方程联立得卜=4%，消去x得女29—(10/+8左+4h+(5左+4下=0,

y=kx-5k-4,1