2024届江苏省南通市高三年级下册高考适应性考试(三)数学试题

江苏省南通市2024届高三下学期高考适应性考试（三）数学试题

一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的）

1.已知集合4={1,2,3,4},8={%|1082（%-1）,,2卜则集合4「13的子集个数为（）

A.32B.16C.8D.4

2.在梯形ABCD中，ABI/CD，且AB=2CD，点M是8C的中点，则AM=（）

A.-AB--ADB.-AB+-ADC.AB+-ADD.-AB+-AD

3223242

的展开式的常数项为（）

A.-21B.-35C.21D.35

4.国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为2m,4m,侧棱长为3m的正四棱

台，则该台基的体积约为（）

28"320a3

3B.285/7m3C.28m'D.-----m3

A.---q--m

3

5.在平面直角坐标系xOy中,已知点M（2,l）为抛物线E:x2=2py（p>0）上一点，若抛物线£在点M处的

切线恰好与圆C：/+（y-份2=2S<o）相切，则力=（）

A.-y/2B.-2C.-3D.-4

6.已知0</<a<—,sin(a-/7)=—,tana-tan〃=2,则sinasin^=()

12D近

A.-B.-C.一

2552

7.某校春季体育运动会上，甲，乙两人进行羽毛球项目决赛，约定“五局三胜制”，即先胜三局者获得冠

军.已知甲、乙两人水平相当，记事件A表示“甲获得冠军”，事件8表示“比赛进行了五局”，则P（Al月）

()

15

A.-B.-D.—

2416

8.设定义域为R的偶函数y=/（x）的导函数为y=f\x），若f'（x）+（x+1了也为偶函数，且

/（2〃+4）>/（/+1）,则实数°的取值范围是（）

A.(-OO,-1)U(3,+OO)B.(-CO,-)36,+oo)C.(-3,l)D.(-l,3)

二、多项选择题（本大题共3小题,每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符

合题目要求、全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.已知zpz2都是复数,下列正确的是（）

A.若4=Z2,则Z[Z2£RB.若平2€R,则Z]=z2

C、若㈤二回,则z；=z；D.若z；+z；=0,则㈤=%|

1。.在数列｛4｝中，若对GN*,都有“"+2,=q（q为常数），则称数列也』为"等差比数列"，q为公差

an+\~an

比,设数列｛4｝的前〃项和是S”,则下列说法一定正确的是（）

A.等差数列｛（｝是等差比数列

B.若等比数列｛〃“｝是等差比数列，则该数列的公比与公差比相问

C.若数列｛S〃｝是等差比数歹则数列｛《向｝是等比数列

D.若数列｛〃“｝是等比数歹U,则数列｛S〃｝等差比数列

11.在棱长为2的正方体ABCD-A与GA中，点E是棱BB]的中点，点F在底面ABCD内运动（含边界），则

（）

A.若尸是棱CD的中点，则EF//平面A｝BD

B.若即J_平面AGE,则b是8。的中点

4x/5

C.若F在梭AD上运动（含端点），则点F到直线AiE的距离最小值为3-

D.若F与B重合时，四面体AiC｝EF的外接球的表面积为19兀

三、填空题（本题共3小题,每小题5分，共15分.）

2r,x<o,「r\

12.已知函数〃x）=.（吟则//[=.

sinl2x+—

22

13.在平面直角坐标系xOy中,6,鸟分别是双曲线E：y-^-=l的左,右焦点，设点P是E的右支上一点,

则---的最大值为.

PF、PF2

14.定义:㈤表示不大于x的最大整数,{x}表示不小于x的最小整数，如［1.2］=1,{1.2}=2.设函数

/3）=3幻}在定义域［0,〃乂〃GN'）上的值域为C“，记C中元素的个数为应，则生=

—+—++—=.（第一空2分,第二空3分）

4a2an

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分13分）

如图,正方形ABCD是圆柱。。的轴截面，已知A5=4,点E是4B的中点，点M为弦BE的中点.

（1）求证:。1M〃平面从。氏

（2）求二面角D—OiM—E的余弦值.

16.（本小题满分15分）

跑步是人们日常生活中常见的一种锻炼方式，其可以提高人体呼吸系统和心血管系统机能，抑制人体癌细胞

生长和繁殖.为了解人们是否喜欢跑步，某调查机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表.

喜欢不喜欢合计

男12820

女101020

合计221840

（1）根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关?

2

,,,,2n(ad-bc),

附:%=--------------------------，其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(/K)0.1000.0500.0250.0100.001

k。2.7063.8415.0246.63510.828

（2）该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为|■，张先生跑

步上班迟到的概率为1.对于下周（周一~周五）上班方式张先生作出如下安排:周一跑步上班，从周二开始,

3

若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班,且因公司安排，周五开车去公司(无论周四

是否准时到达公司).设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为X,求X的概率分布及数

学期望E(X).

17.(本小题满分15分)

在^ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,be,已知a=2,c2=BABC-2百5淇中S为^ABC的面积.

(I)求角A的大小；

⑵设D是边BC的中点，若48_LAD,求AD的长.

18.(本小题满分17分)

在平面直角坐标系xOy中，点A.B分别是椭圆C:=1(。〉h>0)的右顶点,上顶点，若C的离心率为

ab"

—，且O到直线AB的距离为26.

25

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵过点P(2,1)的直线，与椭圆。交于M,N两点,其中点M在第一象限，点N在x轴下方且不在y轴上，设直

线BM,BN的斜率分别为占&.

①求证:!+3为定值，并求出该定值；

卜1

②设直线8M与x轴交于点T,求LBNT的面积S的最大值.

19.(本小题满分17分)

已知函数/(x)=ev-ax-cosx在［0,+8)上的最小值为o.

(1)求实数a的取值范围；

⑵设函数y=叭x)在区间D上的导函数为y=(p\x)^x'<pM>1对任意实数xwD恒成立，则称函数

0(%)

y=/(x)在区间。上具有性质S.

①求证:函数f(x)在(0,+8)上具有性质5;

②记flp(i)=P⑴M2)…p(〃),其中〃wN",求证:立i.sin]>[

1nn

JS1M\+1)

2024年高考适应性考试（三）

数学试题参考答案及评分标准

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的）

题号12345678

答案CDBACBAA

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分有选错的得0分）

题号91011

答案ADBCDACD

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.—13.土史14.3—

22〃+1

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分13分）

（1）证明：取4E的中点M连结ON,FN.

在中，M,N分别是七8,E4的中点,

所以且A8=2MN.

在正方形ABC。中，AB//CD,且AB=C。,

又点Oi是CO的中点，

所以。Q〃4B,且48=20。.

所以MN〃0。，且MN=0i。，

所以四边形MNDO\是平行四边形，........................3分

所以0\M//DN.

又DNu平面ADE,O\M<Z平面ADE,

所以。1M〃平面........................6分

（2）解.：因为A8是圆。的直径，E是48的中点，且A8=4,

所以。E_L06,且。£=04=08=2.

以0为坐标原点，以OE,0B,。。所在直线分别为x轴，了轴，z轴建立如国所示

的空间直角坐标系。一孙z.

依题意,0(0,0,0),01(0,0,4),6(0,2,0),E(2,0,0),M(l,1,0),

4(0,-2,0),0(0,-2,4).........................7分

所以=(1,1,—4),DQ=(0,2,0),QE=(2,0,-4).

设勺=(X,,y,zj是平面0\MD的法向量，

.n.O.M=Ox+y.-4z.=0,„,“，八

则n《fa即n《取用=4,得yi=0,zi=l,

n}DO}=0,12y=0，

所以＞=(4,0,1)是平面OiM£＞的一个法向量...........................9分

设%=(W，%，z?)是平面OiME的法向量，

出•OiM=0,即［与+必-44=0,

则4得”=2,Z2=I,

Z

%，七=0,2X2-42=0,

所以々=(2,2,1)是平面OxME的一个法向量..........................11分

3历

所以COS(〃1,小)=||4x2+0x2+lxl

\一，M伺V42+02+l2-V22+22+l217

设二百角D~O\M-E的大小为仇

据图可知，cos6=cos(4,々),

所以二面角。一0|M—七的余弦值为士叵.............................13分

17

16.(本小题满分15分)

解：(1)假设“。：人们对跑步的喜欢情况与性别无关.

根据题意，由2x2列联表中的数据，

40x(12x10-8x10)240

可得/0.4040＜3.841..................3分

20x20x22x1899

因为P伍23.841)=0.050,

所以没有95%认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关联....................5分

(2)X的所有可能取值分别为1,2,3,4.

p(X=l)=l；..................7分

P(X=2)=-2xlI=-2；..................9分

'7339

o714

p(X=3)=-x-x-=—；....................................11分

'/33327

p(X=4)=^2x^2x^2=-R^,....................................13分

fifflilE(X)=lx-+2x—+3x—+4x—=—.

',39272727

所以X的数学期望为国...................15分

27

17.(本小题满分15分)

解：(1)据c2=BA-BC-26S,可得/=ca・8s8-2>/5x』acsin8，

2

即c=acosB->/5asinB,....................................2分

结合正弦定理可得sinC=sin4cos8->/5sinAsin3.

在△ABC中，sinC=sin[兀一(A+8)]=sin(A+8)=sinAcos8+cos4sin8,

所以sinAcos6+cosAsin6=sinAcosb一石sinAsinb,

整理得cosAsin8=sinAsin8.....................................4分

J3

因为Be(0,7t),sinB>0,故cosA=—V5sinA,即tanA=—一>

又Ae(0,7t),所以A=焉兀...................6分

(2)法一：因为。是边8c的中点，〃=2,所以8。=。。=1.

在△他。中，A8_LA。，则4O=BOsinB=sin8.............................................8分

在/XACZ)中，ZCAD=-n--=-fC=n--n~B=--B,8=1,

62366

据正弦定理可得，CD=—,即一!一=、,

sinZ.CADsinC..(n]

sein—sin——B

316)

所以AO=2sin(2—B]......................................11分

N/316J

所以sinB=-^sin(巴一B]，即—sinB=—cosB-sinB,

G16J222

所以8sB=2>/3sin8,.....................................13分

又sin'6+cos?B=i,3e(0㈤,

所以sin?8+R6sin8)=1,解得sin8=^^,

所以4。=巫...................15分

13

法二：因为。是边8c的中点，故

所以=Afj.sinNDAC,即』c­4£>=，6.AOsinfn-—[,

2222V6；

整理得c①....................................10分

2

在△ABC中，据余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosZBAC,

即加+/+6儿=4(2).

联立①②，可得6=二，c=楚...................13分

V13V13

在RtAABD中，据勾股定理得，AD2=BD2-AB1=1='，

所以4£>=巫...................15分

13

法三：延长BA到点“，使得C”_LA8.

在RtAC〃B中，AD.LAB,C〃_LAB,故AO〃C〃，

又。是BC的中点，所以A是的中点，

所以4〃=A8=c,CH=2AD,RHB2+HC2=a2=4.

...................................10分

在RtzXCZM中，ZCAH=n-ZBAC=n--n=-,AC=b,AH=c,

66

।

所以C”=〃sinNCAH=-b,且c=Aos/CAH=一二也

22

...................................12分

所以（2c『+（时=4,即（2x2）+&J=4,解得人等（负舍），

AD=-CH=-x-b=-b=—....................................15分

222413

法四：延长AD到E,使AO=OE,连结EB,EC.

因为。是BC的中点，且4O=£>E,

故四边形A8EC是平行四边形，BE=AC=b.

又N8AC=3TT,所以/48七=兀一/84。=兀-3兀=二.

666

在Rt2\5AE中，ABYAD,ZABE=-fAB=c,BE=AC=b,

6

]/o

所以AE=BE-sinZABE=—b>且c=BEcosZABE=.

22

...................................10分

~111

在Rt△朋。中，ABA.AD,AB=c,AD=-AE=-h,BD=-a=\,

242

据勾股定理,可得d+，b）=1,

...................13分

将。=正力代入上式，可得b=生叵（负舍），

213

所以4。=工人=巫...................15分

413

18.（本小题满分17分）

解：⑴设椭圆C的焦距为2c（c>0）,

因为椭圆C的离心率为正，所以£=正，即。2=3°2,

2a24

据/一加=°2,得/一从=3/,即〃=»...................2分

4

所以直线48的方程为主十上=1,即工+2），-3=0,

2bb

因为原点0到直线AB的距离为|6,

故上鸳空石，解得人=1,

所以〃=2,...................4分

所以椭圆C的标准方程为二十产=1....................5分

4

（2）设直线/的方程为y—1=2（%—2）,其中左>；,且无。1,即丫=履一24+1.

设直线/与椭圆C交于点M（X］，乂），、（々，），2）.

y=kx-2k+\f

联立方程组/整理得(4公+1卜2一(]6公—8%)X+16S_16&=0,

+y2=1,

T

16犬-8Z16&2-16%

所以入+工2...................8分

4公+1,中24公+1

①所以上+二=」一+，一=,勺、+/七、=上•^-+^-

k\&2%-1y2T&（百一2）&（七一2）k（司-2X2-2）

2』%2一(41+%2)_2%占一(芭+七)

%(3-2)(”2)I

xAx2-2(x)+%2)+4

\6k--\6k16/一82-8-

24公+14公+1之吟!』=-4为定值，得证.

~k16公一82k4

+4

4k?+14-+14^+1

.................................11分

②法一：直线助W的方程为y=2/+l,令y=0,得工=一,，故/

KI4J

设直线8N与1轴交于点Q.

直线BN的方程为y=&x+l，令y=0,得欠=一故。H?0

y=ex+1,

联立方程组f整理得（4月+l*+8Lx=0,

「=1,

解得当=-一空一或0（舍）,8鼠)।8公।

%=hx>+1=幻•-—+1=-----7^+1

4K.।14k：+I4k；4-1

所以ABNT的面积

S=^QT\\yB-y2\=^~+y1-(-

/NK]I4尺+1Jk、k246+1

由①可知，-+—=-4»故一^~=4+工，代入上式,

k1klk、h

2公

所以S=4+>.18

k2%+lk2%+1

因为点N在x轴下方且不在），轴上，故或七＞,，得2+'＞0,

22kf

88_8e(2&+1)_44仔+2内41+?

所以S力

24右+1=4月+1=4^+1I4四+“

14分

显然，当匕时，S=4（l+四二i]v4,

2I4^+lJ

当怎〉，时，S=4（1+生二1]＞4,

-21㈣+1J

故只需考虑&＞：，令，=2右一1,则，＞0,

当且仅当，=m,f=及，即网=1小时，不等式取等号,

所以A8NT的面积S的最大值为272+2............................................17分

法二：直线8M的方程为y=A/+l,令），=0,得4=-工，故了一~1,（）

KIK

设直线8N与x轴交于点Q.

v故QT

直线3N的方程为丁=心工+1，令y=0，得x=-—,0.

由①可知，--+—=—4>故-----—=4»

匕右k、

所以点A（2,0）是线段TQ的中点.

故△BNT的面积S=2sg=2x夕4川xd=舟，其中d为点N到直线

A3的电离...................14分

思路1显然，当过点N且与直线AB平行的直线〃与椭圆C相切时，d取

最大值.

设直线/'的方程为y=-;x+m(/n<0),即x+2y-2m=0,

1

y=—x+m

2f

联立方程组整理得f-2，m+2M-2=0,

x2、1

彳+y=1,

据A=(-2^)2一4(为2-2)=0,解得〃?=_夜(正舍).

所以平行直线「：x+2y+2播=0与直线/：x+2y—2=0之间的

距离为峡=1=吗吆，即d的最大值为吗2.

底亚V5

所以△BNT的面积S的最大值为V5x吗匕=242+2.

x/5

.................................17分

思路2因为直线/的方程为x+2y-2=0,

所以S二岛二石」“2：2y2—2|22|,

VF万11

依题意，-2</<2,七工°，%<0，故W+2y2-2<0,

所以S=,+2%-2|=-(x2+2%)+2.

因为"(々，%)在椭圆。上，故亍+£=1，即考+(2%)2=4,

所以(“2；2y2J.石+；匹1=2,当且仅当9=2%=-夜时取

等号，故-2&在赴+2%W2>/5,

所以5=-(3+2y2)+2W2+2&,

即△BN7'的面积S的最大值为2&+2.

17分

思路3因为直线/的方程为x+2y-2=0,

所以5=岛=技联铝++2%/,

因为非(马，必)在椭圆。上，故［+£=1，

设X2=2COS。，y2=sin,不妨设6c九,一九15冗’2gJ，

当。=2，x,=-&，必=一立时，SW2V5+2.

422

即△8NT的面积S的最大值为272+2.

19.(本小题满分17分)

解：(1)f(A)=QX-ax-cosx,x20,7(0)=e°-tzx0-cos0=0,

/'(x)=e*—a+sinx,/'(0)=e°-a+sin0=1-a,

/'V)=ex+cosx1+cosx0,等号不同时取，

所以当x20时，/n(x)>0,/'(x)在［0,+oo)上单调递增，f\x)^/'(O)=l-a.

(1)若1一心0,即aWl,尸(x)Nl-a20,f(x)在［0,+8)上单调递增,

所以J(x)在［0,+oo)上的最小值为/(0)=0,符合题意.

.....................................3分

(ii)若1-avO,即a>l,此时/'(0)=1—〃vO,

尸[in(a+2)]—2+sin[in(a+2)]>2-1>0>

又函数/(力在[0,+8)的图象不间断，

据零点存在性定理可知，存在Xo«O,ln(a+2)),使得/。)=0,

且当xw(O,/)时，/(x)<0,/(x)在(0,%)上单调递减，

所以/'(毛)</(。)=0，与题意矛盾，舍去.

综上所述，实数。的取值范围是(YO,1]......................................6分

(2)①由(1)可知，当x>0时，/(x)>0.

要证：函数在(0,।8)上具有性质S.

即证：当x>0时，V>1.

即证：当x>0时，x/'(x)-/(x)>0.

令g(")=x/'(x)-〃x)，x>0»则g(x)=x(e，-a+sinx)-(e*-at-cosxj,

即g(1)=(x-l)e，+xsinx+cosx,x>0>g'(x)=x(eA+cosx)>0»

所以晨x)在(0,+oo)上单调递增，g(x)>g(O)=O.

即当x>0时,x/,(x)-/(x)>0,得证...................II分

②法一：由①得，当x>0时，(x-l)eA+xsinx+cosx>0,

所以当x>0时，(1-x)eA<A；sinA-i-cosx.

下面先证明两个不等式：(i)ev>x+l,其中x>0；(ii)cosx<—,其

x

中工e(0,l).

(i)令p(x)=e'-K-l,x>0,则p'(x)=e*-1>0,p(x)在(0,+8)上单

调递增，所以p(x)>p(0)=0,即当x>0时，ev>x+\.

(ii)令q(x)=tanx-x,xs(0,1),贝U/(x)=——；——1=1.X>0,

cos"xcos'x

所以g(x)在(0")上单调递增，故q(x)>7(0)=0，

即当xe(0,l)时，tanx>x,故包二〉x,得cosx<@^^.

cosxx

...................13分

据不等式(〃)可知，当工w(0,l)时，(l-x)e*<xsinx+cosx〈1+Jsinx,

所以当x«0,l)时，sinx>斗誓el

结合不等式(i)可得，当xe(0")时，

x(l——)(l+x)x(17)(l+x)x(l—x)

sinx>

x2+lX2+\(l+x)2~1+X

所以当X€(0,l)时，—>y^.15分

1