椭圆及其标准方程高二数学理科选修系列完整教学课件2

椭圆及其标准方程(第二课时)有关椭圆的轨迹返回目录1.

在例题和习题中,满足什么样条件的一些点的轨迹是椭圆?2.

如何用椭圆的定义确定点的轨迹方程?学习要点

例2.

如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x

轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M

的轨迹是什么?为什么?DMxyoP·分析:点M

被圆上的点P

带动,假设能求出点M的轨迹方程,即可知道点M

的轨迹是什么.即可请点P

的坐标将点M

的坐标代入圆的方程,就可得到点M

的轨迹方程.

例2.

如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x

轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M

的轨迹是什么?为什么?DMxyoP·解:点P

的坐标为(x0,y0),那么有x02+y02=4,设动点M

的坐标为(x,y),∵PD⊥x

轴,且M是PD的中点,∴x=x0,得x0=x,y0=2y,①将②代入①得x2+(2y)2=4,整理得∴点M的轨迹是一个椭圆.②(请看轨迹的动画效果)请稍候

例2.

如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x

轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M

的轨迹是什么?为什么?DMxyoP·

例2.

如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x

轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M

的轨迹是什么?为什么?DMxyoP·这是将圆压缩后得到的椭圆.当压缩为时,椭圆的方程又是怎样?当PD

垂直y

轴时,椭圆的方程又是怎样?请同学们想想,做做:

例2.

如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x

轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M

的轨迹是什么?为什么?当时,DMxyoP·x0=x,代入圆的方程得整理得同样是椭圆.

例2.

如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x

轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M

的轨迹是什么?为什么?xyoDMP·x0=2x,y0=y.代入圆的方程得整理得焦点在y

轴上的椭圆.当PD⊥y

轴,M

为PD的中点时,(2x)2+y2=4,b=2>a=1,

例3.

如图,设点A、B

的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM、BM

相交于点M,且它们的斜率之积是求点M

的轨迹方程.BMxyoA解:设点M的坐标为(x,y),由题设得即整理得4x2+9y2-100=0,此方程可化为椭圆标准方程的形式:

例3.

如图,设点A、B

的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM、BM

相交于点M,且它们的斜率之积是求点M

的轨迹方程.BMxyoA解:设点M的坐标为(x,y),由题设得即整理得4x2+9y2-100=0,此方程可化为椭圆标准方程的形式:当M

在A、B

处时,有一直线的斜率为0,不满足题设条件.∴方程中需去掉y=0的点.(y≠0).假设斜率之积为正数时,曲线是椭圆吗?练习:(课本42页)第4题.习题A组第1题.练习:(课本42页)

4.

点A,B

的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线AM,BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2,点M的轨迹是什么?为什么?BMxyoA解:设点M的坐标为(x,y),由题设得即化简得x=-3,当M

在x

轴上时,两直线的斜率为0,不能做-3∴点M

的轨迹是去掉与x

轴交点的直线.除数,习题A组1.

如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式点M

的轨迹是什么曲线?为什么?写出它的方程.解:关系式表示点M(x,y)到点F1(0,-3)与点F2(0,3)的距离之和等于10.∴点M

的轨迹是以F1,F2

为焦点的椭圆,2a=10,c=3,那么b2=a2-c2=16,由F1,F2

的位置知,焦点在y

轴上,∴方程为【课时小结】将圆压缩所得曲线是一个椭圆.例2是对这一结论的一个证明.证明方法就是求出它的方程,其方程是一个椭圆的标准方程.

例3证明了分别过两定点的直线的斜率之积为一个负数(-1除外)时,两直线交点的轨迹是一个椭圆.熟悉椭圆的定义很重要.

习题的第一题,由定义判断曲线,让人豁然开朗,有走出大山进平川的感觉.习题A组第7题.B组第1、2、3题.

7.

如图,圆O的半径为定长r,A

是圆O

内一定点,P

是圆上任意一点.线段AP

的垂直平分线l和半径OP

相交于点Q,当点P

在圆上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?AOQPl解:∵l

是线段AP

的垂直平分线,∴|AQ|=|PQ|,那么|AQ|+|OQ|=|OP|=r,而O、A

是定点,r

是定长,∴点Q的轨迹是以O、A为焦点的椭圆,椭圆上的点到两焦点的距离之和等于圆的半径.B组1.

如图,DP⊥x

轴,点M

在DP

的延长线上,且当点P

在圆x2+y2=4上运动时,求点M的轨迹方程,并说明轨迹的形状,与例2相比,你有什么发现?DMxyoP解:点P

的坐标为(x0,y0),那么有x02+y02=4,设动点M

的坐标为(x,y),∴x0=x,①整理得这是焦点在y

轴上∵PD⊥x

轴,且代入①得的椭圆.B组1.

如图,DP⊥x

轴,点M

在DP

的延长线上,且当点P

在圆x2+y2=4上运动时,求点M的轨迹方程,并说明轨迹的形状,与例2相比,你有什么发现?DMxyoPDMxyoP·例2的点M在DP上,此题的点M在DP的延长线上,椭圆在圆内与圆相切,椭圆在圆外与圆相切.焦点的x

轴上.焦点的y

轴上.

2.

一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91=0内切,求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么曲线.解:圆C1:x2+y2+6x+5=0的圆心为C1(-3,0),半径圆C2:x2+y2-6x-91=0的圆心为C2(3,0),半径(如图)C1C2·xyO3M设动圆圆心为M(x,y),半径为r,那么

2.

一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91=0内切,求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么曲线.解:圆C1:x2+y2+6x+5=0的圆心为C1(-3,0),半径圆C2:x2+y2-6