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傅里叶级数MathematicalAnalysis内容

/CONTENTS01/傅里叶级数02/以2l为周期的函数的展开式1101/傅里叶级数101/傅里叶级数1三角函数系1问题:1.若能展开,是什么?2.展开的条件是什么?

设f(x)是周期T=2π的周期函数，且能展开成三角级数：01/傅里叶级数1111傅里叶系数傅里叶级数问题:1注意:函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多.收敛定理：狄利克雷(Dirichlet)充分条件)1题目类型：

(1)将定义在（，）上的以2

为周期的函数展开成傅立叶级数。方法：(i)先求傅里叶系数(ii)写出对应的傅里叶级数1(iii)根据收敛定理把上式写成等式1解例111所求函数的傅里叶展开式为所给函数满足狄利克雷充分条件.1方法:(i)对函数作周期为2

的周期延拓得定义在R上的周期函数.将定义在[-

，]上的函数f(x)

展开成傅立叶级数。(iii)限制在[-

，]再用收敛定理得到所求函数的傅立叶级数展开式。(ii)延拓后函数的傅立叶级数与原函数的傅立叶级数相同.1解所给函数满足狄利克雷充分条件.

拓广的周期函数的傅氏级数展开式在收敛于.例211所求函数的傅氏展开式为111.奇函数和偶函数的傅里叶级数

一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.11定义1解所给函数满足狄利克雷充分条件.例3112、函数展开成正弦级数或余弦级数做法：奇延拓1偶延拓1解(1)求正弦级数.例41余弦级数作为练习1总结：将f(x)展开傅立叶级数有以下三种情况：(1)将定义在（，）上的以2

为周期的函数f(x)

展开成傅立叶级数。方法：应对f(x)作周期为2

的周期延拓得定义在（，）上的周期函数F(x),将F(x)的傅立叶级数限制在[-

，]再用收敛定理得到f(x)的傅立叶级数展开式。方法：计算f(x)的傅立叶系数后得到f(x)的傅立叶级数，再用收敛定理得到f(x)的傅立叶级数展开式。(2)将定义在[-

，]上的函数f(x)

展开成傅立叶级数。1方法：应对f(x)作奇延拓（或偶延拓），得到定义在(-,]上的函数F(x),F(x)的傅立叶级数即为正弦级数（或余弦级数），限制在[0]再用收敛定理得到f(x

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