专题1-4 正弦定理和余弦定理解三角形19类题型128题汇编（解析版）

专题1-4正弦定理和余弦定理解三角形19类题型128题汇编TOC\o"1-3"\n\h\z\u知识点梳理模块一正余弦定理的基本运算【题型1】正弦定理及辨析【题型2】已知两边及其夹角（余弦定理）【题型3】已知两边及一边的对角（正弦或余弦定理）【题型4】已知三边或三边的数量关系【题型5】已知一边一角及另外两边的关系【题型6】已知两角及一边模块二正余弦定理的应用【题型7】外接圆半径【题型8】余弦定理的应用(求值)【题型9】正弦定理的应用（边角互化,拆角与合角）【题型10】三角形的面积的相关计算【题型11】三角形的周长的相关计算【题型12】正余弦定理的综合应用模块三解三角形综合【题型13】三角形解的个数问题【题型14】判断三角形的形状【题型15】三角形性质综合判断【题型16】已知三角形形状，结合余弦定理求范围【题型18】解三角形的实际应用【题型19】结合恒等变换，诱导公式，三角函数解三角形知识点梳理1.正弦定理与余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则正弦定理余弦定理适用范围(1)已知两角及任意一边.(2)已知两边及其中一边的对角.(1)已知两边和夹角或已知三边．(2)已知两边和一边的对角．公式变形与应用(1)，，.(2)，，.(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即.(4)，，(5)大边对大角大角对大边(6)合分比：，，.，，

2.三角形内角和及三角形常见重要关系(1)内角和定理：（结合诱导公式），进而有等式子(2)三角函数关系：=1\*GB3①同理有：，.=2\*GB3②；=3\*GB3③斜三角形中，=4\*GB3④；(3)三角形中的射影定理：在△ABC中，；；．(4)角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.即若AD为∠A的角平分线，则有比例关系：.3.三角形常用面积公式（后3个解答题中不能直接用）(1)(ha表示边a上的高).(2).(3)（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r.）(4)海伦公式：，即，其中为△ABC的半周长.(5)向量式：其中3.正弦定理之齐次式结构结构特点：每一项中都有边或sin角且次数一致，即可实现边和对应sin角的互化（1）整式齐次式①边的齐次式：②sin角的齐次式：（2）分式齐次式：4.拆角与合角的技巧1、化简后的式子同时含有三个角时，解题思路是减少角的个数，方法主要有以下两种①合角如：②拆角——拆单角（“单身狗角”）如：，，（2），5.常见等式的化简中：①②（舍去） ①②①②，则或6.恒等变换（1）二倍角公式：，（2）二倍角公式的扩角降幂：.，忘记了可以用二倍角公式推导:记，则故，（3）辅助角公式：注意：，且与在同一象限7.三角形解的个数已知三角形的边角边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知边边角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下：策略一：由正弦定理得，①若，则满足条件的三角形个数为0，即无解．②若，则满足条件的三角形个数为1，即一解．③若，则满足条件的三角形个数为1或2.策略二：结合图像A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解无解8.判断三角形形状的策略利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线1.先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.2.先化角为边，再进行代数恒等变换(因式分解、配方等)，求出三边之间的数量关系,统一成边的关系.注意：等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．余弦定理判断三角形形状：（1）△ABC为直角三角形⇔或或.常见条件：∠C为直角，（2）△ABC为锐角三角形⇔，且，且.常见条件：（3）△ABC为钝角三角形⇔或或.其它常见条件：（4）若，则或.9.解三角形中的实际应用问题(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①).(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).(3)方向角：相对于某一正方向的水平角.北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③).北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向.南偏西等其他方向角类似.(4)坡角与坡度：坡角指坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角).坡度指坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度，i＝tanθ).坡度又称为坡比.

模块一正余弦定理的基本运算【题型1】正弦定理及辨析【例题讲解】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据正弦定理即得.【详解】在中，由正弦定理，∴，，故ABD错误，C正确.若在中，是的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要【答案】C【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】解：在三角形中，若，根据大角对大边可得边，由正弦定理，得．若，则正弦定理，得，根据大边对大角，可知．所以，“”是“”的充要条件．【巩固练习】在中，“”是“”的（

）．A．充要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【详解】由得，，，在中，所以，由正弦定理得，由大边对大角的结论知，所以为充要条件．（多选）下列说法正确的有A．在△ABC中，a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinCB．在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件D．在△ABC中，若sinA=，则A=【答案】AC【详解】由正弦定理可得：即成立，故选项A正确；由可得或，即或，则是等腰三角形或直角三角形，故选项B错误；在中，由正弦定理可得，则是的充要条件，故选项C正确；在△ABC中，若sinA=，则或，故选项D错误.（多选）在中，则下列条件是的充要条件的有（

）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】解：选项：利用正弦定理可得，故，等价于，而在中，等价于，故选项正确；选项，利用同角三角函数关系可得，等价于，而在中，等价于，故选项正确；选项，利用二倍角公式可得，所以，即，等价于，而在中，等价于，故选项正确；选项不能推出，如，时满足，但由大角对大边可得，故选项不正确．（多选）下列说法中正确的有（

）A．在中，B．在中，若，则C．在中，若，则；若，则D．在中，【答案】ACD【详解】设外接圆的半径为R，由正弦定理得．对于A，，正确；对于B，由二倍角公式得，则，即，整理得，即，则或，所以或，错误；对于C，（大边对大角），正确；对于D，，正确．故选：ACD.【题型2】已知两边及其夹角（余弦定理）【例题讲解】三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为___________.【答案】【详解】解：解方程可得此方程的根为2或，故夹角的余弦，由余弦定理可得三角形的另一边长为：．在中，若，则（

）A．25 B．5 C．4 D．【答案】B【详解】在中，若，，，由余弦定理得.【巩固练习】在中，角所对边分别为．若，则______．【答案】【详解】由余弦定理得，解得若中，，，，则______．【答案】或【详解】因为，，所以.当时，由余弦定理，因为，，解得；当时，由余弦定理，因为，，解得.故答案为：或.【题型3】已知两边及一边的对角（正弦或余弦定理）【例题讲解】在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，，则______．【答案】【详解】余弦定理：得即，解得（舍）正弦定理：，，再求出，比较麻烦在中，，则______.【答案】【详解】根据正弦定理可知，代入题中数据，可知，所以【巩固练习】在中，已知，，，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【详解】解：在中，因为，，，由余弦定理，即，解得或（舍去）在中，内角所对的边分别是，已知，，，则的大小为（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【详解】在中由正弦定理可得，即，解得，又因为，所以在中，已知，，，b＝5，则c＝______．【答案】2【分析】由，得，再结合，得到角为钝角，然后利用余弦定理求解.【详解】解：在中，，b＝5，由，得，因为，所以角为钝角，则，由余弦定理得，即，解得或（舍去）在中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若，则（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】根据，利用正弦定理求解.【详解】解：在中，，由正弦定理得，所以，所以或已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，因为，所以.记的内角、、的对边分别为、、，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角三角函数的基本关系以及正弦定理可求得的值.【详解】因为，则为锐角，且，因为，由正弦定理可得.【题型4】已知三边或三边的数量关系【例题讲解】在中，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以由余弦定理得，又，则．【巩固练习】在中，，则的值为（

）A． B．－ C．－ D．【答案】C【分析】由题意可设，再根据余弦定理求解即可.【详解】解：因为，所以设，由余弦定理可得.在中，，则的最小角为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，根据条件给出的三边确定的最小角为，直接利用余弦定理计算，即可完成求解.【详解】由已知，在中，，因为，所以的最小角为，所以，又因为，所以.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由，得【题型5】已知一边一角及另外两边的关系【例题讲解】在中，已知，则____________．【答案】3或1【详解】在中，，由余弦定理得，所以，得．由，得或，所以或1．【巩固练习】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】利用余弦定理及完全平方公式计算可得.【详解】解：由余弦定理可得，又因为，所以.因为，所以.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的值为___________.【答案】12【详解】由余弦定理可得，即，解得，则，故．【题型6】已知两角及一边【例题讲解】已知中，，则（

）A．或 B． C． D．或【答案】B【详解】因为在中，，所以，所以，由正弦定理可得，故，故为锐角，所以，所以.【巩固练习】在中，，，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理可直接求得结果.【详解】由正弦定理得：.在中，若，，，则（

）A．3 B． C． D．【答案】A【详解】根据正弦定理有，结合，，，则．若，，，则等于（

）A．4 B． C．6 D．【答案】D【详解】由题意因为，所以，由正弦定理可得，解得模块二正余弦定理的应用【题型7】外接圆半径【例题讲解】已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．若，则的外接圆半径为____________．【答案】【详解】根据余弦定理由，而，因此有，因为，所以，由正弦定理可知的外接圆半径为的外接圆半径为3，则______．【答案】【分析】根据正弦定理即可求解.【详解】因为的外接圆半径为3，由正弦定理可得：，则有，，所以，故答案为：.【巩固练习】的内角的对边分别为，且，则的外接圆半径为______.【答案】【详解】，则，由正弦定理，得故，展开化简得：，，，故，，即，∴外接圆直径，故外接圆半径为.在中,角，，所对的边分别为，，，，则的外接圆面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用三角恒等变形化简，并利用同角三角函数公式求得，并利用正弦定理求外接圆半径，即可求得三角形的面积.【详解】由正弦定理可知,,即，因为,，，根据正弦定理可知，得，则的外接圆面积.在中,角，，所对的边分别为，，，，则的外接圆面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由正弦定理可知,,即，因为,，，根据正弦定理可知，得，则的外接圆面积.若的外接圆的半径是3，且，，，则__________.【答案】5【详解】，，,,【题型8】余弦定理的应用(求值)【例题讲解】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由余弦定理求出答案.【详解】由得：，解得：在中，，则边所对的角等于（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，即，即，所以.【巩固练习】在中，角A，，的对边分别为，，，且，则角的大小是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，∵，∴.在中，内角，，所对的边分别是，，，若，则角的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由已知及余弦定理知：，而，所以.已知中，，则角A等于（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由中，可得,由于,故在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（

）A． B． C． D．【答案】BD【详解】解：根据余弦定理可知，代入，可得，即，因为，所以或【题型9】正弦定理的应用（边角互化,拆角与合角）【例题讲解】在中，角所对的边分别为，，，且，求角【答案】【详解】由，得，∴，，，而，∴，即.在中，，求的值【答案】【详解】因为，所以由正弦定理可得因为，所以，因为，所以.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求角B.【答案】【详解】（1）∵，所以，，则，整理得，又，∴，而，∴记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，证明：；【详解】（1）由题意：因为正弦定理：，所以对于，有，整理得：，所以，，因为A，，为的三个角，所以，得.【巩固练习】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.求B【答案】【详解】由正弦定理及已知得，结合，得，因为，所以，由，得.的内角的对边分别为，已知，求角【答案】【详解】由正弦定理可得：即：，由得：在中，角的对边分别为，且满足.求角.【答案】【详解】由正弦定理知有，且，所以已知的内角、、的对边分别为、、，满足且．求角；【答案】【详解】解：（1），由正弦定理得，即，又，所以，又，得的内角，，的对边分别为，，，且满足：.求【答案】；【分析】首先将已知等式化简，再利用正弦定理将边化角，即可求出结果；【详解】（1），得，∴.在中，角A，，的对边分别为，，，，求.【答案】【详解】因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，，所以或，当时，又，所以，当时，，显然不满足，综上，.【题型10】三角形的面积的相关计算【例题讲解】在中，角，，的对边分别为，，，的面积为，且.求角【答案】.【详解】因为，所以，解得，又，故.已知中角，，的对边分别为，，，，，，求的面积．【答案】【分析】已知条件结合余弦定理求出，由公式求的面积．【详解】由余弦定理，及，，得，即，又，得，所以．所以的面积【巩固练习】记的内角的对边分别为，，且，若的面积为，求【答案】.【详解】由，故的面积为得，解得或（舍），故.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，△ABC的面积为，，求a．【答案】，所以．由余弦定理可得，所以记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，当时，求的面积S．【答案】【详解】由题意可得：，，，，，，，，则【题型11】三角形的周长的相关计算【例题讲解】已知在中，角的对边分别是，且，若，的面积为4，求的周长.【答案】【详解】，，且的面积为，解得，所以，解得，故的周长为.的角的对边分别为的面积为，若，求的周长.【答案】【详解】因为，得①，又因为的面积为，所以有②，显然，由①②得，所以，代入得，在中，因为，所以，得，所以的周长为.

【巩固练习】在△ABC中，已知，，，则△ABC周长为______．【答案】12【分析】利用向量数量积的定义和余弦定理即可求解.【详解】因为，所以，又，所以，，由余弦定理得，，所以，所以，所以，则△ABC周长为.在中，所对的边为，,，求的周长．【答案】.【详解】在中,∵,,∴,∴由正弦定理可得：,即，所以的周长为.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若，且的面积为，求的周长.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由，根据正弦定理化简得，利用余弦定理求得，即可求解；（2）由的面积为，求得，结合余弦定理，求得，即可求解.【详解】（1）由题意及正弦定理知，，，，.（2），又，由①，②可得，所以的周长为.【题型12】正余弦定理的综合应用【例题讲解】已知的内角、、的对边分别为、、，．(1)求；(2)若，求．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，所以，即，由正弦定理可得，由余弦定理可得，所以，即，所以.（2）由题意可知，又，可得，所以，即为等腰三角形，由，解得或，因为，所以，所以，所以.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若，求sinA．【答案】或1．【详解】方法一：因为，由正弦定理，得，因为，所以，即．因为，则，所以或，所以或，故或1．方法二：因为，由余弦定理得，将代入（*）式得，整理得，因式分解得，解得或，①当时，，所以因为，所以，②当时，，所以，因为，所以，所以sinA的值为或1．【巩固练习】在中，内角的对边分别为，，求.【答案】【详解】因为，所以，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，所以所以.在中，内角的对边分别为，，求.【答案】【详解】因为，所以，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，所以，所以.（2023·深圳二模）已知分别为三个内角的对边，且，证明:.【详解】（1）由，得，则，由正弦定理和余弦定理得，化简得（2023·广州一模）在中，内角的对边分别为，，求.【答案】【详解】因为，所以，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，所以，所以.在锐角中，内角所对的边分别为，满足，且，求证：.【详解】由题意得，即．所以，由正弦定理得，又由余弦定理得，所以，故，故，整理得．又为锐角三角形，则，，，所以，因此．模块三解三角形综合【题型13】三角形解的个数问题【例题讲解】在中，角、、的对边分别为、、，其中有两解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】方法1：A、B、C项通过解三角形来判断其解的个数，D项通过大边对大角与三角形的内角和为可判断其解的个数.方法2：画图看三角形解的个数.【详解】对于A项，方法1：∵，，∴，∴由正弦定理得：∴a、c值唯一确定，∴只有一解.方法2：如图所示，∴只有一解.

故选项A错误；对于B项，方法1：由余弦定理得：，∴只有一解.方法2：如图所示，∴只有一解.故选项B错误；对于C项，方法1：由正弦定理得：，解得：又∵

∴角B有两个解.

方法2：如图所示，∵，∴，∴角B有两个解.

故选项C正确；对于D项，方法1：∵，∴，又∵，∴，∴不存在这样的三角形.方法2：如图所示，∵，∴∴此时A、B、C三点不能构成三角形.

故选项D错误；故选：C.中，已知，，.（1）若恰有一解，则实数的取值范围是；（2）若有两解，则实数的取值范围是；（3）若无解，则实数的取值范围是；【答案】（1）（2）（3）【解答】解：，，，由正弦定理得：，，若，即时，为直角，只有一解；若，即时，有两种情况，三角形就有两解；若，即时，只有一种情形，若，即，无解【巩固练习】在中，内角、、所对的边分别为、、，不解三角形，确定下列判断正确的是（

）A．，，，有两解 B．，，，有一解C．，，，有一解 D．，，，无解【答案】D【分析】已知，的前提下，利用直角构造出关于的不等式，即可得出三角形的个数解.【详解】因为，，如图于，由直角可得.当或时，有一解；当时，无解；当时，有两解.结合四个选项，可知，选项A，B，C三项错误.在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，，则解此三角形的结果有（

）A．无解 B．一解 C．两解 D．一解或两解【答案】C【分析】根据题意作出图形，推得，从而得到圆与射线有两个交点，进而得到满足题意的三角形有两个，由此得解.【详解】依题意，作出，，落在射线上，过作于，如图，则在中，由正弦定理，得，因为，所以，故以为圆心，半径为的圆与射线相交，即有两个交点，显然，这个两交点都可以作为点，与构造，且，所以满足题意的三角形有两个，即解此三角形的结果有两解.故选：C..中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是________【答案】【分析】根据求解即可得答案.【详解】因为这个三角形有两解，故满足，即，解得.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，当有两解时，的取值范围是A． B． C． D．，【答案】A【解答】解：当有两解时，，又，故，所以．在中，，，若当时的有两解，则的取值范围是 ．【答案】，【解答】解：，由正弦定理可得：，，，．．当时的有两解，，解得，则的取值范围是，在解三角形中，已知、、，给出下列说法：①若，且，则此三角形不存在；②若，则此三角形最多有一解；③当，，则三角形不一定存在；④若，且，则此三角形为直角三角形，且；⑤当，且，则三角形有两解.其中正确的说法有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由已知的、、，根据正弦定理表示出，根据大边对大角和大角对大边与三角形的内角和定理即可判断①②③④；对于⑤，取一个特例时，，由为锐角，得到也为锐角，由此可得结论．【详解】解：根据正弦定理得：，对于①若，且，根据大边对大角有，与内角和定理矛盾，则此三角形不存在，故①对；②若，则为直角或钝角，则一定为锐角，即此三角形最多有一解，故②对；③当，，根据大边对大角有，与三角形的内角和定理矛盾，则三角形一定不存在，故③错；④若，且，则，则，故④对；⑤当时，，此三角形为等腰三角形，只有一解，当，且时，三角形不一定有两解，故⑤错；则其中正确说法的个数为3个．故选：C．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，且有唯一解，则的取值范围是___________.【答案】或【分析】由正弦定理得，对分类讨论，即可判断【详解】由正弦定理得，因为有唯一解，当时，即，唯一，符合题意，得；当时，有两个值，不唯一，不合题意；当时，，所以，唯一，符合题意，得.所以的取值范围为或.在中，角所对的边分别为，若，，，则此三角形解的情况为（

）A．无解 B．有两解 C．有一解 D．有无数解【答案】C【分析】利用正弦定理可得，由的取值范围可求得的范围，结合大边对大角可知为锐角的一个，由此可得结果.【详解】由正弦定理得：，，，则，，，，只能为锐角的一个值，只有一个解.【题型14】判断三角形的形状【例题讲解】在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】A【详解】，由正弦定理，得，即∴，可得，又，∴，则的形状为等腰三角形.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则该三角形一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】A【详解】∵，∴，由余弦定理可得：，整理可得：，①∵，∴，②由①②得，∴该三角形是直角三角形.【巩固练习】在中，若，则的形状是________．【答案】等腰三角形【分析】首先根据正弦定理角化边公式得到，即可得到答案.【详解】由题知：，则为等腰三角形.若△ABC的三个内角满足，则△ABC是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【详解】解：由正弦定理可得，令，为最长的边，角最大由余弦定理可得，所以角为直角，故是直角三角形．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【详解】解：由及正弦定理得，即①，又，即②，将②代入①可得即③，将③代入①得，所以，从而为等边三角形在中，（分别为角的对边），则一定是（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【详解】∵，∴，即，根据余弦定理可得，整理得，由勾股定理知，为直角三角形.在中，，且，是______三角形．【答案】等边三角形【分析】先利用余弦定理求得，再利用两角和与差的余弦公式求得，进而求得，由此求得，据此得解.【详解】因为，所以，所以由余弦定理得，因为，所以，因为，，又，所以，则，所以，因为，所以，故，即，又因为，所以，又，所以是等边三角形.在中，若，，则一定是（

）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．无法确定【答案】A【分析】由，利用余弦定理可求，再利用三角形内角的关系结合两角和与差的三角函数可求，进而可得三角形的形状.【详解】解：由，根据余弦定理，故，所以，所以，，所以，所以，因为，所以，即，所以，因为，所以，所以，从而.所以三角形为等边三角形在中，已知，则该三角形的形状为A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】C【解答】解：，根据正弦定理得，，，，且，，为钝角，为钝角三角形．设的内角，，所对的边分别为，，，若，且，则的形状为A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【解答】解：由正弦定理知，，，，即，又，或0（舍，．，，即，为等腰直角三角形．在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【解答】解：由正弦定理知，，，，或，或，或，即为直角三角形或等腰三角形．（多选）已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（

）A．若，则是锐角三角形B．若，则是等腰三角形C．若，则是等腰三角形D．若，则是等边三角形【答案】ACD【分析】由两角和的正切公式结合诱导公式以及，，为的内角可判断A；由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可判断B；由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断C；利用正弦定理化边为角结合同角三角函数基本关系可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A，因为，所以，所以，因为，，为的内角，所以，，都是锐角，所以是锐角三角形，故选项A正确；对于B：由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故选项B错；对于C：由及正弦定理化边为角，可知，即，因为，为的内角，所以，所以是等腰三角形，故选项C正确；对于D：由和正弦定理化边为角，易知，所以，因为，，为的内角，所以，所以是等边三角形，故选项D正确（多选）在中，、、分别为角、、的对边，以下能独立说明为等腰三角形的是A． B． C． D．【答案】AC【解答】解：根据正弦定理，由，得，所以为等腰三角形，选项正确；由，得或，所以或，因此为等腰三角形或直角三角形，选项错误；由，得，则，即，所以，即，为等腰三角形，选项正确；对于任意的三角形均满足正弦定理，因此不能证明为等腰三角形，选项错误（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，以下结论中正确的有A．若，则 B．若，则一定为等腰三角形 C．若，则为直角三角形 D．若为锐角三角形，则【解答】解：对于，若成立，由正弦定理可得，所以，故正确；对于，由，得到或，可得或，则为等腰三角形或直角三角形，故错误；对于，若，可得若，整理可得：，可得．可得为直角三角形，故正确对于，若是锐角三角形，则，，，、、均是锐角，由正弦函数在单调递增，所以：，故错误．故选：．【题型15】三角形性质综合判断【例题讲解】（多选）下列结论正确的是A．在三角形中，若，则 B．在锐角三角形中，不等式恒成立 C．若，则三角形为等腰三角形 D．在锐角三角形中，【答案】【解答】解：三角形中，若，则，，即，正确；由为锐角可得，，即恒成立，正确；若，则或，三角形为等腰三角形或直角三角形，错误；锐角三角形中，，所以，所以，同理，所以，正确．故选：．（多选）在中，、、分别是角、、的对边，则下列结论正确的是A．若，，，则三角形有一解 B． C．若，则一定为等腰三角形 D．若，，则面积的最大值为【解答】解：，三角形有两解，错误；，正确；由，得或，所以为等腰三角形或直角三角形，错误；由题意可得，又，所以，所以，正确．故选：．【巩固练习】（多选）在中，如下判断正确的是A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若，则【答案】【解答】解：，，，或，或，则为等腰或直角三角形．故错误．，，，，故正确．为锐角三角形，为锐角，，，，，故正确．，，，，故正确．（多选）在中，角所对的边分别为，下列命题正确的是（

）A．若，的最大内角是最小内角的倍B．若，则一定为直角三角形C．若，则外接圆半径为D．若，则一定是等边三角形【答案】ABD【详解】对于A选项，角最小，角最大.由余弦定理得，，，.，则，所以，所以A选项正确.对于B选项，，由正弦定理得，，，由于，所以，故B选项正确.对于C选项，，，，设三角形外接圆半径为，则，故C选项错误.对于D选项，，故，同理可得，要使，则需，所以，所以，所以D选项正确.（多选）在中，，，则A．当时， B．不可能是直角三角形 C．的最大值为 D．面积的最大值为【答案】【解答】解：，，则，，中，，时，由余弦定理可得：，即，解得：，即，所以正确；中，若为直角三角形，则或为直角，所以不正确；中，由余弦定理可得，所以的最小值为，所以的最大值为，所以不正确；中，以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建平面直角坐标系，设，，设，由，即可得，，整理可得：，整理可得：，所以的轨迹是以，为圆心，以为半径的圆，到轴的距离即到的最大距离为，所以，所以三角形长度面积的最大值为，故正确（多选）在中，已知角，，所对的边分别为，，，且，，则以下四个结论正确的有A．不可能是直角三角形 B．有可能是等边三角形 C．当时，的周长为15 D．当时，的面积为【答案】【解答】解：，，即，若为直角，由，可得，满足条件的可能是直角三角形，故错误；由于，故不可能是等边三角形，故错误；等时，，可得，可得的周长为，故正确；当时，，，由余弦定理可得，解得，，可得的面积为，故正确．（多选）在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法中正确的是A． B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，则为锐角三角形【答案】【解答】解：对，，所以正确；对，，即，的内角，，，或即或，故三角形可能是等腰三角形或直角三角形，故错误；对，由正弦定理得：，得：，整理得：，，或，故错误；对：由题意知：、、中是最大的正数，由变形得：，，为锐角，又知为最大角，为锐角三角形，故正确（多选）在中，内角、、所对的边分别为、、，的面积为，下列与有关的结论，正确的是A．若为锐角三角形，则 B．若，则 C．若，则一定是等腰三角形 D．若为非直角三角形，则【答案】【解答】解：对于：当为锐角三角形时，，，，可得成立，故正确．对于，由于，可得，由正弦定理可得，故正确；对于，若，则由正弦定理得，即，则或，即或，则为等腰三角形或直角三角形，故错误；对于为非直角三角形，所以，整理得，故正确（多选）下列命题中，正确的是A．在中，，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形【答案】【解答】解：对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确；对于，在锐角中，，，，，，因此不等式恒成立，正确对于，在中，由，利用正弦定理可得：，，，，或，或，是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误．对于，由于，，由余弦定理可得：，可得，解得，可得，故正确．（多选）已知中，角、、所对的边分别是、、且，，有以下四个命题其中正确命题有A．满足条件的可能是锐角三角形 B．满足条件的不可能是直角三角形 C．当时，的周长为15 D．当时，若为的内心，则的面积为【答案】【解答】解：对于，由于，，利用正弦定理可得，设，，由，可得，所以满足条件的可能是锐角三角形，故正确；对于，由于，，利用正弦定理可得，设，，由，可得，满足条件的可能是直角三角形，故错误；对于，，，，可得，由正弦定理可得，可得，由，可得，由，可得：，解得：，或（舍去），，可得，可得，可得：，，则，故正确；对于，，，，可得，由正弦定理可得，可得，由，可得，由，可得：，解得：，或（舍去），，可得，可得，可得：，，可得．设的内切圆半径为，则，．故正确．【题型16】已知三角形形状，结合余弦定理求范围【例题讲解】若锐角三角形三边长分别为，则的范围是________．【答案】【详解】因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角，则设边对的锐角为角，根据余弦定理得，解得；设边对的锐角为，根据余弦定理得，解得，设边对的锐角为角,根据余弦定理得恒成立;所以实数的取值范围是.已知中，，且，则的最大值为______.【答案】【分析】利用基本不等式结合余弦定理可求得的取值范围，可得出的取值范围，进而可求得的最大值.【详解】由余弦定理可得，当且仅当，等号成立，因为，则，故.即的最大值为.【巩固练习】在钝角中，角、、所对的边分别为、、，若，，则最大边的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因是钝角三角形，，，且是最大边，则由余弦定理得：，于是得，，解得，而有，即，所以最大边的取值范围是：.已知，，是一个钝角三角形的三边长，则的取值范围是______.【答案】（0，2）【详解】解：因为，所以此三角形的最大边为，设此边所对应的角为，则为钝角，由余弦定理可得，即有，整理得，解得，又因为，即，所以的取值范围为：.在钝角中，角、、所对的边分别为、、，若，，则最大边的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件利用余弦定理建立不等关系即可计算作答.【详解】因是钝角三角形，，，且是最大边，则由余弦定理得：，于是得，，解得，而有，即，所以最大边的取值范围是：.在中，角的对边分别为.若，则的最小值是___________.【答案】【分析】根据余弦定理以及基本不等式可求得答案.【详解】解：由余弦定理得，又，所以，因为，当且仅当时取等号，所以，所以的最小值是【题型18】解三角形的实际应用类型1距离问题一游客在处望见在正北方向有一塔，在北偏西45°方向的处有一寺庙，此游客骑车向西行后到达处，这时塔和寺庙分别在北偏东30°和北偏西15°，则塔与寺庙的距离为______.【答案】【解析】如图，在中，由题意可知，，可得.在中，，，，∴，∴.在中，，∴.（2023·全国·高三专题练习）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为______米.【答案】【解析】由题意，，所以，所以在中，，，又，所以，在中，由正弦定理得，，所以，在中，，由余弦定理得，，所以.如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度（单位：km）：，，，，且四点共圆，则的长为_________.【答案】7【解析】∵四点共圆，圆内接四边形的对角和为﹒∴，∴由余弦定理可得，，∵，即，∴,解得如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得灯塔底部C在北偏东方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，此时测得灯塔底部C在北偏东方向上，测得塔顶P的仰角为，已知灯塔高为．则巡逻船的航行速度为______．【答案】【解析