2024年高考数学模拟试卷附答案解析

2024年高考数学模拟试卷

一'单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.已知集合{力=久|久>—2},B-{x\x2+2%—15>0},则下列结论中正确的是（）

A.AQBB.4nB=0

C.AQBD-ACBH0

2.现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V（单位：L）与直径d（单位：dm）的关系式为

3

V="，当d=2dm时，气球体积的瞬时变化率为（）

6

7T71

A.271B.兀C.多D.微

3.在AABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,若a=W，且c-2b+28cosc=0,则该三

角形外接圆的半径为（）

A.1B.V3C.2D.2V3

4.在△ABC中，AC=3,BC=4,ZC=90。.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=2,若次=

ACA+fiCB，则给出下面四个结论：

①4+〃的最小值为一点

②丽•丽的最小值为-6；

③■+〃的最大值为*

④而■丽的最大值为8.

其中，正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本题共12小题，共54分。

5.复数学的虚部是.

6.双曲线1的焦距是.

7.若抛物线久2=my的焦点到它的准线距离为1,则实数血=.

8.（久+的二项展开式的各项系数之和为256,则该二项展开式中的常数项为.

9.已知两个单位向量乙石满足|43+引=VI?，则向量济B的夹角为.

10.设函数〃%）的定义域为R,满足1）=2/（%）,当工€[0,1]时，/（%）=%（1-%）,则

11.设圆锥的底面中心为。，PB、PC是它的两条母线，且|BC|=2,若棱锥。-PBC是正三棱锥，则

该圆锥的体积为.

12.已知函数/■(久)=2/''(3)・久—©/+仇久，则/'(1)=.

13.已知数列｛%J,｛%｝是公差相等的等差数列，且斯+勾=2兀+5,若"为正整数，设cn=

abn(neN*),则数列｛4｝的通项公式为cn=.

14.如图ABCDEF-4BO0V为正六棱柱，若从该正六棱柱的6个侧面的12条面对角线中，随机

选取两条，则它们共面的概率是

处+*l(a>b>0)的左、右焦点，过B的直线与C交于P,Q两

15.已知％,&分别为椭圆C；

点，若IP&I=2\PF2\=3|&Q|,贝Ue的离心率是

16.已知nCN*,集合4=｛sin等|keN,0WkWn｝,若集合4恰有8个子集，则n的可能值的集合

为________

三'解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(1)已知tan(竽+a)=3,求siYa+cos(兀+a)sing-a)+sin2a+日黑的值.

(2)已知△4BC中，tcmA+tanB+g=,且sinBcosB=,，判断△4BC的形

4

状，并说明理由.

18.如图，在圆柱中，底面直径ZB等于母线20,点E在底面的圆周上，且4F1DE,F是垂足.

(1)求证：AF1DB；

(2)若圆柱与三棱锥0-4BE的体积的比等于3兀，求直线DE与平面4B0所成角的大小.

19.某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛，最终高三一班(45人)和高三二

班(30人)进入决赛.决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4个选择题和2个填空题，乙箱中

有3个选择题和3个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱

中随机抽取两题作答，作答后放回原箱，并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据；环节二：由

一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两个环节按照相

关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次.

(1)环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取20名同学，并统计每位同学答对题目

的数量，统计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为1,方差为1;二班抽取同学答对题目的平

均数为1.5,方差为0.25,求这20人答对题目的均值与方差；

(2)环节二，王刚先从甲箱中依次抽出两道题目，答题结束后将所答题目放入乙箱，然后李明在

乙箱中再依次抽取两道题目，求李明抽取的两题均为选择题的概率.

2

20.已知点尸0尸2分别为双曲线八号-y2=i的左、右焦点，直线by=-+1与厂有两个不同的

交点A,B.

(1)当时，求尸2到/的距离；

(2)若。为原点，直线/与r的两条渐近线在一、二象限的交点分别为C,D,证明；当小。。。的面

积最小时，直线CD平行于x轴；

(3)设P为久轴上一点，是否存在实数k(k>0),使得APAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角

形？若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，说明理由.

21.已知函数g(x)=-g+2)尢,/i(x)=inx,令/'(x)=g(x)+%(%).

(1)当a=l时，求函数y=g(x)在％=1处的切线方程；

(2)当a为正数且1W久We时，=-2,求a的最小值；

(3)若告三警^>—2对一切0<勺<牝都成立，求a的取值范围.

答案解析

L【答案】D

【解析】【解答】A、B=[x\x2+2%—15>0}=(x\x>3或x<—5},集合A、B不具备包含关

系，A错误；

B、ACB=(x\x>3},B错误；

C、A={x\x<-2}>B={x\-5<x<3}>则4、B不具备包含关系，C错误；

D、AnB={x\-5<x<-2]>D正确；

故答案为：D.

【分析】先求解集合B,再根据交集、补集的定义结合集合间的关系逐一判断即可.

2.【答案】A

32

【解析】【解答】解：设u=f(d)=嚓，所以/包)=哆，所以〃2)=2兀.

故答案为：A

【分析】首先对函数求导，再把数值代入到导函数的解析式，计算出结果即可

3.【答案】A

【解析】【解答】=B,/.c-2b+2acosC=0,

sinC-2sinB+2sinAcosC=0.

sinC-2sin(A+C)+2sinAcosC=0,

sinC-2sinAcosC-2sinCeosA+2sinAcosC=0,

sinC-2sinC'cosA=0,

VsinOO,；.cosA=|,AG(0,兀)，

设该三角形外接圆的半径为r,

由正弦定理得急=普=2=2七.」=1.

故答案为：A.

【分析】先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角A,再根据正弦定理求出外接圆半径即可.

4.【答案】A

【解析】【解答】如图，以C为原点，CA,CB所在的直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系,

则C(0,0),A(3,0),B(0,4),因为PC=2,所以设PQcosO,2sin0),

则C^=bcose,2sin。)，CA=(3,0)，&=(0,4)，

所以］+=(32,4/z)，

所噫需_当22即IoL-COS00—A(9为任意角)，

1sin"=〃

所以2+〃=、cos0+义sin0=，信cos0+fsin6)=慨sin(0+cp)

O\OtJ/u

(其中sinR=3COSR=|),所以九+u的最大值为I，最小值为—I，所以①③错误,

因为反=(3—2cosd-2sin0)，PB=(-2cos6»,4—2sin。)，

所以PA-PB=-2cos0(3—2cos0)—2sin0(4—2sin0)—4—(8sin0+6cos0)=4—lOsin(0+a)(其

中sina=高，cosa=耳)，

0^J-10<-10sin(0+a)<10,所以-6斗10sin(0+a闫4,所以易.而e[-6,14],所以易.法的最小值

为-6,最大值为14,所以②正确，④错误.

故答案为：A.

【分析】以C为原点，CA,CB所在的直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系，设P(2cos0,2

(2Q1

TTT{5cose=A

sin0),然后表示出CP，CA>CB的坐标，由题意可得行，再逐个分析判断即可.

(々sine二〃

5.【答案】||

2

【解析】【解答】3+42_(3+4y_724.所以其虚部为祟.

^41~(3—4i)(3+4i)--25+251>

故答案为：|4

【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算以及虚部的定义求解即可.

6.【答案】2A/5

【解析】【解答】双曲线/—1,可得a=l,b=2,贝人=/中=代，所以双曲线的焦距是

4

2V5.

故答案为：2小.

【分析】通过双曲线方程，求解c,即可得到焦距.

7.【答案】±2

【解析】【解答】•••/=磔=2号%”=修|,又抛物线的焦点到它的准线距离为1,所以p=

|y|=1,所以m=±2.

故答案为：±2.

【分析】根据抛物线的几何性质求解即可.

8.【答案】54

k2k

【解析】【解答】令x=l,则4n=256,解得n=4,所以展开式通项为：Tk+1=3C^-,k<

4且kGN,

令4-2k=0得，k=2,故常数项为：或x3?=54.

故答案为：54.

【分析】先利用赋值法求出n的值，然后利用展开式通项求常数项.

9.【答案】120°

【解析】【解答】根据题意，设向量优3的夹角为仇若|4日+如=m，则1602+力2+8-匕=

17+8cos0=13,解得cos。=—热

又由0°戌W120。，故。=120。.

故答案为：120°.

【分析】根据题意，设向量市用勺夹角为仇由数量积的运算性质可得16a2+b2+8a-b=17+

8cos6=13,求解cos。的值，分析可得答案.

10.【答案】1

【解析】【解答】因为/(x+1)=2f(X),所以渴)=/(I+1)=2/(1)=2xIx(i-1)=f-

故答案为：J.

【分析】令x鸟代入已知关系即可求解.

11.【答案】竽兀

【解析】【解答】已知如图所示：

.棱锥O-PBC为正三棱锥，；.PB=PC=BC=2,OB=OC=OP,

VPOXBO,POXOC,由勾股定理得OB=OC=OP=VL即圆锥的底面圆半径r=/，高为我，

则该圆锥的体积为U=*x(V2)2xV2=孥任

故答案为：孥兀.

【分析】由已知求出圆锥的底面圆的半径和圆锥的高，从而得到圆锥的体积.

12.【答案】竽

【解析】【解答】因为/'(久)=2/⑶.久一枭2+仇％,所以((无)=2/⑶一1+1,则/''(3)=

2/(3)-1+y解得/'(3)=1,

所以/(%)=2x—1x2+lnx>则/'(1)=2-1+Ini=等.

故答案为：竽.

【分析】对f(x)求导，再代入x=3,从而求得广(3)=1,进而得到〃久)=2比一5％2+伍久，计算

f⑴即可.

13.【答案】5+n

【解析】【解答】设数列{an},{bn}的公差为d,由an+bn=ai+bi+2(n-l)d=ai+bi-2d+2nd=2n

+5,

可得L+筹方=5,解得［a//=7,则a--l,b-1,

即。册="bi+zi—l=+31+71—1)-17—2+71=5+n，所以cn=5+n.

故答案为：5+n.

【分析】设数列{%},{"}的公差为d,由an+bn=2n+5可得ai+bi,d,代入a为即可求解.

14.【答案】A

【解析】【解答】由题意知，若两个对角线在同一个侧面，因为有6个侧面，所以共有6组，若相交

且交点在正六棱柱的顶点上，因为有12个顶点，所以共有12组，若相交且交点在对角线延长线上

时，如图所示,

连接AD,CD,E'D,AB',AF',先考虑下底面，根据正六边形性质可知EF//AD〃BC,所以EF〃

AD//B'C,且B，C=EF力AD,故ADCE共面，且ADEF共面，故AF,DE相交，且CD,AB，相

交，故共面有2组，则正六边形对角线AD所对应的有2组共面的面对角线，同理可知正六边形对

角线BE,CF所对的分别有两组，共6组，故对于上底面对角线AD，，BE,CF同样各对两组，共

6组，若对面平行，一组对面中有2组对角线平行，三组对面共有6组，所以共面的概率是

6+12+12+6_6

故答案为:蔡.

【分析】共面分为平行和相交，平行时，只需要考虑对面平行中的直线即可，相交时分为：在侧面

内相交，两个相邻面相交于一个点，相隔一个面中相交于对角线延长线上，分别分析几种情况下对

角线共面的个数，再利用古典概型的概率计算公式，计算结果即可.

15.【答案】字

【解析】【解答】已知如图所示：

依题得|PF1|+|PF2|=2a,|QFI|+|QF2|=2a,又|PFi|=2叫=3|FiQ|,则|PFi|=ga,|QFi|=1a,|PF2|

_2id7i-14

-WCl，IQF2I-g-CL，

则COSZQFIF2=-COSNPF1F2,则至t(虹幽=_(21+&)一停a),即⑵2+老小_

2.2耍2-2c-|az/

1967A2162142

27a=14c—g-u+gci，

则16c2=崂。2,则e2=\即e咚

故答案为：字

【分析】根据椭圆定义，IPFil，|PF2|,|QFI|,IQF2I都用a表示，由COS/QFF2=COSNPFIF2,构造齐

次式即可求解.

16•【答案】{4,5}

【解析】【解答】因为4={0,sin^,sin空sin吧卜

卜nnnJ

因为集合A恰有8个子集，所以A中含有3个元素且sin0=sin兀，结合诱导公式可知，n=4或n=

5,则n的可能值的集合为{4,5}.

故答案为：{4,5}.

【分析】由已知结合集合元素个数与集合子集个数的关系即可求解.

、2tan-377-r+tana

17.【答案】(1)tan(7Hr+a)=----纥井----=3=tana=-2,

sin2(z—cos2cr+2smcrcoscr

原式=51

22T

sin(z+cosacos%

lanZ+taTiB_乃(taziAtaziB—1)

(2)因为tanQ4+B)==-V3>

1—tanAtanB—1—tanAtanB

所以tan(兀一C)=—y/3=tanC-V3=>C=^,

sin2B=2sinBcosB=享，且2B6(0,2兀)，

所以2B=S或竽即B屋或多

当B则A=£,此时tcmA无意义,矛盾.

当B=*则A=*满足题意，此时△ABC是正三角形.

【解析】【分析】(1)由已知结合两角和的正切公式可求tana,然后结合同角基本关系可求；

(2)由两角和的正切公式先求tan(A+B),进而可求tanC,C,再由二倍角公式及特殊角三角函数值求

出B,即可判断.

18.【答案】（1）根据圆柱性质，平面力BE.

•••EBu平面ABE,

DALEB.

・•,4B是圆柱底面的直径，点E在圆周上，

AE1EB,XAEnAD=A,

故得EB1平面

AFu平面DAE,

EB1AF.

又力F1DE,且EBCDE=E,

故得AF1平面。EB.

•••DBu平面OEB,

・•・AF1DB.

（2）过点E作EHL力B,"是垂足，连接OH如图所示:

根据圆柱性质，平面ABD1平面ZBE,4B是交线.且EHu平面4BE,所以EH1平面4B0.

又DHu平面ABD,所以是ED在平面ABD上的射影，从而NEDH是DE与平面力BD所成的角.

设圆柱的底面半径为R,贝1」口4=AB=2R,

2

于是V圆柱=2兀Vd_abe=1AD•S&ABE=$,EH-

由^凝：VD_ABE=3TT,得EH=R,可知H是圆柱底面的圆心，AH=R,

DH=yjDA2+AH2=V5/?

，口nu.EH+花

•••Z-EDH=arctan=arctan-g--

【解析】【分析】（1）欲证AFLDB,先证AF,平面DEB,根据线面垂直的判定定理可知只需证

EB±AF,AFJ_DE,且EBADE=E,即可证得线面垂直；

（2）点E作EHLAB,H是垂足，连接DH,易证/EDH是DE与平面ABD所成的角，在三角形

EDH中求出此角即可.

19.【答案】（1）一班抽取等x20=12人，二班抽取梨X20=8人，

一班样本平均数为1,样本方差为1,

二班样本的平均数为1.5,样本方差为0.25,

总样本的平均数为12X1搐L5=I.2,

1ZH-O

22

记篇■样本的样本方差为12x[l+(l—L2)]+*[0.25+(1.5-1.2)]_Q76；

所以，这20人答对题目的样本均值为1.2,样本方差为076.

(2)设事件A为“李明同学从乙箱中抽出的第1个题是选择题”，

事件以为“王刚同学从甲箱中取出2个题都是选择题”，

事件B2为“王刚同学从甲箱中取出1个选择题1个填空题“，

事件当为“王刚同学从甲箱中取出2个题都是填空题”，

则Bi、B2,B3,彼此互斥，且BIUB2UB3=。，

PB)点=|'P@2)=*=云,P0)=^=2'

roo

P(A|BD=I，P(A[B2)=言,P(A[B3)=言

25511313

+X+X

P(A)=P(BDXP(A|B。+P(B2)XP(A|B2)+P(B3)XP(A]B3)8182158

25

所求概率即是a发生的条件下Bl发生的概率：P(B1|A)=%3=P-1第/)=5^6

1⑴卜式=13

【解析】【分析】(1)首先求分层抽取的两个班的人数，再根据两个班抽取人数的平均数和方差，结合

总体平均数和方差公式，代入求值；

(2)根据全概率公式和条件概率公式，即可求解.

2

20.【答案】⑴由双曲线「号—y2=1的左焦点/(—遮，0),右焦点尸2(百，0),

■■■0e/时，0=-V3fc+1,...k=*，

二直线I：y=^-x+1>尸2至”的星巨离d=V3；

(2)由双曲线「经—y2=i得两渐近线的方程为y=±孝久,

•••直线/与r的两条渐近线在一、二象限的交点分别为c,D,：,一号<k<0.

_V21

由y=得交点。的横坐标为五

y=kx+1-2~

y二一三"得交点。的横坐标为互

y=kx+1~2

]1_]J?

•1•S&CDO=2X1X||=|广花|>2加，当k=。时取等号，

-2~kT+k2~K

所以当△C。。的面积最小时，直线CD平行于x轴；

(3)假设存在实数k(k>0),使得APZB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,

设P(7H,0),4(”丫1),B(X2,为)，

,(y=kx+1“,,口o°

由_2y2_2，消去丫得(1-2k2)/-4kx-4=0,

4=16k2-4(1-2k2)(—4)>0且1-2k2。0,解得一1<k<1且九彳土孝，

久1+久2=-----2，K1%2=-----:

l-2/cl-2/c,

的中点

l-2fc2'l-2k

所以4B的垂直平分线方程为y——^^=一久一一%),令y=0,则血

l—2k儿l—2kl—2k

TA-1PB-0,贝!J(%i-m,yQ•(第2一根，丫2)二°，

・•.(/c2+1)%1%2+(fc-771)(%1+%2)+1+租2=0,

・•・(k2+1)x----\+(k—Tn)—+1+m2=0,

1-2/1-2/

—4-4km+(1+m2)(l—2k2)—0,

2

・•.-4-4/cx-----------5+(1+(-----------7)(1-2k2)=0,

1-2/c1-2/c

4fc4+/c2-3=0,解得k=±苧，又k>0,故k=字，点P(-3V5,0),

存在实数々=字，使得APAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，此时P(-3g,0).

【解析】【分析】(1)易求焦点坐标，可得F2到1的距离；

11—1

(2)求得两渐近线方程，联立方程可得SACD。=，x1x1力一9/,可证结论；

⑶假设存在实数k(k>0),使得4PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，设