江西省吉安市六校协作体2024届高三年级下册5月联合数学试题 含答案

绝密★启用前

吉安市2024届高三

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永丰中学井冈山中学泰和中学

六校协作体5月联合考试

数学试卷

试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

QI,

1.已知z=一里是实数，则实数。=()

2+i

33

A.----B.1C.—D.2

22

2.若5=(1,%),加=(也-2),且,+可=,_可，则％=()

A.72B.-72C—正D.正

22

3.已知圆。：k+丁2—6x+8=0与直线区―y+2=0有公共点，则整数左的值为()

A.-3B.-lC.lD.2

4.已知三棱锥A-BCD的所有棱长均为6,点及E分别在棱BC,8。上，EF//CD,EF=4,则四棱锥

A—CDEE的体积为()

A.10#>B.8A/3C.IOA/2D，8A/2

5.为营造欢乐节日气氛、传承传统习俗，同时又要确保公共安全，某市决定春节期间对烟花爆竹燃放实施

“禁改限”，规定可以在农历正月初一到初六及十五在市区两个规定区域燃放烟花爆竹，甲、乙两人各

自决定从这7天选1天去A,5中的一个区域燃放烟花爆竹，若甲、乙两人不在同一天去同一个地方，则去

的种数为（）

A.35B.84C.91D.182

6.若a>b>2,且加（a—l）=（b————则实数机的取值范围是（）

C11（11「1）「1A

A.0,-B.-co,-C.一,+8|D.-,1

x-V

7.若sinx+cosx=2V2cossin-------,贝Utany=

T~4

A.-2B.2C.-lD.l

8.已知正项数列｛%｝的前〃项和满足2S〃=a〃+一(“eN”)，若〃")=不+不+不++—,记

［根］表示不超过加的最大整数，贝亚"400)］=()

A.37B.38C.39D.40

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.比亚迪将在2024年发布第二代刀片电池，能量密度更高，带来更长的续航里程，更耐低温，除此之外还

将发布1000V高压Sic平台，实现充电5〜8分钟续航500公里.已知在每款新能源电车正式发布前要对每

辆车进行续航、抗压等相关系数的测验，现随机抽取将要上市发布的8台新能源电车进行续航系数测评，

得到下列一组样本数据：1,2,3,4,1,5,1,2,则()

A.这组数据的众数为1B.这组数据的极差为3

C.这组数据的平均数为2.5D.这组数据的40%分位数为2

22

10.已知点A8是椭圆c：上+上=1上关于原点对称且不与C的顶点重合的两点，。的左、右焦点分别为

43

耳，鸟，点。为原点，则(

A.C的离心率为一

2

B.的值可以为3

C.\AF2\+\BF2\=4

315

D.若A耳心的面积为,，则仙周-3居|=1

11.已知函数/(x)=sinxsinx-cos2x,则

A./（X）的图象关于点（兀,0）对称

B"（x）的值域为卜1,2］

C.若方程/■（>）=-］在（0,机）上有6个不同的实根，则实数机的取值范围是［?,一）

6

D.若方程［/（x）］2-2af（x）+1=l（aeR）在（0,2兀）上有6个不同的实根%（z=l,2,,6）,则工七

Z=1

的取值范围是（0,3兀）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设集合A={1,2,3,4},3=<x：x<4>,则集合Ac5的子集个数为..

2

13.已知「ABC的三个内角所对的边分别为a,b,c,且。2+2°2=3«,贝hosA的最小值为

22

14.在以。为原点的平面直角坐标系中，F'和F分别为双曲线C：・-3=l（a〉0,6〉0）的左、右焦点,

ab'

点A为C右支上一点，且Q4尸是以A为顶点的直角三角形，延长E4交C的左支于点3,若点A为线

段3尸上靠近点F的五等分点，则C的离心率为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知函数/（x）=e*T—av—a（acR）.

（1）当a=2时，求曲线y=/（x）在x=l处的切线方程；

（2）若函数/（%）有2个零点，求。的取值范围.

16.（15分）2023年10月国家发改委、工信部等部门联合印发了《加快“以竹代塑”发展三年行动计划》，

该计划将推动“以竹代塑”高质量发展，助力减少塑料污染，并将带动竹产业新一轮的增长.下表为2019年

—2023年中国竹产业产值规模V（单位：千亿元），其中2019年—2023年的年份代码x依次为1-5.

12345

y2.893.223.824.345.41

（1）记第i+1年与，年（i=L2,3,4）中国竹产业产值规模y差值的2倍的整数部分分别为“,从

小,〃2，%，%中任取2个数相乘，记乘积为X,求X的分布列与期望；

（2）根据以上数据及相关系数，判断能否用线性回归模型拟合中国竹产业产值规模y与年份x之间的关

系.

参考数据：2%=19.68,方玉％=65.20£（%-7）2«1.99,VW«3.16.

z=li=lVi=l

-呵

相关系数r=彳旦[若W..0.75,则认为V与x有较强的相关性.

£（x,.-%）2J（x-y）2

Vi=li=l

17.（15分）如图，GAB为圆锥。。2的轴截面，点C为圆°2上与AB不重合的点.

（1）在线段AC上找一点E，使平面。。2七，平面0AC,并证明你的结论；

（2）若平面QA3,点C,。在平面0A3的两侧，O02=3,AB=2,AC=RO[D=3,求平

面O.AC与平面0即夹角的余弦值.

18.（17分）已知点4（%,%）,3（%2,%）,。（毛,%）是抛物线用：丁2=221]（口>0）上不同三点，直线

AB,AC与抛物线与：Y=2p2y（P2>0）相切.

⑴若直线AB的斜率为2,线段的中点为。（2,2）,求耳,马的方程；

（2）若Pi，P2为定值，当A,8,C变动时，判断%+%+%是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为

定值，请说明理由.

19.（17分）初中学过多项式的基本运算法则，其实多项式与方程的根也有密切关联.对一组变量

%,％2，,xn,幕和对称多项式6（和孙…,％）=2七*,左,“eN*,且•，尤”）=72；初等对称多

Z=1

项式外（七,％2,一，%）表示在石，工2，,，工"中选出左（％cN*）个变量进行相乘再相加，且

eo（xi,x2,rxjul.例如：对玉,々,13，,=1,耳=%+尤2+%,02=玉々+%退+玉％,03=%工2尤3.已知三

次函数/（1）=。0%3+%£+。2%+。3有3个零点国,％2,龙3，且。0=1・记号=片（玉，％2，项），

(1)证明：/=以・(一1)%(左=0,1,2,3)；

(2)(i)证明：鸟—,尾+4耳—q式)二0；

3

(ii)证明：£(-1)&•e/Mt=0(帆.3,且weN*)；

k=0

(3)若%+/+%3=1,%:++x；—2,X；+%；+X；—3,求入；+x|+.

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六校协作体5月联合考试

皿.J、/.、1九

数学试卷

I.【答案】C

2

（3+〃i）（2-i）_6-3i+2m-m(6+Q)+(2〃—3)i

3+ai-——V------结合题意，则

【解析】由z=W（2+i）（2-i）-4+1

r\Qq

第二=0,解得。=士.故选C.

52

2.【答案】D

【解析】k+,=%一可两边平方得。e=0,所以lxa+%.(—2)=0,解得x.故选D.

3.【答案】B

【解析】由题意可知圆C的标准方程为(x—3了+寸=1,圆心为(3,0),半径/•=1所以

—0+2|,----R_Q,C

於+(『I'得|3k+2|”jR+i,即8/+12k+3,,0,可得一；二张灰,故左=—1.故

选B.

4.【答案】C

【解析】由EF=4,CD=6,可得EC=ED=2,则%棱柱“FE=/三棱制"取跖的中点。，易

知。为.BCD的中心，则4。,平面BCD,AO=[AB?-OB?=2瓜，故

V四棱锥A-COFE=|匕棱锥A-BC。=：*!义¥*36义2A/6=10A/2,故选c.

5.【答案】D

【解析】甲、乙两人不在同一天去同一个地方的种数为C；x2xC；x2—7x2=182.故选D.

6.【答案】A

[n〃一]

【解析】由加(a-l)=(b-l)ln(a-l)-(b-l)ln(b—1),得加=丁.，设

b-1b-1

In〃-1

—=x,则X〉L—=则，设〃x)=^(x>l),贝ur(x)=^^,当xw(l,e)时，

b-1"1xxx

/'(x)>0,〃x)单调递增,当xw(e,+")时，/'(x)<0"(x)单调递减，所以)(%),,/(e)=工,又

e

x>l,/(x)>0,所以实数机的取值范围是]o,g.故选A.

7.【答案】C

【解析】因为sinx+cosx=J^sin\X+~V+—|+――-

[24J2

Si"昼+*早+展段4卜咛=23［昼+伊w

,所以

.(x+y兀)x-y(x+y兀).x-y

sin-+—cos-cos-+—sm—=0,即

(24j2(24j2

x+y7ix-y=sin卜+小=0,

sin----------1-----------------所以y=(左eZ),tany=-1.故选C.

242

8.【答案】B

【解析】当"=1时，2a,=«1+—,%〉(),.,.6=1.当几.2时，由2S“=4+，,及a“=S”—S“T

4an

得，S：-S；i=l,所以数列同｝是以S；=4=1为首项、i为公差的等差数列，因此

s；=1+("—1)4=〃，则S"=6•，/(")=g+g+g++g=l+++]++白,又当"-2

1_22

时,=2(«-

A/H2Gy[n+>J'n-l

.•./(400)<1+2X(A/2-1)+2X(A/3-72)++2X(^/55^—7^)=1+2X(^/55^—1)=39,对于

/eN*,；=i〉2=2(J〃+1-册)

\n27rl\n+\n+\

.•./(400)〉2x[(后—1)+(省—行)++(A/40T-7400)]=2(V40T-1J>38,[/(400)]=38.

故选B.

9.【答案】AD（每选对1个得3分）

【解析】数据从小到大排列为1,1,1,2,2,3,4,5.对于A,该组数据的众数为1,故A正确；对于B,极差为

5-1=4,故B错误；对于C,平均数为-------------------=一，故C错误；对于D,因为

88

8x40%=3.2,所以这组数据的40%分位数为第4个数2,故D正确.故选AD.

10.【答案】ACD(每选对1个得2分)

【解析】椭圆。：二+乙=1中，a=2,b=5c=l,离心率为一，A正确；

432

|幺同=2|。网>2b=2百>3,B错误;由对称性可得忸阊=|A周，所以

|A^|+|B^|=|A^|+|A^|=2a=4,C正确；不妨设A在第一象限，A(x0,%),则

133/3、33515

S=亍，%=7，则则|A闾=1,|4耳]=4—7=用=彳，故D

正确.故选ACD.

11.【答案】BC(每选对1个得3分)

【解析】因为/(x)=sinx|sinx|-cos2x,所以/(2兀—x)=-sinx|sinx|-cos2x丰-f(x)"(x)的图象

不关于点(兀,0)对称，A错误;当sinx.O时，f(x)=3sin2x-1,-If$sin2x-12,当siiu<0时，

/(x)=sin2%-1,-1<sin2x-1,,0,综上得—1期(x)2,B正确；当sinx.O时，由/'(力=一],得

sinx=1,当sim:<0时，由/'(x)=—得siru=—所以方程/'(>)=—；在(0,+")上的前7个

.,,,,兀5兀4兀5兀13兀17兀1°兀「L…17兀1°兀,

实根a分别n为sr：，▼，：-,二,^一,^二,二一，所以^―</,一「，C正确；由

663366363

[/(x)F—24(1)+4=1得/'(x)=a—1或/(x)=a+l,所以/(x)=°-1有4个不同的实根，

/、—1<6Z—1<0,

〃x)=a+l有2个不同的实根，所以jo<Q+]<2所以设%1<%2<%3y<%6，则

66

%+%=%+演=兀，叫+工6=3兀，所以£玉=5万，所以七的取值范围是(0,5兀)，D错误.故选

i=li=l

12.【答案】4

【解析】由题意可得Ac3={2,3},故Ac5的子集个数为2?=4.

13.【答案W

3

*+,「2

【解析】由题意可得批=,由余弦定理可得

3

(b2+2c2}

,,,从+°2-

I3J12b2+c2_1-

COS」+C「J----------

2bc2bc32bc~3

bc

—+一,因为。>03>0,c>0,所以cosA>0,所以Ae0,5,所以根据基本不等式

c2b

bc.32beh21

cosA=--—+一,当且仅当'=上，即勺=上时等号成立.

3c2bc2bC22

14.【答案】叵

2

【解析】由点A为线段BE上靠近点E的五等分点，不妨设|A同=加，贝U忸耳=5加，忸H=47%，连接

BF',A尸.由双曲线的定义可知，|A尸［=加+2a,忸尸［=5加—2a.由一OAF是以A为顶点的直角三角形可

\AF\m

知'/0鼾=9。，则8，"丛=同。①.在―的,中,

|"T+|AF『TAET_4。2+冽2一(加+2a)2

cos/OFA=②，在一中,

2\FF'\-\AF\2-2c-m

|"'「+|3用2—忸「「4c2+25加2—(5"/-2。)2

cos/OFA=cos/F'FB-③，由①②得

2\FF,[\BF\2-2c-5m

-。2—metTH-一/+5机〃YYlcri.,77_7.

-----------=一,所以02—/=/+.；由①③得=一,所以02一/=5m2—5加〃

c-mc5c-mc

3931519

所以机2+他2=5加2—,解得根=不“，ffflikc2—a2=—a2+—a2=—a2,所以。之二二-/,故

24244

c/19719

e一厂匕一〒

15.解：(1)当a=2时，/(X)=e*1—2x—2,

所以尸(x)=ei—2

所以7•'(1)=-1,因为/(1)=—3,

所以曲线y=/(x)在％=1处的切线方程为y+3=—(x—1),

即％+y+2=0.

(2)f\x)=e-r-a,若④0/(%)>0,〃力在R上单调递增,不满足题意,

若〃>0,令/'(%)=0得1=l+ln〃，

/(x)在(—8,1+lna)上单调递减，在(1+lna,+。)上单调递增，

且当x一—8和时，—+8,

故了(1十ln.)=—a(l+lna)<0,解得a>—,

e

即a的取值范围是[—,+a].

16.解：(1)由题得4=0,〃2=，%=1,%=2,

所以X的取值依次为04,2,

「2iC4cdi

P(x=o)=岩=；,P(X=1A*/、*言=1，

。46C43

所以X的分布列为

X012

111

P———

263

所以EX=0」+1XL2X』=9.

2636

_1+2+3+4+5.」

(2)由题意得％==3,£(NX)2=10,

5z=i

55I5

=65.20,Z%=19.68区(y-寸«1.99,,

i=li=lVi=l

5

所以Z七%—〃回=65.20-3x19.68=6.16,

i=l

5

卒”一际6.16

•丁____________Li*_____________〜_________r=0.98>0.75.

fXz_、2受/_、23.16x1.99

L(x-y)

Vi=li=l

因为y与x的相关系数大于0.75,说明y与％的线性相关程度高，可以用线性回归模型拟合y与％的关系.

17.解：(1)当£为AC的中点时，平面。1。2后，平面°1AC,证明如下：

因为为圆。2的直径，所以

当点E为AC中点时，O.E//BC,

所以GE^AC,

在圆锥。1。2中，。。2,平面ABC，

因为ACu平面ABC,所以OR，AC,

因为。1。,cO,E=02,

所以ACJ_平面。1QE，

因为ACu平面。1AC,

所以平面。iQE，平面O.AC,

所以当点石为AC中点时，平面。］。2后，平面°iAC.

(2)以点。为原点，直线a。为％轴、过点。］与平面。。。2垂直的直线为丁轴、直线aa为z轴，建立

如图所示的空间直角坐标系，

则a(0,0,0),唱‘'A(。'T3),3(0,1,3),C(一1,0,3),

所以aA=(O,—L3)，a3=(O,L3)，aC=(—LO,3)，aD=1|,O,o)

n-(9.4=0,「一乂+34=0,

设平面0AC的法向量为〃=(石,%,zj,则有得°八

110^=0,[—石+34=0,

取4=1,得〃=（3,3,1）,

m-0B=0%+3z?=0,

设平面的法向量为加=（w，%，Z2），则有41，得〈3

mOxD—0,3%=°,

取立2=1,得沅=（0,-3,1）,

设平面O.AC与平面0即的夹角为。,

八\n-m\|3x0+3x（-3）+lxl|4^/190

贝°cos0=；-r；j-=­//=—,

同帆732+32+12X^/O2+（-3）2+1295

所以平面O.AC与平面0即的夹角的余弦值为上叵.

95

18.解：（1）因为直线AB的斜率为2,线段的中点为。（2,2）,

所以％+%=4，

%一―=X——=2Pl_28_2

所以直线的斜率为七一々y£____yl_%+%4，

2Pl2Pl

所以p1=4,&的方程为/=8x,

直线AB方程为广2=2（x-2）,即y=2x-2,

与无2=2p2y联立得彳2_”2龙+402=0，

因为直线AB与62相切，

所以（~4必）2—4x4.2=0,解得。2=1，

所以石2的方程为V=2y.

（2）由（1）知，直线AB斜率存在且为-2Pl,