江苏省南京2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

江苏省南京江浦高级中学2024届高一数学第二学期期末学业水

平测试试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题

卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

1.若一个人下半身长（肚脐至足底）与全身长的比近似为小一/（,称为黄

金分割比），堪称“身材完美”，且比值越接近黄金分割比，身材看起来越好，若某人着

装前测得头顶至肚脐长度为72,肚脐至足底长度为103,根据以上数据，作为形

象设计师的你，对TA的着装建议是（)

A.身材完美，无需改善B.可以戴一顶合适高度的帽子

C.可以穿一双合适高度的增高鞋D.同时穿戴同样高度的增高鞋与帽子

2.若则下列不等式成立的是（

11

A.—<-B.0X2>bx2

ab

ab

C.Q2>/?2D.——>——

3x3%

3.垂直于同一条直线的两条直线一定)

A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能

4.直线%+y—1=。的倾斜角为（）

兀713兀3兀

A.Bc一彳

4-4TD

函数/（x）=Asin（3x+cp）（A>0,3>0,树<g）的部分图象如图所示，若

5.

cl/£j且/“”/(Q则/(\+\)=

X,x)

12

c¥DY

6.已知直线/：x+ay-l=Q,I.（a+l）x-ay=Q,若p：/〃/;q:a=-2,则

1212

p是q的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

7.已知点A（—2,—1）,。（3,4）,则向量须在方向上的投影为

()

A・孚3vB

D.---------------

2

sinoccosoc>0

若sina+cosa<0则/所在象限为()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

9.已知网格纸的各个小格均是边长为一个单位的正方形，一个几何体的三视图如图中

A.8兀B.7兀C.8K+>/2KD.6兀+/兀

10.倾斜角为135，在丁轴上的截距为-1的直线方程是

A.x-y+l=0B.x-y-l=0c.x+y-l=0D,x+y+l=0

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

1

11.记S“为等比数列｛““｝的前”项和.若a=-,。2=。,则鼠=.

12.某市A,3,C三所学校有高三文科学生分别为500人，400人，300人，在三月进行

全市联考后，准备用分层抽样的方法从三所高三文科学生中抽取容量为24的样本，进

行成绩分析，则应从8校高三文科学生中抽取人.

13.已知加〉0,n>0,且根+〃=2,则一+一的最小值为.

mn

14.在ABC中，ZB=90°,BC=6,A5=8,点M为△ABC内切圆的圆心，过点

加作动直线/与线段45,AC都相交，将AABC沿动直线/翻折，使翻折后的点4在

\PQ\

平面BCM上的射影尸落在直线3C上，点4在直线，上的射影为。，则的最小

改

值为.

15.已知直线y=x+2与圆％2+W一2丁=0相交于a,B两点，则恒回=.

16.涡阳一中某班对第二次质量检测成绩进行分析，利用随机数表法抽取10个样本时，

先将70个同学按01、02、03、…、70进行编号，然后从随机数表第9行第9列的

数开始向右读(注：如表为随机数表的第8行和第9行)，则选出的第7个个体是.

63016378591695556719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.在等差数列伍｝中，a=6,且前7项和T=56.

n37

(1)求数列｛a｝的通项公式；

n

(2)令b=a-3n,求数列｛b｝的前“项和S.

nnnn

18.记公差不为零的等差数列｛与｝的前〃项和为“，已知％=2,%是名与“8的等比中

项.

(I)求数列｛4“｝的通项公式；

1

T

(II)求数列｛方d■｝n的前〃项和„-

n

19.近日，某地普降暴雨，当地一大型提坝发生了渗水现象，当发现时已有300加2的

坝面渗水，经测算，坝而每平方米发生渗水现象的直接经济损失约为300元，且渗水面

积以每天6加2的速度扩散.当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面，

假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积3机2,该部门需支出服装补贴费为每人

600元，劳务费及耗材费为每人每天300元.若安排了名人员参与抢修，需要左天完

成抢修工作.

（1）写出左关于X的函数关系式；

（2）应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小.（总损失=因渗水造成的直接损

失+部门的各项支出费用）

20.精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.

某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次

加工后进行推广促销，预计该批产品销售量•万件（生产量与销售量相等）与推广促

x+3

销费入万元之间的函数关系为叩二（其中推广促销费不能超过5千元）.已知加工

3

此农产品还要投入成本3（川+—）万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的

w

30、

销售价格定为（4+—）元/件.

w

（1）试将该批产品的利润丁万元表示为推广促销费％万元的函数；（利润=销售额-成本

-推广促销费）

（2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？

21.已知过点4（0,1）且斜率为左的直线/与圆C：（x—2）2+。-3）2=1交于N两

点.

（1）求左的取值范围；

⑵若其中。为坐标原点，求IMNL

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

1、C

【解题分析】

对每一个选项逐一分析研究得解.

【题目详解】

A.，。3103尸所以她的身材不完美,需要改善，所以该选项是错误的；

1034-72-175~"J，丰V.01O

B.假设她需要戴上高度为x厘米的帽子，则,显然不符合实际,

所以该选项是错误的；

C.假设她可以穿一双合适高度为y的增高鞋，则把，r0，所以该选项

/73+V—y~"Q

是正确的；

D.假设同时穿戴同样高度z的增高鞋与帽子，则，显然不符合实

际，所以该选项是错误的.

故选：C

【题目点拨】

本题主要考查学生对新定义的理解和应用，属于基础题.

2、D

【解题分析】

取特殊值检验，利用排除法得答案。

【题目详解】

因为a>b,则当。=1*=一1时1〉,，故A错；当x=0时仆2=云2,故B错;

ab

,,1ab

当a=l,b=-1时，。2=匕2,故C错；因为a>b且歪>0,所以—>—

故选D.

【题目点拨】

本题考查不等式的基本性质，属于简单题。

3、D

【解题分析】

试题分析：根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判

断.

解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行;

②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面.

故选D

考点：空间中直线与直线之间的位置关系.

4、C

【解题分析】

求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角.

【题目详解】

.,3兀

由题意知，直线的斜率为左=一1,所以直线的倾斜角为a=丁.

4

故选：c.

【题目点拨】

本题考查直线的斜率与倾斜角的求法，属于基础题.

5、D

【解题分析】

由三角函数的图象求得/(x)=sin(2x+g_),再根据三角函数的图象与性质，即可求

解.

【题目详解】

TR兀兀

由图象可知，A=即7=兀，所以①=2,即

23o2

/(%)=sin(2x+(p),

712TC

又因为=0,则sin(2x?_+(p)=0,解得(p=—亍+左兀,左£2,

又由阳<,,所以①二可，所以/(x)=sin(2x+9)，

兀(一兀)

又因为可不)=兀，所以图中的最高点坐标为

2~12

-兀兀

结合图象和已知条件可知X+X=2x=

12126

所以/(1+x)=/(—)=sin(2x—+—)=sin—=—,

1266332

故选D.

【题目点拨】

本题主要考查了由三角函数的部分图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质

的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算

能力，属于基础题.

6、C

【解题分析】

因为直线(：x+ay-1=0,｛：(a+Dx_ay=0,所以

—a—a(a+1)=0

IJ.、_Q+i)wo=a=0或a=.2,即P是夕的必要不充分条件.故选C.

点睛：本题考查两条直线平行的判定；由直线的一般式判定两直线平行或垂直时，若将

一般式化成斜截式，往往需要讨论斜率是否存在，为了避免讨论，记住以下结论：

已知直线/：Ax+By+C=0I:Ax+By+C=0

11112222,

则////oAB—AB=0或AC—AC，0.

人」121221块1221'

I1/=AA+BB=0.

121212

7、A

【解题分析】

存=(2,1),CD=(5,5),向量AR在CO方向上的投影为

ABCD_2x5+lx5_30

同厂5"=『故选A'

8、C

【解题分析】

根据已知不等式可得sina<0,cosa<0；根据各象限内三角函数的符号可确定角所

处的象限.

【题目详解】

sinacosa>0

由<.c知：sina<0,cosa<0a在第三象限

sina+cosa<0

故选：C

【题目点拨】

本题考查三角函数在各象限内的符号，属于基础题.

9、B

【解题分析】

根据三视图还原几何体即可.

【题目详解】

由三视图可知，该几何体为一个圆柱内切了一个圆锥，圆锥侧面积为

S圆锥广兀力=6,圆柱上底面积为5底="2=兀，圆柱侧面积为

S=2兀〃=6兀S=7兀+/1,所以选择B

圆锥侧'表：面积

【题目点拨】

本题主要考查了三视图，根据三视图还原几何体常用的方法有：在正方体或者长方体中

切割.属于中等题.

10、D

【解题分析】

试题分析：倾斜角。=135.,"=tan0=-1,直线方程截距式

y=x+y+l=O

考点：斜截式直线方程

点评：直线斜率为左，在y轴上的截距为万，则直线方程为>=丘+6,求直线方程最

终结果整理为一般式方程

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

121

11>,§--

【解题分析】

本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q的方程，应用等比数列的求和公式，计算

得到S5.题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

【题目详解】

111

设等比数列的公比为“，由已知a=-,a2=a,所以（43）2=外,又q/0,

134633

所以q=3,所以s_«（1-^）_3（1_35）,121.

51-q1-3~

【题目点拨】

准确计算，是解答此类问题的基本要求.本题由于涉及能的乘方运算、繁分式分式

计算，部分考生易出现运算错误.

12、8

【解题分析】

利用分层抽样中比例关系列方程可求.

【题目详解】

由已知三所学校总人数为500+400+300=1200,设从3校高三文科学生中抽取x人，由

x24

分层抽样的要求及抽取样本容量为24,所以薪=乃而，工=8,故答案为8.

【题目点拨】

本题考查分层抽样，考查计算求解能力，属于基本题.

【解题分析】

一In1Inm+n2nm1

由7〃+〃=2,可得■—+—=—+——=—+不-+彳，然后利用基本不等式可求出

mnm2nm2n2

最小值.

【题目详解】

2n12nm+nInm1_15

因为根+〃=2,所以—+—=—+----=—+—+->2+_=_,当且仅当

mnm2nmIn222

42

m=—,"=§时取等号.

【题目点拨】

利用基本不等式求最值必须具备三个条件:

①各项都是正数；

②和(或积)为定值；

③等号取得的条件.

14、8^/10-25

【解题分析】

以45,5c所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设直线1的斜率为k,用k表示出

IPQI,IAQI,利用基本不等式得出答案.

【题目详解】

6+8-10

过点版作A4BC的三边的垂线，设。版的半径为r,则r=---=2,

以45,5c所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，

如图所示，则叔(2,2),A(0,8),

因为A在平面3cM的射影在直线5c上，所以直线/必存在斜率,

过4作4。，/,垂足为。，交直线3c于尸,

12^+61

设直线，的方程为：y=k(x-2)+2,则IAQI=

J1%2+1।

1-------I----

又直线AQ的方程为：y=—/x+8,则尸(8左，0),所以IAPI=J64左2+64=8+1,

I[2k+6|

所以IPQ=IAPI-IAQI=8+1,I,

也2+1

\PQ\8(t2+1)

所以T=--------1,

\AQ\\2k+6\

8^2+1)

40

①当左>-3时，———--1=4(*+3)+---25>8^0-25,

|2fc+6|k+3

当且仅当4a+3),即左=加一3时取等号；

/vIJ

8U2+1)40

②当左<-3时，则n......-1=-4(4+3)----+23>8^0+23,

当且仅当-4(4+3)=--~~即4=—JTO—3时取等号.

k+5

故答案为：8M-25

>'A

X

【题目点拨】

本题考查了考查空间距离的计算，考查基本不等式的运算，意在考查学生对这些知识的

理解掌握水平.

15、户.

【解题分析】

将圆的方程化为标准方程，由点到直线距离公式求得弦心距，再结合垂径定理即可求得

M.

【题目详解】

圆X2+y2—2y=0,变形可得举+。一1）2=1

所以圆心坐标为（0』）,半径厂=1

直线y=x+2,变形可得x-y+2=0

由点到直线距离公式可得弦心距为d=N

J1+12

故答案为：、a

【题目点拨】

本题考查了直线与圆相交时的弦长求法，点到直线距离公式的应用及垂径定理的用法，属

于基础题.

16、44.

【解题分析】

根据随机数法列出前7个个体的编号，即可得出答案.

【题目详解】

由随机数法可知，前7个个体的编号依次为29、64、56、07、52、42、44,

因此，第7个个体是44,故答案为44.

【题目点拨】

本题考查随机数法读取样本个体编号，读取时要把握两个原则：

(1)看样本编号最大数为几位数，读取时就几个数连着一起取；

(2)不在编号范围内的号码要去掉，重复的只能取第一次.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

c2"13

17、(1)a=2"；(2)S=——-

«n22

【解题分析】

(1)等差数列｛%｝的公差设为d,运用等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求

通项公式；

(2)求得亳=2〃・3",由数列的错位相减法求和即可.

【题目详解】

(1)等差数列｛%｝的公差设为d,a3=6,且前7项和4=1.

可得%+2d=6,7“i+21d=1,解得“i=2,d—2,则a“=2”；

(2)与=7・3"=2〃・3",

前n项和Sn=2(1・3+2・32+3・33+…

3s“=2(1・32+2・33+3・34±..+"・3"+I),

3(1—3，，)

相减可得一2s—2(3+32+33+.・・+3〃一〃・3〃+i)—!•(_______-n*3«+i),

〃1-3

一2n-l3

化简可得S=—z—*3«+1+—.

n22

【题目点拨】

本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求

和，以及化简运算能力，属于中档题.

n

18、(I)a-In(II)一.

〃n+1

【解题分析】

(I)由〃4是。2与。8的等比中项，可以求出公差，这样就可以求出求数列｛”｝的通项

公式；

1

(II)先求出等差数列｛”｝的前〃项和为s〃，用裂项相消法求出求数列｛丁｝的前〃项

n

和小

【题目详解】

解：(I)由已知，。2=。-a,即(2+&Z)2=(2+d)(2+7d),

428

解得：d=2(d和),

.\an=2+2(H-1)=2n；

〃(几-1)x2/\

(II)由(I)得，S=2〃+---------=+

〃2

11_1_1

••Sn(n+l)n〃+1'

n

〃I2)123)U,7+lJn+1n+1

【题目点拨】

本题考查了等差数列的通项公式、前”项和公式.重点考查了裂项相消法求数列前”

项和.

以⑴心篝,23”N⑵应安排22名民工参与抢修，才能使总损失最小

【解题分析】

(1)由题意得要抢修完成必须使得抢修的面积等于渗水的面积，即可得

3kx=300+6k,所以左=,x>3,xeN*；

x-2

(2)损失包=渗水直接经济损失+抢修服装补贴费+劳务费耗材费，即可得到函数解析

式，再利用基本不等式，即可得到结果.

【题目详解】

(1)由题意，可得=300+6左，所以k=10°,XN3,XGN.

x-2

(2)设总损失为丁元，则y=300(300+6%)+600x+fcr(150+15。)

=121200+600(x-2)+240000>121200+2x12000=145200

x-2

八240000”

当且仅当600b—2)=———,即x=22时，等号成立,

x-2

所以应安排22名民工参与抢修，才能使总损失最小.

【题目点拨】

本题主要考查了函数的实际应用问题，以及基本不等式求最值的应用，其中解答中认真

审题是关键，以及合理运用函数与不等式方程思想的有机结合，及基本不等式的应用是

解答的关键，属于中档题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

20、(1),=笑一二一二(0Wx<5)；(2)当推广促销费投入3万元时，利润最大,

22x+3

最大利润为27万元.

【解题分析】

试题分析：⑴根据题意即可求得y=[4+g)w—3卜+—化简即可；

⑵利用基本不等式可以求出该函数的最值，注意等号成立的条件，即可得到答案;

解析：(1)由题