甘肃省通渭县2024届数学高二年级上册期末统考试题含解析

甘肃省通渭县2024届数学高二上期末统考试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在一次体检中，发现甲、乙两个单位的职工中体重超过75依的人员的体重如下（单位：依）.若规定超过80版为

显著超重，从甲、乙两个单位中体重超过75依的职工中各抽取1人，则这2人中，恰好有1人显著超重的概率为（）

甲乙

879

883

32922

13

A.-B.-

48

15

C.一D.-

28

,,1

2.在数列｛4｝中，a=l,a“+i=1+—，则％=（）

an

3

A.2B.-

2

58

c.一D.-

35

3.正三棱柱A3C-4用G各棱长均为LP为棱CG的中点，则点A到平面D45的距离为（）

AA.»1BU・-V--2---

22

C.—D.l

2

4.执行如图所示的程序框图，若输出的S=8,则输入的％可能为。

5.已知m,〃表示两条不同直线，％，表示两个不同平面.设有两个命题：Pi：若加〃则〃_La；P2：

若则加，小则下列命题中为真命题的是（）

A.P1Ap2

C.RV(f)D.「(pi")

6.在空间四边形（M8C中，。4=。，OB=b>0C=c，点M在线段。4上，且OM=2MA,N为BC中点,

则MN等于（）

12,1B.3+L+L

A.一a——b+—c

232322

irn2r2r21lr

C.—CLH—b—cD.一a+一。——c

223332

7.已知函数/（九）一九2+匕九（〃,0且〃工匕>0）的一个极值点为2,则工+工的最小值为。

2ab

79

A.一B.一

44

8

c.一D.7

5

8.数列｛4｝满足％=2,a)

2

9.圆心为(2,—1)的圆，在直线工-y-1=0上截得的弦长为20，那么，这个圆的方程为。

A.(x-2)2+(y+l)2=4B.(x-2)2+(y+l)2=2

C.(x+2)2+(y-l)2=4D.(X+2)2+(J；-1)2=2

10.已知数列｛4｝的前"项和为s,,=1,Sn=2an+l,则%=()

279

A.—B.一

44

.279

C.—D.一

88

11.已知点4(—2,0),3(2,0),。(4,3),动点尸满足则的取值范围为()

A.[2,5]B.[2,8]

C.[3,7]D.[4,6]

9

12.已知过抛物线产=4丫焦点R的直线/交抛物线于N两点,则4|"F|一百尚的最小值为O

\NF\

A.-272B.2

C.2V2D.3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在下列所示电路图中，下列说法正确的是―(填序号)

A

________I________________二：_

①②③④

(1)如图①所示，开关A闭合是灯泡5亮的充分不必、要条件；

(2)如图②所示，开关A闭合是灯泡3亮的必要不充；分条件；

(3)如图③所示，开关A闭合是灯泡5亮的充要条件1.

（4）如图④所示，开关A闭合是灯泡5亮的必要不充分条件

14.已知数列｛%｝是等差数列，4〉0,公差d<0,S,为其前“项和，满足4+5%=工，则当S”取得最大值时,

n=_____

15.某人实施一项投资计划，从2021年起，每年1月1日，把上一年工资的10%投资某个项目.已知2020年他的工资

是10万元，预计未来十年每年工资都会逐年增加1万元；若投资年收益是10%,一年结算一次，当年的投资收益自

动转入下一年的投资本金，若2031年1月1日结束投资计划，则他可以一次性取出的所有投资以及收益应有

万元.（参考数据：1.严士2.59，1]”"2.85，1.产士3.14）

Y2y2Y2y2

16.已知命题方程:匚+二一=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题心方程」+」_=i表示双曲线.若

m-26-mm+1m—3

（加入q为真,则实数m的取值范围为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/（无）=。

ex

（1）求函数/（%）的极值；

（2）若以21+（2x+l）e'+i—X20对VxeR恒成立，求实数。的取值范围.

18.（12分）已知圆E:（尤-1）2+丁=4与x轴交于4,8两点,尸是该圆上任意一点,42,「5的延长线分别交直线/«=4

于V,N两点.

（1）若弦AP长为2,求直线P5的方程；

（2）以线段MN为直径作圆C,当圆C面积最小时，求此时圆C的方程.

19.（12分）如图，四棱锥P—A5CD中，上4,平面ABC。、底面ABC。为菱形，E为PD的中点.

（1）证明：P3//平面AEC；

（2）设PA=1,484。=120°,菱形ABC。的面积为2百，求二面角O—AE—C的余弦值.

20.（12分）已知一张纸上画有半径为4的圆O,在圆。内有一个定点A,且Q4=2,折叠纸片，使圆上某一点4刚

好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A取遍圆上所有点时，所有折痕与。《的交点形成的曲

线记为c.

(1)求曲线C的焦点在X轴上的标准方程;

(2)过曲线C的右焦点工(左焦点为耳)的直线/与曲线C交于不同的两点“，N,记△EMN的面积为S,试求

S的取值范围.

21.(12分)已知数列｛。“｝满足q=:，a“+i•%=—

2几+2

(1)求生,火，。“；

(2)若包=师1—4,且数列｛々｝的前”项和为S,,求证：s“<；

22.(10分)某企业计划新购买100台设备，并将购买的设备分配给100名年龄不同(视为技术水平不同)的技工加工

一批模具，因技术水平不同而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同.若用变量1表示不同技工的年龄，变

量y为相应的效益值(元)，根据以往统计经验，他们的工作效益满足最小二乘法，且y关于X的线性回归方程为

y=l.2x+40.6

(1)试预测一名年龄为52岁的技工使用该设备所产生的经济效益；

(2)试根据厂的值判断使用该批设备的技工人员所产生的的效益与技工年龄的相关性强弱(0.75引厂区1,则认为y与

X线性相关性很强；M<0.75,则认为y与X线性相关性不强)；

(3)若这批设备有A,3两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02,0.03.若两道工序都没有

出现故障，则生产成本不增加；若A工序出现故障，则生产成本增加2万元；若5工序出现故障，则生产成本增加3万

元；若A3两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元.求这批设备增加的生产成本的期望

100100

参考数据：£(%-可=121,^(j,.-y)-=225

Z=1Z=1

n.

X%%一"^

参考公式：回归直线y=a+bx的斜率和截距的最小二乘估计分别为B=号----------=J-------------,

储；—就2方(玉_可2

i=lz=l

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】列举出所有选取的情况，再找出满足题意的情况，根据古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】不妨用（尤,y）表示每种抽取情况，

其中》是指甲单位抽取1人的体重，y代表从乙单位抽取1人的体重.

则所有的可能有16种，如下所示：

（78,79）,（78,83）,（78,92）,（78,92）,

（88,79）,（88,83）,（88,92）,（88,92）,

（92,79）,（92,83）,（92,92）,（92,92）,

（93,79）,（93,83）,（93,92）,（93,92）

其中满足题意的有6种:（78,83）,（78,92）,（78,92）,（88,79）,（92,79）,（93,79）

故抽取的这2人中，恰好有1人显著超重的概率为：二=：.

168

故选：B.

2、D

【解析】根据递推关系，代入数据，逐步计算，即可得答案.

I1C

【详解】由题意得，令〃可得%=1+—=2,

113

令〃=2,可得%=1+—=1+-=-,

%22

11_5

令〃=3,可得"4=1+瑟=1+二§，

2

_1231_8

令〃=4,可得%=1+/=1+5=?.

3

故选：D

3、C

【解析】建立空间直角坐标系，利用点面距公式求得正确答案.

【详解】设。口分别是AC,AG的中点，根据正三棱柱的性质可知0403,00］两两垂直,

以。为原点建立如图所示空间直角坐标系，

A0,一1别,尸0,—,A0,一1别,5

,0,0,

227

1

,M=(o,o,i).

22J

设平面PAB的法向量为n=(%,y,z),

nPA=-y--z=0

2

则,故可设〃=(6,-3,6b

n-PB=—x--y--z=0

222

ri'A\6673

所以点A到平面PAB的距离为

g+9+36—2

【解析】根据输出结果可得输出时左=24,结合执行逻辑确定输入"的可能值，即可知答案.

【详解】由S"=8,得左=24,则输人的左可能为12,6,3,.

二结合选项知：D符合要求.

故选:D.

5、B

【解析】利用直线与平面，平面与平面的位置关系判断2个命题的真假，再利用复合命题的真值表判断选项的正误即

可

【详解】m,〃表示两条不同直线，a,£表示两个不同平面

Pi：若mlla,mLn,则〃J_a也可能〃//a,也可能“与a相交，所以p1是假命题，「Pi为真命题；

P2：令直线加的方向向量为加，直线〃的方向向量为“，若a_L^,加_La,n_L〃，

则力•方=0,贝！J〃z_L〃，所以是真命题，所以「外为假命题；

所以。1人。2为假命题，(「四)八,2是真命题，"1V(「02)为假命题，RVP2是真命题，所以一!(PiV/?2)为假命题

故选：B

6,B

【解析】由题意结合图形，直接利用MN=ON+MO，求出ON,然后即可解答.

【详解】解：因为空间四边形。45c如图，OA=a>OB=b，OC=c，

点M在线段Q4上，且OM=2MA,N为5c的中点，

所以。N=L+L.

22

所以政V=ON+MO=-2a+L+4.

322

故选：B.

7、B

【解析】求出函数/(%)的导数，由给定极值点可得a与方的关系，再借助“1”的妙用求解即得.

【详解】对〃力=3以3_f+法求导得：f\x)=a^-2x+b,因函数的一个极值点为2,

贝！|f'(2)=4a-4+b=0,

2

此时9b——4-ci+4,/'(%)=—2x—4a+4=a(x—2)(%+2)—2(x—2)=a(x—2)(x+2—),

a

i9

因。彳3,即2/2,因此，在2左右两侧邻近的区域f(x)值一正一负，2是函数/(九)的一个极值点，则有

4〃+匕=4,又a>0,b>0,

十日,曰111..7-I1、I”b4〃、、1/厂lb4a9也口m止人4〃4

于是得—I—=—(4〃+/?)(—I—)=_(5H--1----)2—(5+2(-----)x=一,当且仅当一二-―，即b=2a=7时取

ab4ab4ab4AVab4ab3

一,

119

所以_L+上的最小值为一.

ab4

故选：B

8、C

【解析】根据已知分析数列周期性，可得答案

【详解】解：•••数列｛&｝满足q=2,4+1=口上，

工一a”

故数列｛«„｝以4为周期呈现周期性变化,

由2019+4=504LL3,

故a2019=%=一］，

故选C

【点睛】本题考查的知识点是数列的递推公式，数列的周期性，难度中档

9、A

【解析】由垂径定理，根据弦长的一半及圆心到直线的距离求出圆半径，即可写出圆的标准方程.

【详解】圆心(2,—1)到直线x-y-l=O的距离［=

弦长20，设圆半径为r,

+/=4故r=2

则圆的标准方程为(％—2『+(y+=4

故选：A

【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系和圆的标准方程，属于基础题.

10、D

【解析】根据给定递推公式求出。2，%即可计算作答.

【详解】因数列｛«„｝的前n项和为Sn,q=l,Sn=2an+l,则/=gH=gq=g,

11113111139

。3=；S2==（4+%）==（1+彳）=彳,a=-S=-（6^+a+tz）=

ZZZZ44Z3Z23ZZ4o

9

所以。4=G.

8

故选：D

11、C

【解析】由题设分析知P的轨迹为/+>2=4（P不与A,3重合），要求|PC|的取值范围，只需求出。（4,3）到圆

/+/=4上点的距离范围即可.

【详解】由题设，P在以|AB|为直径的圆上，令P（x,y）,则好+丁=4（尸不与A,3重合），

所以|PC|的取值范围，即为。（4,3）到圆Y+/=4上点的距离范围，

又圆心（0,0）到C的距离d=7（4-0）2+（3-0）2=5，圆的半径为2,

所以|PC|的取值范围为［dfS+打，即［3,7］.

故选：C

12、D

【解析】设出直线方程，联立抛物线方程，得到韦达定理，求得丁“以，利用抛物线定义，将目标式转化为关于>“加

的代数式，消元后，利用基本不等式即可求得结果.

【详解】因为抛物线好=4〉的焦点R的坐标为（0,1）,

显然要满足题意，直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=Ax+l

联立炉=4>可得％2_血_4=0,其♦=16左2+16>0，

设M,N坐标为（%显然％>0,%>0，

则石+々=-4,%%=1，

根据抛物线定义'WF|=v；+1.||JVF|=心+15

故41s一工=45+1）_2=4X%+45+%）-5=45+%）-1

\NF\I"）%+1%+1%+1

5T=4+^^=4+

令必+1=々＞1),

故二.।八，

△

4+4nr=4+-----e----=4t+-£-9N2<4tX-e-9=3

93

当且仅当射=—,即/=一时取得最小值3.

t2

故选：D.

【点睛】本题考察抛物线中的最值问题，涉及到韦达定理的使用，基本不等式的使用；其中利用%%的关系，以及抛

物线的定义转化目标式，是解决问题的关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、(1)(2)(3)

【解析】充分不必要条件是该条件成立时，可推出结果，但结果不一定需要该条件成立；必要条件是有结果必须有这

一条件，但是有这一条件还不够；充要条件是条件和结果可以互推；条件和结果没有互推关系的是既不充分也不必要

条件

【详解】(1)开关A闭合，灯泡3亮；而灯泡8亮时，开关A不一定闭合，所以开关A闭合是灯泡3亮的充分不必

要条件，选项(1)正确.

(2)开关A闭合，灯泡3不一定亮；而灯泡3亮时，开关A必须闭合，所以开关A闭合是灯泡3亮的必要不充分条

件，选项(2)正确.

(3)开关A闭合，灯泡8亮；而灯泡3亮时，开关A必须闭合，所以开关A闭合是灯泡3亮的充要条件，选项(3)

正确.

(4)开关A闭合，灯泡3不一定亮；而灯泡3亮时，开关A不一定闭合，所以开关A闭合是灯泡3亮的既不充分也

不必要条件，选项(4)错误.

故答案为(1)(2)(3).

14、9或10

【解析】等差数列通项公式的使用.

【详解】数列｛4｝是等差数列，且囚+5%=&，得4+5(%+2d)=8%+28。，得q=-9d,则有须=0,又因

为4>0,公差d<0,所以〃=9或10时，S.取得最大值

故答案为：9或10

15、24

【解析】根据条件求得每一年投入在最终结算时的总收入，利用错位相减法求得总收入.

【详解】由题知，2021年的投入在结算时的收入为10x10%x(l+10%)i°,

2022年的投入在结算时的收入为llxl0%x(l+10%)9,

L,

2030年的投入在结算时的收入为19x10%x(l+IO%)]，

则结算时的总投资及收益为：

S=lOxlO%xl.llo+llxlO%xl.l9++19xl0%xl.l1@,

贝！ll.lS=10xl0%xl.Ti+llxlO%xl.llo++19xl0%xl.l2@,

由①-②得，

-O.15=-lOxlO%xl.l11-lxlO%xl.llo-lO%xl.l9--10%xl.l2+19xl0%xl.l1,

ll2-]I11

则S=10xl.l11+l.l10+l.l9++l.l2-19xl.l1=10x1.1H+------——20.9

1-1.1

=20x1.111-12.1-20.9^20x2.85-33=24,

故答案为：24

16、(-1,2]

【解析】既然T7八4为真，那么就是F?为真，即P是假，并且夕是真，根据椭圆和双曲线的定义即可解出。

【详解】•••▼人4为真，...p为假，q为真；

m—2>0

考虑P为真的情况：6-m>0解得2<加<4……①；

6—m>m—2

由于〃为假，，机24或加工2；

由于4为真，3)<0,即于V*3……②；

由①和②得：—IV加<2；

故答案为：(—1,2].

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)极大值为,，无极小值

e

(2)[0,+oo)

【解析】(1)求函数的导数，根据导数的正负判断极值点，代入原函数计算即可；

(2)将以2e'+(2x+l)e*+i—xNO变形，即a2々一‘(2；+1)对y%(—8,0)(0,+<»)恒成立,然后构造函数,

利用求导判定函数的单调性，进而确定实数a的取值范围“

【小问1详解】

对函数了。)求导可得：/'(x)=T,

可知当xe(—a?,l)时，/'(x)>0,xe(L+8)时，f'(x)<0,

即可知f(x)在(-91)上单调递增,在(1,+8)上单调递减

由上可知，/(x)的极大值为了⑴=工，无极小值

【小问2详解】

由ax2el'+(2x+1)6川—xNO对VxeH恒成立，

当％=0时，e»0恒成立；

当xW0时，ax2cx+(2x+1)6川一x20对Vxe(-oo,0)l_(0,+(»)恒成立,

可变形为：a»』一0(2'+1)对(—8,0)「(0,也)恒成立，

令g(x)=々-e(2;+D,%e0)l,_(0,+oo),

贝!]a2g(x)max?”G(-co,0)(0,+oo)；

2e(x+l)

求导可得：g'(x)=-

(2ev+1-x)(x+l)2e-(x+1)

XX

由(1)知2e>—2—即2e——>0恒成立,

当xe(0,+s)时，g'(x)>0,则g(x)在(0,+s)上单调递增;

又g(—=

xexxe

因xe(0,+s),故1—2e'+i<0，x(l-2e?:+1)-ex+1<0,

所以g(x)<0在(0,+s)上恒成立，

当xe(—oo,0)时，令g'(x)=O,得九=—1,

当xe(—吟-1)时，8'(%)>0超(%)在(-/,—1)上单调递增，

当xe(—1,0)时，g'(©<0,g(x)在(-1,0)上单调递减，

从而可知g(x)的最大值为g(-1)=0,即g(x)<0，

因此，对尤€(-00,0)5。,+8)都有8(幻<0恒成立，

所以。之0,实数。的取值范围是［0,+8).

18、(1)氐+3y-3百=0或百x-3y-3百=0；

(2)(x-4)2+y2=5.

【解析】(1)根据圆的直径的性质，结合锐角三角函数定义进行求解即可；

(2)根据题意，结合基本不等式和圆的标准方程进行求解即可.

【小问1详解】

在方程(x—1)2+丁=4中，令y=0,解得％=—1,或％=3,

因为AP,网的延长线分别交直线/:x=4于M,N两点，所以

4-1,0),5(3,0),圆心(1,0)在x轴上，所以m_LP5,

因为|PA|=2,|AB|=4,所以有sin/P3A=—=—=>NPBA=%,

1111AB26

当P在x轴上方时，直线尸5的斜率为：tan(»-工)=-且，所以直线尸5的方程为:

63

y=-^-(x-3)=>百x+3y—36=0，

当尸在x轴下方时，直线尸3的斜率为：tan£=走，所以直线的方程为：

63

y=^-(x-3)^y/3x-3y-3s/3=0,

因此直线尸8的方程为石x+3y—6=0或由x—3y—石=0；

【小问2详解】

由⑴知：A(-l,0),B(3,0),PALPB,

所以设直线的斜率为左，因此直线PB的斜率为-工,

k

于是直线24的方程为：，=左(％+1),令x=4,y=5k,即M(4,5公

直线网的方程为：y=—工。—3),令x=4,y=--,即N(4,—工)，

kkk

因为5k!同号,

k

所以I肱v|=54+工2下,当且仅当网=6时取等号,

k

即当左=±且时取等号,

5

于是有以线段MN为直径作圆G当圆C面积最小时，此时最小,

当上=半时，M(4,0)和N(4,-J?),中点坐标为：(4,0),半径为

所以圆的方程为：(x-4)2+/=5,

同理当上=-g时，M(4,-J?)和N(4,J?),中点坐标为：(4,0),半径为石,

所以圆的方程为：(x—4)2+/=5,

综上所述：圆C的方程为(x-4)2+/=5.

19、(1)证明见解析；(2)

【解析】(1)连接班>交AC于点。，连接OE,则尸2〃OE,利用线面平行的判定定理，即可得证；

(2)根据题意，求得菱形ABCD的边长，取中点“，可证如图建系，求得点坐标及AE,AC坐标,

即可求得平面ACE的法向量，根据AM,平面出。，可求得面ADE的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求

得答案.

【详解】(1)连接3。交AC于点。，连接OE,

则。、E分别为AB=AC4M，P4£>AE,AC、PZ)的中点，所以PB//OE,

又QEu平面ACE,PB<Z平面ACE

所以「3//平面ACE

E

(2)由菱形ABC。的面积为2百，/BAD=120°,易得菱形边长为2,

取BC中点“，连接A",因为AB=AC,所以

以点A为原点，以AM方向为x轴，AD方向为》轴，AP方向为z轴，建立如图所示坐标系.

BM

则。(0,2,0),A(0,0,0),目0/，7

所以AE=

设平面4。£的法向量勺=(x,y,z),由_LAE,〃i_LAC

yH—z=0

得J2,令x=6,则y=—3,z=6

y/3x+y=0

所以一个法向量々=(6,—3,6),

因为AMLAD,AM±PA,所以AM,平面必O,

uu

所以平面ADE的一个法向量々=(1,0,0)

所以cos<>=

‘3+9+36―W

又二面角D-AE-C为锐二面角，所以二面角D-AE-C的余弦值为J

【点睛】解题的关键是熟练掌握证明平行的定理，证明线面平行时，常用中位线法和平行四边形法来证明；利用空间

向量求解二面角为常考题型，步骤为建系、求点坐标、求所需向量坐标、求法向量、利用夹角公式求解，属基础题.

22

20、(1)—+^=1；

43

⑵(0,3].

【解析】⑴根据题意，作出图像，可得|脑9|+|惆=4,由此可知M的轨迹C为以0、A为焦点的椭圆；

⑵分为/斜率存在和不存在时讨论，斜率存在时，直线方程和椭圆方程联立，用韦达定理表示△耳的面积，根据

变量范围可求面积的最大值.

【小问1详解】

以。4中点G坐标原点，04所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图：

可知。(-1,0)，41,0),设折痕与和AA分别交于跖N两点，

则MN垂直平分A4，，.-.|W|=|M4|,又,

22

的轨迹是以。，A为焦点，4为长轴的椭圆.r.M的轨迹方程C为上+上=1；

43

【小问2详解】

设M&,%),则△耳MN的周长为4。=8

当轴时，/的方程为x=l,|MV|=3,5=曰加叫><|耳后|=3,

当/与x轴不垂直时，设=—D(左「0),

由7炉y2得(4左2+3)V+66—9左2=o,

一+—=1,

[43

6k9k2

VA>0,%+%=-

4/+3%%=一K

SF]MN-SF/M+SF、F?N=~I与gHxI+gi片£M%i=J4研x-%I

二"闽,"心…十"登：―41白

,世归+i)

'■+3)2

令4r+3=/,贝！h>3,

t2-2t-3

S=3.=3j-3+1=3,—31+

,2r

,:t>3,A0<-<-,A0<5<3.

t3

综上可知，S的取值范围是（0,3]

/、23n

21、(1)tz——,a——,a--

2334n+1

(2)证明见解析

H

【解析】（1）先求得出,生，猜想4=——，然后利用数学归纳法进行证明.

'n+1

（2）利用放缩法证得结论成立.

【小问1详解】

1n

a=9

依题意=大,4+l.nT%W0，

2n+2

12

“2•—>Cl?—，

2_j