经济数学微积分 第4版 教案 第6章 无穷级数

第6章无穷级数第6章无穷级数本章知识结构导图一、教学要求1、理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数和的概念；了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件.2、掌握几何级数与p-级数的敛散性；掌握正项级数的比较和比值审敛法，了解正项级数的根值审敛法.3、了解交错级数的莱布尼茨定理；了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系.4、掌握简单幂级数收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些简单的幂级数的和函数.5、会用，，，与的麦克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的函数展开成幂级数.6、了解一些无穷级数在经济中的应用.二、教学重难点1、教学重点：正数项级数及其审敛法；任意项级数的绝对收敛与条件收敛；幂级数的收敛半径及收敛域.2、教学难点：泰勒公式与泰勒级数；幂级数的展开.三、教学内容与课时划分5.1常数项级数的概念与性质2课时5.2正项级数及其审敛法3课时5.3任意项级数敛散性的判别1课时5.4幂级数3课时5.5函数的幂级数展开3课时习题课2课时共计14课时§6.1常数项级数的概念和性质教学目的:理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数和的概念；了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件.教学重难点:1、教学重点：常数项级数收敛和发散的概念，几何级数和调和级数的敛散性.2、教学难点：无穷级数的性质.教学课时：2一、常数项级数的概念《庄子•天下篇》中提到“一尺之棰,日取其半,万世不竭”这就是一个“无限个数相加”的例子.从直观上可以看到,它的和是1.再如下面由“无限个数相加”的表达式:中,如果将它写作,其结果无疑是0,如写作其结果就是1.“无限个数相加”是否存在“和”？如果存在,“和”等于什么？设有一个无穷数列,则称(1)为常数项级数或无穷级数（也常简称级数）,其中称为常数项级数(1)的通项.常数项级数(1)也常写作或简单写作.作常数项级数(1)的前项之和

称为级数(1)的第个部分和,也简称部分和.当依次取时,它们构成一个新的数列：【定义1】若常数项级数(1)的部分和数列收敛于（即）,则称常数项级数(1)收敛,称为常数项级数(1)的和,即或;若部分和数列是发散的,则称常数项级数(1)发散.如果级数收敛于，其部分和是的近似值，它们之间的差称为级数的余项.显然有，而就是用近似代替所产生的误差.【例1】判断以下级数是否收敛,若收敛求出其和.(1)(2)【解】(1)这个级数的部分和为,显然有,因此所给级数是发散的.(2)由于这个级数的部分和为这个级数的部分和为于是由于所以该级数收敛，且它的和为2.【例2】讨论几何级数（也称为等比级数）:的敛散性.【解】作,若,则.下面考虑的问题:若,即当时,,则;若,即当时,,故不存在;若,当时,,故不存在;若,当时,,故不存在;综上所述,二、常数项级数的基本性质性质1如果级数收敛于和，那么级数也收敛，且其和为.性质2如果级数与分别收敛于和,那么级数也收敛,且其和为.性质3在级数中去掉、增加或改变有限项，不会改变级数的敛散性.性质4如果级数收敛，那么对级数的项任意加括号后所成的新级数仍收敛于原来的和.性质5（收敛级数的必要条件）:若级数收敛,则有.【证】设级数收敛,其和为,显然于是.性质5的逆命题是不成立的.即有些级数虽然通项趋于零,但仍然是发散的.推论如果,则必定发散.例如,级数,它的通项,因此该级数发散.【例3】证明调和级数(2)是发散的.【证】用反证法来证明.假设级数(2)收敛,设它的第个部分和为,且,显然,对级数(2)的第个部分和为,也有.于是.(3)但是.故与(3)式矛盾,则假设不成立,说明原级数发散.三、作业习题6.12、3（2）（4）、4（1）（3）（4）（5）§6.2正项级数及其审敛法教学目的:了解正项级数收敛的充要条件;掌握正项级数的比较和比值审敛法;了解正项级数的根值判别法;掌握p-级数的敛散性结果.教学重难点：1、教学重点：正项级数的比较和比值判别法.2、教学难点：正项级数的比较判别法.教学课时：3教学过程：一、正项级数敛散性判别法,其中称为正项级数.设正项级数其中，其部分和为,显然部分和数列是单调增加的,即一方面，如果级数收敛，则有，根据存在极限的数列是有界的，可知数列是有界的.另一方面，如果数列有界，根据单调有界数列必存在极限，可知，所以级数收敛.因此，有定理：【定理1】正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界.性质如果正项级数任意加括号后级数收敛，那么级数收敛.【证】设正项级数的部分和为，加括号后的部分和为，其中包含在中，显然有由于加括号后的级数收敛，由定理6.1可得部分和数列有界，从而部分和数列有界，正项级数收敛.结合本章6.1.2级数性质4可得，正项级数如果收敛，那么加括号或去括号后都收敛.【定理2】(比较审敛法)设和都是正项级数,且有，若收敛,则收敛；若发散,则发散.【例1】判断以下正项级数的敛散性.(1)(2)【解】(1)由于,而几何级数是收敛的,则由比较审敛法，收敛.(2)由于,,而调和级数是发散的,则也发散.则由比较判别法知也发散.【例2】讨论-级数的敛散性.【解】当时,,由于调和级数发散.由比较判别法,当1时,该级数是发散的.当时,按顺序把该级数的1项、2项、4项、8项……括在一起.(4)它的各项显然小于下列级数的各项.即(5)而后一个级数是等比级数,其比,所以级数(5)收敛.于是根据级数收敛的比较判别法,当时,级数(4)收敛,而级数(4)是正项级数,所以加括号不影响其敛散性,故原-级数收敛.综上所述,-级数当时,发散;当时,收敛.【定理3】(极限形式的比较判别法)设级数和都是正项级数，且当时，若收敛，则收敛；当时，若发散，则发散.【例3】判断下列级数的敛散性.(1)(2)【解】(1)由于,而是收敛的,故也收敛.(2)由于.而发散,故也发散.【定理4】(比值审敛法)若为正项级数,且，则:(1)当时,级数收敛;(2)当或时,级数发散;(3)当时,级数可能收敛也可能发散.【例4】判断下列级数的敛散性.(1)(2)(3)【解】(1)由于,由比值审敛法知,原级数收敛.(2)由于,故由比值审敛法知:当时,收敛;当时,发散.(3)考虑其绝对值级数.故原级数发散.【定理5】（根值判别法）设为正项级数,如果,则有(1)当时,级数收敛;(2)当时,级数发散;(3)当时,级数可能收敛也可能发散.【例5】讨论级数的敛散性.【解】由于,所以原级数是收敛的.例如,级数,由于,而,故由比值判别法无法判别此级数的敛散性.但可以用根值判别法.一般地,当为乘积式时多用比值判别法,当为乘方形式时多用根值判别法.以上是判别正项级数敛散性的几种常用方法.在实际运用时，常先检查一般项的极限是否为零.若不为零，则级数发散；若为零，再根据一般项的特点，选择适当的审敛法判别其敛散性.二、作业习题6.21（1）（3）（5）（7）（9）§6.3任意项级数敛散性的判别教学目的：了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系，会判断任意项级数的绝对收敛和条件收敛；掌握交错级数的莱布尼兹判别法.教学重难点：1、教学重点：任意项级数的绝对收敛和条件收敛2、教学难点：条件收敛的判别教学课时：1教学过程：对的取值符号不加限制的常数项级数，称为任意项级数.一、交错级数若级数的各项符号正负相间,即则称之为交错级数.例如,和等都是交错级数.【定理1】(莱布尼兹判别法)设交错项级数满足条件:(1)即数列单调递减;(2);则交错级数是收敛的,且它的和.【例2】判断下列级数是否收敛.(1);(2).【解】(1)为交错级数,,,故且由莱布尼兹判别法知原级数收敛.(2),,且故,根据莱布尼兹判别法,知原级数收敛.【例3】判别交错级数的敛散性.【解】级数的一般项满足（1）要说明，即要说明数列单调减少.于是设，则当时，，即当时，数列单调减少，满足.由莱布尼兹判别法可知，原级数收敛.二、绝对收敛与条件收敛【定义】若级数的各项的绝对值所组成的级数收敛,则称原级数绝对收敛;若级数收敛,而级数发散,则称原级数条件收敛.【定理2】如果正项级数收敛,则原级数收敛.【证】令则有于是，由级数收敛，可知收敛.又因为，所以，收敛.由级数的条件收敛可知:若级数发散,则未必发散.【例4】判别级数的收敛性，如收敛，指出绝对收敛还是条件收敛.（1）（2）（3）【解】（1）由得.而级数收敛,故由比较原则知收敛,再由定理2知原级数收敛,并且为绝对收敛.由于,而为收敛的p-级数,发散；又原级数为交错级数，满足莱布尼兹审敛法的两个条件，故原级数条件收敛.（3）该级数的绝对值级数为，由于于是可知，从而，所以级数发散.一般情况下，从发散是不能判别发散的.但从例6.11（3）可以看出，若利用比值审敛法或级数收敛的必要条件判别发散，则也发散.三、作业习题6.31（1）（3）（5）（7）（9）、2（1）§6.4幂级数教学目的：掌握简单幂级数收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些简单的幂级数的和函数.教学重难点：教学重点：幂级数的收敛半径与收敛域.教学难点：利用幂级数的在收敛区间内的性质求和函数教学课时：3教学过程：一、函数项级数的概念设为定义在实数集合上的函数序列，则称为定义在上的函数项无穷级数，简称函数项级数或函数级数.若有，使得收敛，则称函数项级数在点收敛，为级数的收敛点；若发散，则称函数项级数在点发散，为级数的发散点.级数所有收敛（发散）点构成的集合称为收敛（发散）域.对于收敛域中的每一个，有，则称为级数的和函数；称为级数的部分和.在收敛域内，有【例1】求下列函数项级数的收敛域.（1）（2）【解】（1）函数项级数的收敛域为，和函数为该级数为任意项级数，考虑其绝对值级数，由于级数收敛，由比较审敛法，级数收敛，故绝对收敛.所以对任意的，级数都是收敛的，即级数的收敛域为.二、幂级数（1）称为在处的幂级数,我们将着重讨论的情形.（2）其中都是常数,称为幂级数的系数,称为幂级数的通项,在(1)中,只要令,就可把(1)转化成(2)式,所以不失一般性,我们着重讨论幂级数(2)的收敛性问题.观察发现,任何一个幂级数在处肯定是收敛的.对于每一个确定的实数,幂级数(2)成为常数项级数.对于一个给定的幂级数,它的收敛域的发散域的结构如何?【定理1】（阿贝尔定理）（1）如果幂级数在处收敛,则对于满足不等式的一切点处绝对收敛；（2）如果幂级数在处发散,则对于满足不等式的一切点处级数发散.推论如果幂级数不是仅在处收敛,也不是在整个上都收敛,则必有一个确定的正数存在.使得(1)当时,幂级数收敛;(2)当时,幂级数发散;(3)当和时,幂级数可能收敛,也可能发散.这里的正数通常叫做幂级数(1)的收敛半径,开区间叫做幂级数(1)的收敛区间,再由幂级数在处是否收敛来决定它的收敛域.如果幂级数(1)只在处收敛,此时收敛域只有一点,为方便起见,规定它的收敛半径为;如果幂级数(1)对一切都收敛,则规定收敛半径,此时收敛域是.【例2】求下列幂级数的收敛半径和收敛域.(1)（2）【解】(1),故收敛半径.因此收敛域为.（2）考虑其绝对值级数，由比值审敛法当时，级数绝对收敛,所以收敛半径.当时，原级数的一般项均为常数，均发散.所以，收敛域为.【例3】求幂级数的收敛域.【解】令,则原幂级数变为.考虑其绝对值级数，由比值审敛法当时，级数绝对收敛.所以收敛半径为,收敛点满足,即，所以收敛区间为.当时,原级数成为,发散；当时,原级数成为,收敛.因此，原级数的收敛域为.2．幂级数的性质设幂级数的收敛区域为,和函数为,即,又设幂级数的收敛区域为,和函数为,即.则幂级数的主要性质:【性质1】两个幂级数在公共的收敛区域内,其和或差也是收敛的,并和函数为相对应的两个和函数的和与差.即设,则,.【性质2】幂级数在其收敛域内可以逐项求导,而且求导后的幂级数的收敛半径与原级数的收敛半径相同,即,【性质3】幂级数在收敛区域内可以逐项积分,而且积分后所得的幂级数的收敛半径与原级数的收敛半径相同,即.【例5】求幂级数的和函数.【解】由比值审敛法当时，级数绝对收敛，故幂级数的收敛区间为.设，从而.两边对求导,得右边级数是公比为的几何级数,所以.两边同时从到积分得:即.【例6】求幂级数的和函数.由比值审敛法当时，级数绝对收敛，故幂级数的收敛区间为.设，当时，两边同时积分，由逐项积分公式，得，两边同时求导，得即，当时，，也成立，所以，幂级数的和函数为，【例7】在内求幂级数的和函数，并求数项级数的和.【解】设，则，当时，幂级数即为级数，所以三、作业习题6.41（1）（3）（5）（7）、2（1）（3）、3§6.5函数的幂级数展开教学目的：了解泰勒公式，理解泰勒级数和麦克劳林级数的概念；掌握初等函数的麦克劳林展开式；会间接展开比较简单的函数.教学重难点：教学重点：初等函数的幂级数展开式教学难点：函数的间接展开法教学课时：3教学过程：一、泰勒公式对于一些较复杂的函数,为了研究方便,往往希望用一些简单的函数来近似表达.设函数在含有的开区间内具有直到阶导数,试找出一个关于的次多项式

来近似表达，要求与在的直到阶导数都相等，与之差是比高阶的无穷小,并给出误差的具体表达式.由，求其各阶导数，得于是因为与在的函数值和直到阶导数都相等，即从而有，，，，所以该多项式称为函数按的幂展开的次泰勒（Taylor）多项式.下面的定理表明，该多项式就是要找的满足条件的多项式.定理（泰勒中值定理）如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，有其中(介于与之间).该公式称为按的幂展开的阶泰勒公式，称为拉格朗日型余项.当时，泰勒公式就变成拉格朗日公式(介于与之间)因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.如果在泰勒公式中取，即其中()，该公式称为麦克劳林（Maclaurin）公式.由此可以得到几个常用初等函数的麦克劳林公式：二、泰勒级数幂级数在其收敛域上收敛到其和函数，考虑一个相反的问题，对于给定的函数，是否能找到这样一个幂级数，它在某个区间内收敛,且其和函数恰好就是给定的函数？如果能找到这样的幂级数，我们就称函数在该区间内能展开成幂级数，而此幂级数在收敛区间内就表达了函数.在泰勒公式中，函数的条件是在含有的某个开区间内具有直到阶导数，现将函数的条件放宽：函数在含有的某个开区间内具有任意阶导数，当时，泰勒多项式就成为幂级数称该幂级数为函数的泰勒级数.显然，该幂级数的前项的和即为函数在点的阶泰勒多项式，如果当在点的某一邻域内时，总有则称函数的泰勒级数收敛于或在处可以展开成泰勒级数.如果函数的泰勒级数收敛于，则又由泰勒公式可知所以当时于是，得另一方面，如果，则有所以，函数的泰勒级数收敛于.于是，有如下定理：定理设函数在点的某一邻域内具有各阶导数,则在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是的泰勒公式中的余项当时的极限为零，即如果在泰勒级数中取,得此级数称为函数的麦克劳林级数.三、函数的幂级数展开式为方便起见,我们仅讨论麦克劳林展开式,即时的情况,以下是几个基本初等函数的麦克劳林展开式.1.直接展开法函数展开成幂级数的步骤:（1）计算；（2)写出对应的,并求出收敛半径；(3)验证在内，；（4）用泰勒级数表示.【例1】求函数的麦克劳林公式和麦克劳林级数.【解】所给函数的各阶导数为,因此，所以，的麦克劳林公式为其中于是考虑正项级数，有于是，由比值审敛法可知，级数收敛，故有，从而有因此，由定理，能展开成麦克劳林级数，由此可以得到几个常用初等函数的麦克劳林级数：，2.间接展开法。从已知的展开式出发,通过变量代换,四则运算或逐项求导、逐项积分等方法,间接的求出函数的幂级数展开式.【例2】将函数展开成的幂级数.【解】由两边对求导，得.【例3】求和的展开式.【解】由，，由，【例5】求非初等函数的幂级数展开式.【解】以代替展开式中的,得到再逐项求积就得到在上的展开式【例6】求函数在处的泰勒级数