2024年山东省高三数学5月考前模拟大联考试卷附答案解析

2024年山东省名校高三数学5月考前模拟大联考试卷

（考试时间120分钟，满分150分）2024.05

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和认卷指定位置•

2.选择题的作答：选出林小网答案后，川211错第把答册卡上对应牌目的答案标号涂黑•如需改

动，用植皮擦干净后，再选涂共他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.

3.考试结束后.将本试卷和答胭卡一并交回.

一、选择题।本题共8小题，每小题5分，共40分・在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知全集U=H，集合4={X||H<3}，8={X|X'-4X40}，则图中阴影部分表示的集

合为

A{4}B.{3,4}C.[3,4]MM

2.“ln(a-b)20”是“a>b+l”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件

3.已知直线系Z,:(x-4)cosa+ysina=4(04aW2兀),则

A.L中所有直线均经过一个定点B.L中所有直线均与定圆C:（x-4/+y2=16相切

C.L中所有直线的斜率均存在D.L中不存在斜率为0的直线

1

4.已知a=3lg2,b=y,c=2'，则

A.a<c<bB.b<a<c

C.a<b<cD.c<a<b

A.£B.—C.-D3

3333

数学试胭第1页（共4页）

6.己知Z1,Z2是复数，则下列命题正确的为

A.若Z]=Z2，则Z]=Z2B.?rztz2€/?.则Z1是实数

C.若Z]Z2=0,则Z[=0D.若|Z||=|Z2则Z|=Zz

2

7.已知函数/(X)=3-,则下列函数的图象关于原点对称的是

A.y=/(x-l)-2B.y=f(x+1)-2

C.y=f(x-l)+2D.y=f(x+l)+2

8.某地为进一步强化学校体育工作，了解高中学生体质健康真实情况，现从甲高中高一高二各随

型叫0名学生进行体质测试，成绩如下：________________________________

高一71।869479849379917895

高二81847985789386928785

则

A.高一学生体质测试成绩的80%分位数是93

B.高二学生体质测试平均成绩更高

C.高一学生体质测试成绩更稳定

D.记体质测试成绩位于[90,100]的为优秀，现从高一高二成绩优秀的学生中，随机抽2名同学,

7

则这两名同学成绩之差的绝对值不大于1的概率为微

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分・在每小昌给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分・

9.已知数列｛勺｝的前〃项和为S“，则下列结论正确的是

A.若&a>1,则数列｛勺｝为递增数列

B•若见则%的最大值为方

*Tr»»

C.若S„=-n2+9n,贝|J4=0

D.若数列｛4｝为等差数列，且%,/,生成等比数列，则其公比q=l加=4

数学试题第2页(共4页)

2

10.已知椭圆£■《+_/=1的左、右焦点为石，曰且经过腐的直线/交椭1511K于4，B两点，

记线段/凡4月的中点分别为M,N,则

AJ/M的最大值为3I).若点M的坐标为(一孝，乎),511]kAB=1

C.动点N的轨迹是椭圆D.以线段AFX为立径的阴与圆/+y=3相内切

11.定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三%形”.在△/8C中，

内角4B,C的对边分别为a"c,AD是HC的角平分线，交BC于点0,|而|=耳而且满足

Sy=*'-b')sin4则下列结论正确的是

A.AABC为“倍长三角形”

B.若BC=4,则△Z8C面积的最大值为2百

C.若心=8C,则ZA4c为锐角

若当可圈时，则的最小值为苧

D.S3c=1,M

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量a=(a,1),ft=(cosx,sinx),若向量a4。，贝!|tanx=.

13.已知圆台Q。的一个底面面积为16%，母线长为5,其内切球半径为厂，则r=•

14.已知对于VXG[1,+OO),不等式上皿-由恒成立，其中m>0,则实数m的取值范围是

xe"1

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步臊•

15.(13分)如图，已知四棱锥尸-48FD中，E是线段Q4的中点.现将△PDF绕。尸旋转到

平面ABFD内，得到边长为2的正方形ABCD，旦CF=FB,P

(1)当P尸_L8C时，证明：尸尸，平面尸。E,并求三桢锥

P-DEF的体积；।

(2)当平面PDFI平面DEF时，求直线PE和平面DEF所

成角的正弦值.“f

数学试题第3页(共4页)

3

16.(15分)欧拉函数0(〃)(〃WN・)的函数值等于不超过正整数〃，且与〃互素的正整数的个数，

例如M)=1,欢2)=1,例4)=2.数列｛aj满足a“=0(3"),其前n项和为S„,

(1)计算q,%,%，猜想｛%｝的通项公式并加以证明；

(2)若数列他,｝的通项满足"+1=1。80(5"+1),设%=髭瞥,记数列k“｝的前〃项和为

2。0+i

。，求心

17.(15分)已知函数/(x)=—+asinx+6cosx,若曲线y=/(x)在(0,/(0))处的切线方程

为y=-x—1.

(1)求的值；(2)①证明：函数y=/(x)只有一个极值点：

②设函数y=/(x)的极值点为x0,证明：/(xo)>一咨巨

O

18.(17分)在平面直角坐标系》分已两条动直线体分别过定点乂(-2,1),乂(2,1).点“是/"的

交点，记的斜率分别为片内，且&-4=1.

(1)求点”的轨迹r的方程；

(2)若过点尸(0即)5>0)的直线与轨迹「交于48两点，自43向直线/：y=-m作垂线，垂足分

别为4再.记的面积分别为试探究鸟的值是否为定值，若是，

请求出该定值；若不是，请说明理由.

19.(17分)某患者出现了罕见症状，其中有p(0<p<l)的概率感染甲病毒，有的概

率未感染甲病毒,现在医院需要对该患者进行诊断是否感染了甲病毒，在感染甲病毒的情况下，

一定能检测出甲病毒呈阳性：在未感染甲病毒的情况下，检测出甲病毒为阳性的概率为q

(0<9<1),检测出甲病毒为阴性的概率为1-g.

医院采用“先诊断〃次"("CND的诊断方案：让患者重复检测至多〃次.若检测4次

后，前％-1次检测出甲病毒均为阳性，第后次检测出甲病毒为阴性，此时让患者回家

休养，不进行治疗；若检测"次后，每次都检测出甲病毒为阳性，此时患者接受治疗.

已知医院给患者治疗甲病海偏要花费1000元，每次检测甲病毒是否为阳性需要花费100

元・记随机变量X.表示按照上述诊断方案所需要的总开销.

(1)求X的数学期望£(%)；

⑵当"CN•时，求)-£(%,)；

(3)为了降低诊断所需的平均开销，选取使得对任意都有

E(X.)N£(X„).已知p=l()T,g=10-2,求应选取小的值.

数学试题第4页(共4页)

4

山东中学联盟2024届高三考前模拟冲刺大联考

数学答案解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

题号12345678

答案CBBACAAD

I.答案：C解析：全集U=R,A=(-3,3)18=(0,4]，则阴影部分表示的集合为

Cjlc8=[3,4p^4C.

命题意图：本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系，考查学生分析问题解决问

题的能力，考查的数学核心素养是数学运算、逻辑推理.

2.答案：B解析：若ln(a-b)20,可得a2b+l：易得aNb+1是a>b+1的必要不充分条件,

故选B

命题意图：本题主要考查对数函数性质、不等式解法.结合充分、必要条件分析判断.考查的数学核

心素养是数学运算、逻辑推理.

3.答案：B解析：因为£:(x-4)cosa+ysina=4,所以点P(4,0)到《中每条直线的距离

4

d=4,所以Z,为圆C：*-4)2+/=16的全体切线组成的直线系，存在两切

Vcos'e+sin*

线平行的情况，心中所有直线均经过一个定点不可能，故4错误，B正确；

当a=0时，直线方程变为x=8.此时直线的斜率不存在，故C错误：

当&='时，直线方程变为y=4,此时直线的斜率为0,故D错误.故选B

££

4.答案：A解析：a=3Ig2=lg8<IglO=l,b=V>3°=\,c=2i>2°=l

因为/=9,c6=8,所以从>,6,所以6>c>l>a,故选A.

5

命题意图：本题主要考查指数、对数的运算以及指数函数、对数函数的单调性，考查的数学核心

素养是数学运算、逻辑推理.

5.答案：C

解析：因为P，。两点在第2秒时第一次相遇于点12,2)

所以2a=生,2/=如，所以&=色，夕=生.

3333

设它们从出发后第2次相遇时间为/,!«ij(y+y)t=2x2/r,所以

/=4.点尸运动的路程为必=^、4=手.故选：C

命题意图：本题主要考查三角函数定义的应用以及任意角的三角函数值，考查的数学核心素养是

数学运算、逻辑推理、数学抽象.

6.答案：A解析：设二।=q+b}i,z2=a2+b2i,

对于答案A,由二］=二2得，6=。2，4=一％所以二］=二2，故A正确:

对于答案B,令之="=2=2/,z・二2=-2,不满足题意，故B错误:

容易知道C,D显然错误.故选A.

命题意图：本题主要考察复数的四则运算以及共挽复数、复数模的定义，考查的数学核心素养是

逻辑推理，数学运算.

7.答案：A解析：由题可知，函数的定义域为用关于原点对称.

222X-1

对于答案A,因为/。-1)-2=3-------2=1------=——是奇函数，正确:

2'+12、+12X+1

22J+I-1

对于答案B,因为/(X+1)-2=1-F—=F—不是奇函数，错误：

2+12+1

对于答案C,因为/(x-l)+2=5-----=-——不是奇函数，错误；

2+12+1

2§1彳

对于答案D,因为/(X+1)+2=5-F—=J不是奇函数，错误.故选A.

2川+12"1+1

命题意图：本题考查函数的奇偶性的判断，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理.

6

8.答案：D解析：高一学生成绩：71,78,79,79.84,86,91,93,94,95，则高一学生体质测试成绩的

80%分位数是空上=935,故A选项错

2

高一学生的平均成绩为371+78+79+79+84+86+91+93+94+95=,

10

S：=7；X(X,-X2)2=60

1U7

高二学生成绩：78,79,81,84,85,85,86,87,92,93.

则高二学生的平均成绩为［78+79+81+84+85+85+8^^^土组=85，

10

5；=，1£10区-3『=22,故B,C选项错

101=1

高一成绩优秀学生4名，高二成绩优秀学生2名，从6名学生中随机抽取2名，他们的成绩组成

的所有基本事件(用数对表示)为｛(91,92),(91,93),(91,93),(91,94),(91,95),(92,93),(92,93),

(92,94),(92,95),(93,93),(93,94),(93,95),(93,94),(93,95).(94,95)｝共15个.记“抽取的

2名学生的成绩差的绝对值不大于1”为事件A,则事件A包含的基本事件为(91,92),(92,93),

(92,93),(93,93),(93、94),(93.94),(94,95)｝,共7个由古典概型计算公式可知。(力)=(.故

D选项正确.

命题意图：本题主要考查样本数字特征，百分位数，平均数，方差，以及古典概型考查的数学核

心素养是数学运算、逻辑推理.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

题号91011

答案BDBCDACD

9.答案：BD解析：A选项：若％<0,则数列｛q｝为递减数列，故A错：

B选项：a=-1=当且仅当〃=工叶等号成立，由于〃eN+，故最小值应

4/+254〃+在202时，

n

在〃=2或〃=3处取，兄=一2,%=二3，故4的最大值为.三3•故B正确：

-41361n61

C选项：由S”=一/+9〃得%=10-2〃,则q=2,故C错：

7

D选项：由题可知qw0,且a；=所以（4+"尸=+5"），整理得：d；=3/d.所以d=0

或d=3q,当d=0时，a„=an此时夕=1:当d=%时,a„=（3n-2）a„此时

%=4。「。6==4故D正确

命题意图：本题考查等差等比数列及其前〃项和的性质，考查的核心素养是逻辑推理，数学运算.

10答案：BCD

解析：婢析：椭同£:；+.F=I可得a=6，ft=I»c=41,所以左焦点£（->/Z,0）,

,4选项：|力8|最大值为2a=2。所以4不正确：

B选项：设.*须，yJ，伙七，%）.设中点A/（x。,九）.

所以今+V=1.4炉=|,所以GdJ半」｝+（乂+月）（%-%）=0,

所以八二富科雪」，

伍+工2）（片-覆）3

所以幻.=一一L=-lxL.所以8正确.

.3koM3立3

2

C选项:设点。为坐标原点，因为点N。分别为,4".”月的中点，

所以|N£|+"O|=库卜;卜入卜a=/>万.所以点N的轨迹是椭园：所以C正确：

0选项：囱x'+Y=3的圆心为（0,0）,半径为

设/£的中点为M,所以|。4"+陷4|=:|/眉+]//=6,所以两个圆内切，所以。选项

22

确：故选：BCD.

命题意图：本题考查椭圆的定义和性质的应用，长度的求解，考查学生的运算求解、逻辑推理能

力，考直的核心素养是数学运算、逻辑推理.

II答案：ACD

8

解析：A选项，由题意，1^csinA=（i（?2-b2）sinA,又sin/wO,

所以；bc=；c—一尸，整理得c?-6c-2b?=0解得c=2b,

所以△4BC为“倍长三角形”，故力正确，

B选项，设/C=x,AB=2x,

所以又做，=；BCACsin。=2xsinC=2xyl\-cos2C,

BC+ACAB

又由余弦定理得cosC=~~'=16二汇

2BCAC8x

ccA----77；rL,16-3-」569,，80、,

所以SA.=2x'l-cosC=2XJ1-(------)=J--——(x--)

V8xV9169

x+7Y>44

由三角形的三边关系可得I,解得±vxv4，

x+4>2x3

所以当X二M三时，面积有最大值为3.故B错:

33

c选项，因为4。是/34C的角平分线，交3C于点。.所以点。到/B，4C的距离相等,

又AB=2AC,所以S%BQ=2SMe，BD=2CD,由题意AD=a,BD=g,

22-h2c+(~a)-a

ZUBC中，cosB=^a-+^c―\①A,中，cos8=②，

2acc2

2c--a

3

联立①(D得11/=6b?+3/,又c=2b,所以/=与，

9

12,22b'+(2/?)"-----b~37

所以cosABAC=―二^=------------U—=CL>0,所以23/C为锐角.故

2bc2x6x2644

C正确:

D选项，设4C=6=r,ABAC=26,

34

由*4即+Sgc。=Sgsc，所以Q“sin6=2sin6cos/故4=

因为6€(0,9,且北；,|，所以cosOe所以tane"Ji,而］又因为

5.=1/2。=1,得心，_

MBCsin20

令〃=a2=b2+c2-25ccosA=(2t)2+r-4t2cos20=5/2-4/2cos2^,

,.2“54cos2^5-4cos2^

w=5r2-4rcos26>=------------------=-------------,

sin2^sin2^sin28

5sin2^+5cos20-4(cos2^-sin20)9sin2O+cos109tan20+\

所以〃=----------------------------------=---------------=----------

2sin8cose2sin8cos。2tan。

9tan。1

即〃=------+---所--以-u关于tan。在［6,而］内单调递增，所以当tan6=时,

22tan。

14月

〃取得最小值为故。正确.

命题意图：本题考查解三角形，三角恒等变换，正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，还考

查了三角函数最值求解以及三角形的面积公式，考查的数学核心素养是数学运算、逻辑推理.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

VI.r-

12.答案：—解析：fl=(V2,l),b=(cosx,sinx),

2

因为a〃方，所以&'sinx=cosx,tanx=立

2'

命题意图：本题考查共线向量的坐标表示和弦切转化问题，考查的核心素养是数学运算、逻辑推

理.

10

13.答案：2.

解析：设圆台的上，下底面半径分别为4,右，母线长为/,

由题意得(=4,该圆台与其内切球的轴截面如图：/Q\

记圆台的高为〃，内切球的半径为r,则力=2r,/VLI/\

易知，该圆台的母线长为/=，；+〃=5,解得｛=1,4M02

h==4=2r,所以，=2・

命题意图：本题考查圆台和球的组合体问题，考查的核心素养是数学运算、直观想象、逻辑推理.

14.答案：/田).

e

解析：将不等式_L211■也一加变形得：mxe"0+3^>x(\+\nx),

xem

即eR/nx+lRMl+lnx),所以eyine2+DNxQ+Inx),

设函数f(x)=x(l+Inx),则f(em)>f(x)恒成立.

又/'(x)=2+Inx>0恒成立，所以函数/(x)=*1+Inx)在[1,+8)上单调递增.

因为/(0皿)2〃》)恒成立，所以e加2x,即〃匣.

X

设g(x)=@±，g'(x)=l，当4€[1,0),3(*)>0耳。)单调递增:

XJC

当xe(e,+oo),g'(x)<0,g(x)单调递减：所以g(x)max=g(e)=L所以〃吐」.

ee

命题意图：本题考查函数导数中同构问题及恒成立问题，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(1)解：因为BC//DE,PFtBC,

P

所以尸FIDE,又因为PFlPD,PDcDE=E,力^\

所以尸尸1平面PDE..............................3分步.....

所以PFtPE,在APEF中，4B=EF=2,PF=1,'8所以

PE=6

11

又PD=2、DE=1,PD?=PE?+DE2,所以"DE为直角三角形.

所以VP-DEF=VF-DEP=gxS^DEPXPF=£xlxl=-^..........6分

3326

(2)解：在平面POF内，过点尸作尸T_LOF于点T,那么尸兀L平面四09

在H/AD尸尸中，尸7=竽,07=竽，/7=孝..............8分

以。为坐标原点，D4,DC所在的直线分别x轴、y轴，过点。且垂直于平面48。的直线为二

轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

所以凤1,0,0)"(3*0),尸(土?咨)

9分

因为P兀L平面48⑦.

所以可以取平面DEF的一个法向量为7=(0,0,1).

设直线PE和平面尸所成的角为。，

所以s/力6=|cos(尸E,公|==冬叵.......11分

'/|P£H〃I17

所以直线PE和平面QEF所成角的正弦值22叵..............................13分

17

命题意图：本题以四棱锥为载体，考查点到平面的距离、直线和平面所成角的求解.主要考查学生

的运算求解能力，直观想象的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算、逻辑推理.

16.（15分）解：（l）q=2,%=6,%=18;...............................3分

猜想：a〃=2x3"-1.................................4分

证明：因为。“=63”)不超过3"的数共有3"个，其中与3"不互素的数是3的倍数，即

3xl,3x2,3x3,…,3x3"T共3""个数，

所以。“=3"-3"7=2'3"二.........................................6分

(2)易知｛/｝是以q=2为首项，以3为公比的等比数列，

12

所以s“=2x（T）=3"-1..............................7分

1-3

因为，+1=logjB=+1）,即+1=log^3"=2〃，

所以”,=2〃-1,........................................9分

=b：+喘_(2〃-1)2+(2〃+1)2=41+1=]+2=[+_J_____1_

故％-2b工_2(2”—1X2〃+D+(2n-lK2n+l)-2n-\~2n+\"分

所以乙=。1+C,+q+…+C”=1+1+1+----F1+----F,,,+1+----------

1*3335572w-l2/J+I

,1八

=〃+1..........................................15分

2〃+1

命题意图：本题以新定义为载体，主要考查等比数列的前〃项和公式和裂项求和法，考查学生创

新性的分析问题解决问题的能力，考查的数学核心素养是数学运算、逻辑推理.

17.(15分)

解：⑴因为/(幻=犬+asinx+bcosx,

所以/'(》)=2》+。(：05'-从111》,............2分

所以切线的斜率左=/'(0)=-1,即。=一1：又/(0)=-1,即6=7.

所以a=Z>=—1...........4分

(2)证明：①函数-sinx-cosx,其定义域为R,

f'(x)=2x-cosx+sinx^

下面证明^=/'(x)=2x-cosx+sinx有且只有一个变号零点.

设g(x)=/'(x)=2x-cosx+sinx,

则g'(x)=2+sinx+cosx=2+y/lsin(x+—)>0,

4

所以函数^=8。)在(-8,+8)单调递增，............6分

13

又g(0)=-l<0,显然g(5)=;r+l>0,

由零点存在定理，存在唯一的工€(0，W)满足g(Xo)=0,.........8分

所以之间的关系如下表：

XX。(%,+8)

y=f\x)—0+

y=f(x)单调递减极小值单调递增

所以函数y=/(x)有且只有一个极值点............10分

②证明:由g(x())=O得:2xo-cosx0+sinxo=O,即％=-(cosXo-sinxo),

1,.

所以/(Xo)=-(cosx0-sinxo)--(COSA+sinx),

400

由①知g(0)<0,又g(£)=g_*+!>0,所以XefO.-/..........12分

632201飞

/(x0)=!(l-sin2xo)-7Isin(Xo+g),

44

因为>/2+/<0、

f'(x0)=-^cos2x0-cos(xu

则y=/(x0)在(o.£)上单调递减,

6

所以吟7吗一吒=¥，

14分

Hn々\24-5-73

即/(%)>---------15分

O

命题意图：本题依托函数的极值，主要考查导数的应用以及零点存在定理、二分法等，考查的数

学核心素养是数学运算、逻辑推理.

18.解：(1)设M(x,y)(xw±2),则&-用=曰-曰=1,................3分

14

解得：x2=4y（xw±2）....................6分

（2）是定值.依题意，可设直线.48的方程为卜=仙+小，4（%,必卜3（、2，%），则有

4（%,一机），4（、2，一机）

由卜=h+m消去可得/一4履一4团=0

（；r=4y，

从而有

卜+、2=4A,.......................&分

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于是另+%=A（X[+七）+2//7=4〃2+2/w,

乂由X；=4弘芯=4为，

可得乂%=皿工=".........10分

16

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52=；|4耳|附上碎ifI，

S,=g|四俨禺|=3%+团团，........................13分

所以、S；二4（m|x「x21f=4m[（.+xj_4x^]

s&a+MkQ+Mkl[.%+刑（乂+%）+也12|