2024年浙江省宁波市初中学业水平考试中考三模预测数学试卷解析

浙江省2024年初中学业水平考试宁波市数学三模预测试卷解析

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

一、选择题：本题共10题，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家.

若把气温为零上8℃记作+8℃,则-5℃表示气温为（）

A.零上5℃B.零下5℃C.零上3℃D.零下3℃

【答案】B

【分析】零上温度记为正，则零下温度就记为负，则可得出结论.

【详解】解：若把气温为零上8℃记作+8℃,则-5℃表示气温为零下5℃.

故选B.

2.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【答案】A

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对每一个选项进行判断即可.

【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；

D、是轴对称图形.不是中心对称图形，故错误；

故选：A.

3.在比例尺为1:5000000的宁波地图上，量得杭州湾大桥在地图上的距离为0.72厘米，

则桥实际长度用科学记数法可表示为（）米

A.3.6xl03B.3.6xl04C.3.6xl05D.36xl04

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为0X10",其中

1W忖<10,〃为整数，按要求表示即可得到答案，确定。与〃的值是解决问题的关键.

【详解】解：由题意可知，桥实际长度为0.72x5000000=3600000厘米=36000米，36000的3后面有4

个位数，根据科学记数法要求表示为3.6x104,

故选：B.

4.某班30名学生的身高情况如下表：

身高

1.451.481.501.531.561.60

（加

人数Xy6854

关于身高的统计量中，不随x,y的变化而变化的有（）

A.众数、中位数B.中位数、方差

C.平均数、方差D.平均数、众数

【答案】A

【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的计算方法，进行判断即可.

【详解】解：由题意得：x+y=30-6-8-5-4=7,

x<8,y<8,

这组数据的众数为1.53,

将数据排序后，第15个和第16个数据均为：1.53,

...中位数为1.53,

即：中位数和众数不随x,y的变化而变化,

平均数$（1.45尤+1.48y+1.50x6+1.53x8+1.56x5+1.60x4）,

平均数随着x,y的变化而变化，

•••方差与平均数有关，

方差随着x,y的变化而变化；

故选A.

5.如图，数轴上点力、6对应的实数分别是a、b,下列结论一定成立的是（）

AB

-------------1--A

a0b

A.a+b<0B.b-a<QC.2a>2bD.a+2<b+2

【答案】D

【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据题意可得。<0<匕，同<例，据此逐一判断即可得到答案.

【详解】解：由数轴可知，a<0<b,\a\<\b\,

a+b>Q,b-a>Q,2a<2b,a+2<b+2,

四个选项中，只有D选项结论成立，符合题意；

故选：D.

6.在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学

担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是（）

1132

A.-B.-C.-D.一

4243

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查运用画树状图法求随机事件的概率，掌握其运用是解题的关键.

运用画树状图法将所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解.

【详解】解：两名男生表示为男1,男2,两名女生表示为女1,女2,抽取过程如图所示,

开始

第一次

第二次

共有12种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有8种,

抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是联Q=]9.

故选：D.

7.如图，点4、B、C在口。上，BC^0A，连接80并延长，交口。于点。,

连接AC、DC,若NA=16。，则ND的大小为（）

A.48°B.32°C.58°D.54°

【答案】C

【解析】

【分析】先由两直线平行内错角相等、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和得到

ZA0C,从而确定=再由圆周角定理求解即可得到答案.

【详解】解：连接0C,如图所示:

•••BC〃OA,

ZACB=ZA=16°,

OA=OC,

.-.ZACO=ZA=16°,

在口AOC中，由三角形内角和定理得ZAOC=180°-2xl6°=148°,

SA=8A-

ZAOB=2ZACB=32°,

ZBOC=ZAOC-ZAOB=148°-32°=116°,

Sc=Sc

ZD=-ZBOC=58°,

2

故选：c.

8.如图，四个边长均为1的正方形如图摆放，其中三个顶点位于坐标轴上,

k

其中一个顶点在反比例函数y=—的图像上，则次的值为（）

X

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正

方形的性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题

的关键.

过点尸作PELy轴于点£,依题意得：PD=3,AD=1,AC=2,BC=1,进而根据勾股定理求得

AB=5证明□DAO—ABC,得至I］段=g=空，求出2，OA=叵,同理可得

ACBCAB55

UDAO^OPDE,得到空=丝=空，求得「£=述，OE=±5,进而DE=6,因此点尸的坐标为

PEDEPD55

V5,将点尸坐标代入函数y=幺中即可求出k的值.

【详解】过点〃作尸石，y轴于点£,如图所示:

依题意得：尸0=3,AD=\,AC=2,BC=1,

在RtZXABC中,AC=2,BC=\,

・•・AB7AC?+BC2=W+f=亚，

・.・ZDAC=ZAO£>=90°,

・・・ZOAD+ZADO=90°,

ZOAD+ABAC=90°,

：.ZADO=ABAC,

又•:ZAOD=ZACB=90°,

：.UDAO^QABCf

ODOAAD口口ODOA1

益’即可二不二石

ACBC

：.OD=^~,OA=—

55

同理可证：□DAOSQPOE1,

ODOAAD口口-___

——，即55_1

PEDEPD

PEDE3

尸£=述，DE^—

55

：.DE=OD+DE=哼*咚<

点尸的坐标为I第，囱

k

•.•点户在反比例函数y=*的图象上,

k=x75=6.

5

故选：B

-1（0<a<4）,4

9.已知:m^-a2-a«=-(1<&<4),根+〃=2,则下列说法中正确的是(

2b

3

A.〃有最大值4,最小值1B.〃有最大值3,最小值-不

D.〃有最大值3,最小值g

C.〃有最大值3,最小值1

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数的最值和根据反比例函数的增减性求最值，解题的关键是用函数思想解决问

题；根据函数的增减性求出最值，再结合不等式的性质求〃的范围，进而可求〃的最值；

【详解】由题意得，m=1a2-a-1=1(a-l)2-l,

>0,

2

7

.•・当〃=1时，勿有最小值T,当。=4时，/有最大值

।7

—1WHlW-,

2

4

4>0,

b

.•.当1W6W4时，〃随着6的增大而减小,

.,.当b=4时，〃有最小值1,

当〃=1时，〃有最大值4,

/.1<zz<4,

m+n=2,

.\m=2-n9

।7

v-1<m<—

2

7

2

3

解得：--<n<3,

1<n<4,

/.l<n<3,

；・〃有最大值3,最小值1；

故选：C.

10.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,以其三边为边向外作正方形，

连结CF,作GM尸于点于点于点左交CF于点、L.

若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5,则S正方形八曲：S正方形BC/H的值等于（

A.6+2B.4C.叵虫D.-

223

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等

知识，解题的关键是用含力的代数式表示相关线段的长度.

设CF交AB于R过。作CN_LA3于"设正方形/KLM边长为勿，AF=AB=，证明

□AFL^JFGM可得AL=FM,根据勾股定理可求得AL=FM=m,FL=2m,由口CPN6口FPA得

1…cBCCN2

CN=m,PN=—m,通过tan/R4C=F=F=7-,进而求两个正方形的面积的比.

2ACANV5+1

【详解】设CF交A3于产，过C作CN_LA5于儿如图：

设正方形JKLM边长为回,

.•・正方形JKLM面积为根2,

•.•正方形ABGF与正方形/KLM的面积之比为5,

正方形ABGF的面积为5口2,

•"AF=AB=y/5m

由已知可得：ZAFL=90°-ZMFG=ZMGF,ZALF=90°=ZFMG,AF=GF,

/.□AFL^OFGM(AAS),

，AL=FM,

设AL=EM=x,则==X+

在RtDAFL中，AI}+FI}=AF2，

x2+(x+m)2=(V5m)2,

解得x=,〃或％=一2根(舍去)，

AL=FM=m,FL=2m,

..eA尸ALm1

•「tanZAFL=----=——=——=—,

AFFL2m2

.AP-1

s/5m2'

“场,

2

2222

FP=VAP+AF=A(^^)+(V5m)=-m,BP=AB-AP=45m-^-=^~

\2222

AP=BP,即尸为A3中点，

ZACB=90°,

CP=AP=BP=^-

2

ZCPN=ZAPF,ZCNP=90°=ZFAP,

:.UCPN区FPA,

y/5m

CPCNPN~7~CNPN

——=——=——,即nn=刀一=-^

FPAFAP±tnyJ5mY5m

2F

CN=m,PN=—m,

2

AN=AP+PN=由二止机

2

…BCCN2

tan/_BAC--——方—,

ACANV5+1

22

•C.C_AC-nr-(-V-m+、2_3+行

•.»正方形ACDE.D正方形BC/H—AL'nC-^~BC-一2——一2

故选：C.

二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分)

11.要使式子有意义，则x可取的一个数是.

【答案】如4等(答案不唯一，x>3)

【分析】根据二次根式的开方数是非负数求解即可.

【详解】解：•.•式子有意义，

；.x-320,

x23,

可取x23的任意一个数，

故答案为：如4等(答案不唯一，x>3.

12.已知。=2022,6=2023,请计算代数式/一^的值为一

【答案】-4045

【分析】先对/一匕2因式分解，然后再将。=2022,6=2023代入计算即可.

【详解】解：当。=2022,6=2023时,

a2-b2=(«+/?)(«-/?)

=(2022+2023)(2022-2023)

=4045x(-1)

=-4045.

故答案为：-4045

13.如图，利用一个半径为6cm的定滑轮将祛码提起，如果定滑轮顺时针转动了120。,

那么祛码被提起了cm（结果保留五）.

【分析】本题考查了求弧长，根据祛码被提起的长度等于半径为6cm,圆心角为120。的弧长，即可求解.

【详解】解：与磬=4兀（地），

180

祛码被提起了4兀cm.

故答案为：471.

14.2023年元旦期间，小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：

2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客60人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客26人.

则1艘大船可以满载游客的人数为.

【答案】18人

【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次

共可以满载游客60人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客26人.列出二元一次方程组，解方程组

即可.

【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人,

2x+3y=60

依题意得:

x+y=26

x=18

解得:

y=8

即1艘大船可以满载游客的人数为18人,

故答案为：18人.

15.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的

工作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的圆，如图2.已知圆心。在水面上方，且

。。被水面截得的弦45长为6米，。。半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦/夕所在

直线的距离是米.

【答案】（4-V7）

【分析】连接OC交AB于。，连接OA,根据垂径定理得到=根据勾股定理求出OD,结合图

形计算，得到答案.

【详解】解：连接。C交于。，连接。4,

・・•点C为运行轨道的最低点,

/.OCLAB,

AD=-AB=3（米），

2

在RtAOAD中，OD=yJoA'-AD2=742-32=V7（米），

•••点C到弦AB所在直线的距离CD=OC-0。=（4-近）米,

故答案为：（4-V7）.

02

16.如图，射线4Am都与线段A8垂直，点£在4加上，过点4作8E的垂线AC,分别交BE,BN于

ED

点尺C,过点。作。。，4"于点〃若。=。/，则/=

AD

【答案】-5

2

【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定、直角三角形的性质、相似三角形的性质等知识点，求得

AF,PC的比例关系是解答此题的关键.设AP=a,FC=b,再说明AO〃3C,易得△AEFs/^CBF,

那么AE：BC=AF：FC,因此只需求得ARFC的比例关系即可.再证明□AF84ABC,继而可得

AB2=AFAC,联立CO=CF=A3,求得AP、PC的比例关系即可解答.

【详解】解：设AF=a，FC=b；

•：AM1AB,BN1AB,

：.AD//BC；

Z\AEFs/\CBF；

AE：BC=AF：FC=a：b；

在RtzXABC中，BF1AC,

：.ZABC=ZAFB=90°,

XVZBAC=ZFAB,

：.UAFB^QABC,

.AF_AB

•・法一花‘

.・.AB2=AFAC=a（a+b）；

9：AM±AB,BN1AB,CDLAM,

・・・四边形A5CO是矩形，

・・・CD=AB=CF=b；

・，・=〃（〃+。），即〃2+〃。—人2=0,

PY£-I,解得二L或（舍去）；

\b）+b=0b2b2

.DEAD-AE,AEAEa,75-13-6

•・---=-------------=1--------=A1--------=1A-----=1-----------=---------

ADADADBCb22

故答案为：三5.

2

三、解答题：本题共8小题，共66分。其中：第17-19题6分，第20-21题8分,

第22-23题10分，第24题12分。

2x-l<x+l®

17.(1)解不等式组:

l-2x<3②

【答案】(1)—1<XV2,(2)x=—.

2

【分析】(1)分别求出不等式组中两个不等式的解集，即可得出不等式组的解集；

(2)方程两边同时乘以2(x-l),把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的

解；

本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，掌握解一元一次不等式组和解分式方程的一般步骤是解题

的关键.

【详解】解：(1)解不等式①得，尤42,

解不等式②得，x>-l,

不等式组的解集为T<x42；

(2)—=^—+1,

x-12%-2

方程两边同时乘以2(x-l)得，2=3+2(尤-1),

解得x=g,

当x=g时，2(x—l)==_1w0,

原分式方程的解为x=g.

18.已知，如图，%和△£缪都是等腰直角三角形，/4户/戊炉90°,〃为边上一点.

(1)求证：BD^AE.

(2)若线段/氏5,Z庐17,求线段成的长.

B

【答案】（1）见解析；（2）线段的长为13.

【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，证明但△况〃即可解答；

（2）由4氏5,/定17,求得盼17-5=12,由（1）可知磔丝△比〃结合△/欧是等腰直角三角形，得

到N协作N庐45°,4后盼12,进而N切氏90°,根据勾股定理即可解答.

【详解】解：⑴・・・△/9和△9都是等腰直角三角形，

：.AOBC,C2CE,

・.・//叱/〃叱90°,

ZACE+ZACD^ZBCIKZACD,

:./AC序/BCD,

在和△况Z?中，

AC=BC

<ZACE=/BCD,

CE=CD

:.MAC恒XBCD（SAS'）,

（2）•・•/氏5,43=17,

.*.^9=17-5=12,

由（1）得/后盼12,

YXAC恒XBCD,△/阿是等腰直角三角形，

：.ZEAC=ZB=ZBAC=45°,

・.•N胡庐90

■■^^AE2+AD2=V122+52=13.

19.某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优

秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A,B,C,，表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统

计图.

书写能力等级测试条形统计图

请根据统计图中的信息解答以下问题;

(1)本次抽取的学生共有人,扇形统计图中/所对应扇形的圆心角是°,

并把条形统计图补充完整；

(2)依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，

则抽取的这部分学生书写成绩的众数是分，中位数是分，平均数是分；

(3)若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有人：

(4)力等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的

“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率.

【答案】(1)40；36；见解析

(2)70；70；66.5

(3)280

(4)《

【分析】(1)由c等级人数及其所占百分比可得总人数，用360。乘以/等级人数所占比例即可得;

(2)由中位数，众数，平均数的定义结合数据求解即可；

(3)利用总人数乘以样本中4等级人数所占比例即可得；

(4)列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概

率.

【详解】(1)本次抽取的学生人数是16+40%=40(人)，

4

扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是360。、左=36°,

40

故答案为40人、36。；

8等级人数为40-(4+16+14)=6(人)，

补全条形图如下：

书写能力等级测试条形统计图

(2)由条形统计图可知众数为：70

由A、B、C的人数相加得：4+6+16=26>20,所以中位数为：70

4x90+6x80+16x70+14x50…

平均数为:--------------------------=66.5

40

4

(3)等级达到优秀的人数大约有28。。、布=28。(人)；

(4)画树状图为:

开始

•••共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，

•••被选中的2人恰好是1男1女的概率为;.

20.如图1,是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成.图2是其侧面结构示意图，

量得托板长A3=17cm,支撑板长CD=16cm,底座长OE=14cm,

托板46连接在支撑板顶端点C处，且CB=7cm,托板A8可绕点C转动，支撑板CO可绕〃点转动.

如图2,若NOCB=70°,ZCDE=60°.（参考数值sin40°20.64,cos40°»0.77,tan40°«0.84,

庠1.73）

图2

⑴求点C到直线DE的距离（精确到0.1cm）；

⑵求点A到直线DE的距离（精确到0.1cm）.

【答案】（1）点C到直线DE的距离约为13.8cm

（2）点A到直线DE的距离约为21.5cm

CN

【分析】（1）如图2,过点。作CN_LOE,垂足为“然后根据三角函数可得sinNC£W=（B，

即CN=CDsinNCDN,最后将已知条件代入即可解答；

（2）如图2,过/作AMLDE,交。E的延长线于点瓶过点。作CPJLAM,垂足为尸,

再说明RtdACP中，ZAFC=90°,NA=40°,AC=10cm,

然后根据三角函数和线段的和差即可解答.

【详解】(1)解：如图2,过点。作CNJ_OE,垂足为“

由题意可知，CD=16cm,ZCDE=60°,

CN

在RtACDN中,sinZCDN=—,

/•CN=CZ>sin/CDN=16x—=873=13.8cm.

2

答：点。到直线。E的距离约为13.8cm.

(2)解：如图3,过/作交DE的延长线于点例过点「作。尸，AM,垂足为广,

图3

CN=FM,CN//FM

在RtDACF中，ZAFC=90°,ZA=ZBCN=70°-30°=40°,AC=AB-BC=17—7=10cm,

:.AF=AC-cos40°«10x0.77®7.7cm,

・・・AM=AF+FM=7.7+13.8=21.5cm.

答：点/到直线DE的距离约为21.5cm.

21.某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，

并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子.

已知该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件,

每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：

批发价（元）零售价（元）

红色文化衫2545

蓝色文化衫2035

（1）学校购进红、蓝文化衫各几件？

（2）若学校再次购进红、蓝两种颜色的文化衫300件，其中红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数量的2

倍，请设计一个方案：学校购进红色文化衫多少件时获得最大利润，最大利润是多少？

解：（1）设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件，

x+y=220

依题意，得:

25x+20y=4800

x=80

解得,

y=140'

答：学校购进红文化衫80件，蓝文化衫140件.

（2）解：设学校再次购进红文化衫。件，蓝文化衫（300-〃）件,

则利润为w=（45-25）a+（35-20）（300-a）,

w=5a+4500,

由题意得aW2x（3。。-a）,

解得aV200,

V5>0,0<a<200,

w随a的增大而增大,

...当a=200时，最大利润w=5500元，

，学校购进红色文化衫200件时获得最大利润，最大利润是5500元.

22.某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的.其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙

体OA上，另一端固定在墙体8c上，其横截面有2根支架OE,FG,相关数据如图1所示，其中支架

DE=BC,OF=DF=BD,这个大棚用了400根支架.

为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示,

调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米(接口忽略不计)，需要增加经费32000元.

(1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系.

①求出改造前的函数解析式.

②当CC=1米，求GG'的长度.

(2)只考虑经费情况下，求出CC的最大值.

17

【答案】⑴①>=-高/+x+l；②彳米

(2)1.6米

【分析】(1)①设改造前的函数解析式为丁="2+次+C,根据所建立的平面直角坐标系得到4(0,1),

£(4,3.4),C(6,3.4),然后代入解析式得到关于a、b、c的方程组，求解即可；

②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到C\£'的坐标即可得到结论;

（2）根据已知条件表示出G'、E’的坐标得到。的不等式，进而得到CC'的最大值.

【详解】（1）解：①如图，以。为原点，分别以。8和04所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直

角坐标系，

由题意可知:A（0」）,£（4,3.4）,C（6,3.4）,

设改造前的抛物线解析式为y=or2+bx+c,

C=1

\6a+4b+c=3.4,

36a+6b+c=3A

1

a=---

10

解得：b=l

C=1

.•・改造前的抛物线的函数表达式为y=~x2+x+l；

②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系，

由①知改造前抛物线的解析式为y=-J:尤2+x+l,

2

设改造后抛物线解析式为：y2=cx+dx+l,

•.•调整后C与E上升相同的高度，且CC，=1,

对称轴为直线x=5,则有-，=5,

当x=6时，y-4.4,

36c+6d+1=4.4,

.17717

・・c=-------,d——,

12012

1717

・・・改造后抛物线解析式为：为=-而尤+1,

当％=2时，

113

改造前：％=--x22+2+l=y,

-17。217cl49

：必=----x2Hx2+l=—,

%1201215

・・・GG,=%—必49=1卷3?一（米），

・・・GG的长度为1米；

（2）如（2）题图，设改造后抛物线解析式为y=+

•当尤=2时，y="X2?-10QX2+1=—16〃+1,

当％=4时，y=〃x42-10〃x4+l=-24a+1,

・・.G'（2,-+E'（4,—24。+1）,

EE'+GG'=-24a+l-16a+l-^3A+^=-40a-4,

由题意可列不等式：（-40a-4）x200x60432000,

解得：a>-^~,

6

・・•CC'=E£'=—24〃+l—3.4,

要使最大，需4最小，

.•・当〃=-二时，CC的值最大，最大值为1.6米.

6

23.综合与实践

【问题情境】

如图1,小华将矩形纸片ABC。先沿对角线3。折叠，展开后再折叠，使点刀落在对角线3。上，点6的

对应点记为3',折痕与边AZ>,分别交于点£,F.

【活动猜想】

(1)如图2,当点3'与点〃重合时，四边形甲是哪种特殊的四边形？并给予证明.

【问题解决】

(2)如图1,当A3=4,AD=8,8尸=3时，连接5'C,则3'C的长为.

【深入探究】

(3)如图3,请直接写出与满足什么关系时，始终有48,与对角线AC平行？

【答案】(1)当点3'与点。重合时，四边形不是菱形，证明见解析；(2)4；(3)当=时,

始终有4"与对角线AC平行

【解析】

【分析】(1)由折叠可得：EFLBD,OB=OD,再证得之△Z)EO(ASA),可得OE=OF,利用

菱形的判定定理即可得出答案;

(2)设EF与BD交于点、M,过点3'作B'KLBC于K,利用勾股定理可得3。=4«，再证明

ABFMsABDC,可求得3/=迪，进而可得89=上叵，再由△BB&sZXBDC,可求得3'K=U,

555

BK=—,CK=BC-BK=8-^-=^-,运用勾股定理可得=4;

555

(3)设NOA8=NOR4=a,贝i]NOBC=90°—a,利用折叠的性质和平行线性质可得：

ZAB'B=ZAOB=a,再运用三角形内角和定理即可求得&=60。，利用解直角三角形即可求得答案.

【详解】解：(1)当点3,与点。重合时，四边形BEI甲是菱形，证明如下：

设EF与BD交于点O,如图，

由折叠得：EF1BD,OB=OD,

ZBOF=ZDOE=90°,

•••四边形ABC。是矩形，

.-.AD//BC,

ZOBF=NODE,

.-.□BFO^DDEO(AAS),

OE=OF,

，四边形3皮甲是菱形.

(2)•四边形48CD是矩形，AB=4,AD=8,BF=3,

BC=AD=8,CD=AB=4,ZBCD=90°,

:.CF=BC-BF=8-3=5,BD=^BC-+CD~=A/82+42=4A/5-

如图，设石尸与5。交于点M,过点5'作B'KLBC于K,

由折叠得：NA'B'F=NABF=NBMF=NB'MF=90°,B'F=BF=3,BB'=2BM,

NBMF=NBCD,

ZFBM=ZDBC,

ABFMs^BDC,

BMBFBM3

‘正=拓’即Bn丁=而’

-,BM=—,

5

；,BBZ,

5

ZBKB'=/BCD,NB'BK=NDBC,

•••ABB'K^ABDC,

1275

B'KBKBB'

——,即B'KBK

CDBCBD

48

，所考，BK*

:.CK=BC-BK=8--=—

55

B'C=^B'K~+CK2=

（3）当=时，始终有4方与对角线AC平行.

理由：如图，设AC、BD交于点O,

D

BFL

♦.•四边形ABC。是矩形，

OA=OB,NOBA+ZOBC=90°,

NOAB=ZOBA,

设NOAB=ZOBA=a,则AOBC=90°-e,

由折叠得：ZA'B'F=ZABC=90°,B'F=BF,

NBB'F+ZA'B'B=90°,NBB'F=ZOBC=90°-a,

:.ZAB'B=ZOBA=a,

•••A'B//AC,

ZAB'B=ZAOB=a,

NOAB+ZOBA+NAOB=180°,

a+a+a=180°,即3a=180。，

/.a=60°,

ABAC=60°,

or'1

/.----=tanABAC=tan60°=V3,

AB

BC=6AB;

・••当=