辽宁省辽阳市2024届高三年级下册二模考试数学试卷(含答案)

辽宁省辽阳市2024届高三下学期二模考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.已知集合4={削了2—3x—4K0},B=\xy=x^\,则AB=()

A.[0,4]B.(0,l]C.(0,4]D.[0,l]

2.已知复数z满足z2=—l,则|Z2+2Z|=()

A.lB.A/3C.A/5D.3

3.已知a,/3是两个平面，m,〃是两条直线，且mua,nuf3,贝I

“77ZJ_〃"是"“2_L〃”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.设函数/(x)=x+」一的图像与x轴相交于点尸，则该曲线在点尸处的切线方程为

x+2

()

A.y=—xB.y=-x-lC.y=x-lD.y=0

5.某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个

新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的

插法种数为()

A.12B.18C.20D.60

6.由动点尸向圆M:(x+2)2+(y+3)2=l引两条切线以PB,切点分别为A,B,若

四边形AP3M为正方形，则动点尸的轨迹方程为()

A.(x+2)2+(y+3)2=4B.(x+2)2+(y+3)2=2

C.(x-2)2+(y-3)2=4D.(x-2>+(y—3)2=2

22

7.已知。为坐标原点，K，B分别是双曲线C：三-斗=1(。〉0力〉0)的左、右焦

ab

点，尸是取曲线C上一点，若直线尸耳和OP的倾斜角分别为e和2a,且tana=±,

4

则双曲线。的离心率为()

A.5B.V3C.2D.1

8.对任意两个非零的平面向量。和8,定义：a㊉人a)?；a»=里±.若平

\a\^+\b\-\b\-

面向量a,8满足|a|>|〃|>0,且Q㊉。和aA都在集合|亨〃eZ,0<〃<4］中，贝U

a㊉b+ab=()

357

A.lB.-C.l或—D.l或—

244

二、多项选择题

9.已知函数/(x)=Msin(0r+")(7>0,口>0,0<0<兀)的部分图像如图所示，A,B为

/(%)的图像与x轴的交点，C为于(X)图像上的最高点，△ABC是边长为1的等边三角

形，|OB|=2|Q4|,贝女）

A.于⑼当

B.直线x=上是/(x)图像的一条对称轴

6

C.f(x)的单调递增区间为|+2也,：+2也］(左eZ)

D.f(x)的单调递减区间为+24,：+21(左eZ)

10.设抛物线石：炉=2/5〉0)的焦点为R过点P(0,3)的直线与抛物线E相交于点

A,B,与无轴相交于点C,|AE|=2,|5E|=1O,则()

A.p的值为2

B.E的准线方程为y=-2

C.|AB1=472

D.Z\BFC的面积与AAFC的面积之比为9

11.已知函数/(x)的定义域为R,其导函数为r(x),若函数/(2x-3)的图像关于点

(2,1)对称，/(2+x)—/(2—x)=4x,且/(0)=0,贝1)()

A./(x)的图像关于点(1,1)对称

B"(x+4)=/(x)

C./'(1026)=2

50

Df/a)=2499

Z=1

三、双空题

12.已知〃〉0,函数二是奇函数，贝1］。=_______,b=_________.

2X

13.正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系.在如图所示

的五角星中，以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形，设/C4D=i,则

cosa+cos2a+cos3a+cos4a-,cosacos2crcos3。cos4a=.

四、填空题

14.在长方体45CD—AgGR中，AB=5,AD=3,AA=4,平面a〃平面

A{ABBX,则a截四面体AC£>4所得截面面积的最大值为.

五、解答题

15.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，设平面心。与平面P3C相交于直线/.

(1)证明：1//AD.

(2)若平面平面ABCD,PA=PB=6AB=2,求直线PC与平面心。所

成角的正弦值.

16.已知正项数列｛g｝的前〃项和为5,，«2=3,且西二=后+点.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)若b“=一j求数列｛%｝的前〃项和小

aa

n„+l

17.假设某同学每次投篮命中的概率均为

2

(1)若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率.

(2)该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投〃(〃eN+，«<33)个球，若这〃

个球都投进，则训练结束，否则额外再投100-3八个.试问”为何值时，该同学投篮次

数的期望值最大？

18.已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过M(2,0),N)-白;

两点.

(1)求C的方程.

(2)43是C上两个动点，。为C的上顶点，是否存在以。为顶点，为底边的

等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由.

19.定义：若函数/(x)图象上恰好存在相异的两点P,。满足曲线y=/(x)在P和。

处的切线重合，则称P,Q为曲线y=/(x)的“双重切点”，直线PQ为曲线y=/(x)

的“双重切线”.

(1)直线y=x-g是否为曲线/(x)=gx2—2x+21nx的“双重切线”，请说明理由；

ex+1,x<0,

(2)已知函数g(x)=4求曲线y=g(x)的“双重切线”的方程；

6—,%>0,

(3)已知函数/z(x)=cosx,直线PQ为曲线y=/z(x)的“双重切线”，记直线PQ的

k15

斜率所有可能的取值为L，k2，…，幻,若尢>左2>左(，=3,4,5,,〃)，证明：—.

上28

参考答案

1.答案：A

解析：A={%|X2-3X-4<0}=[-1,4],3={工'=/}=[0,+OO),则AB=[0,4].

2.答案：C

解析：由z?=—1,得z=±i,所以-+2z|=|—l±2i|=

3.答案：B

解析：设。/3=/,当机〃/,〃_!_/时，m±n,此时机与0不垂直.若加_1_尸，贝>]

加_1_〃一定成立.故“加_1_是"m1(3"的必要不充分条件.

4.答案：D

解析：令/(x)=0,解得％=—1,即点P(-1,0).又八龙)=1——二，所以/'(—1)=0.

(x+2)2

故该曲线在点P处的切线方程为y=0.

5.答案：C

解析：先插入第一个新节目，有4种情况，再将第二个新节目插入，有5种情况，故

不同的插入种数为4x5=20.

6.答案：B

解析：因为四边形为正方形，所以|PM|=0.设尸(x,y),则

|PM|=J(x+2)2+(y+3)2=及，即(x+2)2+(y+3)2=2.

7.答案：A

解析：由题可知|。尸|=|。4|=|。闾，所以助8.因为tana=所以sina=£,

4

COS£Z=1,则双曲线C的离心率为

CJc二国无I111_5

ala||PFX|-|PF21|IPF1\PF2cosa-sina4_3

55

I丽一丽

8.答案：C

解析：=设向量a和方的夹角为，，,则

…abI«IIcoscos。

a07h—-------------=---------------~------------

2222

\a\+\b\|«|+|/>|-l«--l1--1-^1,

IMl«l

因为|a|>|例>0,所以粤+与e(2,+s),所以a㊉…学,所以

\b\\a\|a|,2

1,,alf|a|\b\}(1J一右ab\a\〃1

。㊉办二一,故cos6=­―-d---e—,1,ab=——y=——cos3>—.

44(出|\a\)12」防『叫2

当喘cos8=：时，|a|cos9=jw，又：潦=：,所以|幻=拒|。|,符合题

局、，

当口cos6=l时，|a|cos9=|5|,又I"",。一,=j_,所以|4|=百|。|,符合题意.

网\a\-+\b\-4

所以a㊉B+a6=1或2.

4

9.答案：BD

解析：/(x)的最小正周期为2,所以幺=2,即。=兀，又M力,所以

G)2

百

/(x)=^-sin(7ix+").

因为|O3|=2|OA|,所以A[T，O],«|,O}则g+夕、，即9=孑所

以了(%)=避^11[口+乌],/(0)=-,直线x="是/(x)图像的一条对称轴，/(x)的

213J46

单调递增区间为1-1+24,：+2左1(AeZ),单调递减区间为1：+24,：+2左卜eZ).故选

BD.

10.答案：AD

解析：设直线A3的方程为y=Ax+3,5伍，%)，联立iUj'可得

22

x2-2pkx-6p=0,所以为+%2=22左，％入2=—6〃，故%%==9.

』4P

因为|A/q=2,|5E|=1O,所以％=2—g,%=10—T，则2"Xio"=9,解

2

得p=2或p=22.因为2-言〉0,所以p=2,则E的准线方程为y=-l.又%=1,

%=9,不妨取A(—2,1),3(6,9),所以|AB|=A/82+82=8&,互处=匹1=匹=9.

IACI%

故选AD.

11.答案：ACD

解析：由/(2x-3)的图像关于点(2,1)对称,得/(2%-3)+/(2(4-x)-3)=2,即

/(2x-3)+/(5-2x)=2,所以/(%)的图像关于点(1,1)对称，A正确.

由/(2+x)—/(2—x)=4x,可得/(2+x)—2(2+无)=/(2—无)一2(2—左).令

g(x)=/(x)-2x，则/(x)=g(x)+2x，g(2+X)=g(2-x)，所以g(x)的图像关于直线

x=2对称.由/(%)的图像关于点(1,1)对称，可得g(x)+2x+g(2—x)+2(2—%)=2,即

g(x)+g(2—x)=—2,所以g(x)的图像关于点(1,-1)对称，所以g(x)的周期为4,即

g(x+4)=g(x),则/(尤+4)—2(x+4)=/(无)一2%,所以/(x+4)=/(x)+8,B错误.

由/(2+x)—/(2—x)=4x,可得/(2+%)+/(2—x)=4,所以r(2)=2.由

/(x+4)=/(%)+8,可得八左+4)=小)，所以/"026)=尸(2)=2,C正确.

由g(x)=/(x)—2x,/(0)=0,可得/(x)=g(x)+2x，g(0)=。，g⑴=一1,

g(2)=-2，g⑶=-1，所以

fya)=£ga)+£&=g6+g(2)+12x(0-l—2-l)+Q+“X32499,D正确.故

?=1i=li=l2

选ACD.

12.答案：-1；1

4枚-1

解析：由/(0)=。+1=0,解得a=—1,所以/(X)=—^=2(2—2T,所以

2

2Z?-1=1,解得6=1.

13.答案：0；—

16

解析：由题可知a=],则

JI2兀3兀4兀

cosa+cos2a+cos3a+cos4a=cos—+COS---FCOS---FCOS——

5555

712兀(2KA(7tA712兀2K71

=cos—+COS——+COS71----+COS71——=cos—+cos-----cos----cos—=0,

555JI5j5555

.2兀2TI[8TI]4兀

八c,sin——cos——-cos——cos——

c2A兀2兀3兀4兀55(5J5

cosacos2。cos3acos4a=cos—cos—cos——cos—=---------------------------

55552sif

5

.4兀4兀8兀.8兀8兀.16兀.兀

-sin——cos——cos——-sin——cos——-sin---sin—.

=555=55=5=5=J_.

..71c•兀兀兀16

4sin—8sin—Iosin—Iosin—

5555

14.答案：10

解析：平面a截四面体ACD］用的截面如图所示.

设空=丸，则亚=%=坦=里=彳，所以四边形NSRM为平行四边形，且

BGTWTUVUVW

MR//UW,MN//TV.

在矩形UVWT中，C/V=4,W=5,TM=5A,MU=5(1-A),TR=4A,

RW=4(1—4),

则

20-20[22+(1-2)2]>20-20X1=10,

口平行四边形NSRM一口平行四边形VW77乙。△NVS

当且仅当X时’等号成立.

15.答案：（1）证明见解析

(2)

15

解析：（1）证明：因为AD〃BC,A£＞仁平面PBC,BCu平面PBC,

因为平面心。与平面P3C相交于/,所以〃/AD.

(2)如图，取线段A3的中点。，连接PQ

因为上4=PB,所以/>0，M.又平面八姐，平面43。。，平面PA8平面

ABCD=AB,尸Ou平面RIB,所以PO,平面ABCD

取线段CD的中点拉，连接。M.以Q4,OM,OP的方向分别为x,y,z轴的正方

向，建立空间直角坐标系.依题意，A(1,O,O),D(l,2,0),P(0,0,2),C(-l,2,0),

则A。=(0,2,0),AP=(-1,0,2),PC=(-1,2,-2).

M.AD——2y——0

设平面心。的法向量为〃=(x,y,z),则<-可取〃=(2,0,1).

MAP=-X+2Z=0,

设直线PC与平面心。所成的角为，，则sin6=|cos〈PC,〃〉|==-=述，

V5x315

即直线PC与平面PAD所成角的正弦值为誓.

16、

(1)答案：=2/7-1

解析：当〃=1时，，则j3+q=,解得q=l,所以

6二=后+1,即数列卜用｝是以1为首项，1为公差的等差数列，则

22

=1+(w—1)x1=7t,即S”=7/.当〃》2时，an=Sn-=n-(zz-1)=2n-l,又

%=1满足4=2〃-1,所以｛4｝的通项公式为&=2〃-1.

(2)答案：n+^—

2n+l

珈.匚，4S“4«24n21If11)

解析：b=----=------------=—；—=1H---；—=1+--------------,

22

anan+1(2“—1)(2〃+1)4R-14n-12(2"—12n+l)

/11111112nn

所以］=〃-l—1---1-----FH------------\=n-\—x-----=n-\------.

〃213352n-l2n+l)22〃+l2〃+l

17.答案：(1)-

8

(2)n=5

i13

解析：(1)依题意，该同学投篮4次，恰好投中2次的概率，=(2；(42(1—马2=9.

228

(2)设该同学投篮的次数为X,则X的可能值为期〃+100-3〃=100-2〃，neN+,

n<339

于是P(x=")=/，P(X=100-2")=1-5，

数学期望石(X)="+(100-2").(1-5)=加彳"-2〃+100,

令/5)=3"；：0°—2"+100,neN+,则/(〃+1)—2〃+98，

2

于(n+1)-以n)=1。3-3：-2"+-,显然数列｛103_3n_2-｝是递减的，

2

当时，103—3"—2"2>0,/(«+1)>/(«),当时，103—3"—2"?<0,

/(??+1)</(«),

即有J(l)<J(2)<J(3)<J(4)<J(5)>J(6)>)(7)>…,因此45)最大,

所以当〃=5时，该同学投篮次数的期望值最大.

元2

18.答案：(1)—+/=1

4'

(2)存在，3个

解析：(1)由题设椭圆C的方程为7加+舒2=1Cm>Q,n>0,mwn),

因为椭圆过〃(2,0),N1,-孝两点，

4m=1

102

所以3，得至「"=上，〃=1，所以椭圆C的方程为［r+>2=1.

m+—n=144

I4

(2)由(1)知。(0,1),易知直线DA,的斜率均存在且不为0,

不妨设左小=左(左>。)，kDB=--,直线ZM为y=fcr+l,直线。8为y=-,犬+1,

kk

由椭圆的对称性知，当左=1时，显然有|力川=|。/，满足题意,

y=kx+\

当上2¥1时,由＜%2消y得到己+k2）x~+2kx=Q,

8k8左21-4PHn“8k1—442

所以乙=-y=------+1=----y，即4------彳,------T）,

1+4左2AA1+4421+4421+4左21+442,

8k,2_4

同理可得3(-

左2+4’左2+4

-2—41—4左2

（左2—4）（1+4左2）（左2+4）（1—4左2）左21

所以如:晨产

8左（1+4左2+左2+4）5k

k2+4+l+4k2

8k8k

设AB中点坐标为（为,%）,则%=，

1-4左242—4

=]+432+、2+4=_15,2

%—2一（42+4）（1+442）'

I，,、工口AL15k~5k12k(k1—1)

所cr以AB中垂线万程为"叶例+4增=一时。一僚+4)0)'

要使AADB为A3为底边的等腰直角三角形，则直AB中垂线方程过点(0,1),

所以1+正寄F=—含6小高),整理得到

令t=k?,则/一7r+l=0,A=49-4>0,

所以。有两未艮%,G,且4+/2=7>0,了2=1>。，即产一7r+l=o有两个正未艮，

故有2个不同的42值，满足左J7左2+1=0,

所以由椭圆的对称性知，当左2/1时，还存在2个符合题意的三角形，

综上所述，存在以。为顶点，为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个

数有3个.

Lf—2x+21nx的“双重切线”

2

(2)y-x+2

(3)证明见解析

12

解析：(1)/(x)=-x2-2x+21nx,定义域为(0,+8),所以/(%)=%—2+—・令

2x

/'(x)=x—2+2=1,解得X=1或％=2.不妨设切点P0,3

,Q(2,21n2—2),

35

则在点P处的切线方程为y+；=x-1,即y=x-|,在点。处的切线方程为

y-21n2+2=x-2,即y=x+21n2-4,所以直线y=x-g不是曲线

/(x)=；x2-2x+21nx的“双重切线”.

eA+1,x<0,e'WO,

(2)g(x)=<4所以g'(%)=<4易知y=e，+i在(-oo,0]上与y=二在

6—,%>0,—，尤>0,%

xIX

，

(0,+oo)上均为单调函数.设切点。(和%)，Q(x2,y2),且药＜0＜々，/'(%1)=/(x2),

4

则在点P处的切线方程为y-e»i=e-v'+1(%-^),所以＜消去马可得