2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题基础作业 第10节中位线与多边形内外角和（含答案）

第10讲中位线与多边形内外角和（学生版）目标层级图课前检测1．若在n边形内部任意取一点P，将点P与各顶点连接起来，可以把n边形分成n个三角形，利用这个事实，可以探索到n边形的内角和为（）A．180°×n B．180°×n﹣180° C．180°×n+180° D．180°×n﹣360°2．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（）A．4，3 B．3，3 C．3，4 D．4，43．若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（）A．n＝6 B．n＝7 C．n＝8 D．n＝94．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形从一个顶点出发的对角线的条数为（）A．4 B．5 C．6 D．85．在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD且AC＝4，BD＝8，E、F分别是边AB、CD的中点，则EF＝．课中讲解三角形的中位线三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，∵点、分别是的中点

∴,．例1．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，已知DE＝3，则BC的长为（）A．3 B．4 C．6 D．5过关检测1．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的中点，若DE＝3，则AB等于（）A．4 B．5 C．5.5 D．6例2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，已知∠ADE＝65°，则∠CFE的度数为．过关检测1．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（）A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF例3．房梁的一部分如图所示，其中BC⊥AC，∠A＝30°，AB＝8m，点D是AB的中点，且DE⊥AC，垂足为E，则DE的长为m．过关检测1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3

例4．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝10，则EF的长为（）A．8 B．10 C．5 D．4过关检测1．如图，在△ABC中，M为BC中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN于N，且AB＝10，AC＝16，则MN等于（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5例5．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC＝12，F是DE上一点，连接AF、CF，DE＝3DF，若∠AFC＝90°，则AC的长度为（）

A．4 B．5 C．8 D．10过关检测1．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为．例6．如图，▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AE⊥BC于E，F为边CD上一动点，连接AF、EF，点G，H分别为AF、EF的中点，则GH的长为．过关检测1．如图，在等边△ABC中，BC＝4，D，E分别是AB，AC的中点，EF⊥BC于点F，连接DF．则DF等于（）

A．2 B．3 C． D．2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（）A．10 B．8 C．6 D．5

例7．如图：在△ABC中，点E，F分别是BA，BC边的中点，过点A作AD∥BC交FE的延长线于点D，连接DB，DC．（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；（2）若∠BDC＝90°，求证：CD平分∠ACB；（3）在（2）的条件下，若BD＝DC＝6，求AB的长．过关检测1．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至R，使EF＝DE，连接BF．（1）求证：四边形ABFD是平行四边形；（2）求证：BF＝DC．

二、多边形的内角和定理及应用1．对角线（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（2）n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n-3）／2（n≥3，且n为整数）（3）对多边形对角线条数公：n（n-3）／2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n-3）条．共有n个顶点，应为n（n-3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．2．内角和（1）多边形内角和定理：（n-2）•180（n≥3）且n为整数）

此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n-3）条对角线，将n边形分割为（n-2）个三角形，这（n-2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．例1．从一个边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其他顶点可以把这个边形分割成三角形个数是A．3个 B．个 C．5个 D．个过关检测1．从九边形的一个顶点出发，可以引出条对角线，它们将九边形分成个三角形．2．从一个多边形的某个顶点出发，分别连结这个点与其余各顶点，把这个多边形分割成10个三角形，这是边形．例2．已知一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为A．4 B．6 C．8 D．10过关检测1．若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为A．6 B．7 C．8 D．9例3．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的内角和为A． B． C． D． 过关检测1．一个五边形有三个内角是直角，另两个内角都等于，则的值是A． B． C． D．2．某数学学习小组发现：通过连多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有3条，那么该多边形的内角和是度．三、多边形的外角和多边形的外角和等于360度．

①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．

②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和=180°n-（n-2）•180°=360°．例1．一个多边形的边数由原来的3增加到时，且为正整数），它的外角和A．增加 B．减小 C．增加 D．没有改变过关检测1．如图，，，，是五边形的外角，且，的度数是A． B． C． D．例2．若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为A． B． C． D．过关检测1．已知一个正多边形的每个外角都等于，则这个正多边形是A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形2．用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形．图中，度．学习任务1．下列说法中，①三角形的内角中最多有一个钝角；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；③从边形的一个顶点可以引条对角线，把边形分成个三角形，因此，边形的内角和是；④六边形的对角线有7条，正确的个数有A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．如图，在中，，，、、分别为、和边上的中点，则四边形的周长是A．10 B．12 C．14 D．163．如图，在中，，分别是，的中点，是线段上一点，连接，，若，，，则的长为．4．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点．是边中点，长等于3，则长为．第10讲中位线与多边形内外角和（解析版）目标层级图课前检测1．若在n边形内部任意取一点P，将点P与各顶点连接起来，可以把n边形分成n个三角形，利用这个事实，可以探索到n边形的内角和为（）A．180°×n B．180°×n﹣180° C．180°×n+180° D．180°×n﹣360°【分析】多边形内一点，可与多边形顶点连接n条线段，构造出n个三角形，进而得出n边形的内角和公式．【解答】解：若将n边形内部任意取一点P，将P与各顶点连接起来，则可将多边形分割成n个三角形；可得n边形的内角和为180°×n﹣360°，故选：D．【点评】本题主要考查了n边形的内角和定理的推导，体现了数学中的化归思想．2．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（）A．4，3 B．3，3 C．3，4 D．4，4【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n﹣3，分成的三角形数是n﹣2．【解答】解：对角线的数量m＝6﹣3＝3条；分成的三角形的数量为n＝6﹣2＝4个．故选：C．【点评】本题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n﹣3，分成的三角形数是n﹣2．3．若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（）A．n＝6 B．n＝7 C．n＝8 D．n＝9【分析】根据n边形的内角和等于外角和的3倍，可得方程180（n﹣2）＝360×3，再解方程即可．【解答】解：由题意得：180（n﹣2）＝360×3，解得：n＝8，故选：C．【点评】此题主要考查了多边形内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．4．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形从一个顶点出发的对角线的条数为（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】先根据多边形外角和为360°且各外角相等求得边数，再根据多边形对角线条数的计算公式计算可得．【解答】解：根据题意，此正多边形的边数为360°÷45°＝8，则该正多边形从一个顶点出发的对角线的条数为：8﹣3＝5（条）．故选：B．【点评】主要考查了多边形的对角线，多边形的外角和定理，n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．二．填空题（共1小题）5．在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD且AC＝4，BD＝8，E、F分别是边AB、CD的中点，则EF＝2．【分析】取BC的中点G，连接EG、FG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EG、FG，并求出EG⊥FG，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：如图，取BC的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别是边AB、CD的中点，∴EG∥AC且EG＝AC＝×4＝2，FG∥BD且FG＝BD＝×8＝4，∵AC⊥BD，∴EG⊥FG，∴EF＝．故答案为：2【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理的应用，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．课中讲解三角形的中位线三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点

∴DE∥BC，DE=12BC例1．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，已知DE＝3，则BC的长为（）A．3 B．4 C．6 D．5【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点．∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE，∵DE＝3，∴BC＝2×3＝6．故选：C．过关检测1．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的中点，若DE＝3，则AB等于（）A．4 B．5 C．5.5 D．6【解答】解：∵点D为BC的中点，点E为AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE＝6．故选：D．例2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，已知∠ADE＝65°，则∠CFE的度数为．【解答】解：∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝65°，∵AE＝EC．CF＝BF，∴EF∥AB，∴∠CFE＝∠B＝65°，故答案为65°．过关检测1．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（）A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF【解答】解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DEAC．A、根据∠B＝∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．B、根据∠B＝∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．C、根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．D、根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．故选：B．例3．房梁的一部分如图所示，其中BC⊥AC，∠A＝30°，AB＝8m，点D是AB的中点，且DE⊥AC，垂足为E，则DE的长为m．【解答】解：∵D为AB的中点，AB＝8m，∴AD＝4m，∵DE⊥AC于点E，∠A＝30°，∴DE＝AD＝2m，故答案是：2．过关检测1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（）

A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC＝6．又∵DE垂直平分AC交AB于点E，∴DE∥BC，∴DE是△ACB的中位线，∴DE＝BC＝3．故选：D．例4如图。，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝10，则EF的长为（）A．8 B．10 C．5 D．4【解答】解：∵AD＝AC，AE⊥CD，∴CE＝ED，∵CE＝ED，CF＝FB，∴EF＝BD＝×10＝5，故选：C．过关检测1．如图，在△ABC中，M为BC中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN于N，且AB＝10，AC＝16，则MN等于（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【解答】解：延长线段BN，交AC于E．∵AN平分∠BAC，∴∠BAN＝∠EAN，AN＝AN，∠ANB＝∠ANE＝90°．∴△ABN≌△AEN．∴AE＝AB＝10，BN＝NE．又∵M是△ABC的边BC的中点，故MN＝EC＝（AC﹣AE）＝（16﹣10）＝3．故选：C．例5．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC＝12，F是DE上一点，连接AF、CF，DE＝3DF，若∠AFC＝90°，则AC的长度为（）

A．4 B．5 C．8 D．10【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝6，∵DE＝3DF，∴EF＝4，∵∠AFC＝90°，E是AC的中点，∴AC＝2EF＝8，故选：C．过关检测1．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF＝AB＝2.5，再利用三角形中位线定理可得DE＝4，进而可得答案．【解答】解：∵D为AB中点，∠AFB＝90°，AB＝5，∴DF＝AB＝2.5，∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，∴DE＝4，∴EF＝4﹣2.5＝1.5，故答案为：1.5例6．如图，▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AE⊥BC于E，F为边CD上一动点，连接AF、EF，点G，H分别为AF、EF的中点，则GH的长为．【解答】解：∵∠B＝60°，AB＝4，AE⊥BC于E，∴BE＝2，∴AE＝，∵点G，H分别为AF、EF的中点，∴GH＝，故答案为：．过关检测1．如图，在等边△ABC中，BC＝4，D，E分别是AB，AC的中点，EF⊥BC于点F，连接DF．则DF等于（）

A．2 B．3 C． D．2【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4， ∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE＝BC＝2，DE∥BC，∵EF⊥BC，∴DE⊥EF，∵∠EFC＝90°，EC＝2，∠C＝60°，∴EF＝EC•sin60°＝，在Rt△DEF中，∵∠DEF＝90°，∴DF＝＝＝，故选：C．2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（）A．10 B．8 C．6 D．5【解答】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．∵OD⊥BC，BC⊥AB，∴OD∥AB，又∵OC＝OA，∴CD＝DB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝AB＝3，∴DE＝2OD＝6．故选：C．例7．如图：在△ABC中，点E，F分别是BA，BC边的中点，过点A作AD∥BC交FE的延长线于点D，连接DB，DC．（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；（2）若∠BDC＝90°，求证：CD平分∠ACB；（3）在（2）的条件下，若BD＝DC＝6，求AB的长．【解答】（1）证明：∵点E，F分别是BA，BC边的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∴DF∥AC，又∵AD∥BC，∴四边形ADFC是平行四边形；（2）解：∵∠BDC＝90°，F是BC边的中点，∴DF＝BC＝CF，∴平行四边形ADFC为菱形，∴CD平分∠ACB；（3）解：∵BD＝CD＝6，∠BDC＝90°，∴△BDC为等腰直角三角形，∴BC＝BD＝6，∵F是BC边的中点，∴DF⊥BC，FC＝BC＝3，∵四边形ADFC是菱形，∴四边形ADFC为正方形，∴∠ACB＝90°，AC＝FC＝3，∴AB＝＝＝3．过关检测1．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至R，使EF＝DE，连接BF．（1）求证：四边形ABFD是平行四边形；（2）求证：BF＝DC．【解答】证明：（1）∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，AB＝2DE，AD＝CD∵EF＝DE∴DF＝2DE∴AB＝DF，且AB∥DF∴四边形ABFD是平行四边形；（2）∵四边形ABFD是平行四边形∴AD＝BF，且AD＝CD∴BF＝DC二、多边形的内角和定理及应用一．对角线（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（2）n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n-3）／2（n≥3，且n为整数）（3）对多边形对角线条数公：n（n-3）／2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n-3）条．共有n个顶点，应为n（n-3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．（4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．二、内角和（1）多边形内角和定理：（n-2）•180（n≥3）且n为整数）

此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n-3）条对角线，将n边形分割为（n-2）个三角形，这（n-2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．

例1．从一个边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其他顶点可以把这个边形分割成三角形个数是A．3个 B．个 C．5个 D．个【解答】解：从边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个边形分割成个三角形．故选：．过关检测1从九边形的一个顶点出发，可以引出条对角线，它们将九边形分成个三角形．【解答】解：从九边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的6个顶点引对角线，即能引出6条对角线，它们将九边形分成7个三角形．故答案为6，7．2从一个多边形的某个顶点出发，分别连结这个点与其余各顶点，把这个多边形分割成10个三角形，这是边形．【解答】解：由题意可知，，解得．所以这个多边形的边数为12．故答案为：12．例2．已知一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：设这个多边形的边数是，依题意得，，． 即这个多边形的边数是6．故选：．过关检测1．若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：设这个多边形的边数为，根据题意得：，解得：．故选：．例3．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的内角和为A． B． C． D． 【解答】解：，答：这个多边形的内角和为．故选：．过关检测1．一个五边形有三个内角是直角，另两个内角都等于，则的值是A． B． C． D．【解答】解：依题意有，解得．故选：．2．某数学学习小组发现：通过连多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有3条，那么该多边形的内角和是度．【解答】解：多边形的一个顶点出发的对角线共有条，，，内角和，故答案是：720．三、外角和多边形的外角和等于360度．

①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．

②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和=180°n-（n-2）•180°=360°．例1一个多边形的边数由原来的3增加到时，且为正整数），