重庆市2024届中考考前最后一卷数学试卷含解析

重庆市兼善中学2024学年中考考前最后一卷数学试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，

第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律.则第（6）个

2.“保护水资源，节约用水”应成为每个公民的自觉行为.下表是某个小区随机抽查到的10户家庭的月用水情况，则

下列关于这10户家庭的月用水量说法错误的是（）

月用水量（吨）4569

户数（户）3421

A.中位数是5吨B.众数是5吨C.极差是3吨D.平均数是5.3吨

3.运用乘法公式计算（4+x）（4-x）的结果是（）

A.x2-16B.16-x2C.16-8x+x2D.8-x2

4.-5的倒数是

11

A.-B.5c.——D.-5

55

2ax+by=3x-\

5.已知关于x,y的二元一次方程组《71的解为，则a-2b的值是（

ax-by=lJ=T

A.-2B.2C.3D.-3

6.下列计算，正确的是（）

A.a2»a2=2a2B.a2+a2-a4C.（-a2）2=a4D.（a+1）2=a2+l

7.已知等腰三角形的两边长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为（）

A.11B.16C.17D.16或17

8.要使式子互I有意义，x的取值范围是（

)

X

A.xrlB.x#0C.x>-1且#0D.x>-Ifix#0

9.如图的几何体是由五个小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是（）

ZZ7

"刍

正面

A.-------------------------B.——।——।——

cDRn।

10.如图，在矩形A3。中，AB=5,AD=3,动点P满足SAPAB=-S矩形A3C。，则点尸至UA、B两点距离之和PA+PB

的最小值为（）

A.V29B.V34C.572D.741

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN

与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45。，景点B的俯角为30。，此时C到地面

的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为一米（结果保留根号）.

12.已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为5甲2、si,贝！］SM_si（填“>”、“=”、

“V”)

13.已知实数a、b、c满足Ja+b+c++2005）3—6）+口。-2cl=0,则代数式ab+bc的值为.

14.如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，NA3O=90。，点A的坐标为（2,4）,将△A03绕点A逆时针旋转

90°,点。的对应点C恰好落在反比例函数的图象上，则兀的值为.

x

3b2

(1)(―)2=

a

16.如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=8,点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对

应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图，矩形ABC。中，点P是线段上一动点，。为5。的中点，PO的延长线交BC于。.

D

⑴求证：OP=OQ-

⑵若AD=8cm,AB=6cm,P从点A出发，以1cm/s的速度向。运动（不与。重合）.设点P运动时间为心），请用t表

示PD的长;并求t为何值时,四边形PBQD是菱形.

18.（8分）计算：卜2|+振+（2017-71）0-4cos45°

2%+1>0

19.（8分）解不等式组二>色并在数轴上表示解集.

20.（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2平移，使平移后的抛物线经过点A（-3,0）、B（1,0）.

⑴求平移后的抛物线的表达式.

⑵设平移后的抛物线交y轴于点C,在平移后的抛物线的对称轴上有一动点P,当BP与CP之和最小时，P点坐标是

多少？

（3）若y=x2与平移后的抛物线对称轴交于D点，那么，在平移后的抛物线的对称轴上，是否存在一点M,使得以M、

O、D为顶点的三角形ABOD相似？若存在，求点M坐标；若不存在，说明理由.

21.（8分）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）

满足一次函数关系m=162-3x.请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式.商

场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由.

22.（10分）如果一条抛物线丁=依2+陵+4。/0）与1轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的

三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.

(1)“抛物线三角形”一定是三角形；

(2)若抛物线丁=.2+法9>。)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求〃的值；

⑶如图，A0AB是抛物线+也修'>0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点。为对称中心的矩形ABCD?若

存在，求出过0、C、。三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由.

23.(12分)已知抛物线y=ax?+bx+2过点A(5,0)和点B(-3,-4),与y轴交于点C.

(1)求抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式；

(2)求直线BC的函数表达式；

(3)点E是点B关于y轴的对称点，连接AE、BE,点P是折线EB-BC上的一个动点，

①当点P在线段BC上时，连接EP,若EPLBC,请直接写出线段BP与线段AE的关系；

②过点P作x轴的垂线与过点C作的y轴的垂线交于点M,当点M不与点C重合时，点M关于直线PC的对称点为

点M，，如果点M"恰好在坐标轴上，请直接写出此时点P的坐标.

24.鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个,

若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个.设销售价格每个降低x元(x为偶数)，每周销售为j个.

(1)直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；

(2)设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？

(3)若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解题分析】

试题解析：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，

第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，

第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，

・••,

按此规律，

第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+...+（n+1）=312个，

2

则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7=27个.

故选B.

考点：规律型：图形变化类.

2、C

【解题分析】

根据中位数、众数、极差和平均数的概念，对选项一一分析，即可选择正确答案.

【题目详解】

解：A、中位数=（5+5）+2=5（吨），正确，故选项错误；

B、数据5吨出现4次，次数最多，所以5吨是众数，正确，故选项错误；

C、极差为9-4=5（吨），错误，故选项正确；

D、平均数=（4x3+5x4+6x24-9x1）4-10=5.3,正确，故选项错误.

故选：C.

【题目点拨】

此题主要考查了平均数、中位数、众数和极差的概念.要掌握这些基本概念才能熟练解题.

3、B

【解题分析】

根据平方差公式计算即可得解.

【题目详解】

(4+x)(4-x)=42-x2=16-%2,

故选：B.

【题目点拨】

本题主要考查了整式的乘法公式，熟练掌握平方差公式的运算是解决本题的关键.

4、C

【解题分析】

若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.

【题目详解】

解：5的倒数是-

故选C.

5、B

【解题分析】

x=llax+by=3\2a-b=3

把，代入方程组­得：\

y=-lax-by=1[a+b=l

4

Cl———

3

解得：，

b=——

13

41

所以a-2b=—-2x(一一)=2.

33

故选B.

6、C

【解题分析】

解：4.4/2=".故错误;

B.a2+a2=2a2.故错误;

C.正确；

D.(a+1)~=a?+2a+1.

故选C.

【题目点拨】

本题考查合并同类项，同底数塞相乘；塞的乘方，以及完全平方公式的计算，掌握运算法则正确计算是解题关键.

7、D

【解题分析】

试题分析：由等腰三角形的两边长分别是5和6,可以分情况讨论其边长为5,5,6或者5,6,6,均满足三角形两边

之和大于第三边，两边之差小于第三边的条件，所以此等腰三角形的周长为5+5+6=16或5+6+6=17.

故选项D正确.

考点：三角形三边关系；分情况讨论的数学思想

8、D

【解题分析】

根据二次根式由意义的条件是：被开方数大于或等于1,和分母不等于1,即可求解.

【题目详解】

x+1>0

根据题意得：｛八，

解得：xN-1且*1.

故选：D.

【题目点拨】

本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为1;二次根式的被开方数是非负数.

9、D

【解题分析】

找到从左面看到的图形即可.

【题目详解】

从左面上看是D项的图形.故选D.

【题目点拨】

本题考查三视图的知识，左视图是从物体左面看到的视图.

10、D

【解题分析】

1112

解：设AA5P中A5边上的高是加TSAPAB--S矩形ABCD，：.-AB*h=-AB*AD,：.h=-AD=2,二动点P在与A5

3233

平行且与A8的距离是2的直线/上，如图，作A关于直线/的对称点E,连接AE,连接BE,则BE就是所求的最短

距离.

在RtAABE中，\'AB=5,AE=2+2=4,:.BE=《AB?+AE2=序式不=历，即四+P3的最小值为例•故选D.

E

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、100+10073

【解题分析】

【分析】由已知可得NACD=NMCA=45。，ZB=ZNCB=30°,继而可得NDCB=60。，从而可得AD=CD=100米，DB=

100逝米，再根据AB=AD+DB计算即可得.

【题目详解】VMN//AB,ZMCA=45°,ZNCB=30°,

.,.ZACD=ZMCA=45O,ZB=ZNCB=30°,

VCD1AB,.•.ZCDA=ZCDB=90°,NDCB=60。，

；CD=100米，.•.AD=CD=100米，DB=CD«tan60°=73CD=10073

/.AB=AD+DB=100+100y/j（米），

故答案为：100+1006.

【题目点拨】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，解题的关键是借助俯角构造直角三角形并解直角三

角形.注意方程思想与数形结合思想的应用.

12、＞

【解题分析】

要比较甲、乙方差的大小，就需要求出甲、乙的方差；

首先根据折线统计图结合根据平均数的计算公式求出这两组数据的平均数；

接下来根据方差的公式求出甲、乙两个样本的方差，然后比较即可解答题目.

【题目详解】

3+6+2+6+4+3

甲组的平均数为:----------------------------------=4,

6

17

222222

甲2二-[(3-4)+(6-4)+(2-4)+(6-4)+(4-4)+(3-4)]=-,

6X3

4+3+5+3+4+5

乙组的平均数为:=4,

6

Sz2=-X[(4-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2]=-,

63

.72

•一〉一，

33

故答案为：＞.

【题目点拨】

本题考查的知识点是方差，算术平均数，折线统计图，解题的关键是熟练的掌握方差，算术平均数，折线统计图.

13、-1

【解题分析】

a+b+c=Ofa=-ll

试题分析：根据非负数的性质可得:<(a2+2005)(b-6)=0,解得：<b=6,则ab+bc=(-ll)x6+6x5=-66+30=

10-2c=0〔c=5

14、1

【解题分析】

根据题意和旋转的性质，可以得到点C的坐标，把点C坐标代入反比例函数y=&中，即可求出k的值.

x

【题目详解】

；OB在x轴上，ZABO=90°,点A的坐标为(2,4),.\OB=2,AB=4

,将△AOB绕点A逆时针旋转90。，,AD=4,CD=2,且AD//x轴

...点C的坐标为(6,2),

:前O的对应点C恰好落在反比例函数y="的图象上，

x

/.k=2x6=12,

故答案为L

【题目点拨】

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化-旋转，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思

想解答.

u9b48b

,5、———

ac

【解题分析】

(1)直接利用分式乘方运算法则计算得出答案;

(2)直接利用分式除法运算法则计算得出答案.

【题目详解】

小（3b?、29b4

（1）（——）

aa

故答案为9b咚4；

a

/、IQab5a10ab4cSb

c4cc5ac

故答案为吆.

C

【题目点拨】

此题主要考查了分式的乘除法运算，正确掌握运算法则是解题关键.

5一

16、一或10

2

【解题分析】

试题分析：根据题意，可分为E点在DC上和E在DC的延长线上，两种情况求解即可:

如图①，当点E在DC上时，点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线QP上，易求FP=3,所以FQ=2,设

FE=x,贝!|FE=x,QE=4-x,在R3EQF中，（4-x）2+22=x2,所以x=g.（2）如图②，当，所以FQ=点E在DG的

延长线上时，点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线QP上，易求FP=3,所以FQ=8,设DE=x,贝!|FE=x,

QE=x-4,在RtAEQF中，（x-4）2+82=x2,所以x=10,综上所述，DE=?或10.

2

三、解答题（共8题，共72分）

7

17、（1）证明见解析；（2）PD=8-t,运动时间为一秒时，四边形PBQD是菱形.

4

【解题分析】

⑴先根据四边形ABCD是矩形，得出AD〃BC,ZPDO=ZQBO,再根据O为BD的中点得出△POD^^QOB,即

可证得OP=OQ；

⑵根据已知条件得出NA的度数，再根据AD=8cm,AB=6cm,得出BD和OD的长，再根据四边形PBQD是菱形时,

利用勾股定理即可求出t的值，判断出四边形PBQD是菱形.

【题目详解】

(1)；四边形ABCD是矩形，

，AD〃BC,

/.ZPDO=ZQBO,

又为BD的中点，

.*.OB=OD,

在小POD^AQOB中，

ZPDO=ZQBO

<OD=OB,

ZPOD=ZQOB

/.△POD^AQOB,

/.OP=OQ；

(2)PD=8-t,

:四边形PBQD是菱形，

BP=PD=8-t,

•••四边形ABCD是矩形，

.*.NA=90°,

在RtZkABP中，由勾股定理得：AB2+AP2=BP2,

即62+t2=(8-t)2,

7

解得：t=—,

4

7

即运动时间为一秒时，四边形PBQD是菱形.

4

【题目点拨】

本题考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识是解题关键.注意数

形结合思想的运用.

18、1.

【解题分析】

直接利用零指数塞的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简得出答案.

【题目详解】

解：原式=2+2e+1-4x必

2

=2+2也+1-2亚

=1

【题目点拨】

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

19、--<x<0,不等式组的解集表示在数轴上见解析.

2

【解题分析】

先求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解

集.

【题目详解】

解不等式2x+l>0,得：x>-—,

2

解不等式得：x<0,

23

则不等式组的解集为--<x<0,

2

将不等式组的解集表示在数轴上如下：

—।<!)—--------------

-2-1101

2

【题目点拨】

本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”.

20、(1)y=x2+2x-3；(2)点P坐标为(-1,-2)；(3)点M坐标为(-1,3)或(-1,2).

【解题分析】

(1)设平移后抛物线的表达式为y=a(x+3)(x-1).由题意可知平后抛物线的二次项系数与原抛物线的二次项系数相

同，从而可求得a的值，于是可求得平移后抛物线的表达式；

(2)先根据平移后抛物线解析式求得其对称轴，从而得出点C关于对称轴的对称点C，坐标，连接B。，与对称轴交

点即为所求点P,再求得直线BC解析式，联立方程组求解可得；

(3)先求得点D的坐标，由点O、B、E、D的坐标可求得OB、OE、DE、BD的长，从而可得到△EDO为等腰三角

直角三角形，从而可得到NMDO=NBOD=135。，故此当丝=变或也="时，以M、O、D为顶点的三角形

DOOBDOOD

与△BOD相似.由比例式可求得MD的长，于是可求得点M的坐标.

【题目详解】

(1)设平移后抛物线的表达式为y=a(x+3)(x-1),

•••由平移的性质可知原抛物线与平移后抛物线的开口大小与方向都相同，

••・平移后抛物线的二次项系数与原抛物线的二次项系数相同，

.•.平移后抛物线的二次项系数为1,即a=l,

•••平移后抛物线的表达式为y=(x+3)(x-1),

整理得:y=x2+2x-3；

(2)Vy=x2+2x-3=(x+1)2-4,

二抛物线对称轴为直线x=-1,与y轴的交点C(0,-3),

则点C关于直线x=-l的对称点O(-2,-3),

连接B,C,与直线x=-l的交点即为所求点P,

由B(1,0),O(-2,-3)可得直线BU解析式为y=x-1,

y=x-1

则一

x=-l

解得

y=-2

所以点P坐标为(-1,-2)；

图2

V—X\X=_1

由｛-得],即D(-1,1),

x=-ib=1

贝!IDE=OD=1,

二ADOE为等腰直角三角形，

.,.ZDOE=ZODE=45°,ZBOD=135°,OD=e,

VBO=1,

;.BD=G

VZBOD=135°,

点M只能在点D上方，

ZBOD=ZODM=135°,

...当2吆=”或2艺=竺时，以M、o、D为顶点的三角形△BOD相似，

DOOBDOOD

…DMODntlDM42Q加…._

①若—=——，则一=---,解得DM=2,

DOOB01

此时点M坐标为(-1,3)；

DMOBDM1

②若k=则工=不，解得DM=L

DOOD■y2J2

此时点M坐标为(-1,2)；

综上，点M坐标为(T,3)或(-1,2).

【题目点拨】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了平移的性质、翻折的性质、二次函数的图象和性质、待

定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定，证得NODM=NBOD=135。是解题的关

键.

21、(1)y=-3x2+252x-1(2<x<54)；(2)商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元.

【解题分析】

(1)此题可以按等量关系“每天的销售利润=(销售价-进价)x每天的销售量，，列出函数关系式，并由售价大于进价,

且销售量大于零求得自变量的取值范围.

(2)根据(1)所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案.

【题目详解】

(1)由题意得：每件商品的销售利润为(x-2)元，那么机件的销售利润为广机(x-2).

又,.,》i=162-3x,'.y=(x-2)(162-3x),即y=-3*2+252x-1.

x-2>0,.,.x>2.

又,，龙0,162-3x>0,即烂54,.".2<x<54,...所求关系式为y=-3/+252*-1(2St<54).

(2)由(1)得尸-3*2+252%-1=-3(x-42)2+432,所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是

432元.

•••500>432,.•.商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元.

【题目点拨】

本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润=(销售价-进价)x

每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法.

22>(1)等腰(2)b=2(3)存在，y=x2+2限

【解题分析】解：(D等腰

(2)•.•抛物线y=-x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，

...该抛物线的顶点满足±=幺3>0).

(24)24、7

:.b=2.

(3)存在.

如图，作小OCD与4Q48关于原点。中心对称，

则四边形ABC。为平行四边形.

当时，平行四边形ABCD为矩形.

.•.△Q4B为等边三角形.

作垂足为E.

AAE=6OE.

•••}="I■侬>。）.

b'=2#）.

/.A（V3,3）,5（2A/3,0）.

/.C（-A/3,-3）,D（-2A/3,0）.

设过点0、C＞。三点的抛物线产祖犬+小，则

12m-2布n=。,m=l,

解之，得

3m->/3n=-3.n=2y/3.

...所求抛物线的表达式为＞=/+2氐.

23、(1)y=-2X2+7/X+2；(2)y=2x+2；(3)①线段BP与线段AE的关系是相互垂直；②点P的坐标为：(-4+2招,

1010

-8+4Azp或(-4-2出，-8-4行)或(0,-4)或(-%-4).

【解题分析】

(1)将A(5,0)和点B(-3,-4)代入y=ax?+bx+2,即可求解；

(2)C点坐，标为(0,2),把点B、C的坐标代入直线方程y=kx+b即可求解；

(3)①AE直线的斜率kAE=2,而直线BC斜率的kAE=2即可求解；

②考虑当P点在线段BC上时和在线段BE上时两种情况，利用PM，=PM即可求解.

【题目详解】

(1)将A(5,0)和点B(-3,-4)代入y=ax?+bx+2,

解得：a=-bug,

1010

故函数的表达式为y=-Ax2+ilx+2.

(2)C点坐标为(0,2),把点B、C的