24.4.1 弧长和扇形面积 教学设计

24.4.1弧长和扇形面积教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用本节课是24章《圆》的最后一节，弧长和扇形面积公式是与圆有关的计算中的两个常用公式，运用公式可以解决与圆有关的简单组合图形的周长和面积，进一步提高学生分析问题和解决实际问题的能力.学生在小学已经学过圆周长，在前阶段学习了“圆的认识”、“与圆有关的位置关系”、“正多边形和圆”的有关知识.在此基础上，借助部分与整体的关系推导弧长和扇形面积的计算公式.本节内容是圆的有关知识的拓展与延伸，也为下一节课学习圆锥的侧面积和全面积的计算奠定基础.概念解析圆心角是1°的弧长等于圆的周长的，圆心角是n°的弧长l是圆的周长的，即.圆心角是1°的扇形面积等于圆面积的，圆心角是n°的扇形面积是圆的面积的，即.上述两个公式中，n表示1°的圆心角的倍数，它不带单位；公式中180和360也不带单位.比较扇形面积公式与弧长公式，可以得到另一个表示扇形面积的公式.思想方法在小学学习圆周长和面积的基础上推导弧长和面积公式，这一过程体现了部分与整体的关系，渗透的是类比、转化、由特殊到一般的思想.学习过程中学生可以进一步感知化未知为已知，化特殊为一般的方法．知识类型弧长和扇形面积公式属于原理与规则的知识.由知识类型所决定，教学中要让学生感悟弧长与圆周长的关系，借助部分与整体之间的联系推导公式，类比探究，在圆面积的基础上推导扇形面积公式，进而通过弧长公式表示扇形面积.教学重点本节课的教学重点：弧长和扇形面积公式的推导及运用.教学目标解析教学目标：1．能推导圆的弧长公式，扇形的面积公式.2．能利用公式进行弧长、扇形面积的计算.目标解析：达成目标1的标志：学生能够理解1°的圆心角所对的弧长等于圆周长的，所对的扇形面积等于圆面积的；能够发现n°的圆心角所对的弧长和扇形面积都是1°的圆心角所对的弧长和扇形面积的n倍．并借助部分与整体的关系推导出弧长和扇形面积的计算公式，能利用弧长表示扇形面积.达成目标2的标志：能记住弧长、扇形面积公式，在弧长公式中，知道在l，n，R三个量中的两个即可求第三个；同样扇形面积中，知道S，n，R三个量中的两个即可求第三个，知道S，l，R三个量中的两个也可求出第三个．并能分析具体题目中的图形是由哪些基本图形组成的，进而正确计算弧长或它们的面积.教学问题诊断分析具备的基础学生在小学已经学习了圆的周长和面积公式，九年级的学生已经具备一定合作学习和类比探究能力，具备一定的归纳总结能力；通过引导，能够想象得到弧长和扇形面积分别与圆周长和面积有关.与本课目标的差距分析正确理解在推导过程中圆心角的作用，通过等分圆周的方法推导弧长和扇形面积公式；对于较为复杂的复合图形，观察分析具体题目中的图形由哪些规则图形组成，需要具备一定的分析问题能力.存在的问题：在弧长和扇形面积的推导过程中，体现了部分与整体的关系，在这其中圆心角的作用学生可能不易理解；另外在运用扇形面积公式求一些不规则图形的面积时，需要在观察分析的基础上，转化为规则图形，部分学生会有些困难.应对策略：在推导弧长公式时，先通过特殊情况对学生加以引导，通过探讨1°、90°、180°的圆心角所对的弧长，逐步过渡到探讨n°的圆心角所对的弧长；推导扇形面积公式时，可类比弧长公式的推导过程进行．通过这样的过程，使学生从特殊到一般认识弧长和扇形面积公式．在教学中还应注意创设具有探索性的问题情境，启发学生自主探索、积极思维，并对合作过程加以引导，使学生朝着有利于知识建构的方向发展.教学难点本节课的教学难点：弧长和扇形面积公式的推导及运用扇形面积公式求组合图形的面积.教学支持条件分析充分利用互动交流平台，激发学生学习兴趣，通过合作学习，展示风采，使他们主动愉快的获取新知，提高课堂效率.教学过程设计课前检测1.半径为3cm的圆的周长是__________cm.补测：1.圆的周长公式是__________.半径为4cm的圆的周长是__________cm．2.如图，半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴影部分的面积为__________.补测：2.圆的面积公式是__________.半径为3cm的圆面积是__________cm2.3.圆上__________的部分叫做圆弧，简称__________，以A，B为端点的劣弧记作__________.补测：3.在一个圆中_____________叫做优弧；_____________叫做劣弧．设计意图：检查学生对圆周长和面积的掌握情况，为推导弧长和扇形面积公式做好知识上的准备.课堂引入在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的—部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算?它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢?本节课我们将进行探索．设计意图：从学生已知的圆周长和面积入手，引出问题，激发学生探究兴趣.探究公式一目标1：探究弧长公式【问题1】设圆的半径为R.（1）它的周长是多少？（2）圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？（3）1°的圆心角所对的弧长是多少？（4）90°的圆心角所对的弧长是多少？（5）180°圆心角所对的弧长是多少？（6）n°的圆心角所对的弧长是多少？师生互动设计：请同学们先独立完成下题，然后再小组交流.引导学生分别解答：（1）2πR，(2)360°，（3）圆周长的，即，（4）90°是1°的90倍，所以弧长也是1°弧长的90倍，为，（5）180°是1°的180倍，所以弧长也是1°弧长的180倍，为，（6）n°圆心角是1°圆心角的n倍，所以弧长也是1°弧长的n倍，为，进而得到弧长公式.设计意图：从学生已知的问题入手，采用层层递进的问题串的方式，唤醒学生的求知欲，活跃学生的思维．对于圆心角的度数的设计从特殊的90°，180°到一般的n°，也就是四分之一圆，半圆到n°所对的弧，便于学生理解圆心角的大小和弧的长度大小关系的一致性.让学生感受从特殊到一般的方法.追问1：公式中n表示的是什么？它需要带单位吗？师生互动设计：教师在学生思考回答的基础上，强调公式中n的意义表示1°的圆心角的倍数，它是不带单位的，公式中180也是不带单位的.设计意图：通过追问，加深学生对公式中n的理解.【问题2】（1）弧长是由哪些量决定的？（2）弧长相等的两段弧是等弧吗？师生互动设计：学生独立思考后得出结论：弧的长度与圆心角的度数和圆的半径有关：当圆的大小一定时，圆心角越大，弧的长度越大；当圆心角的度数一定时，圆越大，弧的长度越大.弧长相等的两段弧不一定相等.设计意图：通过辨析弧长公式，加深对公式的理解.典例精析1【例题1】制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示的管道的展直长度L（结果取整数）.分析：管道由两条线段和一段弧组成，求展直长度转化为关键是求弧的长度.师生互动设计：学生独立完成解题过程，一名学生板书，其他同学交流补充.设计意图：通过例题巩固弧长公式，让学生利用所学的数学知识解决实际问题，学以致用，感受数学与生活的紧密联系.探究公式二目标2：探究扇形面积公式【问题3】什么是扇形？定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.设计意图：观察较为熟悉的图形，得出概念，记忆较为深刻，为准确判断是否是扇形铺平道路.【问题4】类比弧长公式的推导过程，扇形面积和圆面积有什么关系，如何推导扇形面积公式？师生互动设计：学生仿照弧长的探究过程自己设置问题，通过小组合作的方式类比研究扇形面积公式，最后得出.设计意图：类比弧长推导过程，让学生在探究过程中自觉的发现和归纳扇形面积公式，培养学生的类比发现和归纳能力.同时检测目标1是否达成，若没达成，需要教师再从思路上加以引导.【问题5】比较扇形面积公式和弧长公式，你能用弧长表示扇形面积吗？师生互动设计：学生独立思考后合作交流，最后得出结论，同时教师引导学生，扇形面积的这个计算公式与三角形的面积公式类似，只要把扇形看作是一个曲边三角形，把弧长l看成底，半径R看成高就可以了.设计意图：通过对比弧长公式和扇形面积公式，让学生发现可以通过弧长表示扇形的面积，加深学生对公式的理解，也为圆锥侧面积公式的推导做准备，同时渗透极限思想.典例精析2【例题2】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）.追问2：（1）截面上有水的部分的面积是指图上的哪一部分？是什么形状？(2)水面高0.3m是指哪条线段的长？这条线段应该怎么画出来？(3)如何用学过的图形的面积公式求阴影部分面积？师生互动设计：教师通过上述问题引导学生思考，并画出相应图形，进而分析出解题思路，即得出弓形面积的计算方法，也就是扇形面积－三角形面积.追问3：(4)要求扇形OAB的面积，需要知道哪些量？这些量怎样求出来？(5)要求三角形OAB的面积，需要知道哪些量？这些量怎样求出来？师生互动设计：学生独立完成解题过程，一名同学板书，其他同学订正或补充.设计意图：本题的解题的关键是辅助线的添加和阴影部分面积的转化，这也是本题的难点.通过追问，使学生根据垂径定理的基本图形，添加出辅助线，突破难点.解题后引导学生反思，对解题思路进行总结：若图形为不规则图形时，先通过添加辅助线把它转化为规则图形，再利用有关面积公式解决.【测评1】1.75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在的圆的半径是__________cm.2.一个扇形的弧长是20πcm,面积是240πcm²，则扇形的圆心角是__________.3.已知扇形的周长为28cm,面积为49cm²，则它的半径为__________cm.设计意图：检测目标2是否达成，若测评不合格，则讲解测评1，完成后再做测评2.【测评2】1.已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为__________.2.若扇形的圆心角为120°，弧长为10πcm，则扇形的半径为__________，扇形的面积为__________.课堂小结1.弧长和扇形面积公式是什么？你是如何得到这两个公式的？如何运用？2.弧长和圆周长，扇形面积与圆面积之间有什么联系？3.运用扇形面积公式求一些相关不规则图形面积的思路是什么？设计意图：通过小结，使学生对本节课的主要内容进行梳理，同时让学生体会部分与整体之间的联系，强化学生的类比、转化的数学思想，突出思想方法在数学学习中的重要性.目标检测设计一、选择题1.已知圆上一段弧长为5π，它所对的圆心角为100°，则该圆的半径为()A．6B．9C．12D．182.⊙O的半径为9cm，的长是5πcm，则扇形OAB的面积是()A．22.5πcm²B