《相似三角形的判定（3）》名师教案

1/127.2.1相似三角形的判定（王军）第三课时一、教学目标1．核心素养通过相似三角形的判定的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力．2．学习目标（1）掌握相似三角形的判定方法3：两角分别相等的两个三角形相似．（2）掌握两个直角三角形相似的判定（HL）:斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．（3）会利用相似三角形的基本图形证题，掌握证比例式或等积式技巧．3．学习重点相似三角形的判定方法3和两个直角三角形相似的判定（HL）及其应用．会利用相似三角形的基本图形证题，掌握证比例式或等积式技巧．4．学习难点探究相似三角形的判定方法3和两个直角三角形相似的判定（HL）．会利用相似三角形的基本图形证题，掌握证比例式或等积式技巧．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材P35，思考：两角分别相等的两个三角形相似吗？如何证明？任务2阅读教材P36，思考：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？如何证明？2．预习检测1．两角分别的两个三角形相似．斜边和一条直角边________的两个直角三角形相似．2．已知△ABC的两个角分别是60°和72°，的两个角分别是60°和48°，则△ABC和．已知在Rt△ABC和Rt中，，且，则Rt△ABC和Rt．（二）课堂设计1．知识回顾1．全等三角形的判断方法：AAS,ASA,HL．2．相似三角形预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．3．三角形相似的判定方法1:三边成比例的两个三角形相似．4．三角形相似的判定方法2:两边成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似．2．问题探究问题探究一两角分别相等的两个三角形相似吗？重点、难点知识★▲●活动1导入新知，类比探究引入：小文同学不小心把学校实验室的玻璃打碎成三块，如图，现在，李文同学要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，为了省事，李文决定只带其中一块去做模型．小颖说：带第①块去．小明说：带第②块去．小华说：带第③块去．思考片刻后，李文同学决定接受小华的建议，带第③块去．这是因为在第③块中保留有原三角形的两角及夹边，果然，去配回的三角形的玻璃与原三角形的玻璃一模一样．这件事给我们的启示是：有两角及夹边对应相等的两个三角形全等；那么，有两个角对应相等的三角形是否相似呢？相似三角形的判定是否有类似全等三角形的判定方法呢？●活动2感悟新知：观察两副三角尺（如图），其中有同样两个锐角（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．提出问题：如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？延伸问题：作∆ABC与∆A1B1C1，使得∠A=∠A1，∠B=∠B1，这时它们的第三角满足∠C=∠C1吗？分别度量这两个三角形的边长，计算﹑﹑，你有什么发现？（学生独立操作并判断）分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足∠C=∠C1，==．探究：分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断．）教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生观察在动态变化中存在的不变因素．由此能得出三角形相似的判定定理：两个角分别相等的两个三角形相似．几何语言：如图，在△ABC与∆A1B1C1中，∵∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∴△ABC∽△A1B1C1．●活动3例题讲解，相似三角形判定3的应用例：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB,垂足为D,求AD的长．【知识点：相似三角形判定3；数学思想：数形结合】解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°．又∠C=90°，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC．点拨：两个直角三角形，当有一个锐角相等时，它们相似．利用相似求线段长是常用方法．●活动4应用练习1．如图，已知点D，E分别在AB，AC或它们的延长线上，且∠1=∠2，分别指出图中的相似三角形．【知识点：相似三角形判定3】解：△ADE∽△ACB；△ADC∽△ACB；△ADE∽△ABC；△ADE∽△ACB2．如图，过平行四边形ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延长线于点E，F，G．图中相似的三角形共有（）A．4对B．5对C．6对D．7对【知识点：相似三角形判定3】解：C2．已知：如图，ΔABC的高AD、BE交于点F．求证：．【知识点：相似三角形判定3】解：∵ADBC、BEAC，∴，∴，∴∽，∴．问题探究二两边成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似吗？重点、难点知识★▲●活动1类比探究思考：我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定．那么，满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似吗？论证：事实上，这两个直角三角形相似．下面让学生讨论，得出证明．如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝90°，∠C′＝90°，求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．分析：要证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，可设法证∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．归纳：直角三角形相似的判定定理：(1)有一锐角相等的两个直角三角形相似；(2)有两组直角边对应成比例的两直角三角形相似；(3)斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．数学表达式：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，(1)∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′；(2)∵∠C＝∠C′＝90°，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．（3）∵∠C＝90°，∠C′＝90°，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．●活动2例题讲解，直角三角形相似的判定（HL）的应用例1、在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是()A．∠A＝55°，∠D＝35°B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9【知识点：直角三角形相似的判定】解析：选项A：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝55°，∴∠B＝35°，∵∠D＝35°，∴∠B＝∠D，∴Rt△ABC∽Rt△DEF（有一锐角相等的两个直角三角形相似）；选项B：∵AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8，∴，，∴，∴Rt△ABC∽Rt△DEF（两组直角边对应成比例的两直角三角形相似）；选项C：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∴AC：BC：AB＝3：4：5，在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝6，DE＝8，∴EF＝，∴EE：DF：DE＝：6：8=：3：4，故Rt△ABC与Rt△DEF不相似；选项D：在Rt△DEF中，∠F＝90°，DE＝15，EF＝9，∴DF=，∴，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴，∴，∴Rt△ABC∽Rt△DEF（斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似）．故选C．例2、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．【知识点：直角三角形相似的判定】射影定理：1．直角三角形中,斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项;2．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．已知：如图，在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高．（1）求证：ΔACD∽ΔABC∽ΔCBD（2）求证：；；．证明:（1）∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°，∴ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两三角形相似）同理ΔCBD∽ΔABC．∴ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD．此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用．由ΔCBD∽ΔACD，得，∴．由ΔACD∽ΔABC，得，∴．由ΔCBD∽ΔABC，得，∴．以上三个结论称为“射影定理”，今后可以直接使用．例3、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．【知识点：直角三角形相似的判定】解：设PC的长为a，则BP＝3a，正方形ABCD的边长为4a，DQ＝2a，AD＝4a，QC＝2a，∴eq\f(DQ,AD)＝eq\f(PC,CQ)＝eq\f(1,2)，又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP．点拨：当题中条件已知线段之间的关系时，可找出成比例的线段，又其夹角相等时，可得三角形相似．●活动3应用练习1．在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是()A．∠B＝∠B1B．eq\f(AB,A1B1)＝eq\f(AC,A1C1)C．eq\f(AB,A1B1)＝eq\f(BC,B1C1)D．eq\f(AB,B1C1)＝eq\f(AC,A1C1)【知识点：直角三角形相似的判定】解：D2．在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝12，AB＝15，A′C′＝8，则当A′B′＝____________时，△ABC∽△A′B′C′．【知识点：直角三角形相似的判定】解：10问题探究三如何利用相似三角形的基本图形证题？引入：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．活动1合作探究，归纳总结思考：相似三角形的基本图形有哪些？学生讨论后归纳，相似三角形的几种基本图形如下：如图：称为“平行线型”的相似三角形．（有“A型”与“X型”图）如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形．（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）如图：称为“垂直型”．（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”、“三垂直型”）④如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形．活动2合作探究，归纳总结思考：怎么利用这些基本图形解题呢？在学生讨论的基础上总结，几种基本图形的具体应用：若DE∥BC（A型和X型），则△ADE∽△ABC．射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形），则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB．满足：ⅰ、AC2=AD·AB，ⅱ、∠ACD=∠B，ⅲ、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．④当或AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB．活动3例题讲解，巧用“基本图形”探索相似条件（1）平行线型例1．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．(1)求证：AE·BC＝BD·AC；(2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．【知识点：相似三角形的判定与性质，三角形面积；数学思想：数形结合】分析：要证AE·BC＝BD·AC，需证eq\f(AE,AC)＝eq\f(BD,BC)．又由ED∥BC，有△ADE∽△ABC，可得eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)，因此只需证DE＝BD即可．详解：(1)证明：∵ED∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)．∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC．∵ED∥BC，∴∠DEB＝∠EBC．∴∠DBE＝∠DEB．∴DE＝BD．∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(BD,BC)，即AE·BC＝BD·AC．(2)解：设h△ADE表示△ADE中DE边上的高，h△BDE表示△BDE中DE边上的高，h△ABC表示△ABC中BC边上的高．∵S△ADE＝3，S△BDE＝2，∴eq\f(S△ADE,S△BDE)＝eq\f(h△ADE,h△BDE)＝eq\f(3,2)．∴eq\f(h△ADE,h△ABC)＝eq\f(3,5)．∵△ADE∽△ABC，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(h△ADE,h△ABC)＝eq\f(3,5)．∵DE＝6，∴BC＝10．点拨：将乘积式转化为比例式，再利用比例式找三角形相似是常用之法．（2）斜交型例2．如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且eq\f(EO,BO)＝eq\f(DO,CO)，试问△ADE与△ABC相似吗？请说明理由．【知识点：相似三角形的判定与性质】分析：由eq\f(EO,BO)＝eq\f(DO,CO)，及夹角相等，易得△BOE∽△COD，△DOE∽△COB，再设法证∠ADE＝∠ABC即可．解：相似．理由如下：因为eq\f(EO,BO)＝eq\f(DO,CO)，∠BOE＝∠COD，∠DOE＝∠COB，所以△BOE∽△COD，△DOE∽△COB．所以∠EBO＝∠DCO，∠DEO＝∠CBO．因为∠ADE＝∠DCO＋∠DEO，∠ABC＝∠EBO＋∠CBO．所以∠ADE＝∠ABC．又因为∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC．（3）垂直型例3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F．求证：eq\f(AB,AC)＝eq\f(DF,AF)．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】分析：由“垂直型”相似，可得△ABC∽△DBA，有eq\f(AB,AC)＝eq\f(DB,DA)，需证eq\f(DB,AD)＝eq\f(DF,AF)，应证△DBF∽△ADF．证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∴∠BAC＝∠ADB＝90°．又∵∠CBA＝∠ABD，∴△ABC∽△DBA．∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(DB,DA)，∠BAD＝∠C．∵AD⊥BC于点D，E为AC的中点，∴DE＝EC．∴∠BDF＝∠CDE＝∠C．∴∠BDF＝∠BAD．又∵∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF．∴eq\f(DB,AD)＝eq\f(DF,AF)．∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(DF,AF)．点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”．有时还可用“等积替换法”．（4）旋转型例4．如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC．求证：(1)△ADE∽△ABC；(2)eq\f(AD,AE)＝eq\f(BD,CE)．【知识点：相似三角形的判定与性质】证明：(1)∵∠DAB＝∠EAC，∴∠DAE＝∠BAC．又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC．(2)∵△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AE)＝eq\f(AB,AC)．∵∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC．∴eq\f(AD,AE)＝eq\f(BD,CE)．点拨：由“旋转型”，易得对应的角相等．问题探究四证比例式或等积式有哪些技巧？证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．活动1合作探究，证比例式或等积式的技巧技巧1构造平行线法例1．如图，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E．求证：AE•ED＝2AF•FB．【知识点：相似三角形的判定与性质】分析：图中无三角形相似，应作辅助性构造三角形相似,作平行线是常用之法．证明：如图，过点B作BN∥CF交AD的延长线于点N．∴eq\f(AF,FB)＝eq\f(AE,EN)，∠ECD＝∠NBD．又∵∠CDE＝∠BDN，∴△EDC∽△NDB．∴eq\f(ED,DN)＝eq\f(CD,BD)．∵BD＝CD，∴ED＝DN＝eq\f(1,2)EN．∴eq\f(AF,FB)＝eq\f(AE,2ED)．∴AE•ED＝2AF•FB．点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．技巧2“三点定型”找三角形相似法例2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E．求证：AM2＝MD·ME．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】分析：要证AM2＝MD·ME，即证eq\f(AM,MD)＝eq\f(ME,AM)．横看知，需证△AME与△DMA相似．证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°．∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D．又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°，∴BM＝AM．∴∠B＝∠BAM．∴∠BAM＝∠D．又∵∠AME＝∠DMA．∴△AME∽△DMA．∴eq\f(AM,MD)＝eq\f(ME,AM)．∴AM2＝MD·ME．点拨：由比例式找三角形相似，可运用“三点定型法”找相似三角形，口诀是：横看、竖看定相似．技巧3构造相似三角形法例3．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N．求证：BP·CP＝BM·CN．【知识点：相似三角形的判定与性质】分析：要证BP·CP＝BM·CN，即证eq\f(BP,CN)＝eq\f(BM,CP)，由横看知，需证△BPM∽△CNP，因此应连接PM、PN，构造出△BPM和△CNP．证明：如图，连接PM，PN．∵MN是AP的垂直平分线，∴MA＝MP，NA＝NP．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．又∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°．∴∠2＋∠4＝60°．∴∠5＋∠6＝120°．又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°．∴∠5＝∠7．∴△BPM∽△CNP．∴eq\f(BP,CN)＝eq\f(BM,CP)，即BP·CP＝BM·CN．点拨：通过要证的比例式，用“三点定型法”找到需证明的相似三角形，若这两三角形不存在，就应通过作辅助线构造出来．技巧4等比过渡法例4．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D．求证：CE2＝DE·PE．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】分析：由“垂直型”相似，可利用射影定理得CE2＝AE·BE,要证CE2＝DE·PE，就需证DE·PE＝AE·BE,就需证△DEB∽△AEP．证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB，∴∠AEP＝∠BED＝∠AGB＝90°．∴∠P＋∠PAB＝90°，∠PAB＋∠ABG＝90°．∴∠P＝∠ABG．∴△AEP∽△DEB．∴eq\f(AE,DE)＝eq\f(PE,BE)，即AE·BE＝PE·DE．又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝∠BEC＝90°，∴∠CAB＋∠ACE＝90°．又∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBE＝90°．∴∠ACE＝∠CBE．∴△AEC∽△CEB．∴eq\f(AE,CE)＝eq\f(CE,BE)，即CE2＝AE·BE．∴CE2＝DE·PE．点拨：当要证的等积式中的三条线段在同一条线段上时，找不出需证的相似三角形，就可以采用“等比过渡法”证明．技巧5等积代换法例5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：eq\f(AE,AF)＝eq\f(AC,AB)．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】分析：要证eq\f(AE,AF)＝eq\f(AC,AB)，可证AE·AB＝AF·AC，又由“垂直型”相似，可利用射影定理得AE·AB＝AD，AF·AC=AD，故得证．证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠ADB＝∠AED＝90°．又∵∠BAD＝∠DAE，∴△ADE∽△ABD，得AD2＝AE·AB，同理可得AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC，∴eq\f(AE,AF)＝eq\f(AC,AB)．点拨：要证的比例式，不能直接通过证三角形相似得到，可将比例式转化为乘积式，利用“等积代换法”来证．技巧6等线段代换法例6．已知：如图，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P．求证：PD2＝PB·PC．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】分析：由EP垂直平分AD，可连接AP，有PA=PD．要证PD＝PB·PC，可证PA＝PB·PC，需证△PAC∽△PBA．证明：如图，连接PA，则PA＝PD，∴∠PDA＝∠PAD．∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC．∴∠B＝∠CAP．又∵∠APC＝∠BPA，∴△PAC∽△PBA，∴eq\f(PA,PB)＝eq\f(PC,PA)，即PA2＝PB·PC，∴PD2＝PB·PC．点拨：当要证的等积式中的三条线段在同一条线段上时，找不出需证的相似三角形，也可把其中的一条线段替换成与它线段的线段，再找三角形相似来证明．活动2巩固练习1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，求证：AE·CF＝BF·EC．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】证明：如图，过点C作CM∥AB交DF于点M．∵CM∥AB，∴△CMF∽△BDF．∴eq\f(BF,CF)＝eq\f(BD,CM)．又∵CM∥AD，∴△ADE∽△CME．∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(AD,CM)．∵D为AB的中点，∴eq\f(BD,CM)＝eq\f(AD,CM)．∴eq\f(BF,CF)＝eq\f(AE,EC)，即AE·CF＝BF·EC．2．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F．求证：eq\f(BF,BE)＝eq\f(AB,BC)．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】证明：易得∠BAC＝∠BDF＝90°．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBF，∴△BDF∽△BAE，得eq\f(BD,AB)＝eq\f(BF,BE)．∵∠BAC＝∠BDA＝90°，∠ABC＝∠DBA．∴△ABC∽△DBA，得eq\f(AB,BC)＝eq\f(BD,AB)，∴eq\f(BF,BE)＝eq\f(AB,BC)．3．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，求证：BP2＝PE·PF．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】证明：连接PC，如图．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∠ABC＝∠ACB，∴BP＝CP，∴∠1＝∠2，∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4．∵CF∥AB，∴∠3＝∠F，∴∠4＝∠F．又∵∠CPF＝∠CPE，∴△CPF∽△EPC，∴eq\f(CP,PE)＝eq\f(PF,CP)，即CP2＝PF·PE．∵BP＝CP，∴BP2＝PE·PF．3．课堂总结【知识梳理】（1）相似三角形的判定3：两角分别相等的两个三角形相似．（2）两个直角三角形相似的判定定理（HL）：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．（3）三角形相似的基本图形有：“平行线型”、“斜交型”、“垂直型”、“旋转型”．（4）证明比例式或等积式的常用技巧有：构造平行线法、“三点定型”找三角形相似法、构造相似三角形法、等比过渡法、等积代换法、等线段代换法．【重难点突破】（1）两角分别相等的两个三角形相似，是判断两三角形是否相似的常用方法之一．当两个三角形已具备一角对应相等的条件时，往往先找是否有另一角对应相等，当此思路不通时，再找夹等角的两边对应成比例．找角相等时应注意挖掘公共角、对顶角、同角的余角（或补角）等．（2）找对应角的方法：对顶角一定是对应角；公共角一定是对应角；最大角或最小的角一定是对应角；对应角所对的边一定是对应边；对应边所对的角一定是对应角；对应边所夹的角一定是对应角．（3）判定两直角三角形相似的方法：一个锐角对应相等，两组直角边对应成比例，斜边和一直角边对应成比例．（4）常用的重要结论：①母子相似定理：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似；②射影定理：直角三角形中,斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．(5)熟悉三角形相似的基本图形,掌握证比例式或等积式的技巧，并会熟练应用．4．随堂检测1．下列各组条件中，不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是()A．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′B．∠C＝∠C′＝90°，∠A＝35°，∠B′＝55°C．∠A＝∠B，∠A′＝∠B′D．∠A＋∠B＝∠A′＋∠B′，∠A－∠B＝∠A′－∠B′【知识点：相似三角形判定3】2．下列说法：①有一个110°角的两个等腰三角形相似；②所有的等腰直角三角形都相似；③有一个60°角的两个等腰三角形相似；④有一个70°角的两个等腰三角形相似；⑤有一个底角相等的两个等腰三角形相似．其中正确的个数是()A．5B．4C．3D．2【知识点：相似三角形判定3】3．已知点R在直角三角形的直角边上，过点R作直线使截得的三角形与原三角形相似，则这样的直线最多可作的条数是（）A．4条B．3条C．2条D．1条【知识点：相似三角形判定3】4．已知点M、N分别是矩形ABCD的边CD、BC上的点，AM⊥MN，则一定有（）A．ΔADM∽ΔAMN B．ΔMCN∽ΔAMNC．ΔAMN∽ΔABN D．ΔADM∽ΔMCN【知识点：两直角三角形相似的判定】5．如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若AB=12，BC=18，则CD的长是（）A．6B．8C．10D．12【知识点：两直角三角形相似判定的应用】（三）课后作业基础型自主突破1．下列说法正确的是（）两个相似三角形全等B．两个顶角为80°的等腰三角形相似C．两个直角三角形相似D．所有等腰三角形都相似【知识点：相似三角形的判定】2．下列各对三角形中一定不相似的是（）A．△ABC中，∠A=46°，∠B=74°；△ABC中，∠C=60°，∠B=74°B．△ABC中，∠B=90°，AB=10，AC=26;△ABC中，∠B=90°，AB=5a，BC=12aC．△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm;△ABC中，∠C=90°，AC=24cm，BC=30cmD．△ABC中，∠C=90°，∠A=48°;△ABC中，∠C=90°，∠A=42°【知识点：相似三角形的判定】3．如图，在中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，则图中的相似三角形有（）A4对B3对C2对D1对【知识点：相似三角形的判定3】4．如图，MN∥EF，MF、EN交于O，MO=6，FO=8，EN=21，则EO长为（）A．8B．9C．10D．12【知识点：相似三角形的判定3及应用；数学思想：数形结合】5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边AB上的高，AC=30，AD=18，则BC=．【知识点：直角三角形相似的判定及应用，勾股定理；数学思想：数形结合】6．如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN=．【知识点：相似三角形的判定及应用；数学思想：数形结合、分类讨论】能力型师生共研7．如图，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝6，点E在AB上，点F在CD上，点G，H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是()A．3B．C．7．5D．9【知识点：相似三角形的判定及应用，矩形、菱形性质；数学思想：数形结合】如图，正方形ABCD中，AE=BE，AF⊥DE于点G，则．【知识点：直角三角形相似的判定及应用，正方形性质】9．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=15．D为AC上一点，AD=2CD，CH⊥BD于H，点G是AB中点，连接GH，则GH=．【知识点：相似三角形的判定及应用，三角形全等，等腰直角三角形性质；数学思想：数形结合】10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点E，F分别是BC，AC边上的点，且∠AEF＝∠B．(1)求证：AC·CF＝CE·BE；(2)若AB＝10，BC＝12，当EF∥AB时，求BE的长．【知识点：相似三角形的判定及应用；数学思想：数形结合】探究型多维突破11．如图，五边形ABCDE是正五边形，其边长为2，对角线BE，CE与对角线AD分别交于点F，G．给出下列结论：①∠AFE=108°；②；③FG=3﹣；④S△EBC=2﹣1．其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点：相似三角形的判定及应用，勾股定理，正五边形的性质；数学思想：数形结合】12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点E在AC上，AE=EC，AB延长线与ED延长线交于点F．求证：AB·AF＝AC·DF．【知识点：相似三角形的判定及应用；数学思想：转化思想】自助餐1．下列各组条件中，能推得△ABC与△GMN相似的是（）A．∠A=∠M且∠G=∠N B．∠A=∠B且∠G=∠NC．∠A=∠M且D．∠A=∠M且【知识点：相似三角形的判定】2．如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=8，AC=12．下列图中阴影三角形与原三角形不相似的是（）【知识点：相似三角形的判定；数学思想：数形结合】3．如图，在△ABC中，AE交BC于点D，∠EBC＝∠EAC，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，则DC的长等于()A．eq\f(15,4)B．eq\f(12,5)C．eq\f(20,3)D．eq\f(17,4)【知识点：相似三角形的判定3及应用；数学思想：数形结合】4．如图，，∠BAC=∠FGA=90°，AB=AC，下列不正确的是（）A．△DAE∽△DCAB．△EAD∽△EBAC．△BAE∽△CDAD．△BAD∽△CAE【知识点：相似三角形判定3，等腰直角三角形性质】5．如图，点E、F分别在矩形ABCD的边BC、DC上，且DE⊥AF于M，∠BAE=∠EAF，BE=3，AE=2，则MF的长是（）A．B．C．1 D．【知识点：直角三角形相似的判定及应用，正方形性质，勾股定理；数学思想：数形结合】6．如图，E为矩形ABCD的边DC中点，AD=AB，BP=2CP，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②；③；a④．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．③④【知识点：直角三角形相似的判定及应用，矩形性质；数学思想：数形结合】如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，BC=24，CD=18，则AD=．【知识点：直角三角形相似的判定及应用；数学思想：数形结合】8．如图，四边形ABCD是矩形，点E在边CD上，AD=4，AB=10，要使△ADE与△BCE相似，则DE的长为=．【知识点：直角三角形相似的判定及应用；数学思想：数形结合、分类讨论】9．如图，在△ABC中，∠BAD=∠CAD，延长BC到E，EF⊥AD于点F，FG=FD，连接EG交AC于点H．若AB：AC=5：4，点H是AC的中点，则AG:FD的值为．【知识点：三角形全等，等腰三角形，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定及应用；数学思想：数形结合】已知：如图，在△ABC中，CM⊥AB于M，BN⊥AC于N．求证：△AMN∽△ACB．【知识点：相似三角形的判定及应用】11．如图，在直角△ABC中，斜边AB=100，AC=80，点M从A点出发沿AB边以每秒10个单位的速度向点B运动，同时点N从C点出发沿CA边以每秒8个单位的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜10），连接MN．（1）若△AMN与△ABC相似，求t的值；（2）连接BN，CM，若BN⊥CM，求t的值；（3）试证明：MN的中点在△ABC的一条中位线上．【知识点：相似判定及应用；数学思想：数形结合】12．如图，在△ABC中，AM垂直平分BC，AM=16，BC=20．点G从点B出发沿线段BC以每秒6个单位长度的速度向点C运动，与此同时，平行于BC的直线m从底边BC出发，以每秒4个单位长度的速度沿MA方向平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点G到达点C时，点G与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接ME、MF，求证：四边形AEMF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△GEF的面积存在最大值，当△GEF的面积最大时，求线段BG的长；（3）是否存在某一时刻t，使△GEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．【知识点：菱形的判定与性质，相似三角形判定及应用，勾股定理；数学思想：数形结合、分类讨论】五．参考答案预习自测1．相等成比例2．相似3．相似随堂检测CBADC课后作业基础型1．B2．C3．A4．D5．40由射影定理，得，即，AB=50，∴BC=40．6．4或6如图1，当MN∥BC时，则△AMN∽△ABC，故AM:AB=AN:AC=MN:BC，则3：9=MN:12，解得：MN=4，如图2所示：当∠ANM=∠B时，又∵∠A=∠A，∴△ANM∽△ABC，∴AM:AC=MN:BC，即3：6=MN:12，解得：MN=6，故答案为：4或6．能力型7．C由四边形EGFH是菱形，则EF⊥GH，假设线段EF、GH交于点O,则O为AC中点，则，又∽，则，解得AE=7．5．故选C．8．由∽，得．9．在BD上截取BE=CH，连接CG，GE，∵∠ACB=90°，CH⊥BD，∵AC=BC=15，CD=5，∴BD=5，∴△CDH∽△BDC，∴，易证△CHG≌△BEG，∴GE=GH，∠BGE=∠HGC，∵GC⊥BG，∴∠EGH=90°，即△HGE是等腰直角三角形，10．(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠AEF＝∠B，∴∠AEF＝∠B＝∠C，∵∠AEC＝∠BAE＋∠B，∠AEC＝∠AEF＋∠FEC，∴∠BAE＝∠FEC，∴△ABE∽△ECF，∴，∴AB·CF＝CE·BE，∵AB＝AC，∴AC·CF＝CE·BE∵EF∥AB，∴∠AEF＝∠BAE，∵∠AEF＝∠C，∴∠BAE＝∠C，∵∠B＝∠B，∴△BAE∽△BCA，∴，∵AB＝10，BC＝12，∴eq\f(10,12)＝，∴BE＝eq\f(25,3)．探究型11．C∵∠BAE=∠AED=108°，∵AB=AE=DE， ∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°， ∴∠AFE=180°﹣∠EAF﹣∠AEF=108°，故①正确； ∵∠AEG=108°﹣36°=72°，∠AGE=36°+36°=72°，∴∠AEG=∠AGE， ∴AE=AG， 同理DE=DF，∴AE=DF，∵∠EAD=∠AEF=∠ADE=36°， ∴△AEF∽△ADE，∴，∴AE2=AF•AD；∴AG2=AF•AD；故②正确； ∵AE2=AF•AD，∴22=（2﹣FG）（4﹣FG），∴FG=3﹣；故③正确； 在正五边形ABCDE中， ∵BE=CE=AD=1+，∴BH=BC=1， ∴EH==， ∴S△EBC=BC•EH=×2×=，故④错误； 故选C． 12．∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠BAC＝90°，∠ABD＝∠ABD，∴△ABC∽△DBA，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,AD)，∠BAD＋∠DAC＝∠C＋∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠C，∠ADC＝90°，点E为AC的中点，∴DE＝EC，∴∠C＝∠EDC＝∠BDF，∴∠BDF＝∠FAD，在△FBD和△FDA中，∠F＝∠F，∠BDF＝∠FAD，∴△FBD∽△FDA，∴eq\f(BD,AD)＝eq\f(DF,AF)，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(DF,AF)，∴AB·AF＝AC·DF．自助餐1．C2．C只要三个角相等，或者一角相等，两边成比例即可．Ｃ项不成比例．3．A由△ADC∽△BDE，得，又AD∶DE＝3∶5，AE＝8，∴AD=3，DE＝5，，∴DC=eq\f(15,4)．4．D由题意得，只有D不正确．5．D∵∠BAE=∠EAF，且DE⊥AF，∠B=90°，∴AB=AM，BE=EM=3，又∵AE=2，∴，设MD=a，MF=x，由△ADM∽△DFM，得，∴DM2=AM•