浙江省宁波市2023-2024学年高一年级下册期中考试数学试卷（含解析）

镇海中学2023学年第二学期期中考试

高一数学试题卷

本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项:

L答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案标号涂黑.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位

置上；不准使用铅笔和涂改液.

4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破.

选择题部分（共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的.

.复数z=i

14=1+L2,其中i为虚数单位，则复数z=4*Z2在复平面内所对应的点在第（）象限

A.一B.二C.三D.四

2.边长为2的正三角形的直观图的面积是（)

「3G

A8B.2GD.2瓜

42

3.甲乙丙丁四位同学各掷5次骰子并记录点数，方差最大的是()

甲：45455乙：42343

丙：23234T：6126

A.甲D.乙C.丙D.T

4.若a,b,。为空间中的不同直线,a，。7为不同平面,则下列为真命题的个数是（)

(£>a1c,8_Lc,则。〃力；②。_La,bLa,则。〃b；

③a上7，BLy,则。〃@ala,a1p,则a〃尸.

A.0C.2D.3

5.一个射击运动员打靶6次的环数为：9,5,7,6,8,7下列结论不正确的是（）

A.这组数据的平均数为7B.这组数据的众数为7

C.这组数据的中位数为7D.这组数据的方差为7

6.如图，正三棱柱的所有边长都相等，尸为线段85'的中点，。为侧面囱5'C'C内的一点

第1页/共30页

（包括边界，异于点P）,过点A、P、。作正三棱柱的截面，则截面的形状不可能是（）

A.五边形B.四边形

C.等腰三角形D.直角三角形

7.已知球。为校长为1的正四面体488的外接球，若点尸是正四面体力8co的表面上的一点，。为球

。表面上的一点，则|P@的最大值为（）

入瓜网在口屈

•BO.■V-C.---

61242

8.三棱锥P—NBC中，PA=PB,b=4,BA=BC=2,ZABC=—f则三棱锥尸一的体积

的最大值为（）

A.1B.2C.6D.12

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，有选错的得。分，部分选对的得部分.

9.已知事件4,4满足尸（力）=0.2,P（B）=0.6f则（）

A.事件4与6可能为对立事件

B.若4与8相互独立，则尸（，3）=0.48

C.若4与3互斥，则尸（4UB）=0.8

D若/与8互斥，则尸（45）=0.12

10.如图，在正方体力BCD—44GA中，河,ME分别为线段力A，AC,8a中点，尸,。分别为线

段3七，线段CA上的动点，则三棱锥"—尸QV的体积（）

第2页/共30页

A.与P点位置有关B.与尸点位置无关

C与。点位置有关D.与。点位置无关

11.如图，三棱锥中，AJBC为力长是石的正三角形，B4_L底面48C，PA=2,0是线段8c

A.点8到平面尸4。的距离的最大值为3:

B.三棱锥P—48C的内切球半径为2

O

C.P8与力。所成角可能为工

4

4

D.与平面尸5c所成角的正切值的最大值为§

非选择题部分（共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为6,则事件“卜-可工1”的概率为

13.正方体力88-44GA棱长为2,N为线段4c上一动点，”为线段。A上一动点，则4M+MV

的最小值为.

14.某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车

间生产的该产品中，共抽取70件做使用寿命的测试，则C车间应抽取的件数为；若出B,C

三个车间产品的平均寿命分别为200,220,210小时，方差分别为30,20,40,则总样本的方差为.

第3页/共30页

C车间

30%

4车间

20%

8车间

50%

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知复数z满足方程（l+ai）z=历，其中i为虚数单位，a9beR.

（1）当a=l,6=2时，求恸；

（2）若z•彳=1，求从+4的最小值.

16.正方体ZBC。-44GA棱长为2,E,尸分别为4。和GA的中点.

4E2

（1）证明：宜线C尸〃平面3DE；

（2）求直线4%与平面80七所成角的正切值.

17.为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，进一步推动青少年学生阅读深入开展，促进

全面提升育人水平，教育部决定开展全国青少年学生读书行动.某校实施了全国青少年学生读书行动实施方

案.现从该校的2400名学生中发放调查问卷，随机调查100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照

[0,20）"20,40）,…[120,140]分组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟）

“频率/组距

0.015

0.0125

0.0075

0.005

0.0025

°20406080100120140周课外阅读时间

（分钟）

（1）若每周课外阅读时间1小时以上视为达标，则该校达标的约为几人（保留整数）;

第4页/共30页

（2）估计该校学生每周课外阅读的平均时间；

（3）估计该校学生每周课外阅读时间的第75百分位数（结果保留1位小数）.

18.如图，已知三棱台44G的体积为递，平面平面8CC£，是以8为直角

12

顶点的等腰直角三角形，且48=244=24为=2BB、,

（1）证明：8C上平面用4；

（2）求点8到面4CG4的距离；

（3）在线段CG上是否存在点使得二面角尸的大小为色，若存在，求出C尸的长，若不存在,

6

请说明理由.

19.球面几何学是在球表面上的几何学，也是非欧几何的一个例子.对于半径为我的球。，过球面上一点A作

两条大圆的弧右，AC，它们构成的图形叫做球面角，记作W8/C（或44）,其值为二面角8-力。一。

的大小，点A称为球面角的顶点，大圆弧标,7己称为球面角的边.不在同一大圆上的三点48,C,可以得

到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧筋，部,B，这三条劣弧组成的图形称为球面-8C,这三条劣

弧称为球面"8C的边，46,C三点称为球面-8c'的顶点；三个球面角称为球面-8c的

三个内角.

已知球心为O的单位球面上有不同在一个大圆上的三点4民。.

JT

（1）球面A3。的三条边长相等（称为等边球面三角形），若44=7,求球面&45C的内角和:

2

第5页/共30页

(2)类比二面角，我们称从点P出发的三条射线尸历,尸乂,尸。组成的图形为三面角，记为P—MNQ.

其中点尸称为三面角的顶点，PM,PN,P。称为它的棱，NMPN,NNPQ,NQPM称为它的面角.若三面

角。-48c的三个面角的余弦值分别为且，也，逅.

323

(i)求球面的三个内角的余弦值；

(ii)求球面的面积.

镇海中学2023学年第二学期期中考试

高一数学试题卷

本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案标号涂黑.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位

置上；不准使用铅笔和涂改液.

4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破.

选择题部分(共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.复数Z=l+Lz2=i,其中i为虚数单位，则复数z=Z1,Z2在复平面内所对应的点在第()象限

A.-B.二C.三D.四

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数乘法运算和复数几何意义即可求解.

【详解】由题z=Z]・Z2=(l+i)・i=-l+i,

所以复数z对应的点的坐标为故在复平面内复数z对应的点在第二象限.

故选：B.

2.边长为2的正三角形的直观图的面积是()

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A卡「3V3

B.25/3V.---D.2限

42

【Y】A

【解析】

【分析】作出正三角形的直观图，求出高，计算面积即可.

【详解】正三角形的直观图如图:

由题意46=2,(?C=—，NCOD=45°，

2

所以过点。作CO_L48,垂足为。,

则。。二巫，所以三角形的面积为：J_x2x逅=逅

4244

故选：A

3.甲乙丙丁四位同学各掷5次骰子并记录点数，方差最大的是（）

甲：45455乙：42343

丙：23234T：6I261

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】D

【解析】

【分析】根据条件,利用方差的定义，分别求出甲乙丙「四位同学各掷5次骰子的点数的方差，即可求出

结果.

23

【详解】由题知/[(4(5-y)2+(4-y)2-

Tl-T(5-

1T6

所以S：=；[(4_与)2+(2-?)2+(3-守+(4学+。_^

>

14

=y»所以与=#（2-晟14守+(3-*+(4-7

分

多,所以s；=([(6_?)2+。_?)2+(2-务+(6-当2+。一

/

所以方差最大的是丁,

故选：D.

第7页/共30页

4.若£,b,。为空间中的不同直线，a,B,7为不同平面，则下列为真命题的个数是（）

①a_Lc,b_Lc,则。〃6；②〃_La,b_La,则〃〃万；

③ad,y,0Ly,则。〃/；@ala,则a〃夕.

A.0B.1C.2D.3

【答窠】C

【解析】

【分析】由空间中线面的位置关系判断即可.

【详解】对于①4_LC,bJ,c,则。与b可能平行，可能异面，可能相交，故①错误；

对于②a_La,bla,垂直于同一平面的两条直线平行，故②正确；

对于③aJ.7,/?!/,垂直于同一平面的两个平面可能平行，可能相交，故③错误；

对于④aJ.a.aAfl,垂直于同一直线的两个平面平行，故④正确：

故选：C

5.一个射击运动员打靶6次的环数为：9,5,7,6,8,7下列结论不正确的是（）

A.这组数据的平均数为7B.这组数据的众数为7

C.这组数据的中位数为7D.这组数据的方差为7

【答案】D

【解析】

【分析】由一组数据的数字特征求解判断即可.

【详解】9,5,7,6,8,7这组数据从小到大排列，5,6,7,7,8,9,

所以众数为7,中位数为7,平均数为5+6+7：,+8+9=7,

6

方差为：（5-7）2+（6-7『+（7-7）2+（7-7）2+（8-7）2+（9-7>_5.

63

故选：D

6.如图，正三棱柱46C-H8'C'的所有边长都相等，P为线段88'的中点，。为侧面33'C'C内的一点

（包括边界，异于点尸），过点A、P、。作正三棱柱的截面，则截面的形状不可能是（）

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AfC

A.五边形B.四边形

C.等腰三角形D.直角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】当P。的延长线与线段8'C'（除端点外）相交于点尸时，作出截面，即可判断B,对的延长线

与线段CC'、BC（除8点外）相交时截面为三角形，结合B即可判断A,利用特殊点判断C、D.

【详解】对于B：当尸。的延长线与线段BC'（除端点外）相交于点尸时，延长P。交CC的延长线于点0，

连接对）交HC'于点E，连接石户，

此时过点A、尸、。作正三棱柱的截面为四边形4户在"（当。在线段8'C’（除端点外）时截面也为四边

对于A：当P。的延长线与线段CC'、BC（除8点外）相交

（或点0在线段CC'、BC（除8点外）上时）截面为三角形,

结合B选项可知，截面为三角形或四边形，不可能为五边形，故A错误;

对于C：取CG的中点。，连接P。、AQt又尸为线段55'的中点，

所以［尸二力。，所以尸。为等腰三角形，故C正确;

第9页/共30页

A'C

对于D：取8C的中点。，连接40、PQ,

因为三棱柱NBC—48'。'为正三棱柱，所以4Q18C,

又883平面/8C，［0<=平面NBC,所以88'_L4。，

又BCCBB'=B,6C66七平面85'C'C,所以4。_L平面88'C'C,

又「Qu平面88'C'C,

所以4。_1尸0,所以44尸。为直角三角形，故D正确;

故选：A

7.已知球。为棱长为1的正四面体力8co的外接球，若点尸是正四面体48co的表面上的一点，。为球

。表面上的一点，则|尸。|的最大值为（）

A."B.旦C.如D.也

61242

【答案】D

【解析】

【分析】求出正四面体外接球半径，再分析出归。|最大值即可外接球直径.

【详解】首先求出正四面体外接球的半径：

由正四面体的对称性与球的对称性可知球心在正四面体的高上：

设外接球半径为R，如图（0为外接球球心，G为△8C0的重心），

第10页/共30页

百rr?「0班”1二尸6

CE=——,CG=—CE=——,EG=-CE=——，

23336

:.AG=y]AC2-CG2=—.OG=--R^

33

RMOCG中,oc2=OG2+CG2»

即RYJ百丫瓜

13J4

因为点P是正四面体ABCD的表面上的一点，Q为球0表面上的一点，

则归。|的最大值相当于外接球的直径，则\PQ\最大值为2R=2x*=半.

故选：D.

8.三棱锥产一44C中，PA=PB,CP=4,BA=BC=2,ZABC=—,则三棱锥尸一ABC的体积

3

的最大值为（）

A.1B.2C.6D.12

【答案】B

【解析】

【分析】画出三棱锥的外接球，当点尸在三棱锥尸-45C的外接球的顶端时，且尸QJ_平面48G

点尸到平面43C的距离尸O最大，则三棱锥尸-4BC的体积的最大，求解即可.

【详解】如图：

第11页/共30页

因为胡=3C=2,ZABC=—

由余弦定理得：AC2=4+4-2x2x2xcos—=12,

3

所以WC=2JJ，A43C外接圆的圆心为O,

1AC_12>/3_.

则半径3『二y

32

如图，当点尸在三棱锥P-48C的外接球的顶端时，且尸。_L平面48C,

点P到平面43C的距离PD最大,

又CP=4,所以尸£)=J16-4=2万，

c=—x2x2xsin—=>/3,

8c

23

所以三棱锥P-ABC的体积的最大值为:S”5c•尸。=；乂百乂2b=2.

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，有选错的得。分，部分选对的得部分.

9.已知事件44满足尸（4）=0.2,尸（〃）=0.6,则（）

A.事件4与8可能为对立事件

B.若4与8相互独立，则尸（，3）=0.48

C.若4与8互斥，则尸（4UB）=0.8

D.若4与8互斥,则尸（48）=0.12

【答案】BC

【解析】

【分析】根据对立事件的定义判断选项A；若48相互独立，则彳,3相互独立，可以判断选项B；4B互

斥，判断选项C和D.

【详解】对于A,由尸（4）=0.2，尸（3）=0.6,则尸（N）+P（4）wl,故A错误；

对于B,A与8相互独立，则N与8相互独立，

故尸（1B）=P（N）P⑻二（1一尸⑷）尸⑻=0.48故B正确:

第12页/共30页

对于CD,4B互斥，则尸（4D8）=P（/）+P（8）=0.8,P（/B）=尸（0）=0,故C正确，D错误.

故选：BC

10.如图，在正方体—48GA中，”,ME分别为线段42，AC,瓦。中点，P,。分别为线

段BE,线段C"上的动点，则三棱锥M-的体积（）

A.与尸点位置有关B.与尸点位置无关

C.与。点位置有关D.与。点位置无关

【答案】BD

【解析】

【分析】利用线面平行的判定定理可得3E〃平面O/C,CQ//平面PMN.再根据等体积法即可求解.

【详解】如图所示，连接4»,AC,CDi，DN,

因为正方体48。一44。|。中，N,E分别为线段/2，BQ1中点、，所以BE〃ND「

因为NAu平面。/C,BEa平面。/C,所以8E〃平面Q/C,

又因为尸是线段3E1上的动点，且平面。暇N与平面O/C共面,

所以点P到平面QMN的距离与p点位置无关,

所以三棱锥加一尸QN的体积与尸点位置无关，A说法错误，B说法正确,

同理因为A/,N分别为线段4c中点，所以MN〃CD1,

第13页/共30页

因为MVu平面PMN,CQ（Z平面尸MN,所以CDJ/平面PMN,

又因为0是线段C0上的动点，所以点。到平面PMN的距离与0点位置无关，

所以三棱锥M-PON的体积与。点位置无关，C说法错误，D说法正确，

故选：BD

11.如图，三棱锥尸一48c中，为边长是由的正三角形，底面/BGPA=2,。是线段3C

上一动点，则下列说法正确的是（）

B.三棱锥P-4BC的内切球半径为装

O

C.PB与AQ所成角可能为-

4

4

D.4。与平面P8C所成角的正切值的最大值为§

【答案】ABD

【解析】

【分析】取4C的中点为。，连接8。，求出8。即可判断选项A；由等体积法即可计算内切球半径判断选

项B：当点。与点3重合时，依与40所成角最小，即可判断选项C；当点。为8c'的中点时，力。与平

面P8C所成角的正切值的最大，即可判断选项D.

【详解】当点。与点C重合时，点8到平面尸4。的距离的最大，

取4c的中点为。，连接30,>4。为正三角形，所以3D_L/C,

第14页/共30页

又P/J■底面/BC,8Qu底面48C,所以P4LBD,

PAQAC=A,04/Cu平面尸ZC,所以3。上平面尸ZC,

所以点B到平面PAQ的距离的最大为BD=.「3=2,故A正确;

V42

设三棱锥尸-48C的内切球半径为，由等体积法可得：

154ABe'P4=g(S“Bc+S“Bp+S»b+S.pBc"，

PB=PC=4^=不，所以APBC的Be边上的高为

S“咏=；xGxg,

所以,X5/JX3X2=—xVJx—+—x^/3x2+—X5/3X24--x\/3x—V

22(222222)

E

P8与力。所成角即为NPB。，当点。与点。重合时，PB与4Q所成角即为NPBE,

随着点。在8C边上由8到。运动过程中，点。越靠近点C，依与力。所成角越大,

所以当点。与点5重合时，尸8与40所成角最小为NPB4,

2

此时tanZPBA=忑>1,

所以P8与40所成角大于三，故C错误；

4

如图过点A作力O垂直于平面尸8C,垂足为0,

第15页/共30页

p

则40与平面P8C所成角为N4。。，tan/40O=正，由于/0不变，

所以0。最小时，tanN4。。最大，

如图当点。为BC的中点时，AQ与平面P8C所成角的正切值的最大，

PA24

tanZ.AQP=——=—=-

此时，AQ3,

2

4

所以与平面P8C所成角的正切值的最大值为故D正确.

故选：ABD.

非选择题部分（共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为6,则事件”的概率为

4

【答案】-

9

【解析】

【分析】采用列举法可得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结

果.

【详解】将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数（〃力）所有可能的结果有：

（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,

（3,1）,（3,2卜（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,

（5,1）.（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6）,共36个基本事件;

其中满足的有：

（1,1）,（1,2）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,5）,（6,6）,

第16页/共30页

共16个基本事件,

164

.•.所求概率p二-7■二一.

369

4

故答案为：—.

9

13.正方体4BCD-44GA棱长为2,N为线段4c上一动点，M为线段DR上一动点，则4M+MN

的最小值为.

【答案】J10+4后相”夜+10

【解析】

【分析】先明确MN最小值情况，进而得到最小时MN位置，然后把空间两根线段和4〃+朋N等价

转化成共面的两根线段和GM+MN即可求解.

【详解】如图，连接MC,MA,

则由题意可知当为等腰三角形，当MN垂直丁ZC时最短，

此时M为4C中点，MNu面DRBiB,

如图延长与。至G,使得。。二。4,连接GW,

则MGu面DRB]B,且GA/=4M,

所以M,G,Nu面DD^B,故当三点共线时AXM+MN=GM+MN最小,

此时A、M+MN=GM+MN=SN'OG=yj22+(2+嗡=V10+4x^.

故答案为：J10+4忘.

14.某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车

间生产的该产品中，共抽取70件做使用寿命的测试，则C车间应抽取的件数为；若4B,C

三个车间产品的平均寿命分别为200,220,210小时，方差分别为30,20,40,则总样本的方差为.

第17页/共30页

【答案】①.21；②.89

【解析】

【分析】根据分层抽样按比例抽取即可得到C车间应抽取的件数；由分层抽样的方差公式：

52+(吊-可2卜半卜2+(吊-可[++(弓-可[计算即可•

【详解】解：由分层抽样方法可得：抽取C车间应抽取的件数为70x30%=21；

样本的总体平均数为：x=20%x200+50%x220+30%x210=213,

样本的总体方差为：/=2[30+(200-213)1+工[20+(220—213)[++[40+(210-213)1=89,

故答案为：21；89.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知复数z满足方程(l+ai)z=bi,其中i为虚数单位，a,beR.

(1)当〃=1,8=2时，求回；

(2)若z•彳=1，求的最小值.

【答案】(1)V2

⑵3

4

【解析】

【分析】(1)方法一：利用复数除法运算整理得到z,由模长运算定义可求得结果:

方法二：根据兔数模长运算性质直接求解即可；

(2)由zE=目2=1可整理得到62=。2+1，根据二次函数最值可得结果.

【小问1详解】

当a=l,/)=2时，(l+i)z=2i

22

方法一：,?=*=《—)=]+i,izi=7i+i=72；

i+i"I11

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方法二忸=舄=备=&-

【小问2详解】

vz-z=|z|2=1,|z|=1»即一jJ=T，Z>2=a2+b

y/a2+\

:.b2-a=a2+a+\=[a+^-\+/的最小值为g.

I2j444

16.正方体4BCQ-棱长为2,E,尸分别为4。和G。的中点.

(1)证明：直线C广〃平面8QE；

(2)求直线与平面8OE所成角的正切值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)旦.

4

【解析】

【分析】(1)取44中点G,证明E,G,B,。四点共面，根据线面平行的判定定理可得结果；

(2)取EG,中点分别为尸，Q,连接尸。，取4。中点“，连接尸“，根据线面垂直的判定定理及面面

垂直的判定定理可得直线AA｝与平面BDE所成角为4HPQ,进而可得结果.

【小问1详解】

如图一所示：取力£中点G,连接bG,EG,G5,BR,

E,尸分别为4。和GA的中点，・・・GE•〃4A，易选BD〃B\D\,：.GE〃BD,

G,B,。四点共面，又FG〃B£,FG=B£,B£〃BC,B£=BC,

:.四边形FGBC为平行四边形.JCF〃BG,

又。尸《平面改78。，86(=平面£：68。，CF〃平面BDE.

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如图二所示：取EG,8。中点分别为p,Q,连接尸。，取4。中点儿连接P4,

由题意得力4，平面43C。，・•・又4。上BD、AA^AQ=A,AA^40u平面44。。，

・・・8。工平面447。，8Ou平面EG5Q,，平面尸。_L平面EG8O,

交线为尸。，易证产，〃/4，・・・直线4%与平面8OE所成角为NHP。,

因为|P"|=|44j=2,在放中，M0=；|G©=乎,

在中，[4。|=/8。|=&,所以|“@=|42卜|4叫二|<°|一|4Pb孝，

图二

17.为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，进一步推动青少年学生阅读深入开展，促进

全面提升育人水平，教育部决定开展全国青少年学生读书行动.某校实施了全国青少年学生读书行动实施方

案.现从该校的240()名学生中发放调查问卷，随机调查100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照

[0,20),[20,40),…[120,140]分组后绘制成如图所示的频率分布直方图(单位：分钟)

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20406080100120140周课外阅读时间

（分钟）

(1)若每周课外阅读时间1小时以上视为达标，则该校达标的约为几人（保留整数）;

(2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间:

(3)估计该校学生每周课外阅读时间的第75百分位数（结果保留1位小数）.

【答案】（1）1440；

（2）68分钟:(3)86.7

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图求出阅读时间1小时以上的频率，进而求出达标人数;

（2）根据频率分布直方图求数字特征平均数可得结果;

（3）根据频率分布直方图求数字特征百分位数可得结果;

【小问1详解】

由题意知(0.015+0.0075+0.005+0.0025)x20=0.6,

每周课外阅读时间为1小时以上的人数约为0.6x2400=1440.

【小问2详解】

该校学生每周课外阅读的平均时间为：

（0.0025x10+0.005x30+0.0125x50+0.015x70+0.0075x90+0.00*HOi-0.002*130%20=68

分钟.

【小问3详解】

因为前4组的频率和为（0.0025+0.005+0.0125+0.015）x20=0.7,

第5组的频率为率0075x20=0.15,所以第75百分位数位于第5组怜0,100）内.

所以估计第75百分位数为80+一°,X20-86.7.

0.15

18.如图，已知三棱台/8C-48cl的体积为T士，平面J_平面BCCM，是以8为直角

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顶点的等腰直角三角形，且48=244=2/1,5,=2BB],

(1)证明：BC」平面

(2)求点8到面4CG4的距离；

(3)在线段CG上是否存在点尸，使得二面角尸的大小为：，若存在，求出C尸的长，若不存在,

请说明理由.

【答窠】(1)证明见解析

⑵酒

7

(3)存在，。尸=逑

5

【解析】

【分析】(1)根据棱台的性质、长度关系和勾股定理可证得力用_L5q；由面面垂直和线面垂直的性质可

证得Nq_L8C,结合5C_L45可证得结论；

Q

⑵廷长44,5及CG交于一点P,根据/YOC=,嗫叱_%2啊可求得%的，利用体积桥L的=/PAC

可构迨方程求得结果；

(3)根据线面垂直和面面垂直性质可作出二面角的平面角，设此=技，根据几何关系可表示出。E,

由二面角大小可构造方程求得f,进而得到结果.

【小问1详解】

连接N4，

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a

在三棱台力5C-44G中，AB〃A\B\；

•・,AB=2AA}=2J,B,=234，.•.四边形ABB}A}为等腰梯形且NABB】=Z.BAA,=60°,

设4B=2x,则84=%.

由余弦定理得：AB；=AB2+BB；-2AB-BB.cos60°=3x2,

AB2=AB；+BB；,AB,1BB1；

•.•平面力/?用4i平面ACCe.平面4月用4n平面A。。册二8印，4%「平面力

.平面8CGA，又BCu平面8CC£,.•.4418。：

•.•△43C是以8为直角顶点的等腰直角三角形，BC上AB,

vAB[}ABx=Af//35](=平面4544，「・3。，平面48。4.

【小问2详解】

由棱台性质知：延长44,8B1,CG交于一点产，

=~AB,S&ABC=4sA4MG，・,^P-ABC=8%481cl,

_8_876_26\

…Vp-ABc-'Gc-481cl-yx|2-W-；

•••3。_1平面4844,即3c工平面P43,

/.BC即为三棱锥P-ABC中，点b到平面PAB的距离，

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由（1）中所设：4B=BC=2x,NPAB=/PBA=60°，

.,・△P4B为等边三角形，：.PA=PB=AB=2x,

1c“11八\2J3r29332J3.,

VTZp=-S•BC=­x—x（2x）x—x2x=-------x=-，♦・x=l；

PTBC332v7233

:.AB=BC=PA=PB=2,：,AC=PC=2五,

・•.Smc=gx2x、2可一f=正，

设所求点8到平面力CG4的距离为d,即为点8到面R4C的距离，

1与

Sdd=

P-ABC='B-PAC，3-AC-3

即点△到平面AC.CXAX的距离为拽I.

7

【小问3详解】

•••3C，平面46与4,BCu平面48C,••・平面Z3C1平面尸48,

••,平面ABCn平面PAB=AB

，取AB中点N,在正4P/B中，PN14B,，PN上平面4BC,

又「Zu平面PNC,•..平面PNC,平面48c.

作FELCN,平面PNCA平面N8C=CN,则户‘E_L平面43C,

作ED上4B,连接月D,则ED即即在平面/BC上的射影，

•.•此,平面片区。，45u平面/BC,.•.43_1在，

•・・DECFE=E,。瓦厂Eu平面。所，.：48人平面。所，

•;FDu平面DEF,/.AB1FD,NTOE即二面角E-46-C的平面角.

设FE=G，

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在△PCN中，作POLCN,

•・•FEYCN,:.POHFE,又FE_L平面力3C,P。_L平面/8C,

•••V