北京市朝阳区2024届高三5月二模数学试卷及答案

北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测二

数学2024.5

(考试时间120分钟满分150分)

本试卷分为选择题40分和非选择题110分

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题,每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目

要求的一项。

(1)已知集合4=1工6即，<10},8=|2,3,4,5|,则4。8=

(A)|2|(B)|2,3}(C)|3,4|(D)|2,3,4|

(2)下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是

(A)/(x)=sinx(B)/(x)=cosx

(C)/(x)=/7(D)/(x)=?

Y3)设等差徵列1%|的前几项和为S.,若a,=1.=7,则=

(A)60(B)80(C)90(B)100

(4)已知抛物线C：y2=4x的焦点为F,点P为C上一点.若IP"=8,则点P的横坐标为

(A)5(B)6(1)7(D)8

(x24-1,

(3)已知函数/(%)=存在最小值,则实数a的取值范围是

121-a,x>l

(A)(-oo,l](B)(-oo.l)(C)[l,+oo)(D)(l,+oo)

(b)已知a,乃是两个互相垂直的平面J,m是两条直线,aA?=/,则“mU”是“zn1a”的

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

(“)在平面直角坐标系4。》中，锐角a以。为顶点,Ox为始边.将a的终边绕0逆时针

旋转孑•后与单位圆交于点P(%,y),若cosa=余，则7~

(A)-Y(8)(C)|(D)y

□3JJ

高三数学第l页(共6页)

(8)假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力/满足公式/=上*2其中，是空气密

度,S是该飞行器的迎风面积,”是该飞行器相对于空气的速度,C是空气阻力系数

(其大小取决于多种其他因素)，反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功

率尸=加当p,S不变,U比原来提高10%时，下列说法正确的是

(A)若。不变，则P比原来提高不超过30%

(B)若C不变，则P比原来提高超过40%

(C)为使P不变，则C比原来降低不超过30%

(D)为使P不变，则C比原来降低超过40%

(9)已知双曲线(?：马-4=1(。>0,6>0)的右焦点为尸,。是双曲线。的半焦距,点4是

ab

圆/+/=©2上一点，线段FA与双曲线C的右支交于点氏若I=a„FA=2FB,

则双曲线C的离心率为

⑷4(B)吸

(D)挈

(C)#

(X))北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和

公式.如图,由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab个小球，第

二层有(a+1)(“1)个小球悌三层有(。+2)(6+2)个小球……依此类推,最底层

有4个小球，共有层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为

.(Z'+d3+Qj+B)""")"若由小球堆成的某个长方台形垛积共&层，小

球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为

(A)l

(B)2

(C)3

(D)4

跖己数学第2页(共4页)

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题,每小题5分，共25分。

(11)若复数z满足(1-i)z=2,则z的虚部为.

(12)已知向量。=(3,4)@=(-〃,2),且(0+力)〃%则实数上=•

(13)在(1-34)”的展开式中，若各二项式系数的和等于64,则〃=，此时/的

系数是.(用数字作答)

(14)若直线y=H%+2)-1与曲线y=/K有两个不同的交点，则实数4的一个取值,,

为.

(15)设n为正整数，已知函数/O=/-1/(工)=ysin2Trx,当

ke[1,2,3|时,记乙=14(%)-£(00)1+1£(02)-£出)1+“,+)(%)-启*)1,

其中%=上&=0,1,2,…,n).给出下列四个结论：

n

①VneN,/]=1•

②VneN*,I2</3；

③若〃=2023,则力</.</3；

④若〃=2024,则A<4<A-

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(16)(本小题13分)

在△熊C中，乙/为锐角，且sin24=-j-cosA.

(I)求cos4的值；

(口)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求C.

条件①：cosB=亭;

条件②:a=9；

条件③：6=10.

注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.

高三数学，第3页(共6页)

（17）（本小题13分）

科技发展日新月异，电动汽车受到越来越多消费者的青睐.据统计,2023年1月至

12月A,B两地区电动汽车市场各月的销售量数据如下：

1月2月3月4月5月e月7月8月9月10月11月12月

A地区

29.439.754.349.456.265.461.168.270.271.977.189.2

（单位:万辆）

B地区

7.88.88.18.39.29、79.910.49.48.910.1

（单位:万辆）10.

月销量比3・84.56.76.06.16.56.36.96.87.68.78.8

月销坦比是指:该月A地区电动汽车市场的销售量与B地区的销售量的比值（保留一位小数）.

（I）在2023年2月至12月中随机抽取1个月，求A地区电动汽车市场该月的销售量高

于上月的销售量的概率；

（U）从2023年1月至12月中随机抽取3个月，求在这3个月中恰有1个月的月销量比

超过8且至少有1个月的月销量比低于5的概率；

（DI）记2023年1月至12月A,B两地区电动汽车市场各月的销售量数据的方差分别为

s；，试判断s；与s；的大小.（结论不要求证明）

高三数学第4页（共6页）

(18)(本小题14分)

如图,六面体ABCD-EFGQ是直四棱柱与GR被过点A的平面a所截

得到的几何体J•底面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形=4,4E=2,CG=3.

(I)求证RCiq尸;

(D)求平面EFGDi与平面ABCD的夹角的余弦值；

(10)在线段。6上是否存在一点2,使得4尸〃平面初节"？若存在，求出黑的值;若不

〃G

存在，说明理由.2

(19)(本小题15分)

已知椭圆E的两个顶点分别为4(-2,0),B(2,0),焦点在工轴上，且椭圆E过点

C(畸).

(I)求椭圆E的方程；

(U)设。为原点，不经过椭圆E的顶点的直线Z与椭圆E交于两点P(/,%),

、(々,力)(4K町)，直线BP与直线OC交于点4,点M与点Q关于原点对称.

(i)求点〃的坐标(用々，力表示)；

(ii)若从凡M三点共线，求证:直线I经过定点.

高三数学第5页(共6页)

(20)(本小题15分)

已知函数/(*)=ax-ln(l-x)(aeR).

(I)求曲线y=/(%)在点(0,7(0))处的切线方程；

(口)若/U)注0恒成立，求a的值；

(HI)若/(%)有两个不同的零点与/2,且阮2-3>e-1,求a的取值范围.

(21)(本小题15分)

设n为正整数，集合4=[ala=(%,出，…，册)，％e[0,11,i=1,2,…，n],对于

a=3s,…，4)设集合P(a)=11eNlO^t^n-1,ai+J=a;,i=1,2,-.n-1|

(I)若a=(0,1,0,0,1,0)1=(Q,1,Q,0,1,Q,1。,0,1,0),写出集合P(K)，P(8)；

(11)若。=(%,(12,“・,4)“，且s,，wP(a)满足s<£,令a'=a…)wA…，

求证:t-seP(.a')；

(JU)若a=(­•••,4)*4,且P(a)=1«1,s2,•­•,«„1(sj<s2<…<sm,m23),求证:

2”+IMS*+st+2(k=1,m-2).

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

高三数学第6页(共6页)

北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测二

数学参考答案2024.5

一、选择题(共10小题,每小题4分，共40分)

(1)B(2)D(3)D(4)C(5)A

(6)B(7)D(8)C(9)A(10)B

二、填空题《共5小题,每小题5分，共25分)

(11)1(12)-^-(13)6135

I

(14)1(答案不唯一)(15)①③

三、解答题(共6小题，共85分)

(16)(共13分)

解：(I)因为sin2A=-1-cos^,

所以2siiL4cos4=-1-cos/4.

因为24为锐角，cosA>0,

所以sinA=-1-.

又因为sii/A+COS2A=1,

所以cosA=^1-(-1-)2=小....................................6分

(II)选条件①②：

因为cosB=李，又。<8<ir,

所以sinB=./l-2=1_.

2

由品备得片需上x了

5~

2

由COSB=Y±U-881+c-100

2x9xc

c2-66c-19=0,又c>0,

所以c=8+36.............................................................................................]3分

选条件①③：

因为cosB=字，又0<8<IT,

高三数学参考答案第1页(共6页)

所以sinB=J1一（与）2=多

,,..10X

由，-=_L_得._恒哩_____1_

sinAsinB'侍sinB_2_0

T

下同选条件①②.................................................

13分

选条件②③：

2

由cos4=从+c2一4_100+C-81

F—"号亍=-2xl0xc

即C2-16C+19=0,解得。=8土36.经检验，符合题意.............13分

（17）（共13分）.

解：（I）设事件C为“A地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售量,，

在2023年2月至12月中，A地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售

量的月份为2月、3月、5月、6月、8月、9月、10月、11月、12月，共9个月，

所以P（C）=含....................................................

（H）设事件D为“这3个月中恰有1个月的月销量比超过8且至少有1个月的月销

量比低于5”，在2023年1月至12月中，月销量比超过8的只有11月和12月，

月销量比低于5的只有1月和2月，

贝!].（0）=*~..................................I。分

（m）5：＞s：..........................................................13分

（18）（共14分）

解：（I）连接因为直四棱柱ABC。-4与CRi*尸〃03，

所以点歹在平面，内.

因为OQ_L底面ABCO,且ACU平面ABCD,

所以DDX±AC.

又因为底面ABC。为正方形，所以4c，BQ

又因为。RGB。=O,

所以月CJ■平面0HBR

所以............................................................"5分

（口）因为OR1•底面ABC。，

所以。。口_LOC.

又因为底面ABCO为正方形，所以加

如图建立空间直角坐标系D-柳，

则E（2,0,2）,G（0,2,3）（0,0,4）.

高三数学参考答案第2页（共6页）

因此瓦芥(2,0,-2),D^G=(0,2,-1).

设平面EFGR的法向量为"=(*y,z),则

(n•DjF=0,f2x-2z=0,

即

U-^G=o,l2y-z=0-

令z=2,贝！U=2,y=L于是"=(2,1,2).

因为0OiJ•底面ABC。，

所以函=(0,0,4)是平面ABCD的一个法向量.

设平面EFGDi与平面ABC。的夹角为则

----►In-DDI82

cos0=Icos<n,DD>I=------------X->=丹“=

XIni•\DD.\3x4J

2

...............................11分

所以平面EFGDi与平面ABCD的夹角的余弦值为了.

(DI)存在一点P使得AP〃平面EFGD{，此时舞斗,理由如下:

设苏=人反(Ac[0,l]),

贝!!»=万+芬=4+人反=(-2,0,0)+入(0,2,3)=(-2,2A,3A).

线段DG上存在一点P使得AP〃平面EFGDi等价于#•n=(),

即-4+2A+6A=0,

解得人=好•

所以黑=}...................................................14分

(19)(共15分)

解：(I)设椭圆E的方程为<+£=l(a>b>0).

ab

a=2,

由题意得21解得I"?，

/+育=1,U=1.

2

所以椭圆E的方程为亍+/=1,……:...........................................................5分

(n)(i)由题可知叼#±2且/KO.

直线BP的方程为y=^—(%-2),直线0C的方程为y=5

3-22

4%

y=X=

2y,-x+2)

由，得.t

r=2%

/=2%-町+2,

高三数学参考答案第3页(共6页)

所以H的坐标为(r％2%.....................&分

2%-航+22%-町+2’

(ii)由题可知，直线I的斜率存在.设直线I的方程为y=kx+m,

y=版+m,

由2，得(1+4炉)/+8而沈+47n2.4=0.

疝+片=1

由于直线I与椭圆E交于不同的两点，

所以A=(8加!尸_4(1+4炉)«/-4)=16(4炉_/+[)>0

47n2-4

则X,+X2=-77772,*1«2

JL।^rfCT74F,

由题可知川(-y2).

因为4,H,M三点共线，

2yl

所以/y；一盯+2=含，化简常心_夕2

—%+2工-2,

2/i-Xi+2

即3+mkx2+m

(44-1)々+(4m+2)-勺-2.

2

所以(4炉-2左))产2+(4km+2k-m)(xx+%2)+(4m+4m)=0.

所以(4炉-24)・包^—Y-(4km+2A-771)•-+(4/+4^)=0.

1+4必'1+4必'

化简得rrt-4炉+zn+2及=0,即(zn+2k)(m-2k+1)=0,

解得TH=-2k或m=2k-1.

当m=-2k时，直线l的方程为y=A(x-2)，经过(2,0),不符合题意.

当m=2Ll时，直线I的方程为＞=4(%+2)-1,经过(-2,-1),

其中—oj)U(/」)U(l,+8).

综上，直线2经过定点(-2,_1)....................................................15分

(20)(共15分)

解：(I)因为/(*)=g-ln(l-%),所以尸G)=。+六・

因为f(0)=0J'(0)=a+l，

所以曲线y=f(x)在点(0,/(0))处的切线方程为，=(。+1)乂........4分

(II)函数/(«)的定义域为(-8,1).

①当aNO时，/(-1)=-a-ln2<0,不符合题意.

②当a<0时，令f'(%)=0,得*=1+；,

d

当工e(-8,1+上)时，尸⑷<0,/(%)在区间(-oo,l+工)上单调递减,

aa

高三数学参考答案第4页(共6页)

当,e(l+\l)时，/⑷>。"⑷在区间(1+小)上单调递增’

a

所以当％=1+工时J⑷取得最小值/(I+力=a+l+1n(一力

a

若f(%)NO恒成立，则a+l+ln(-a)NO.

设◎(%)=x+l+ln(-%)(8<0),则，(％)=1+:

当xe(-8,-1)时，小)>0M%)在区间(-8,-1)上单调递增,

当％e(-1,0)时，中'(X)<°，火(")在区间(-1，。)上单调递减，

所以中(x)W<p(-1)=0.

所以a+1+ln(—a)^0的解为Q=—L

所以..........................................................

(田)当a20时j(x)>0,f(x)在区间(-8,1)上单调递增•

所以f(x)至多有一个零点，不符合题意.

当a<0时,因为/<0)=0,不妨设与=0,

若々<叼<1,则1%2-*i।<1<e-1，不符合题意;

若出</，贝"％<1-e.

由(口)可知，只需f(