浙南联盟2022-2023学年高二年级下册期末联考数学试题（含解析）

2022学年第二学期浙南名校联盟期末联考

高二年级数学学科试题

考生须知：

1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.

4.考试结束后，只需上交答题纸.

选择题部分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,已知集合I*八'IIJ,则A8=（）

A.（1,2）B.[1,2）C.（-1,2）D.（0,2）

2.已知复数z满足（l+2i）z=4+3i,则复数z的实部和虚部之和为（）

A.3B.V5C.1D.-1

3.已知，〃，〃是两条不同的直线，a是一个平面，则下列命题是真命题的为（）

A.若〃”/〃，〃ua,则帆//。B.若〃zJLa,mlIn,则〃_La

C.若m//a,nila,则以//〃D.若a~L尸,a/3=m,则〃JLa

4.已知a=（l,x）,人=（3,-4）,若向量a在向量〃上的投影向量为（一‘I"），则》=（）

A2B.-2C.1D.-1

5.已知函数/（x）的部分图象如图所示，则“X）可能为（）

B./(%)=siarlnx4-

D./(%)=co&x-lnx+

6.已知直线y=tzx+b与函数/(x)=xlnx相切，则匕3()

A.有最大值eB.有最小值-eC.有最大值2D.有最小值

ee

7.过点G(2,2)作两条直线分别交抛物线V=2x于A,B两点，记直线G4,GB的斜率分为占，Q若

勺+&=5,匕4=一2,则直线A3的方程为()

A2x+9y+12=0B.2x—9y—12=0

C.4x+18y+13=0D.4x-18y-13=0

兀I

8已知a=L0「°°，b=sin—,c=一，则()

1071

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.某校开学初组织新生进行数学摸底测试，现从1000名考生中，随机抽取200人的成绩(满分为100分)作

为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),[60,70),

[70,80),[80,90),[90,100].则下列说法正确的是()

4频率

0.0301.组匣

Ol0

Oo6

Oo4

C9

405060708090100成绩/分

A.a=0.2

B.估计这次考试的75%分位数为82.4

C.在该样本中，若采用分层随机抽样的方法，从成绩低于60分和90分及以上的学生中共抽取10人，则应

在[50,60)中抽取2人

D.若成绩在60分及以上算合格，估计该校新生成绩合格的人数为860人

10.若函数/(x)=sinx-acos^满足/(%)+/0,将函数/(x)图象上所有点的横坐标缩短到

原来的再向左平移三个单位，得到函数g（x）的图象，则下列说法簿送的是（）

A.4=]-B.g（x）为奇函数

C.g（x）关于直线％=-若对称D.g（x）在区间偿假）上单调递增

11.已知半径为1的球内切于半径为，高为〃的一个圆锥（球与圆锥的侧面、底面都相切），则下列说法正

确的是（）

21

A.—+r=2B.圆锥的体积与表面积之比为定值

hr~

C.圆锥表面积的最小值是8兀D.当圆锥的表面积最小时，圆锥的顶角为60°

12.已知耳（-G。），月（c,0）（c>0）是椭圆G—+〉伪>0）与双曲线

%b-

r22

G：1■一v台=1（4>0,伪>0）共同的焦点，外,02分别为G，。2的离心率，点M是它们的一个交点,

a202

则以下判断正确的有（）

A.△[Mg面积为仇”

B.若/6加工=6,贝!!q《sing』）

「石）

C.若/6他=彳2，则e0的取值范围为，，+8

L/

D.若学97r，则6：+笆的取值范围为（2,+8）

非选择题部分

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在（x-3）的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中所有各项的系数和为,

14.若直线4：y=Ax+l截圆C2：（x-2『+y2=5所得弦长|AB|=4,则左的值为.

,、\a.a>b(/(x

15.设max{a,b}=[Q<,若数列{〃〃}前〃项和为S“，tz6=16,an+i=max{^4-3,2^},则S?=

16.已知实数x,y满足e'=.⑵nx+lny),则孙的取值范围为.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，在四棱锥P—A6CD中，/%_L平面ABC。，四边形ABC。为等腰梯形，AB//CD,

AO=CD=PA=LAB,点E为棱PO的中点.

2

AB

(1)证明：AELPB；

(2)求平面AEC与平面ABC所成角的余弦值.

18.在..ABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,己知色心=垩1+1.

bcosB

7U

⑴若C=—,求A,B\

6

(2)求hL的取值范围.

bcosB

19.已知T“为数列｛4｝的前〃项积，且q=1,＜》＞是公比为;的等比数列，设a=l+log24.

⑴求证：数列｛2｝为等比数列，并求｛2｝的通项公式；

⑵记数列｛肥料｝前〃项和为S“，求使S„-bn＜2023的最大整数n.

20.北京时间4月30日晚，2023年国际象棋世界冠军赛在哈萨克斯坦首都阿斯塔纳闭幕，来自温州的国际

象棋男子特级大师丁立人最终击败涅波姆尼齐亚，加冕世界棋王.这是中国棋手首次夺得国际象棋男子世界

冠军.某小学为了提高同学学习国际象棋的兴趣，举行了二年级国际象棋男子团体赛，各班级均可以报送一

支5人队伍.比赛分多轮进行，每轮比赛每队都需选定4名选手，每轮比赛选手可不同.比赛没有平局，每轮

比赛结束，得胜班级得1分，反之0分.晋级赛规则如下：第一轮随机为各队伍匹配对手；从第二轮比赛开

始，积分相同的队伍之间再由抽签决定对手.具体比赛程序如下图.这样进行三轮对抗之后，得2分及以上的

班级晋级，反之淘汰.晋级的队伍再进行相应的比赛.

第一轮

获胜一JL一失败

第二轮1分队伍o分队伍

获胜-JL■►失败获胜失败

第二轮2分队伍11分队伍0分队伍

(1)二(1)班选派了A,B,C,D,E五名选手，在第一轮比赛中，己知选手A参加了比赛，请列举出该班级

所有可能的首发队员的样本空间；

(2)现共有8支参赛队伍，且实力相当，二(3)班在第一轮比赛输给了二(4)班，则两队在第三轮重新遇上的

概率为多少？

(3)某班级在筹备队员时，班内已推选水平较为稳定的选手4名，很多同学纷纷自荐最后一个名额.现共有5

名自荐选手，分别为五级棋士2名、六级棋士2名和七级棋士1名，五、六、七级棋士被选上的概率分别为

0.8,0.6,0.5,最后一名选手会在这5名同学中产生.现任选一名自荐同学，计算该同学被选上的概率，并

用X表示选出的该同学的级别，求X的分布列.

22

21.已知双曲线C：=—3=l(a>0力>0)离心率为2,A-4分别是左、右顶点，点“是直线x=l上

一点，且满足3tanNM4,4=tanNM&A，直线加儿，分别交双曲线右支于B,C两点.记％为，

的面积分别为，，邑.

(1)求双曲线C的方程；

S.

(2)求法最大值.

22.已知函数〃x)=e'(2x2_x_l).

(1)求/(X)的单调区间;

出若8(%)=|/(力卜。(〃>0)有3个不同的零点玉<々<七.

⑴求实数。的取值范围;

(ii)求证：x2+x}<2.

2022学年第二学期浙南名校联盟期末联考

高二年级数学学科试题

考生须知：

1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.

4.考试结束后，只需上交答题纸.

选择题部分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,已知集合I*八'IIJ,则A8=()

A.(1,2)B.[1,2)C.(-1,2)D.(0,2)

【答案】B

【解析】

【分析】解一元二次不等式和指数不等式，求出A,8,从而得到交集.

【详解】A={x|(x+l)(x-2)<o}={%|-l<x<2},B=21}=„21},

故A08=[l,2)

故选：B

2.已知复数z满足(l+2i)z=4+3i,则复数z的实部和虚部之和为()

A.3B.V5C.1D.-1

【答案】C

【解析】

【分析】先对(l+2i)z=4+3i化简求出复数z,从而可求出其实部和虚部之和.

4+3i(4+3i)(l-2i)=4—8i+3i—.

【详解】由(l+2i)z=4+3i,得2=丁丁(l+2i)(l-2i)-'

1+21

所以复数Z的实部和虚部之和为2+(-1)=1

故选：C

3.已知〃,2W是两条不同的直线，C是一个平面，则下列命题是真命题的为（）

A.若加〃〃，"ua,则加〃，B.若〃？_La,mlIn,则〃_La

C.若tnMa,nila>则机//〃D.若a_L/?,aP-m,n±m,则〃_La

【答案】B

【解析】

【分析】根据线线、线面、面面的位置关系判断即可.

【详解】对于A：若〃"/〃，"ua,则机〃a或mua,故A错误；

对于B：若加_1_。，mJIn,可得〃_La,故B正确；

对于C：若，〃//a,nila1则相〃〃或机与"相交，或〃?与〃异面，故C错误；

对于D：若a_L耳，a（3=m,〃_!_〃?，则〃_La或"ua或〃〃e或〃与a相交（不垂直），故D错误;

故选：B

4.已知a=（l,x）,6=（3,-4）,若向量a在向量八上的投影向量为（一,1）,则x=（）

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用向量a在向量力上的投影向量公式巴辿-2,与所给的投影向量对应系数相等即可得出

闻屹1

X的值

【详解】由题意可得a2=3—4x，网=次+（-4）2=5,向量d在向量匕上的投影向量为

a-bh_3-4x

（34、13-4r1

又因为题目所给的投影向量为一口彳=一二人，所以——,解得x=2,

I55；5255

故选：A

5.已知函数〃x）的部分图象如图所示，则/（x）可能为（）

A./(x)=sin%+lnX+Jd+l)B./(x)

D./(x)=cosx-lnlx+

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的图象结合选项函数的性质判断可得答案.

【详解】根据函数/(X)的部分图象，可得/(X)为奇函数,

卜X++l[-x-+1)

对于A,XGR1/(-x)=-sinx+lnJ/+i)--sinx+ln

—X-Jx2+1

A/X2+1)=-/(%),为奇函数,

=-sin¥-lnx+

(0,可时，f(x)=sinx+In(x+y/x2+l)>0,当x>7i时，sinxe[-l,l]

(兀+J?石)>皿2兀)>1,所以当1>0时，/(x)>0,故A错误;

In

对于B,xeR,f(-x)=-sinx-In-x+J%2+[)=sinx-ln(x+

所以/(x)为偶函数，故B错误;

对于C,xeR,=co&x-In(x+&+1卜±/(x),/(x)为非奇非偶函数，故C错误;

对于D,XGR,/(-x)=-cosx.In(x+&+1)=-/(x),故D正确.

故选：D.

6.已知直线y=or+b与函数/(x)=xlnx相切，则()

b

A.有最大值eB.有最小值-eC.有最大值2D.有最小值

ee

【答案】C

【解析】

1—a

【分析】设出切点坐标，求出切线方程，比较系数得出凡。，再构造函数即可求一的最值.

b

【详解】设切点为(x()，Xoln玉))，/'(x)=lnx+l,所以切线的斜率a=Inx。+1,

切线方程为y-Xolnx()=a(x—x())，即y=ax—%,

1一。Inx

所以6=-%，所以一「=-n

bx0

令g(x)=^(x>0),则g<x)=^~少，

XX

令/(x)=o,得％=e,

xe(O,e)时g'(x)>0,g(x)单调递增，

xe(e,+8)时g'(x)<0,g(x)单调递减，

所以g(x)有最大值为g(e)=L,无最小值.

e

故选：C

7.过点G(2,2)作两条直线分别交抛物线于A,B两点，记直线G4,GB的斜率分为匕，k2,若

勺+总=5,…=-2,则直线AB的方程为()

A.2x+9y+12=0B.2x-9y-12=0

C.4x+18y+13=0D,4x—18y—13=0

【答案】A

【解析】

【分析】设直线AB方程为：x=my+n,4(无］,乂),85,必)，与抛物线联立得到X+，%，由斜

率公式表示出K+GKK结合韦达定理化简可得8加—5〃+6=0,2m-3=0,解方程求出以“，即

可求出直线AB的方程.

【详解】因为点G(2,2)作两条直线分别交抛物线丁=2%于A,B两点，

G(2,2)在抛物线；/=28上，所以直线45斜率一定不为0，

设直线46的方程为：*=阳+”,设A(%,%),3(%2，%)，

与丁=2%联立方程可得：y2=2my+2n,即y?-2my-2n=0,

所以力+,2=2m,y\-y>2=-2n,

iM-2y2-2y-2必一222

k[T=———+—————+——=-----+-----

则

一斗-2X2-2）£_2A_2苗+2y2+2

22

2（%+2）+2（y+2）_2（y+%）+8

（乂+2）（%+2）yl-y2+2（y,+y2）+4

2-2m+82m+4

5,所以8加—5〃+6=0①,

-2n+4m+4一〃+2m+2

244

kx.k2=^-^-=—-----=----------------------_____________

X1—2x?—2y+2%+2yr%+2（%+必）+4--2n+4m+4

9

所以〃一2加一3=0②，由①②可得：n=-6,m=—,

2

9

所以工=一耳、一6，故2x+9y+12=0.

故选：A.

兀1

8.已知Q=LO「°°,b=sin—,c=-,贝ij（）

10兀

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【解析】

【分析】"c的比较将借助于X>0时满足不等式sinx<x,a，C的比较将借助于研究丁=0+4)的函数的

性质.

(|YAinfI+-)(1

【详解】设/(x)=(l+：|=e1x),x>0,再令力(x)=xln[l+(

11

(1、--2XX(1A-

贝!!/z'(x)=ln|1+—+x—=ln1+———J,

【"1+-1考1+1

XX

设g(x)=ln(l+x)—4(x>0),于是8'(幻=占一厂'=厂吃7>°，

l+xX+1(x+1)(x+1)

1

g(x)在(0,+8)上单调递增，于是g(x)>g(0)=0,从而有g(1)=ln[l+1)-一、>0,

X

于是〃'(x)>0,故//(x)在(0,+8)上单调递增，根据复合函数的单调性可知，/(X)在(0,+8)上单调递增,

设/(x)=ln(l+x),由导数值的定义:

I.”、].(1]ln(l+x)ln(l+x)-ln(l+O),

lim〃(x)=limxln1+—=lim-----=Inn-------------=j(0)=1,

Xf+8Xf+8IX]X->0XA->0X—()

根据/i(x)=xIn(1+')的单调性可知，/?(x)在(0,+oo)上满足/z(x)<1.

因此xe(0,+co)上，/(x)=e/,(x)<e<7r,从而了(io())=I+忘=1.01必<兀，即

l.OE100>-<»a>c；

71

设〃0)=5巾了一%(%>0),于是〃'(X)=COSX-1<0,则〃(X)在X£(0,+。。)上单调递减，故

〃(x)v〃(0)=0,

取、=小故呜卜。=si哈花,注意到故乌＜1,于是

兀之<3.152=9.9225v10,

1071

兀兀1

sin一<一<—,即bvc,

10107T

综上a>c>b.

故选：B

【点睛】根据题目中三个数据的特点，能想到引入合适的函数丁=5皿》—x,y=是本题解决的难

点所在.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.某校开学初组织新生进行数学摸底测试，现从1000名考生中，随机抽取200人的成绩(满分为100分)作

为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),[60,70),

[70,80),[80,90),[90,100].则下列说法正确的是()

Aa—0.2

B.估计这次考试的75%分位数为82.4

C.在该样本中，若采用分层随机抽样的方法，从成绩低于60分和90分及以上的学生中共抽取10人，则应

在［50,60)中抽取2人

D.若成绩在60分及以上算合格，估计该校新生成绩合格的人数为860人

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A：根据所有矩形面积和为1求得对于B：先估计中位数所在的大致区间，再根据75%分

位数的求法求解；对于C：计算出成绩在［50,60)在成绩低于60分和90分及以上的学生中所占的比例，根

据分层抽样按比例抽取；对于D：先估计成绩在60分以下的人数再求解.

【详解】对于A：由(0.004+0.010+2a+0.030+0.006)xl0=l得。=0.025,故A错误；

对于B：成绩在［40,80)时所占的频率为：(0.004+0.010+0.025+0.030)x10=0.69

成绩在［40,90)时所占的频率为：(0.004+0.010+0.025x2+0.030)x10=0.94

故75%分位数所在区间为(80,90),设75%分位数为X,

则0.69+(x-80)x0.025=0.75,解得x=82.4,故B正确；

对于C：低于60分和90分及以上的学生占的频率为：(0.004+0.010+0.006)x10=0.2

成绩在［50,60)占的频率为0.010x10=0.1

故按分层抽样，应在［50,60)中抽取的人数为黑xl0=5人，故C错误；

对于D：估计该校新生成绩在60以下的人数为1000x(0.004+0.010)x10=140

故估计该校新生成绩合格的人数为1000-140=860人，故D正确；

故选：BD

10.若函数/(x)=sinx-acoi<x满足+=0,将函数/(x)图象上所有点的横坐标缩短到

原来的卜再向左平移(个单位，得到函数g(x)的图象，则下列说法里集的是()

_V3

•CI=—B.g(x)为奇函数

3

C.g(x)关于直线X=对称D.g(x)在区间上单调递增

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据/(*)+/］等一九1=0求得0=6,求得/(X)，结合图象变换得g(x),再分析g(x)的

奇偶性，对称性及单调性.

【详解】因为/(灯+/(等一x)=0,令得了用=0，

所以sin工—“cos工=0,解得百，故结论A错误；

33

所以7(x)=sinx-J3cosx=2sinx——,

故g(x)=2sin(2x+1J,^(-x)=2sin^-2x+jj,xeR,g(-x)=±g(x)均不成立，故g(x)既不

是奇函数也不是偶函数，故结论B错误；

g(一五)=2'出(—q+=-2，所以g(x)关于直线工=—蒋■对称，故结论C正确；

当了£公，5时，2x+—e—,—,因为y=smx在f,三■上为减函数，故g(x)在区间公,不

kJZ)J

上单调递减，故结论D错误.

故选：ABD

11.已知半径为1的球内切于半径为,，高为〃的一个圆锥(球与圆锥的侧面、底面都相切)，则下列说法正

确的是()

21

A.-+4=2B.圆锥的体积与表面积之比为定值

hr

C.圆锥表面积的最小值是舐D.当圆锥的表面积最小时，圆锥的顶角为60°

【答案】BC

【解析】

【分析】由圆锥的半径厂和高6,表示出母线长，利用球内切于圆锥，求出〃与〃的关系验证选项A；表示

出圆锥的体积与表面积，验证选项B；利用基本不等式求圆锥表面积的最小值，并求此时母线长，验证选

项CD.

【详解】如图所示，圆锥的高SC=/z,底面半径CB=r,母线SB=J川+厂2,

OC=8=1,SCIAB,OD±SB,

SOODh-\

SDOs4SCB，—,SB=rh—r,

SB~BC'SBr

______2i

也一丁=\1片+「2，得+2/6=,所以：+二=1,A选项错误；

hr

圆锥的体积V=；戈户h,圆锥的表面积S=；（泌一厂）-2兀尸+兀〃2=nrh,

圆锥的体积与表面积之比为,，为定值，B选项正确;

3

o1I~211

1=-+4>2JA-r2/z>8.当且仅当一=F=—,即〃=4,r=0时等号成立,

〃产"hr2hr2!

圆锥的表面积S=兀/〃28兀，则〃=4,r=0时圆锥表面积有最小值8兀，C选项正确;

当圆锥的表面积最小时，h=4,r=6,SB=rh-r=3y/2-AB=2r=2近，SBAB,圆锥的顶角

不是60。，D选项错误.

故选：BC

12.已知6（-G。），月（c,0）（c>0）是椭圆Gl（q>伪〉0）与双曲线

22

。,：3-当=1（。2〉0，4〉°）共同的焦点，4,02分别为C-G的离心率，点〃是它们的一个交点,

a2与

则以下判断正确的有（）

A.ZiKM6面积为优打

B.若/月似g=6,则

G

2、

C.若/耳奶=彳，则e©的取值范围为3二,+8

L>

27r

D.若/与M心=彳，则e；+e；的取值范围为（2,+w）

【答案】ABD

【解析】

【分析】由椭圆和双曲线焦点三角形面积公式可判断A；由〃z+〃=2q和m〃=—结合基本不等

1+cos0

31〃

式可判断B；由条件可得不+?=4,结合函数的性质可判断C、D.

e\e2

【详解】设|岫1=加，|叫|=〃，^F]MF2=0,

不妨设点M是G，。2在第一象限内的交点，则加>〃，

m+n=2q,m一〃=2a2,所以机=q+出，〃=q一生，

在△片中，由余弦定理可得：旧阊2=幽£「+明玛「一2|”用|沙心058,

艮|J4c*2=tn2+-2smeos®,

一方面4c2=m2+rr-2mncos=(m+n)2-2mn(\+cos6)=4a；-2mn(\+cos6),

所以mn=2方二2c[=2b\,此时△片M鸟面积为

1+cos01+cos6

2sin—cos—

sin。e

S=—mnsin0=b?•=b；-------二b：tan-

2'

1+cos02cos2—2

2

另一方面，4c2=m2+-2mncos0=(m-ri)1+2m/?(l-cos0)=4。；+2mn(l-cos0),

所以〃=2c上2a；=2片,此时△片仍面积为

1-cos01-cos^

2n夕0

si2-cos—

„1.„,2sin。,,2_

S--mnsin3-b3-------=b；

2-1-cos。-2sin2—e

22

对于A,因为『吗•壬=（她所以S9故A正确;

2

对于B,因为加>〃且机+〃=2。］,所以加〃=—也—<（f）2=a；,

l+cos021

所以"=2（可：6=2一2e；<l+cose=2cos2g,

a}a12

,0.00

所以q>1—cos"-=sin~耳，所以q>sin,，又q<1,

所以qe（sing,l）,故B正确；

八271

当/FiMF?=8=—时，

3

由4c2=m2+/r一2cos夕得4c-=（q+/）2+（4—4）?+（4+。2）（4一生），

311413

即3a；+a：=4c2,所以？+二=4,所以1<=<;,—=4一-

Ge2e,3e2e；

I4

对于C,令l<r=w<w，

<3

则二，"4=4（4-4'）=-3r+4，=-3（，一|'）2+^e（0,l）,

e1纥exe；33

所以（q.y£（l，+8），G（1,4-00）,故c错误；

对于D,e；+e；=；（.+4）（3+4）=1+：（鸟+^_），

记/徵=乌＞1,则e；+e；=l+：（3机+工），

函数y=3m+L是对勾函数，在（1,物）上单调递增，

m

所以e：+e；=1+工（3加+'）＞1+J、（3+1）=2,

4m4

即e；+e；的取值范围为（2,+8）,故D正确.

故选：ABD

非选择题部分

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在（x-之）的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中所有各项的系数和为

【答案】64

【解析】

【分析】由题意可得二项式展开式有7项，从而可求出〃=6,然后令x=l可求出展开式中所有各项的系

数和.

【详解】因为在(x-的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，

所以二项式展开式有7项，所以〃=6,

所以二项式为(x—之)，

令x=l,则(1—3)6=(―2)6=2,=64,

所以展开式中所有各项的系数和为64,

故答案为：64

14.若直线/：丫=依+1截圆。2：(%-2)2+丁=5所得弦长|AB|=4,则上的值为.

4

【答案】0或一彳

3

【解析】

【分析】根据直线截圆的弦长公式计算.

【详解】圆心(2,0)到直线4：y=Ax+l的距离为4=匕=1,

yjl+k2

由|=2正一{得4=2卜—*丫，解得女=0或k=—g,

4

故答案：。或—

3

15.设max{a,0}=＜；：]：,若数列{%,}前"项和为S“，a6=16,%用=max{a“+3,2a“},则&=

【答案】54

【解析】

【分析】先得到＜3时，/+]=4+3,%＞3时，a.=2%，由/=16,依次代入求出q,4,。3M4，。5吗，

从而求出答案.

【详解】当氏+322%,即凡43时，a,l+l%+3,

当+3<2%,即an>3时，an+l=2an,

因为4=16>3,所以%=24=32,

若巴43,则/=%+3=16,解得%=13>3,不合要求，舍去；

若%>3,则4=2%=16,解得q=8>3,满足要求，

若知<3,则%=%+3=8,解得a=5>3,不合要求，舍去；

若4>3,则4=2%=8,解得知=4>3,满足要求，

若a3K3,则为=%+3=4,解得q=143,满足要求，

若4>3,贝ij%=2%=4,解得%=2<3,不满足要求，

若。243,贝1]%=4+3=1,解得出=—2W3,满足要求，

若。2>3,则4=24=1，解得生=；<3,不满足要求，

若q43,则%=6+3=-2,解得％=-5<3,满足要求，

若q>3,则%=2q=-2,解得q=—1<3,不满足要求，

上：S-j=q+劣+%+%+%+4+%="""5—2+1+4+8+16+32=54

故答案为：54

16.已知实数x,y满足e'=孙(21nx+lny),则外的取值范围为.

【答案】[e,+8)

【解析】

【分析】把e'=Ay(21nx+lny)化为xe,=%2广抽(炉)),构造函数/(x)=xe*(x>0),可得孙=《，再

X

求出函数g(x)=—U>0)的值域即可得答案.

x

【详解】依题意有x>0,y>0,

设/(%)=XQ\X>0),则f'(x)=(x+1)，>0,所以fM在(0,+oo)上单调递增，

由e*=w(21nx+lny),得xe*=fyimdy),即有/(x)=/(ln(£y)),

因为/(x)在(0,+8)上单调递增，所以有X=lnC?y),即尤2y=e"所以孙=J,

X

x

efy_ne'

设g(x)=J(x>0),则g，(x)=W卢,令g，(x)=0,得x=l,

XX

xe(0,l)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

xe(l,+oo)时，g'(x)〉0,g(x)单调递增，

所以g(x)min=g(D=e，所以X€(0,+8)时,g(x)c［e,+8),

所以W的取值范围为［e,+8).

故答案为：［e,+8)

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，在四棱锥P—A6CD中，Q4_L平面ABCO,四边形A6CO为等腰梯形，AB//CD,

(2)求平面AEC与平面ABC所成角的余弦值.

【答案】(1)见解析(2)-走

5

【解析】

【分析】(1)由线面垂直的判定定理和性质定理证明即可；

(2)利用空间向量的方法求二面角即可.

【小问1详解】

设4。=CO=24=工AB=1,因为四边形ABCD为等腰梯形,

2

所以A0=6C=1,过点。作于点H，则A”=,，

2

所以在RtA£>”中，ADAH=60°,连接03,

由余弦定理可得:

DB2=AD2+AB2-2ADABcos600=l+4-2x\x2x-=3,所以DB=6，

2

所以=AB"所以AD_LDB，

又因为24,平面ABC。，DBu平面ABC。，

所以上4，。8,ADcQ4=A，A£),PAu面P4。，

所以面PA£>,而A£u面PAD，所以08J_A£.

又因为B4=A£>，点£为棱的中点，所以AE_LPD，

DBcPD=D，DB,PDu面PDB，所以AE上面PDB，

PBu面PDB，所以AELPB.

【小问2详解】

过点。作z轴〃/%,建立如图所示的空间直角坐标系,

£）（0,0,0）,A（1,O,O）,5（O,^,O）,C（44-0），产（1,0,1）,噌,0,

所以AE二1-：,。,2],AC=

122；（22）

设平面AEC的一个法向量为m=(x,y,z),

AE-m=——x+—z=0

22,令z=l,则y=x=1»即机=（/l,6,

ACm=--xd———y=0

22'

平面ABC的一个法向量为〃=(0,0,1),

设面AEC与面ABC所成二面角的平面角为兀］,则

,K\m-n\1J5

|cosq=「n=3=亍7=-不，因为二面角为钝二面角,

所以cos8<0,cos61=———

5

故面A£C与面ABC所成二面角的余弦值为-

18.在ABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知伫2=虫4+1.

bcos5

71

(1)若。=—,求A,B；

6

(2)求厂」的取值范围.

bcosB

【答案】(1)8=9兀，A=*兀

248

(2)(72,3)

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理将边化角，再结合两角差的正弦公式、二倍角公式得到sin(A-B)=sin2B,即

可得到A=38,结合三角形内角和求出A,B；

(2)由(1)可得A=36,即可求出8的取值范围，由正弦定理将边化角，由三角恒等变换公式化简转化为8的

三角函数，结合函数的性质计算可得.

【小问1详解】

e、，a-bcosA।，一sinA-sin3cosA+cosB

因为^―=——+1,由正弦定理可得------------=------------,

bcosBsinBcosB

所以(sinA-sinB)cosB=sin5(cosA+cosB),

所以sinAcosB-sinBcosB=sinBcosA+sinBcosB,

所以sinAcossinBcosA=2sinBcosB,

所以sin（A_8）=sin2B,

又A,8€（0,7i）,则A—Bw（一兀,兀），所以A—3=23或A—8=兀-28,

兀55

若A—B=2B,又。=—且A+8+C=7i,解得3=—兀，A=—兀，

6248

若A-8=7C—25,则A+3=7T,显然不符合题意，故舍去，

所以8=上兀，

A=-7l.

248

【小问2详解】

0<A=3B<兀7t

由(1)可知A=33,又〈，所以0<8<一，