2024届高三模拟考试(二模)数学试题附答案解析

2024届高三模拟考试(二模)数学试题

一'选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只

有一项符合题目要求.

1.设集合2={x||2x-l|W3},集合B={x|雪>0},则AC)B=()

A.(1,2]B.[1,2]C.(-1,1)D.(-1,2)

2

2.已知复数z=g±3-，N是z的共甄复数，则z-N=()

y/3-i

A.1B.1C.2D.4

4

3.设厂是椭圆C：蓝+*=1的一个焦点，过椭圆C中心的直线交椭圆于P,。两点，则APQF的

周长的最小值为()

A.12B.14C.16D.18

4.在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩(评分满分为100分)，将

所有数据按[40,50],(50,60],(60,70],(70,80]，(80,90]，(90,100]进行分组，整理得到

频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为()

A.80B.78C.76D.74

5.设是公比不为1的无穷正项等比数列，贝！1"®"为递减数歹U”是“存在正整数沏，对任意的正整

数n>n0,an<1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知点P(L0),C(0,V3).。是坐标原点，点B满足|阮|=1，则而与丽夹角最大值为

)

5兀71

A.R27rC.今D.

~6B.T3

7.已知函数/(%)=2cos2a%+sin23%—1(3>0)的图象关于点。，0)对称，且/(%)在(0,亨)上没

有最小值，则3的值为()

A.1B.|C.1D.Z

8.如图，在长方体48CD—4B1Q01中，=24。=2A点E是棱ZB上任意一点(端点除

外)，贝U()

A.不存在点E,使得EC101E

B.空间中与三条直线&%,EC,BBi都相交的直线有且只有1条

C.过点E与平面。遇E和平面DAEC所成角都等于韵勺直线有且只有1条

D.过点E与三条棱AB,AD,A4i所成的角都相等的直线有且只有4条

二'多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知定义在R上的函数/(%),满足对任意的实数x,y,均有/'(久+y)=/(x)+f(y)-1,且当

%>0时，f(x)<1,贝！J()

A.f(0)=1

B./(l)+f(-l)=l

C.函数/(久)为减函数

D.函数y=/(%)的图象关于点(0,1)对称

10.抛物线C：/=2py(p>0)的焦点为尸(0,1),经过点尸且倾斜角为a的直线/与抛物线C交于

A,8两点，分别过点A、点8作抛物线C的切线，两切线相交于点E,则()

TT

A.当=16时，a=^

B.AAOB面积的最大值为2

C.点E在一条定直线上

D.设直线EF倾斜角为0,|a-*为定值

11.满足的=2,a2=1.a„+2=an+1+an(nEN*)的数列｛a"称为卢卡斯数列，贝I()

A.存在非零实数3使得｛册+i+tan｝("CN*)为等差数列

B.存在非零实数3使得｛册+1+tanKneN*)为等比数列

C.3a九+2=“71+4+。九（九eN）

D.2誉4（一1）di=02023-3

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在二项式（《+书的展开式中，常数项为.

13.已知圆锥的顶点为尸，底面圆心为底面直径48=2.圆锥的内切球和外接球的球心重合于

一点O,则该圆锥的全面积为.

14.剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺

术.其传承膜续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息、，表达了广大民众的社会认

知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多

重社会价值.现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为;J+关=>°）的曲线C（称为星

形线），则曲线C的内切圆半径为；以曲线C上点（m,为切点的直线被坐标轴

截得的线段长等于

四'解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤.

15.如图，在平面凸四边形2BCD中，tan4BD+tan"DB=缁儒.

D

"B

(1)求

(2)若AD=BD=4,乙ACB=乙BDC=£求CD.

O

16.已知函数/(%)=21nx—x+—(mE.R).

（1）当租=-3时，求函数/（%）的单调区间;

(2)若不等式f(吗<0对任意的久e[1,+8)恒成立，求实数m的取值范围.

17.如图，将边长为2的菱形4BDC沿其对角线BC对折，使得点A、。分别位于边长为2的等边△

PBC所在平面的两侧，且24=e，PD=V3.设E是24的中点.

8

(1)证明：平面PBC_L平面ABC；

(2)求平面与平面ABC夹角的正弦值.

18.树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指

标和航天知识素养有明确要求.学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节,

当两个环节均测试合格可以参加体验活动.

第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值f>12.2时体能指标合格；

第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A,8两类试

题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求.每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在

任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试.若第一次测试不合格，则进行第二

次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合

格，测试结束.

经过统计，该校学生身体体能指标f服从正态分布N(9,2.56).

参考数值：PQ-。<X<〃+cr)=0.6827,-2。<X<〃+2(7)=0.9545,

PQi—3<J<X<〃+3cr)=0.9973.

(1)请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数(结果取整数)；

(2)学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A类试题，每次测试合格

的概率为看作答B类试题，每次测试合格的概率为上且每次测试相互独立.

①在解答A类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率.

②若解答A、B两类试题测试合格的类数为X,求X的分布列和数学期望.

19.取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下:

设％ER,不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作团，函数y=因称为取整函数.另外也

称[汨是X的整数部分，称｛%｝=%-团为X的小数部分.

(1)直接写出口时和｛—,｝的值；

(2)设a,b€N*,证明：a=b申+嘴｝,且。<嘴｝—1,并求在6的倍数中不大于。的

正整数的个数；

(3)对于任意一个大于1的整数a,a能唯一写为a=p『xp整X…xp^,其中口为质数，因为

整数，且对任意的i</,Pt<Pj,i,je｛1,2,3,…，k],称该式为a的标准分解式，例如100

的标准分解式为100=22x52.证明：在加的标准分解式中，质因数用(PjWn,n>1,n£N*)

答案解析

L【答案】A

【解析】【解答】解：由|2比一1|W3,解得一1WXW2,故集合4={久|一1W尤W2}；

由昌>°，解得(％+1)。一1)>°,即久>1或％<-1,故集合B={%|久>1或％<-1},

故405={%|1<%<2}.

故答案为：A.

【分析】先解不等式求得集合4、B,再根据集合的交集运算求解即可.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：z="t=监一=尊"幺一=凸/=—鼻争，贝吃=一：

V3—iV3—i(V3—I)(V3+i)4乙乙乙

V3.

T1,

故z.N=(—2+亨0(-=,+,=L

故答案为：B.

【分析】根据复数的除法运算化简z,再利用共轨复数以及复数的乘法运算求解即可.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：由题意可知：点P,Q两点关于原点对称，

设椭圆的另一个焦点为B，则四边形PFQ6为平行四边形如图所示:

由椭圆定义可知：|P用+|P&|+\QF\+|QFi|=4a=20,

因为|PF|=|QFi|,|PFi|=|QF|,所以|PF|+|QF|=10,

又因为PQ过原点，所以IPQImin=2b=6,所以的周长的最小值为：10+6=16.

故答案为：C.

【分析】根据椭圆的定义求出|PF|+\QF\=10,再由IPQImin=2b=6,求解即可.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：由频率分布直方图可得：0.005X10+0.015X10+0.020X10=0.4,

0.005x10+0.015x10+0.020x10+0.030x10=0.7,

故这次调查数据的第64百分位数位于(70,80］之间,

设这次调查数据的第64百分位数为％,则有席=辔*,解得％=78.

iuu./-u.q

故答案为：B.

【分析】根据百分位数的定义计算即可.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：因为数列是公比不为1的无穷正项等比数列，所以斯>0,

假设q>L且“存在正整数沏，对任意的正整数n>孙，an<r,

则当71越来越大时，可得勾=。〃71〉1,(%>0),但这与“存在正整数劭，对任意的正整数n>7lo,

册<1”矛盾，故｛即｝为递减数列；

当“｛与｝为递减数列”时，等价于要使得an=ai(f<1,(%>0),只需砂<；,

即711gq<-Igtti,

从而n>-需，所以取n()=max｛l,［—需］+1｝,其中［久］是指不超过％的最大整数，则当n>沏

时，有与<1,

综上所述，为递减数列”是“存在正整数犯，对任意的正整数n>沏，斯<1”的充要条件.

故答案为：C.

【分析】由等比数列的性质以及正项等比数列的单调性、充要条件的定义判断即可.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：设点易知BC=(―久,-y),因为|阮|=1,所以久？+(y—b)2=

1,

即点B的轨迹是以C(O,g)为圆心，半径r=l的圆，如图所示：

设过点P与圆C相切的直线PB的方程为y=k(x-1),即上久-y-k=0,

I—43—fclns

则圆心到直线的距离等于圆的半径，即=1，解得k=-学，

Jr+i3

设切线的倾斜角为a(0Wa<兀)，贝lJtana=—停，可得a=半，即而与而夹角的最大值为期.

故答案为：A.

【分析】设点B（x,y）,根据题意求得点B的轨迹是以C（0,遮）为圆心，半径r=l的圆，结合直线与圆

相切，求得切线的倾斜角，最后根据倾斜角和斜率的关系求解即可.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：/（%）=2cos23久+sin23久一1=cos2（ox+sin2tox=V2sin（2tox+*）,

因为〃久）的图象关于点今,0）对称，所以&）=岳in（等+勺=0,

故S=卜7,kEZ,即&）=2k-

当23%+曰=—3+2而，即％=—券+”kez时，函数/（久）取得最小值，

一乙oCO3

因为"X）在（0,令上没有最小值，所以粉吟即3«学，

由3=2k—4解得kW*，故k=l,得3

ZoloZ

故答案为：B.

【分析】先化简解析式，根据对称性可得3=2k-ez,再结合函数n>）最小值点求解即可.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：在长方体4BCD—力iBiC/i中，AB=2AD=2AA「

A、当E为AB的中点时，连接。E,贝I」乙4EO=NBEC=45。，即有EC1DE,

而。Di_L平面力BCD,ECu平面ABC。，贝!JECIDDI，又DEC=。,DE,DD】u平面

因此ECI平面。£>iE,而OiEu平面。£）iE,贝1。1胡故A错误；

B、连接设BDClEC=K,BB1//CC1//DD1,则平面BCD/i与直线EC交于K,

点K在线段BO上，不含端点，则直线与直线BBi相交，同理直线2把与直线BBi相交，

因此直线。1K、&E分别与三条直线4小，EC,BBi都相交，如图所示：

C、AB1•平面41，而力Diu平面4DD1A1，贝ijABlADi，5LABLAD,

JT

于是NDADi是二面角-AE-。的平面角，且ZDAD1=取

显然NZM%的平分线与平面和平面D4EC所成角都等于不过点E与此直线平行的直线符合要

求，这样的直线只有1条；

半平面D1AE与半平面ZMEC的反向延长面所成二面角的角平分面与平面。ME和平面D4EC所成角都

等于普，

在此角平分面内过点E与平面和平面D4EC所成角都等于与的直线有2条，

因此过点E与平面和平面ZMEC所成角都等于与的直线有3条，故C错误；

D、建立如图所示的空间直角坐标系如图所示：

易知直线AB,AD,的方向向量分别为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，

设过点E的直线/方向向量为五=(x,y,z),由直线/分别与直线AB,AD,所成角都相等，

|用_|y|_|z|、

得J%2；/+Z2—&2；)+z2—Jx2+y2+z2>于是田=加=团，不妨令团=1，

有石=(1,1,1)或五=(一1,1,1)或苍=(L—L1)或(1,1,一1)，显然使得|%|=|y|=|z|=1成立的向量

行有8个，

其余4个分别与上述4个向量共线，所以过点E与三条棱ZB,AD,所成的角都相等的直线有且

只有4条，故D正确.

故答案为：D.

【分析】当E为AB的中点时即可判断A；作图即可判断B；利用角平分面的特征即可判断C；建立空

间直角坐标系利用空间向量求解即可判断D.

9.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：A、令％=y=0,则有"0)=〃0)+"0)-1,故"0)=1,故A正确；

B、令久=1,y=-l,则有f(0)故/=2,故B错误；

C、令y>0,贝!!有/'(久+y)—/■(久)=/(y)—1,其中x+y>%,f(y)-1<0,

令尤i=x+y,x2=x,即有对V久i、冷eR,当％1>%2时，f(久。一/(犯)<。恒成立，即函数/(久)为

减函数，故C正确；

D、令了=一久，则/(%—x)=/(%)+/(-久)一1,又/(0)=1,故/(%)+f(—％)=2,故函数y=

/(久)的图象关于点(0,1)对称，故D正确.

故答案为：ACD.

【分析】赋值令x=y=0计算即可判断A；借助赋值法令久=1,y=-1计算即可判断B；结合函数

单调性的定义及赋值法令y>0计算即可判断C；结合函数对称性及赋值法令y=-%计算即可判断D.

10.【答案】C,D

【解析】【解答】解：由抛物线的焦点为F(0,l),故p=2,即C:/=4y,由题意可知，直线］斜率存

在如图所示：

设UB：y=k久+l(k=tana),4(。%),8(%2，丫2)，联立直线与抛物线方程｛y匕晨?消元整理

2

可得/-4k%一4=0,4=16/c+16>0,由韦达定理可得：%i+x2=4k,x1x2=-4,

A、\AB\=7k2+1•《(X[+x「)2-4久i久2=Vfc2+1-V16/c2+16=4(fc2+1)>

当[4B|=16时，即有4(1+1)=16,故4=±遍，即tana=±®即a=黑戊=等故A错

误；

B、S"OB=X\AB\=1-4(/+1)=2&+i,故雇人在N2,故B错误；

[k+1

C、由力。C\x2=4y,即y=东有y=*,故=斗(%-%1)+%，又y】=争故

LIE：y=争％一?，

2|72=

同理可得lBE：y=等久—字，设点E(m,n),则有｛

(几=

2

xx+x2_xxx由久]

n=lx11=11>+%2=4k,%i%2——4,

rL~224-4

故m=2k,n=—1,故点E在一条定直线上且该直线为y=—1,故C正确；

D、由E(2/c,—1),9(0,1),贝UtanS=故有tana•tanQ=k•(―》=—1,即|a—£|=

71

29

故|a-刈为定值且该定值为步故D正确.

故答案为：CD.

【分析】由焦点为F(O,1)可得抛物线方程，联立直线与曲线方程，可得关于％的一元二次方程，即可

得与%有关韦达定理，利用韦达定理与弦长公式计算即可判断A；利用韦达定理与弦长公式及面积公

式计算即可判断B；借助导数的几何意义可得2独与ME的方程，即可得点E坐标，即可判断C；由

tana•tan£=-1,故可得|a-=刍从而判断D.

11.【答案】B,C,D

taata

【解析】【解答】解：A、若数列｛厮+1+tan](neN*)为等差数列，则即+2+n+l-n+l-n=

d9

即a九+2=(1—九+i+tccn+d,由a几+2=。几+1+(九EN*),

1—t=1

故的1+1+&[=(1-。的[+1+t%1+中恒成立，即t=l，无解，故不存在这样的非零实数3故A

d=0

错误；

B、若数列｛an+i+tan｝(7ieN*)为等比数列，则有)+2+2+1=q,

即。„+2=((?-t)an+1+qtan,由斯+2=an+1+an(nEN*),

故有与+i+an=(q-t)an+i+qtan恒成立，即有｛“妙],1

即产+t-1=0,解得=匚尧5，此时a2+汝1=1一1±逐=±V5丰0,

故存在非零实数t,使得｛即+1+GN*)为等比数列，故B正确；

C、由斯+2=an+l+an(.nCN),则即+4+斯=an+3+an+2+%=O-n+2+an+l+an+2+斯=

3an+2,BP3czn+2=an+4+an(nEN*),故C正确；

D、由an+2=斯+1+即5CN*),

n+2n+2n+1

故(-])n+2Qn+2=(-l)an+l+(-l)fln=-(-l)an+1+(一])&，

故£i=l(-l)l0i=(-l)al+(-1)2«2+(―1)%3+-(一1)2°24a2024=

223243

(-1)X2+(-1)x1+[-(-l)a2+C-l)ai]+[-(-l)a3+(-l)a2]+[-(-l)a4+(-l)a3]

----1_[一(一1)2023a2023+(-1)2°22a2022]

=-2+1+[(-1)的一(一1)2°23a2023]=a2023-3,故D正确.

故答案为：BCD.

【分析】根据等差数列与等比数列定义计算即可判断AB；根据a„+2=an+1+即代入即可判断C；

n+1n

由的+2=an+1+an(neN*),得到(―1)"+2斯+2=-(-l)an+1+(-l)an»从而将W=i(-1)&

展开后借助该式裂项相消即可判断D.

12.【答案】210

【解析】【解答】解：二项式（代+^^）展开式的通项为九+1=。号0（久4）（%-白）=竦0久5-拉，

令5-|k=0，则k=6,则77=C?o久5-5=C6Q=210,故常数项为210.

故答案为：210.

【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可.

13.【答案】37r

【解析】【解答】解：画出圆锥的轴截面，如图所示：

由。为圆锥的内切球球心，则有B。为ZPB4的角平分线，

由O为圆锥的外接球球心，贝UOB=OP,故NPB。=乙OPB,

故乙4PB=APBA,又24=PB,故4P4B为等边三角形，

故PM=遮，PB=2,则S全=nr2+nrl-nxI2+nX1X2-3n.

故答案为：3兀.

【分析】画出圆锥的截面P4B，由圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点0,可得APAB为等边三

角形，根据圆锥的表面积公式计算即可.

14.【答案】i（z;a

【解析】【解答】解：设点p（3）在曲线久l+y|=0）上，

222

则（右一y）、（一3）、（一%，-y）亦在曲线婷+中=点Q>0）上，

故曲线%|+y|=al（a>0）关于%轴、y轴、原点对称，故只需研究第一象限内部分,

222

当x>0,y>。时，由P（x,y）曲线%3+y$=a3（a>0）上，

2221212

故有娼+”=符即有吟"]+磅九r

、1171

则可设《)3=cosa，(均3=sina，ae(。，引，即久=acos?ey=asin3a,

贝ll|0P|=Jx2+y2=Va2cos6a+a2sin6a=aj(cos2a+sin2a)(cos4a—cos2asin2ct+sin4a)

=ajcos4a—cos2asin2a+sin4a=aj(cos2a+sin2a)2—3cos2asin2cr

=aVl—3cos2asin2a=aJ1—^sin22a，

由ae(o,分贝Ijsin22ae(0,1],则|02京==品

即曲线C的内切圆半径为今

当尤>0，y>0时，；J+y/=J(a>0)可化为y=

11

,o222_1_1222

y=2(a3—x3)x(一7/3)=—x3(a3—%3)，

*?2a172-i

则曲线上的点(曲,火)的切线方程为：y_0.噂)2=—,30一噂)2(无一尤。)，

,r1021o2o

=0,贝I」有y_—x^)2(-x0)+(a3-%^)2

22工222222421

=(a3—%Q)2[%Q+(a3—=a3(a3—%^)2=点yj'

乙.12221

令y—0,则有*=Xg(a3—Xg)+x0=点噂，

mil2121I42rI42

'J|i4B|=J(a3y『)2+(a3瑞)2=Ja3(瑞+y哈)=[a3a3=a，

即曲线C上点H0)为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于a.

故答案为：多；a.

【分析】由曲线C的方程可得，该曲线关于x轴、原点对称，故只研究第一象限即可，求出第一象限

上的点到曲线C的最短距离即可得其内切圆半径；当％>0,y>0时，曲线可为函数y=（者_久铝

的图象，结合导数的几何意义可得曲线上的点（久0，%）的切线方程，即可得该直线被坐标轴截得的线

段长.

sin乙48。sin乙4DB_2sinz_BZZ)

15•【答案】（1）解：由已知得:cosZ-ABD+cosZ-ADB-cosZ-ABD'

的sinz_Z3£)cosNZDB+cosNi4BZ)sinZ_mB_2sinnb4。

cosZ.ABDcosZ-ADB~costABD'

所以sin(z48D+z4£)8)_2sinzR4D

cosZ.ABDcosZ.ADB-cosZ-ABD'

1TC

因为sin(N4BC+NACB)=sin(7r-NB4D)=sin/BAO70,故cos/ADB=3，所以

ZJ

(2)解：由已知，△ABD为边长为4的等边三角形，

77"BC48

在△力BC中，^ACB=由正弦定理得

sinZ-BACsinZ-ACB"

故BC==8sinZ-BAC-

sin乙4cB

77"

由于NBZC+AB(L4+N4BD+NCBO=兀，所以ZB力C+NCBD=于故BC=8COSNCBD.

BCD中，由余弦定理得CD?=BD2+BC2_2BDXBCXcos乙CBD,

即C£>2=42+-8x8CXcoszCBD=16,得CD=4.

【解析】【分析】(1)利用三角恒等变换化简计算即可求得乙4DB；

(2)结合题意，利用正弦定理与余弦定理计算即可.

16.【答案】(1)当m=—3时，/(%)=21nx—%其定义域为(0,+oo),

求导，得f'(K)=--1+^=—"+尸+3=(>34%+1).

令f(X)=0，得%=3(%=-1舍去)，

当0<久<3时，/'(久)>0，函数/(%)单调递增；

当x>3时，/(%)<0-函数f(%)单调递减.

所以函数/(%)的单调递增区间为(0,3),单调递减区间为(3,+00).

(2)解：由条件可知/'(1)W0,于是TH-1W0,解得

当？nW1时，/(%)=21nx—x+^<21nx—x+^,构造函数g(久)=21nx—x+/,x>1,

2

对其求导，得g'(%)=2—1—4=—支共〈0，

X%‘％’

所以函数。(%)在[1,+8)上单调递减，于是g(K)Wg(l)=0,

因此实数m的取值范围是(-8,1].

【解析】【分析】(1)将巾=-3代入，求函数的定义域，再求出导函数，根据导函数的正负即可判断

原函数的单调性求单调区间；

(2)可借助f(l)WO,解得mW1,/(%)=21nx—x+<21nx—x+^>构造函数g(%)=21nx—

x+-,结合函数的单调性及最值即可求得实数m的取值范围.

X

17.【答案】(1)证明：取BC的中点O,连接。4、0P,如图所示:

!0

解答图1

因为四边形ABDC是边长为2的菱形，△PBC是边长为2的等边三角形,

所以△ABC也是边长为2的等边三角形.

在等边APBC中，O是BC的中点，故。P1BC；且。A=OP=B，

又PA二网,故。尸1。4又。4cBe=。，故。P1平面4BC；

又。Pu平面PBC,故平面PBC1平面ABC.

(2)解：由(1)知，0P1BC,OP10A.

又0是等边△ABC的BC边中点，故。A1BC,

以。为原点，分别以。4、OB、0P所在直线为x、y、z轴，建立如图示空间直角坐标系如图所示:

则4(8,0,0),B(0,1,0)，C(0,-1,0),P(0,0,V3),故E除0,身

因为AOBC是边长为2的等边三角形，故。。=OP=g=PO,所以NPOO=60。，且。。1BC,

又。P1BC,OD^OP=0,故BC,平面DOP,则D在平面xOz内.故求得D(_怖，0,

所以丽=(苧，-1,苧),BD=(-|,-1,苧),

设平面ABC的法向量为记=(a,b,c),显然可令记=(0,0,1);

元.丽=卓芯-y+享z=0

设平面EBD的法向量为元=(%,y,z),贝小r-，

n•BD=—2x—y+~^z=0

令z=2,则久=0,y=W，即运=(0,V3,2).所以cos〈记，元)=湍看=得=

设平面EBD与平面ABC的夹角为。，贝Usin。=ll-cos2(m,n)=浮,

故平面EBD与平面4BC的夹角的正弦值为学.

【解析】【分析】(1)取BC的中点0,根据题意，分别证得。PLBC和。P10A,利用线面垂直的判

定定理，证得0P1平面ABC,从而证得平面PBC1平面4BC即可；

(2)以。为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面ABC和EBD得到法向量记=(0,0,1)和元=

(0,V3,2),结合空间向量的夹角公式求解即可.

18.【答案】(1)解：P(f212.2)=P(f2〃+2c)=上嘤竺=0.02275.

所以符合该项指标的学生人数为：3000X0.02275=68.25«68人.

(2)解：①记41表示解答A类试题第一次测试合格，

Bi，B2分别表示解答B类试题第一次和第二次测试合格，测试共进行3次记为事件M,

则P(Ai)=P(4iM)=P(AB］B2)+P(AB$2)=/广/+/广］=京

_P(ZiM)_P(41瓦为)+尸(41^1)_4_3

二下伍厂网而