2023年广东省广州市各区中考数学一模考试尺规作图题（解析版）

2023年广东省广州市各区中考数学一模考试尺规作图题汇总

越秀区2023年一模

23.如图，为的外接圆，N班C=60°,BC=6,点D为的中点，连接40,作NABC的角平分

线交AO于点E.

D

(1)尺规作图：作出线段防；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)连接£)8，求证：DB=DE;

(3)若4七=述，求的周长.

3

【答案】(1)见解析(2)见解析

(3)16

【解析】

【分析】(1)根据角平分线的尺规作图方法作图即可；

(2)如图所示，连接8。，由点D为的中点，得到6O=CD，则推出NK4D=NCAD=NC3Z),由角平

分线的定义得到NABE=NCBE,再由三角形外角的性质证明ND而，即可证明力B=O石；

(3)先由圆内接四边形的性质得到乙钻D+NACD=180。，ZBAC+ZBDC=\S00,则/肛:=120。，由

点D为BC的中点，推出NO8C=NDCB=30°,如图所示，将△48。绕点D旋转得到△/CD,则

ZFCD=ZABD,ZF=zlBAD=ZBCD=30°,AB=CF,AD=DF,证明A、C>/三点共线；过点D

作OG_L8C于G,则3G=CG=3,解RtABDG,得到DE=BD=2^，则。F=AO=①叵；过点D

3

作尸于H,则A尸=2"F，解/求出AF=2”『=10,则043C的周长

AB^AC+BC=CF+AC+BC=AF^BC=\6.

【小问1详解】

解：如图所示，线段破即为所求；

【小问2详解】

证明：如图所示，连接60，

•・•点D为的中点，

；・BD=CD，

・•・ZBAD=ZC4D=NCBD,

,:6E平分NA6C,

；・ZABE=NCBE,

•・,NDEB=/BAD+/ABE,NDBE=/CBE+NCBD,

:.ZDBE=QEB，

ADB=DE；

【小问3详解】

解：如图所示，连接6,

'：A、B、C、D都在O?上，

:.ZABD+ZACD=180°,ZBAC+ZBDC=180°,

VZfiAC=60°,

：.ZBDC=120°,

丁点D为3c的中点，

：•BD=CD，即8D=m

:./DBC=NDCB=30。,

如图所示，将△43。绕点D旋转得到二尸CZ),

:.NFCD=/ABD,ZF=ZBAD=ZBCD=30°,AB=CF,AD=DF,

:.ZFCD+ZACD=ZABD+ZACD=180°,

・・・A、C、/三点共线，

过点D作。G_13c于G,

・・・BG=CG=-BC=3f

2

在RtZXBDG中，BD=—号-----=26

cosADBG

・♦・DE=BD=Z6

•Art_4_,八口_4M,c®_1°百

••AD=AE+DE=--+2,3=--------，

33

.•・DF=AD=坦叵：

3

过点D作。”_L4产于H,则AF=2〃F，

在RtAJD”/中，HF=DFMF=5,

・•・AF=2HF=10，

・•・3C的周长A8+AC+BC=CF+AC+BC=AF+BC=10+6=16.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，垂径定理的推论，圆内接四边形的性质，旋转的性质，角平

分线的尺规作图，等腰三角形的判定等等，正确作出辅助线是解题的关键.

海珠区2023年一模

23.已知：Riz\ABC中，ZC=90\BMLAB

(1)尺规作图：求作A8的中点。，连CO并延长，交BM于点D(保留作图痕迹，不写作法)

(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求NBOC的余弦值.

条件①：区OC和的面积为S和S2,且5/色=3:5；

条件②：，山OC和d40C的周长为G和。2，且G一G=AC.

注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.

44

【答案】（1）见解析（2）条件①：彳；②《

【解析】

【分析】（1）根据线段垂直平分线的画法及线段的画法解答；

（2）条件①：根据直角三角形斜边中线的性质得到4O=CO=3O,推出S,8℃：S2=3：5,即华=黑=3,

设08=3。,00=5。，勾股定理求出BO,根据余弦定义求值；条件②：根据G—。2=4。，推出8C=2AC,

BFAC1

设AC=M,勾股定理求出A8,过点D作QEJLCB于点E,证明得到一=—=一，设

DEBC2

r、rAz*^।oi

BE=x,则DE=2x,证得aACBsqEC,得至U-----=------=—,列得—--=—>求出x=-m,勾股

CEBC22m+x23

定理求出BO，。。即可.

【小问1详解】

解.：如图，即为所求；

【小问2详解】

条件①：’・・RtZ\ABC中，/。=90<0为A8中点,

・•・AO=CO=BO,

S.AOC=S.BOC»

V410C和®D的面积为义和S?,且，：$2=3:5,

••S.BOC:S2=3:5

.OC0B3

OD0D5

设OB=3a,OD=5a,

VBMVAB

工在Rt.BOD中，BD=ylob1-OB2=4a

cosZBDC=^=i

条件②：：R[Z\A6C中，ZC=90\O为A8H，点,

AO=CO=BO,

・•・/OCB=/OBC，

•.・4oc和4oc的周长为C1和G，且G—G=AC，

/.OC+OB+3C—(OC*+04+AC)=AC-BPBC-2AC,

设AC=〃z,则BC=2m,AB=JAC、BC?=鬲，

：•AO=CO=BO=—m^

2

过点D作。E_LCB于点E,

则NBDE+/DBE=90°，

VBM_LA^，

VZABC+ZDBE=90°,

・•・ZABC=NBDE,

VZE=ZACB=90°,

・•・AACBSABED,

.BEAC_1

**DE~5C-2,

设BE=x,则DE=2x,

,:ZABC=/DCE,ZE=Z4CB=90°,

：♦qACBs^DEC

.DEAC

t9~CE=~BC=2f

*2x1

2m+x2

9

解得x=一勿，

3

/.BE=—m,DE=­m,

33

_________2”

・•・BD=VBE2+DE2=」一m，

3

：•OD=^OB2+BD2=—m，

2>/5

—tn

4

:.cosZ.BDC=3

OD5百5

----m

6

【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理,

正确掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

荔湾区2023年一模

23.如图，00是出。的外接圆，AB=AC,AO是O。的切线.

(1)尺规作图：过点B作AC的平行线交4D于点E,交。于点F,连接A”(保留作图痕迹，不写作法):

(2)证明：AF=BCx

(3)若0。的半径长为3,BC=4,求痔和所的长.

2

【答案】(1)见解析；

(2)见解析；(3)EF=—»BF=—,

55

【解析】

【分析】(1)根据题意进行尺规作图即可；

(2)由5石〃4c可得NABF=NBAC,从而得出Ab=8C，最后证得结果;

(3)连接AO并延长交于点M,连接O。，先通过勾股定理求得CM及AC的长，再证四边形AE5C是平行

四边形，再证然后列比例式即可求得结果.

【小问1详解】

作图如下图所示:

【小问2详解】

AZABF=ZBAC,

・・A尸二BC，

・•・AF=BCi

【小问3详解】

如图，连接AO并延长交6c于点M,连接OC,

：.AM±BC,

：.BM=MC=-BC=2,

2

•・•在Rt二。MC中，OC=W,MC=2

2

AOM=^OC2-MC2=-22=|，

53

・•・AM=OA+OM=-+-=4,

22

•*,AB=AC=\lAN2+MC2=/42+2?=2后，

V是。。的切线，

・•・AW_LA£），

:.AD//BC,

•.•BE//AC,

・・・四边形AEBC是平行四边形，

；・BE=AC=25AE=BC=4f"EB=ZACB,

:.AB=BE，

；・/BAE=NBEA，

•・•四边形AFBC是圆内拉四边形，

・•・ZAFE=ZAEB，

；・ZAFE:/BAE，

:.AAEFSABEA，

：.——EF=——AE,

AEEB

EF4

5

：.BF=2小应L迫.

55

【点睛】比题是圆的综合题，主要考查了切线的性质、圆内接四边形性质、等腰三角形的性质，平行四边形的判定

及性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，判断出必是解本题的关键.

天河区2023年一模

22.如图，在中，AB=AC,以A3为直径的00与3c交于点。，连接AO.

（1）尺规作图：作劣弧AD的中点E：（不写作法，保留作图痕迹）

（2）若OO与AC相切，求（1）中作图得到的/A3E的度数.

【答案】（1）见解析（2）22.5°

【解析】

【分析】（1）作NA8。的角平分线交于点£则点上即是劣弧AZ）的中点;

（2）先求出NABC,再根据即可得到答案.

2

【小问1详解】

如图，点E即为所求.

【小问2详解】

I。与AC相切，A8为直径,

:.BALAC,

•.•AB=AC,

.「B4C是等腰直角三角形,

/.ZABC=45°；

由（1）可得N48E=LNA8C=22.5。

2

【点睛】本题考查作图-复杂作图，切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题，属于中考常考题型.

番禺区2023年一模

23.如图，AB是。。的直径，点C在。O上，且AC=8,BC=6.

（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧4c于点O,连接CO（保留作图痕迹，不写作法）;

（2）在（1）所作的图形中，求点。到AC的距离及cosNACD的值.

【答案】（1）见解析（2）3,迤

【解析】

【分析】（1）如图，作4c的垂直平分线，与圆的交点即为。，连接CO即可；

（2）由题意知48=病，就7=10,则半径为5,如图1,记。。与AC的交点为E,则OE是乙48c的中位线，

22

OE//BC,OE=-BC=3t即可得点。到4c的距离是3,则Of=QD—OE=2,CD=72+4=275*

CF

根据cos"CO=—,计算求解即可.

CD

【小问1详解】

解：分别以A、C为圆心，OA的长为半径画弧，连接两弧交点，与圆的交点即为。，则。。即为AC的垂线，

连接CO,下图即为所求；

【小问2详解】

解：由题意知NACB=90。,

•*-AB=y]BC2+AC2=10»

・•・半径为5,

如图1,记。。与AC的交点为E,

D

♦・・0£)_LAC,

・••点E是AC中点，

・•・OE是JRC的中位线,

：.OE//BC,OE=-BC=3,

2

・•・ZA£O=90°,

•••点。到AC的距离是3,

DE=OD—OE=2,

工CD=h+U=2B

8s4CD=g=2=也

CD25/55

工点O到4。的距离是3,cosNAC。的值为矩.

5

【点睛】本题考查了作垂线，直径所对的圆周角为直角，垂径定理，勾股定理，中位线的性质，余弦函数.解题的

关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

花都区2023年一模

23.如图，00是的外接圆，直径45=10,8。=8,4石平分/。48交8。于点及

(1)尺规作图：在AE的延长线上取一点F,使得BF=BE,连接班'；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)在(1)所作的图中：

①证明：防是0。的切线；

Ap

②求K的值.

EF

AE3

【答案】（1）见解析（2）①见解析；②~^二二二

EF2

【解析】

【分析】（1）根据题意在AE的延长线上取■点F,使得BF=BE,连接斯；

（2）①AB是直径，得出NAC8=90。，根据等角对等边，对顶角相等得出NAEC=NAFB,根据角平分线的定义

得出NC4E=N8AE,根据三角形内角和定理得出NA班'=90。，即可得证；

②过点E作EGJ_A8于点G，证明V6EGSVB4C,解得EG=3,证明&AEG〜AAFB,根据相似三角形的性

质即可求解.

【小问1详解】

解：在AE的延长线上取一点F,使得BF=BE,连接所；

【小问2详解】

①证明：•・•A3是直径,

JZACB=90°,

•:BE=BF

VAE平分NC48,

・•・NCAE=NBAE

又,：ZAEC=/FEB,

：.ZAEC=ZAFB

・•・ZAEC+ZCAE=ZAFB+NBAF=90°

AZABF=90%

即阱是OO的切线；

②如图所示，过点七作石G_LA8于点G,

VZC=90°,A£平分NC43,

:.EG—CE，

：.BE=BC-CE=3-EG,

ZC=90°,

/.AC=yjAB2-BC2=V10^F=6，

VZEGB=ZC=90°,/EBG=ZABC,

BEG》.BAC>

.EGBE

'~AC~~AB，

EG8—EG

——=------,

610

解得：EG=3,

:.BE=BC-EG=S-3=5,

：.BF=BE=5,

・・・ZAGE=ZABF=90°f

NE4G=NK4尸，

:.^AEG^^.AFB,

.-E二•二3

AE3

EF2

【点睛】本题考查了切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键.

黄埔区2023年一模

23.如图，是G。的直径，点C在G。匕

（1）尺规作图：作弦CO,使得CD=C3（点。不与8重合），连接AO,延长A。、BC交于点E：（保留作图

痕迹，不写作法）；

（2）在（1）条件下，①求证：CD=CE；②若AB=3,tan/ABC=G，求OE的长.

【答案】（1）见解析（2）①见解析；②DE=2.

【解析】

【分析】（1）根据题意作出图形即可；

（2）①由等弦对等弧求得NEAC=NBAC,由圆周角定理求得NEC4=NBC4=90。，利用ASA证明

△ECA^ABCA,推出BC=CE,据此即可证明C£>=CE：

②设AC=JIr，则8C=x,由勾股定理得工=百，AC=y[6,再证明△EC4四△8C4，利用相似三角形的

性质即可求解.

【小问1详解】

解：弦co,如图所示,

【小问2详解】

解：①・；CD=CB,

：•CD=CB，

JZEAC=ZBAC,

•・•48是0。的直径，

AZEC4=ZBC4=90°,

又；AC=AC,

:.AEG4^ABC4（ASA）,

・•・BC=CE,

:.CD=CE；

②；tanZABC=V2，

4=日

BC

设4。=后，则BC=x，

2222

由勾股定理得AB=AC+BC，BP3=（缶『+x2,

解得x=g，

:.AC=R，BC=6=CD,

V△EC4也△3C4,

:.BC=CE=5

V/ECD=180°-/BCD=/EAB，

又ZCED=ZAEB,

:.AECD^/XEAB,

.•・匹=吗即绊

BEAB2733

:・DE=2.

【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，止切函数，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知

识解决问题.

白云区2023年一模

23.如图，在平面直角坐标系上。＞，中，点A的坐标为（6,0）.

（1）尺规作图，作菱形OACD,使得NAOD=60。且点C,D在第一象限内（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）菱形。4CO的两条对角线交点为M,用钉把一根平放在菱形上的直细木条（把细木条数学化为线段）固定在

点M处，并使细木条可以绕点M转动.拨动细木条，使它与的延长线交于点F,当是等腰三角形时，

求细木条与。。边的交点B的坐标.

【答案】（1）图见详解；

9

(2)B

【解析】

【分析】（1）分别以O,A为圆心Q4为半径画圆交第一象限于一点即为D点，再以D点为圆心C4为半径画圆交

OA于一点即为C点，即可得到答案；

（2）根据题意找到点，画出图像，过M作M”_LOA,过B作欧根据A的坐标为（6,0）得到。4=6,

结合菱形性质可得OM=OAsin60。=36,QV=OAcos600=3,根据等腰三角形易得/。3片=90。，即可得

到=结合对应乡段成比例即可得到答案；

【小问1详解】

解：分别以O,A为圆心。4为半径画圆交第一象限于一点即为D点，再以D点为圆心C4为半径画圆交0A于一

点即为C点，如图所示：

【小问2详解】

解：过M作于点H,过B作8K_L04于点K,

YA的坐标为（6,0）,

:.OA=6，

•・•菱形O4CD两条对角线交点为M,

AOA/=OAsin60°=3>/3»/AM=6^4cos60°=3>ZDOC=ZAOC=3(r,

•・•OMR是等腰三角形，

/.ZMOF=ZMFO=30°,OM=FM=36，

：.Z.OBF=1800-ZBOA-Z.OFM=90°，

*：MH±OA,BKVOA,ZDOC=Z4OC=30°,

:・MB=MH，MH\BK,

.HMMF_FH

•：OM=FM=36，NMFO=30。,

•ww3G河9

••MH=---»OH=FH=3y3x—A/5=—»

222

369

,~2~==2

-BK36+述FK，

2

解得：BK=—，FK=g,

44

【点睛】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，平行线所截线段对应成比例，解题的关键是找

出点作辅助线.

从化区2023年一模

22.如图，在《^45C中，AB=AC,以AB为直径的。。与3C交于点。，连接AO.

（1）尺规作图：作出劣弧AD的中点E（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）连接8E交40于尸点，连接AE,求证：

（3）若。0的半径等于6,且。。与AC相切于A点，求阴影部分的面积（结果保留兀）.

【答案】（1）见解析（2）见解析

（3）9n-18

【解析】

【分析】（1）作/ABC的角平分线交AO于点E，则点E即是劣弧40的中点：

（2）根据直径所对的圆周角是直角可得NAE8=NA08=9O。，再利用对顶角相等，结合相似三角形的判定方法

即可证明；

（3）根据乙4。8=90。，结合半径相等，利用三线合一得到/BO。，再利用扇形080的面积减去氯阳。的面

积可得结果.

【小问1详解】

解：如图所示：

【小问2详解】

如图，:A8是。。的直径，

；.ZAEB=ZADB=90°,

■:ZAFE=/BFD，

工：

【小问3详解】

连接。O,丁。。的半径为6,

二AB=AC=12,

:・NABC=/C,

V。0与AC相切于A点，

・••班JL4C,

・•・NB4C=90。，

・•・/ABC=/C=45。,

VZADB=90°,AO=BO=DO=6,

・•・NOBD=NODB=45°,

:./BOD=90。，

工阴影部分的面积为S即田即―S△丽=丝签F—：x6x6=9乃

-7OU乙

A

【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，扇形的面积等知识，解

题的关键歪灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

南沙区2023年一模

22.如图，在〜ABC中，AC2+BC2=AB2

(1)尺规作图：以AC为直径作。。，连接8。并延长，分别交OO于。，E两点(点。位于AC右侧，点E位

于AC左侧)

(2)连接CO,CE,求证：NBCD=NE；

(3)若sin/8EC=5,BC=，求cos/84c的值.

【答案】(1)见解析(2)见解析

(3)侦

7

【解析】

【分析】(1)根据题意作出图即可；

(2)由OE为。。的直径，得到NECD=NECO+NOCO=900,由AC?+3C?=AB?,得到

ZACB=ZACD+ZBCD=90°,从而得到N8CD=NECO,又由NE=NECO即可得到NACO=NE；

(3)在RrDCE中，sinZBEC=得到/BCD=NE=30°,即可得到ZOCD=60°,从而得到.、OCD为

2

等边三角形，再根据三角形的外角得到NBCD=NCBD=30。，即CO=BD，作。尸1BC交BC于F，根据

三角函数即可求得AC的长，根据勾股定理匕求出A6的长，最后即可得到答案.

【小问1详解】

解：根据题意画出图如图所示：

A

CB

【小问2详解】

解：如图所示：

DE为0。的直径,

/ECD=/ECO+/OCD=90°,

AC2+BC2=AB2^

ZACB=ZACD+ZBCD=90°,

"BCD=/ECO,

・：OE=OC,

NE=Z.ECO»

/BCD=NE；

【小问3详解】

解：在Rf&DCE中,sin^BEC=~,

2

・・.NE=30。，

.•.NB8=NE=30。,

.•.ZOC£>=90o-30°=60°,

•.•OC=OD,

.•.△OCZ）为等边三角形，

/ODC=60°=ZBCD+NCBD,

..ZBCD=ZCBD=30°,

CD=BD>

作_L3c交6c于产，

A

BC=25

：.CF=BF=5

CD=CF+cos30。=痒虫=2，

2

...AC=2OC=2x2=4,

AB=VBC2+AC2=J(2石Y+4?=2近，

,cosN明0="=义=也

AB2币7

【点睛】本题主要考查了勾股定理，锐角三隹函数，尺规作图，熟练掌握勾股定理以及锐角三角函数的定义是解题

的关键.

增城区2023年一模

23.已知。。为■C的外接圆，。。的半径为6.

（1）如图，是0。的直径，点C是的中点.

①尺规作图：作/AC3的角平分线CO,交。。于点力，连接8。（保留作图痕迹，不写作法）：

②求3。的长度.

（2）如图，A8是。。的非直径弦，点C在AB上运动，^ACD=ZBCD=60°,点C在运动的过程中，四边

形AO3C的面积是否存在最大值，若存在，清求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）①见解析；②6应

（2）存在，最大值为36G

【解析】

【分析】（1）①根据角平分线的作图方法画出CO,在连接3。即可；②由点。是A8的中点，得出4C=3C.根

据等腰三角形的性质得出CDJ_AB.结合A8是。。的直径，即得出CO经过圆心O,即NBQD=90。，最后根

据勾股定理求解即可.

（2）连接A6,过点D作ZX7_LA8丁点E,交。。丁点C',过点C作CF/AB.由题意易证aADb为等边三

角形.根据DC'J_A3,即得出为。0直径，。'是AB的中点.根据为等边三角形，可得出A8和A3

边上的高都为定值，再根据根据S四边形加眩=；48+C/），即得出当CF最大时，