期末专题01 导数及其应用小题综合（40题）（解析版）-备战期末高二数学

期末专题01导数及其应用小题综合（精选40题）一、单选题1．（22-23高二下·江西·期末）已知函数在处可导，若，则（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根据导数的定义进行求解即可．【详解】由已知得，所以.故选：C2．（22-23高二下·安徽合肥·期末）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数的计算及几何意义，求解切线的斜率，然后求出切线方程即可．【详解】求导得，则，所以曲线在点处的切线方程．故选：B.3．（22-23高二下·辽宁·期末）已知过点作的曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据导数求出切线斜率，再构造函数把有两条切线转化为函数有两个交点解决问题即可.【详解】设切点为，由题意得，所以，整理得，此方程有两个不等的实根．令函数，则．当时，，所以在上单调递增;当时，，所以在上单调递减,且．，方程有两个不等的实根,故．故选：D.4．（22-23高二下·湖南湘潭·期末）已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得，根据在区间上不单调列不等式，由此求得的取值范围.【详解】，当时，在区间上单调递减，不符合题意.当，时，，在区间上单调递减，不符合题意.当时，令，解得，要使在区间上不单调，则，即，解得,此时在区间上递减；在区间上递增.故选：B5．（22-23高二下·辽宁阜新·期末）若函数在区间上单调，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．不存在这样的实数【答案】A【分析】利用导数求出函数的单调区间，可得出区间的包含关系，即可得出的取值范围.【详解】因为，该函数的定义域为，，由可得，由可得或，所以，函数的增区间为、，减区间为，因为函数在区间上单调，则或或，若，则，解得；若，则，解得；若，则，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：A.6．（22-23高二下·广东韶关·期末）已知函数，若有两个零点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件，分类讨论求导函数判断函数单调性及极值点，结合零点存在定理可得参数范围.【详解】已知函数，函数的定义域为，当时，恒成立，所以在上单调递减，故时，至多有一个零点；当时，令得，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．此时最小值为，①当时，由于，故只有一个零点；②当时，即，故没有零点；③当时，即，又；，由零点存在定理知在上有一个零点；在有一个零点．所以有两个零点，a的取值范围为；故选:A．7．（22-23高二下·福建福州·期末）函数，其中，则满足的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用导数分析可知函数在上为减函数，令，可知在上为减函数，由可得出，即可得出原不等式的解集.【详解】因为，当时，，则，所以，函数在上单调递减，故，当时，，显然函数在上为减函数，此时，.因为，令，其中，则，所以，函数在上单调递减，故，综上可知，函数在上为减函数，令，则函数在上单调递减，又因为，所以，等价于，结合函数的单调性可得，故原不等式的解集为.故选：D.8．（22-23高二下·江西九江·期末）已知函数，当时，恒有，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得在区间上单调递减，进而得到在区间上恒成立，转化为在区间上恒成立，只需，进而求解即可.【详解】当时，恒有，可得在区间上单调递减，则在区间上恒成立.因为，所以在区间上恒成立，而函数在区间上单调递减，所以当时，，所以，即，所以的取值范围是.故选：B.9．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数的导函数为，若，都有，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，通过题意判断出在上单调递减，将所求转化为即可求解.【详解】设，则，因为，所以，所以在上单调递减．因为，所以，又不等式可转换为，即，所以，解得．故选：C．10．（22-23高二下·黑龙江大庆·期末）对于函数，若存在非零实数,使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若时，函数的图象上恰有2对“隐对称点”，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意可得，函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点，再次转化为与的图象有2个交点，然后画出图象，根据图象可求得答案.【详解】由题意可得，函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点，即方程有两个根，即，令，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，的图象恒过点，的图象也过点，因为，所以在处的切线方程为，由图可知当或时，与的图象有2个交点，即有两个根，所以实数m的取值范围为，故选：D

【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的几何意义，考查函数的新定义，解题有关键是对新定义的正确理解，从而将问题转化为方程有2个根，然后构造函数，利用函数图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题.11．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先对求导，求出其单调区间，且注意到的对称轴是直线，由此即可得解.【详解】由题意，一方面有，令，所以有以下表格：所以在上单调递减，在上单调递增，且有极小值；另一方面注意到，且有因此，这表明了的对称轴是直线；所以有，又，且在上单调递增，所以，所以.故选：A.【点睛】关键点点睛：单调区间是很容易求的，但是有个关键地方就是要把这三个数转化在同一单调区间内，而此处的关键是发现直线是的对称轴.12．（22-23高二下·福建福州·期末）已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分别构造函数与，利用导数求单调性即可比较大小.【详解】设，则.令，则,所以函数在上单调递增，所以,即,所以在上单调递增,所以,所以,即，即.设,所以,所以在上单调递增,所以,所以,即,即,即.综上所述，.故选:C.【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.13．（22-23高二下·重庆江津·期末）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由，，，从而构造函数，利用导数判断函数的单调性，判断函数值的大小，即可判断选项.【详解】，，，设，且，，得，当和时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因为，且，所以，即.故选：D【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.14．（22-23高二下·安徽滁州·期末）已知存在唯一极小值点，则的范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求导得，分两种情况：当时，当时，分析的符号，的单调性，极值，即可得出答案．【详解】由，，，当时，恒成立，所以在上，单调递增，在上，单调递减，所以没有极小值点，只有极大值点，不合题意，当时，令，，，令得，所以在上，单调递增，在上，单调递减，，，当时，且当时，，①若，则存在，，使得，即，所以在上，，，，单调递减，在上，，，，单调递减，在上，，，，单调递减，在上，，，，单调递增，所以当时，有两个极小值点，不合题意，当时，，即，在上，单调递减，在上，单调递增，所以有唯一极小值点，无极大值点，综上所述，当时，有唯一极小值点．故选：A【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．15．（22-23高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知是可导函数，且对于恒成立，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】构造函数，由导数确定其单调性，可判断各选项．【详解】设，则，由已知得，所以是上的减函数，∴，即，即，，故选：D．【点睛】方法点睛：需要利用导数比较函数值大小时，常常根据已知条件构造新函数（如，，，，求导后得出的单调性，然后由单调性比较出大小．二、多选题16．（22-23高二下·山东青岛·期末）已知连续函数的定义域为R，且满足为奇函数，为偶函数，，当时，，则（

）A．为偶函数 B．C．为极大值点 D．【答案】BCD【分析】根据题意得到函数是以项为周期的周期函数，且关于中心对称和对称，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由为奇函数，可得函数关于中心对称，即，又由为偶函数，可得关于对称，即，所以A不正确；因为且，令，可得，所以B正确；由时，，可得函数单调递增，因为关于对称，可得函数在单调递减，所以为的极大值点，所以C正确；由函数关于中心对称，可得，所以，因为且，可得，所以，所以函数是以项为周期的周期函数，可得，所以，所以，所以D正确.故选：BCD.17．（22-23高二下·河北张家口·期末）已知，，（是自然对数的底数），则下列结论正确的有（

）A．， B．，C． D．【答案】BD【分析】构造函数，利用其单调性和最值一一判断即可.【详解】首先证明切线不等式，设，则，令，解得，又因为为单调递增函数，所以有唯一零点，且当，，此时单调递减，当，，此时单调递增，故，则，即，则，，而，所以B正确，A错误；又因为当时，单调递增，，则，因此，故D正确，C错误.故选：BD.18．（22-23高二下·江苏苏州·期末）已知函数，，则下列结论正确的有（

）A．当时，在处取得极小值B．当时，有且只有一个零点C．若恒成立，则D．若恒成立，则【答案】ABD【分析】选项A、B；当时，，结合导数研究函数的单调性，求解函数的极值、零点问题；选项C、D：利用导数解决函数恒成立问题；【详解】选项A、B：当时，，当，单调递减；当，单调递增；故在处取得极小值，故A正确；又因为，所以，有且只有一个零点，故B正确；选项C、D:恒成立，当时，；当时，即恒成立，构造函数，，令，，在单调递减，又，所以，所以在上单调递减，，综上可得，故C错误；函数，函数单调递减，则，故有,即；即恒成立，时，;，，又，所以选项D正确；故选：ABD.19．（22-23高二下·重庆南岸·期末）设函数，若是函数的两个极值点，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】CD【分析】利用求得的关系式，利用差比较法计算，根据计算结果判断出正确的结论.【详解】依题意，则，令，由题意知，解得.依题意，，是的两个零点，所以（*），且，①②，得③，将（*）代入③，化简得（**），所以④，将（*）、（**）代入④，得.由于，所以当、、时，，则，所以，故A、B错误，C正确.当时，，则，所以，故D正确.故选：CD20．（22-23高二下·安徽亳州·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，为偶函数，函数的图像关于对称，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据条件得出关于直线对称，关于对称，再利用原函数与导函数间的奇偶关系，逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】因为为偶函数，所以关于直线对称，又函数的图像关于对称，所以关于对称，又，所以，得到，所以为偶函数，同理可得为奇函数，选项A，因为，又与关于直线对称，所以，故选项A正确；选项B，因为由题得不出，故没有，所以选项B错误；选项C，因为为偶函数，所以，又与关于直线对称，所以，故选项C正确；选项D，因为为奇函数，所以，又为偶函数，所以，故选项D正确.故选：ACD.21．（22-23高二下·江西新余·期末）设函数是函数的导函数，若，且当时，，令，则下列结论正确的是（

）A．为偶函数B．为奇函数C．在上为减函数D．不等式的解集为.【答案】ACD【分析】根据奇偶函数的定义判断选项A、B，根据导函数判断单调性及偶函数性质判断选项C，利用抽象函数的单调性及偶函数性质解不等式判断D.【详解】，定义域为，因为，所以函数为偶函数，故选项A正确，选项B错误；由得，当时，，所以，所以函数在上为增函数，根据偶函数的性质知，函数在上为减函数，故选项C正确；将不等式化为，即，又函数函数为偶函数，且在上为增函数，所以，所以，平方化简得，解得，所以不等式的解集为，故选项D正确.故选：ACD22．（22-23高二下·安徽宣城·期末）已知函数，下列说法正确的是（

）A．在区间上单调递减，在区间上单调递增B．在上仅有一个零点C．若关于的方程有两个实数解，则D．在上有最小值，无最大值【答案】ABD【分析】根据题意，求导即可判断AB，画出函数的图像，即可判断CD.【详解】因为，则，由，可得，由，可得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A正确；在处取得极小值，也是最小值为，当时，，当时，，可以得到的图像，如图所示，由图像可得，在上仅有一个零点，故B正确；若关于的方程有两个实数解，则函数与，的图像有两个交点，由图像可得，故C错误；在上有最小值，无最大值，故D正确；故选：ABD23．（22-23高二下·辽宁葫芦岛·期末）设，若函数在上单调递增，则的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】分析可得在上恒成立，进而分析可得在上恒成立，求出的取值范围，分析选项可得答案．【详解】因为函数，则，若函数在上单调递增，则在上恒成立，，则有在上恒成立，因为，则，所以，必有在上恒成立，由于，则，必有，即，所以，解得，即的取值范围为，分析选项：和符合．故选：CD．24．（22-23高二下·江西吉安·期末）已知函数，则（

）A．有1个极值点 B．的对称中心是C．有2个零点 D．的一条切线方程是【答案】BD【分析】对于A，利用导数推出函数单调递增，从而无极值点，可判断A错误；对于B，设函数的对称中心为，利用恒成立求出，可判断B正确；对于C，根据为增函数且判断C错误；对于D，根据导数的几何意义求出斜率为的切线，可判断D正确，【详解】对于A，由题意得，当且仅当时，，所以在上单调递增，故无极值点，A错误；对于B，设函数的对称中心为，按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，化简得对任意实数恒成立，所以，解得，则的对称中心是，故B正确；对于C，，在定义域内单调递增，又，所以只有一个零点，C错误；对于D，，，在点处的切线方程为，即，D正确，故选：BD.25．（22-23高二下·山东枣庄·期末）已知函数有四个零点，则（

）A．B．C．D．若，则【答案】BCD【分析】根据函数零点转化为方程的根，令，即方程有两根，利用导数分析得的图像性质，根据一元二次方程根与系数的关系，结合函数图象、指数函数与对数函数的性质逐项分析即可得答案.【详解】由题意知有四个不同的根，显然，则，令，则，即，另外，，当时，；当时，；故在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，，当时，，则的大致图像如图所示：根据题意知存在两根，，不妨设，则满足，，即有，，则由图象可知，所以，故A错误；由于方程的两根，满足，所以，解得，故B正确；由，，得，两边取自然对数得，故C正确；由，两边取自然底数得，若，则，所以，令，则，恒成立，所以在上单调递减，又，，所以，故D正确.故选：BCD．【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.26．（22-23高二下·山东济宁·期末）已知函数，，则下列说法中正确的是（

）A． B．函数与函数有相同的最大值C． D．方程有且仅有一个实数根【答案】BCD【分析】对于A，对求导后，可得在内单调递减，又，利用单调性即可判断；对于B，由A可得，对求导后可得，从而可判断；对于C，由，再在内单调递减即可判断；对于D，结合函数图像易知方程在内有且仅有一个实数根，再证明在内恒成立，即可判断.【详解】对于A：，则当时，单调递增，当时，单调递减，所以，又，所以，故A错误；对于：由A可得，因为，则当时，单调递增，当时，单调递减，所以，B正确；对于C：若，即，即，结合函数在内单调递减，且，故C正确；对于D：结合函数图像易知，方程在内有且仅有一个实数根，下面证明，在内恒成立，，即当时，单调递减且，所以，D正确.

故选：BCD【点睛】关键点睛：对于C，注意到，从而利用函数在内单调递减，即可判断.27．（22-23高二下·河北秦皇岛·期末）已知，，且，则下列等式可能成立的有（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】令，根据导数工具证明，把条件可转化成，然后再根据的单调性来判断.【详解】令，则.令，则.，当时，，则恒成立，故在上单调递增.因为，所以，即在上恒成立，在上单调递增，当时，，即，从而.令，，则在上单调递增，则故选：CD28．（22-23高二下·福建龙岩·期末）已知函数，则下列选项正确的是（

）A．函数的值域为B．函数的单调减区间为，C．若关于x的方程有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是D．若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围是【答案】ABD【分析】先根据分式型函数和导数相关知识判断函数单调性与渐近线，从而画出函数图象，进而直接判断A和B；通过方程的根与图象的公共点之间的联系进行转化，并结合图象即可判断C和D.【详解】当时，，在单调递减，且渐近线为和，当时，，，则在单调递增，在单调递减，且，时，当时，，作出图象如下图所示，对于A，函数的值域为，故A正确；对于B，函数的单调减区间为，，故B正确；对于C，若关于x的方程有3个不相等的实数根，则或共有3个不相等的实数根，又因为解得或，所以与有1个公共点，所以或，故C错误.对于D，若关于x的方程有6个不相等的实数根，即或有6个不相等的实数根，又因为解得或，所以与有4个公共点，作出图象如下图所示，显然实数a的取值范围是，故D正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.29．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数，下列选项正确的是（

）A．当有三个零点时，的取值范围为B．是偶函数C．设的极大值为，极小值为，若，则D．若过点可以作图象的三条切线，则的取值范围为【答案】ABD【分析】由可得出，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断B选项；利用导数求出函数的极大值和极小值，结合求出的值，可判断C选项；设切点横坐标为，利用导数的几何意义可得出方程有三个不等的实根，可知，直线与函数的图象有三个交点，数形结合可判断D选项.【详解】对于A选项，令可得，令，则直线与函数的图象有三个交点，，令，可得，列表如下：增极大值减极小值增如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，A对；对于B选项，，该函数的定义域为，，故函数是偶函数，B对；对于C选项，，令，可得，列表如下：减极小值增极大值减所以，，，所以，，解得，C错；对于D选项，设切点坐标为，则，所以，曲线在处的切线方程为，将点的坐标代入切线方程得，整理可得，令，其中，则，令，可得或，列表如下：减极小值增极大值减若过点可以作图象的三条切线，则直线与函数的图象有三个交点，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，合乎题意，D对.故选：ABD.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.30．（22-23高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数的两个极值点分别是，，则下列结论正确的是（

）A．或B．C．D．不存在实数a，使得【答案】BCD【分析】求出函数的导数，由有两个零点求出a范围判断A；根据选项BCD的特征结合韦达定理表示成a的函数，再利用导数推理作答即可.【详解】对于A，函数的定义域为，求导得，依题意，，即在上有两个不等的实根，因此，解得，故A错误；对于B，因为，由韦达定理得，则，故B正确；对于C，，令，，令，，即函数在上单调递减，，则函数在上单调递减，于是，所以，故C正确；对于D，，令，，即函数在上单调递减，，因此恒成立，故D正确.故选：BCD【点睛】思路点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.三、填空题31．（22-23高二下·湖北武汉·期中）已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是．【答案】【分析】利用导数法，作出函数的大致图象，令，或，由没有解，得到的解的个数与方程解的个数相等求解.【详解】解：当时，，所以，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，且，，，当时，，当时，，当时，与一次函数相比，函数增长更快，从而，当时，，所以，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，且，，当时，，当时，，当时，与对数函数相比，一次函数增长更快，从而当，且时，，根据以上信息，可作出函数的大致图象：

令，得或，由图象可得没有解，所以方程的解的个数与方程解的个数相等，而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等，由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点．故答案为：32．（22-23高二下·福建福州·期末）若直线分别与曲线，交于，两点，则线段长度的最小值为．【答案】，其中.【分析】设，，则，再通过导函数分析其单调性即可求解最小值．【详解】设，，则，故，，，.故，设，则在区间上为增函数，且当时，，且，故在区间上存在使得，即，故则当时，，单调递减；当时，，单调递增.故有最小值，其中故答案为：，其中.33．（22-23高二下·安徽滁州·期末）已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，给出下列四个函数：；；；，其中有“巧值点”的函数是【答案】①③【分析】根据“巧值点”的定义，确定方程是否有解，即可判断.【详解】中的函数，，要使，则，解得或，可见函数有巧值点，故成立；对于中的函数，要使，则，由对任意的，有，可知方程无解，原函数没有巧值点，故不成立；对于中的函数，要使，则，设，函数在上单调递增，且，，所以函数在上存在零点，即存在使，因此方程有解，原函数有巧值点，故成立；对于中的函数，要使，则，即，显然无解，原函数没有巧值点，故不成立．故答案为：．34．（22-23高二下·江西南昌·期末）若命题“，”是真命题，则a的取值范围是.【答案】【分析】根据特称命题，构造函数，利用导数求其最小值，可得答案.【详解】由题意可知，，令，，令，解得或（舍去），极大值，，，则则.故答案为：.35．（22-23高二下·吉林长春·期末）已知函数，则函数的最大值为.【答案】【分析】根据给定条件，求出函数，进而求出，再利用导数求出最大值作答.【详解】函数定义域为，求导得，当时，，解得，因此函数，，当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，.故答案为：36．（22-23高二下·贵州遵义·期末）已知为实数，函数，．若存在，使，则的取值范围为．【答案】【分析】根据题意，分离参数，然后结合导数求最值，即可得到结果.【详解】由题意可得，存在，使，即，化简可得，令，其中，则，令，可得，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以，当时，有极小值，即最小值，即，所以，记，其中，则，令，解得，当时，，则函数单调递增，当时，，则函数单调递减，所以，当时，有极大值，即最大值，所以，即.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数求最值问题，难度较难，解答本题的关键在于分离参数，然后利用导数求解最值.37．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数，，若曲线与曲线存在公切线，则实数m的最大值为.【答案】/0.5【分析】设出公切线和两个曲线相切的切点，，根据导数的几何意义找到的关系，然后化二元为一元，将用一个量表示，结合导数工具求解.【详解】由题意可知：，设公切线和相切于，和相切于，因为就没有垂直于轴的切线，故公切线斜率存在，设公切线斜率为.于是由可得，；由化简整理可得，.根据可得，，故，设，则，1.当时，显然；2.当时，则，令，则，故在上递增，注意到，①当时，，；②当时，，；综上所述：当时，；当时，；则在上递增，在上递减，故，所以的最大值为.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题的突破口在于，通过导数的几何意义，找出参数和两个切点横坐标的关系，利用消元的思想，消去一个未知量，然后构造函数进行求解.38．（22-23高二下·福建龙岩·期末）函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为．【答案】【分析】法一：参变分离可得在上恒成立，设，，利用导数求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围；法