2025年中考数学专题10 加权逆等线最值专题（原卷版）

模型介绍模型介绍【模型总结】R在求形如“QB+kPA”（k≠1）的式子最值问题时，关键是要通过相似三角形构造出与kPA相等的线段(即kPA=QC)，将QB+kPA”型问题转化为“QB+QC”型将军饮马问题．当k=1时，加权逆等线就变成了逆等线拼接最值模型，此种情况属于权为1的特殊情况，只需通过全等三角形构造出相等线段即可，然后将问题变为常见的将军饮马问题求解即可.R需要注意：这里的QB、PA两条线段的延长线方向必须要有交叉，方能通过相似或全等三角形得到kPA的等线段．【解题方法】R利用比例线段构造相似三角形转化线段，把双动点问题转化为单动点将军饮马问题，利用“两点之间线段最短”从而解出答案.

例题精讲例题精讲考点一:直角三角形中的加权逆等线模型【例1】.如图，已知BC⊥AB，BC=AB=3,E为BC边上一动点，连接AE，D点在AB延长线上，且CE=2BD,则AE+2CD的最小值为多少.变式训练【变式1-1】.如图，等腰直角△ABC中，斜边BC=2，点D、E分别为线段AB和BC上的动点，，求的最小值.【变式1-2】.如图,在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,∠ACB=90。，点E、F分别是AB、BC边上的动点,且,求12CE+AF的最小值.考点二:特殊平行四边形中的加权逆等线模型【例2】.如图，在正方形ABCD中，AB=1，E、F分别为CB、DC上的动点，且BE=2DF,求DE+2AF的最小值.变式训练【变式2-1】.如图，在矩形ABCD中，AD=4,AB=43则AF+2AE的最小值为多少？【变式2-2】.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分别是边AB，AD的动点，满足AM＝DN，连接CM、CN，E是边CM上的动点，F是CM上靠近C的四等分点，连接AE、BE、NF，当△CFN面积最小时，BE+AE的最小值为．实战演练实战演练1.如图,等腰，D、E分别是AB、BC边上的动点,且满足,求的最小值.2.如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为．

3．如图，在正方形ABCD中，P为AD上一点，且APPD=21，E、F分别为CD、BC上的动点，且BF＝3DE，若4．如图，在Rt△ACB，∠BCA＝90°，∠A＝30°，AC＝，点D在线段AB上，点E在线段AB的延长线上，且BE＝AD，则CE+CD的最小值是．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在边AD上，点Q在边BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值等于．6．如图，平行四边形ABCD，AB＞AD，AD＝4，∠ADB＝60°，点E、F为对角线BD上的动点，DE＝2BF，连接AE、CF，则AE+2CF的最小值为．

7．问题提出：（1）如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点A、B重合），连接DE，过点A作AF⊥DE，交BC于点F，则DE与AF的数量关系是：DEAF；问题探究：（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E、F分别在边AB、CD上，点M为线段EF上一动点，过点M作EF的垂线分别交边AD、BC于点G、点H．若线段EF恰好平分矩形ABCD的面积，且DF＝1，求GH的长；问题解决：（3）如图③，在正方形ABCD中，M为AD上一点，且，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝4，求ME+2AF的最小值．

8．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝6，AC＝8，D、E分别为边AC、AB上两个动点．（1）如图1，若D为AC中点，且DE平分△ABC的周长；ⅰ）求AE﹣BE的值；ⅱ）求证：∠AED＝30°，并直接写出DE的值；（2）如图2，若AE＝CD，连接BD、CE，求BD+CE的最小值．

9．如图1，在▱ABCD中．AB＝6．AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AC，CD上的动点（点E，F不与A，C，D重合）．AE＝CF．设∠ACD＝a，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转a得到AP，连接PE，BE，BF．（1）求证：△APE≌△CBF：（2）如图2，若∠BOA＝90°，∠ACD＝40°，且点B、E、P在一条直线上，求BE+BF的值；（3）当OB＝OC，∠ACD＝60°时，BE+BF长的最小值是．

10．平行四边形ABCD中，N为线段CD上一动点．（1）如图1，已知∠ADC＜90°．若DR＝BN，求证：四边形DRBN为平行四边形；（2）如图2，已知∠ABC＝60°．若BN为∠ABC的角平分线，T为线段BN上一点，DT的延长线交线段BC于点M，满足：tan∠BTM＝且DN＝BM．请认真思考（1）中图形，探究的值．（3）如图3，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝BC＝2，P在线段BD上，Q在线段CD上，满足：BP＝2CQ．直接写出（2QA+AP）的最小值为．

11．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接BD．（1）求BD的长