2024年新高考数学艺体生冲刺复习-平面向量（解析版）

考点04平面向量

(-知识点一向量的有关概念

向量坐标的求法

向量加法、减法、数乘及向量的模

_向量在平面几何中的应用

一知识点二平面向量的坐标运算一

-向量的夹角

—知识点

平面向量的数量积

J向量数量积的运算律

—知识点三向量的线性运算

平

面—知识点四数乘

向J知识点五

量易错点

r-考点一向量的坐标运算

一考点二数量积

考点一一考点三向量的线性运算

-考向四投影向量与投影长

考向五平面向量与其他知识综合

知识讲解

一.向量的有关概念

⑴向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模).

(2)零向量：长度为。的向量，其方向是任意的.

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.(没有方向上的规定)

⑷平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：.与任一向量平行或共线.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量

二.平面向量的坐标运算

1.向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A(xi,yi),Bg>2),则屈=(及—xi,m一yi),|A&|(x^—xi)2+(y^—yi)2.

2.向量加法、减法、数乘及向量的模

1

设a=(xi，Vl),b=(X2,丁2)，贝

a+b=(%i+x2，yi+y2),a—b=(xi—y一")，丸a=(Zn，2yi),|a|=^/xi+yi.

3.向量在平面几何中的应用

(1)线平行、点共线：a〃b=a=2bf2—冗2%=0,其中a=(xi，%),b=。2,m)，a^O

(2)垂直：a_Lb=a.b=0Gi%2+yiy2=0，其中a=(xi，%),b=(%2，/)，且〃，b为非零向量

uh111

(3)夹角：以）§。=旧可（。为向量2,/7的夹角），其中a,b为非零向量

lal?lbl

(4)长度：\Si\=yl^=yjx1+y2,其中a=（x,y）,a为非零向量

4.向量的夹角

（1）已知两个非零向量a和L,作次=a,m=1）,则/A02就是向量a与i的夹角，向量夹角的范围

是[0,71]

XlX2+y>2

（2）夹角cos夕=

|b|7君+比仁上+4

5.平面向量的数量积

⑴定义：设两个非零向量;，6的夹角为仇则数量|；||M-cosO叫做;与1的数量积（或内积），记作;.力

（2）投影：|a|cos。叫做向量a在i方向上的投影，iMcos。叫做向量:在a方向上的投影

（3）几何意义：数量积;$等于:的长度|；|与。在;的方向上的投影iMcosd的乘积

6.向量数量积的运算律

(l)ab=ba.

iiiiiiii

(2)(2a)b=2(ab)=a(2b)=Aab.

iiiiii

(3)(a+b)c=a-c+b-c

三.向量的线性运算

（一）加法：求两个向量和的运算

L三角形法则：首尾连，连首尾

三角形法则

2.平行四边形法则：起点相同连对角

a

平行四边形法则

3.运算律

交换律：a+b=b+a

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

(二)减法

1.三角形法则：共起点，连终点，指向被减

二,

三角形法则

2.平行四边形法则：共起点，连终点，指向被减

四.数乘：求实数7与向量;的积的运算

1111111

1.数乘：12a|=|A||a|,当2>0时，Xa与a的方向相同；当衣0时，Aa与a的方向相反；当4=0时，Aa=

0

2.运算律

11lititit

(1)M「ia)=(9)a(2)(^+)i)a=Xa+jia(3)Z(a+b)=Xa+Xb

3.向量共线定理

向量力与非零向量;共线的充要条件是有且只有一个实数九使得

4.平面向量基本定理

如果:，.是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量;，有且只有一对实数孤，

心，使a=2通1+义202.其中，不共线的向量ere2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

五.易错点

1.向量数量积不满足：

①消去律，即a-b=a-c/b=c

111111

②结合律，W(a-b)-c#>a.(b-c).

11111111

2.ab=0不能推出a=0或b=0,因为a.b=0时，有可能a_Lb

5.a-b=a-c(ar0)不能推出b=c,即消去律不成立.

4.相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

5.共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

6.向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆.

7.非零向量。与白的关系：告是与。同方向的单位向量.

HH

典例剖析

考点一向量的坐标运算

【例1-1】(2023•河南新乡•统考一模)已知向量a=(l,T),b=(m,2),若；〃力，则(a-2b"=()

A.4B.-2C.-8D.-20

【答案】D

【解析】由a//6，可得—〃?=2,即"z=—2,所以(a—26)-Z?=a-匕―2Z/=—4—2x8=—20•故选：D

【例1-2](2023・湖北•武汉市第三中学校联考一模)设,"©R,a=(m,l),b=(4,m),c=(1,-2),则6_Lc是

a//6的()条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A

［解析］由向量a==(4,m),c=(1,-2),

当时，可得4x1—2机=0,解得根=2；

当a//〃时,可得病-1x4=0,解得加=±2,

所以6_Lc是a//B的充分不必要条件.

故选：A.

【例1-3］(2023•全国•统考高考真题)已知向量。=(3,1),6=(2,2),则cos(a+b,a-6)=()

A.—B.叵C.立D.述

171755

【答案】B

【解析】因为a=(3,l)涉=(2,2),所以a+6=(5,3),a—6=(l,T),

贝！］卜+6卜庐万=回,_目=>/!?!=0,(a+6).(a-6)=5xl+3x(-l)=2,

\\a+b\-\a-b\2J17

所以cos(a+6M-6)=1——/——p=-j=~『=――.

'/卜+型_0y/34xy/217

故选：B.

【变式】

1.(2022・全国•统考高考真题)已知向量/=(2,1)0=(-2,4),则1()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】因为。-6=(2』)一(一2,4)=(4,-3),所以卜-4=,42+(-3)2=5.故选:D

2.(2023上•山西太原•高三统考期中)已知。=(1,0),6=(1,1),若则实数2=()

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】B

【解析】由可得彳°2-6~=0，即4-2=0,故4=2,故选：B

3.(2023・山东•统考一模)已知向量a=(2,l),b=(〃z,-l),且。//(a-6),则实数机的值为()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】D

【解析】a-b=(2,l)-(ffi,-l)=(2-m,2),由a//(。-6)可得2x2—1x(2-加)=0,解得机=一2.故选：D

4.(2023・北京・统考高考真题)已知向量乙方满足。+6=(2,3),。->=(-2,1),则⑷?-历『=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】向量满足。+》=(2,3),。-6=(-2,1),所以|a『-|b|2=(a+b).(a-b)=2x(-2)+3xl=-l.

故选：B

5.(2023•全国•统考高考真题)已知向量a=(l,l),6=(l,-l),若(a+26)_L(a+〃6),则()

A.4+4=1B.A+jd=-1

C.澳=1D.加=-1

【答案】D

【解析】因为a=(1/)为=(1,—1),所以a+%6=(1+4,1—4),a+=(1+///一〃)，

由9,+26)_L(a+〃6)可得，(a+X6)(a+〃b)=0,即(1+彳)(1+〃)+(1—彳)(1-〃)=0,整理得：2〃=-1.

故选：D.

6.(2023・全国•模拟预测)已知向量上=(-L-2),5=(4,-2)*若卜一二)，伍+〃肛则<)

A.44〃=1B.42//=-1

C.4(2+〃)=1D.4(%+〃)=-1

【答案】A

【解析】法一：用坐标表示向量由题意可知，

a—Ab—(―1—44,—2+22)+fjb=(―1+4〃,一2—2〃)，由-4b)_!_(.+〃b)得,

(-1-42)(-1+4^)+(-2+22)(-2-2^)=0,整理得，5-20加=0,所以4加=1.则A对;

法二：因为向量4=(一1,一2)力=(4,一2),所以问=6,忖=2宕力=-4+4=0,

又(a_几6)_L(q+〃6),所以(4_彳/?>(4+〃6)="2+(〃一彳)4・6-初万2=5-20/1〃=0,所以42〃=1.

故选：A.

考点二数量积

【例2-1](2023•陕西西安•校联考模拟预测)已知向量a力均为单位向量，且。m=g,则,+b卜()

A2白口2ng6

3333

【答案】B

【解析】\a+b^=(a+b)2=a2+2<2-b+b2=—,所以k+Z?卜2y.故选:B

【例2-2】(2022•全国•统考高考真题)已知向量4/满足|a|=l,|b|=|=3,则〃./?=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】回|Q—2bl2=|Q『—4。2+4-,又团|Q|=l,W="|Q—2b|=3E9=l—4QZ+4x3=13—4qZ，

团故选：C.

【例2-3](2023•全国•模拟预测)平面向量；=(2,1),卜卜2,且〃心=2.若卜—囚=卜+仍|,则U()

A.0B.2C.0或-1D.±1

【答案】C

【解析】因为,_0=卜+例,所以卜-0-=卜+仍］，即+d=J+2fa/+产/，

又因为忖=&\W=2,a-b=2»所以5-4+4=5+4/"+4产，即4产+4r=0,解得t=-l或f=0.故选：C.

【变式】

1.（2023・全国•模拟预测）已知向量0,b满足卜+6卜5,且口=2,W=3,贝巾-力卜（）

A.5B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】回卜+目=5,0,+0=|a|+2a-Z?+|z>|=25.回卜|=2,|/?|=3,

团4+2。-6+9=25，回2。・。=12,

团卜-6卜J（a_6）=yla'-2a-b+b'=J4-12+9=1.

故选：D.

2.（2023・浙江绍兴•统考模拟预测）已知向量//满足口=3,恸=2,|2。-0=2屈，则£与。的夹角为（）

712兀3兀5兀

A.—B.—C.—D.—

2346

【答案】B

【解析J由W=2^/15得4a2—4a力+//=4X13,

将忖=3,恸=2代入可得4x9-4。山+2?=4x13，

所以人-3,所以8乂"@=丽=元TF，

由于,用目0,兀］,所以,,9=事，

故选：B

3.（2023・安徽）设非零向量°,6满足同=洲且（2。-6）乂°+36）,则%方的夹角大小为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【解析】设口,5的夹角为凡由（2a-6）J_（o+36）,得（2a-6）-（a+36）=。，gp2a2-3b2+5a-b=0.

因为同=21卜0,所以不妨设忖=1,则同=2,所以8—3+10cos9=0,解得cosO=-;.

因为0。4"180°,所以。=120?.故选：C.

4.（2023,云南）已知平面向量a,b满足忖=2忖=6,卜+砌=3/仅＞0）,a.b=9,则实数人的值为（）

D.V2

【答案】A

【解析】将卜+研=34两边同时平方，得M+2左a-b+左=63,而什=6,恸=3,ab=9,

因此36+18左+942=63,即依题意严+2左一3=0,又人＞0,所以％=1.

故选：A

5.（2023•浙江宁波•统考一模）若〃力是夹角为60°的两个单位向量，+B与-3a+2力垂直，则几=（）

1177

A.-B.—C.-D.一

8484

【答案】B

【解析】由题意有/=『=1,/=W=l,a-Z?=|a|-|/?|cos60°=lxlx^-=i,

又因为/la+b与一3a+2。垂直，所以

（几a+b）,（—347+26）=—32a+（2几一3）a,b+2b~=—32H—x（2几一3）+2=0,

整理得一24+2=0,解得2=工.故选：B.

24

考点三向量的线性运算

【例3-1］（2023•云南大理・统考一模）在，ABC中，AB=3AD,贝Ucr＞=

1UUKUULIiunnuutr

A.AB——ACB.AB+-ACC.-AB-ACD.-AB+AC

3333

【答案】C

【解析】国AB=3AD，回CD=AD—AC=—AB—AC,故选：C.

【例3-2］（2023上•辽宁）在ABC中，CM=3MB，AN+CN=G，

.1327

A.MN=-AC+-ABMN=-AB+-AC

13

C.MN=-AC--ABMN=-AC——AB

【答案】D

【解析】因为CM=3MB，AN+CN=0,

所以M是位于BC上的靠近点8的四等分点，N为AC的中点，如下图所示:

所以==-AC-AB--（AC-AB\=-AC--AB.

22424V/44

故选：D

【例3-3]（2023・河南•校联考模拟预测）在平行四边形A3CQ中，点七满足出）=4B£，

CE=ABA+//GR),则加=()

333

A.-----B.—C.—D.1

16816

【答案】A

【解析】因为BD=4BE，贝UCD-CB=4(CE-C2),

1313-13

整理得CE=—C£)+—CB=—3A——BC,可得；1=_,〃=——，

444444

所以.=

故选：A.

【变式】

1.（2023•陕西）在JLBC中，点、D,E分别是48,2C的中点，记AE=a，CD=b，则AC=（）

A.—6）B.—^<7—Z?jC.5。-§6D,-〃）

【答案】D

【解析】由题意可知，a=-（AB+AC],b=-AB+CA=-AB-AC.两式相减，^a-b=-AC,所以

2、,222

AC=—^a—bj.故选：D.

【答案】C

313

【解析】由AD=可得A5=7A。，即AF=mAC+工A5=冽AC+：A。，因为C尸,。二点共线，所以

224

31

机+—=1,相=一.故选：C

44

考向四投影向量与投影长

【例4-1】（2023北京）已知|a|=4,e为单位向量，（毋）=昔，则a在e方向上的投影的数量为（）

A.2A/2B.2C.-272D.-2

【答案】C

【解析】由题意，a在e方向上的投影的数量为：同cos〈a,e）=4x=-2虚故选：C

【例4-2］（2023•广西柳州•统考模拟预测）已知向量之匕满足（。+分）=3,且忖=1,则向量〃在向量B上

的投影向量为（）

A.1B.-1C.2bD.b

【答案】C

【解析】由题知，因为忖=1,（a+b^»b=3,所以（a+6卜b=a.6+6~=+.=a.6+l=3,所以。/=2，

a-bb,

向量a在向量b上的投影向量为：M“=2b.故选：C.

【变式】

1.（2024湖南）已知向量”，6满足|。|=3,山=26，且a，（a+6）,贝山在。方向上的投影为（）

A.3B.-3C.-巫D.也

22

【答案】B

【解析】由a_L（a+b）,得々•（a+Z?）=0,

n.卜—Q

••.|〃|2+〃电=0,于是〃力=—9,因此匕在£方向上的投影为幺£=-二-3.故选：B

\a\3

2.（2023•全国•模拟预测）已知向量）=（%+1,2）1=（1,-2）,若“上匕,则向量2=（1,2）在向量Q+B上的投

影向量为（）

D

A-(刈B-(L3)c--(TIJ

【答案】D

【解析】依题意得a=(%+l,2),Z?=(l,—4),a/=0,所以4+1—22=。，解得4=1,

所以；=(2,2),"(1,—1),所以a+1=(3,l),

则向量。=。,2)在向量a+万上的投影向量为•曰=3；+1；2.旦\=点3,1)=仁,。

\a+b\\a+b\V32+l2V32+l21。I22j

故选：D.

3.(2023•湖南郴州•统考一模)已知向量a/满足(〃-6)/=2,且6=(-1,1),则向量a在向量心上的投影

向量为()

A.(2,2)B.(-2,2)C.(1,1)D.(-1,1)

【答案】B

【解析】由8=(-1,1),则|匕|=忘，(a-b^-b=a-b-b2=2,则。.石=4,

则向量”在向量加上的投影向量为字*3=(-2,2).故选：B

|6|\b\

考向五平面向量与其他知识综合

【例5-1】(2023•四川成都,校联考一模)已知a=(l,2),6=(",1),帆>0,〃>0,若存在非零实数2使

17

得a=X6,则▲+*的最小值为()

mn

A.8B.9C.10D.12

【答案】B

【解析】若存在非零实数4使得a=①，即。〃)，又a=(l-加,2),b=(n,\),

所以即m+2n=l,

匚口、112fl2V八、u2n2ni、__\ln2m八

所以—I—二—I—\(m+2n\=5-1---1---->5+2./-------=9,

mn\mn)mnVmn

当且仅当2且n=23m，即〃?=〃=1:时，等号成立.

mn3

12

所以乙+4的最小值为9.

mn

故选：B

【例5-21(2023上•广西河池•高三贵港市高级中学校联考阶段练习)已知向量a=(cosa,sina),方=(2,1),

若=1，贝！Jsina=（）

333

A.--B.1C.--或1D.-

555

【答案】C

【解析】ab=2coscr+sina=1，贝114cos?a+4cos(zsina+sin‘a=1,

即3cos2tz+4costzsina=0，

3sin(7

当cosawO时，即3+4tana=0,则tana==，

4cosa

f.3,3

sma=——sma=—

;或者,5

结合22解得

sina+cosa=14

cosa=—cosa=——

[55

.3

sma=——

5

结合$吊检验得＜

2850+0=14；

cosa=—

5

当costz=0时，sina=l满足题意.

故选：C

【变式】

1.（2023•山东德州•德州市第一中学校联考模拟预测）己知ABC,点D在线段上（不包括端点），向

12

量AO=xAB+yAC,一+一的最小值为（）

xy

A.2A/2B.20+2

C.2拒+3D.26+2

【答案】C

【解析】ABC,点。在线段上（不包括端点），

故存在2,使得3£）=X2C，即A£）_AB=；L4C-九42，即AD=/L4C+（l-/l）AB,

因为向量AO=xAB+yAC,所以y=4x=l-2,

可得x+y=l，

x>0,y>0,由基本不等式得

L2=fl+2%+y)=l+2+)+”23+2,^=2立+3,

xyyJxyyxy

当且仅当y=JIx,即y=2-夜产=夜一1时等号成立.

2.(2023•四川绵阳)已知向量a=(l，㈤出=(九2),若〃・/?=4，则实数相等于()

二4

A.-5/2B.0C.1D.一

3

【答案】D

---4

【解析】由题悬：a-b=\xm+mx2=3m=4,.\m=^<故选：D.

3.(2023•浙江嘉兴•统考模拟预测)已知向量a=(6,-8),6=(3,根)，a//b，则a.b=()

A.14B.-14C.50D.-50

【答案】C

【解析】因为向量a=(6,-8),Z?=(3,m),allb1所以6〃z+24=0,解得："i=T,

。•匕=18-8〃z=18-8x(Y)=50.故选：C.

4.(2023海南)己知根=(2,-3),n=(-l,4),P=(41),若(〃?+3")_Lp,则2=()

A.9B.—9C.—D.—

99

【答案】A

【解析】因为机=(2,-3),77=(-1,4),所以加+3〃=(一1,9),

因为(〃?+3〃)_Lp,所以(而+34方=-"+9=0,解得丸=9.故选:A.

5.(2023・湖南永州・统考一模)已知向量&=(-l,2),b=(3,-l)W=(x,l),且(a+26)，C,则》=()

A.2B.1C.0D.-1

【答案】C

【解析】a+2Z?=(-1,2)+(6,-2)=(5,0),由于(a+26)，c,所以(a+2b)-c=5x=0,x=0.故选：C

6.(2023•海南省直辖县级单位•校考模拟预测)若向量。=(1,-1)/=(私3),且(a+b)，a,贝()

A.2B.1C.0D.-1

【答案】B

［解析］a+i>=(l+m,2),a=(1,-1),由(q+b)_La,^^a+l>j-a=l+m-2=m-l=0,解得m=1.

故选：B.

7.(2023・全国・模拟预测)已知向量。=(1,-1)力=(-1,2)］=(—3,3).若非零实数机，“满足(曲+6)//仅-〃m),

D.-3

【答案】A

【解析】由题意可知，na+b=+2)=(n-l,-n+2),6-me=(-1,2)—=(—1+3加,2—3%).

因为(加/+6)〃仅-加，)，所以=+整理得〃=3相，即4=3.故选:A.

8.(2023・全国•模拟预测)设向量“=(1,2),6=(-2,-1),则2“+〃与”的夹角的余弦值为()

【答案】B

【解析】由题意知22+7(0,3),卜石,:.a-(2a+b=612a+M=3,二cos〈a,2a+〃〉=-

3x若一5

故选：B

9.(2023•全国•模拟预测)已知平面向量,6=(1,-1),若实数利，〃满足根〃=一1,则〃+戒?与Q+泌

的夹角为()

5兀兀7171

A.—B.—C.—D.一

6236

【答案】B

【解析】因为〃=(1,1),Z?=(l,-1),所以a+mZ?=(l+%,1一m),a+nb=(l+n,l-n),

又加=一1,所以(Q+9)(4+同=(1+根,1—叫(1+21—=(l+m)(l+n)+(l-m)(l-n)=2+2mn=0,

即(a+〃对“a+同，所以°+：泌与。+他的夹角为］

故选：B.

10.(2023・浙江・统考一模)已知向量1=(2,3),b=(-1,x),则“(2+办，否-方)"是"x=2石"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由已知得，a+8=(l,3+x),a-b=(3,3-x),

右(a+》)_L(a—))，则(a+6).(a—b)=0,3+9—x2=0,解得x=±2g,

所以"x=26"="(a+b)J_m-6)”,但"(a+6)，(a-6"Z"x=2®',

所以"（〃+。），（°-匕）"是"尤=26"的必要不充分条件，

故选：B.

11.（2023,河北）已知。=（2,1）,Z>=（-1,3）.若（a-奶）〃（2°+6）,贝代=（）

121

A.—1B.—C.—D.一

233

【答案】B

【解析】方法一由题意，w«-=（2,1）-（-1,3）=（2+^,1-3^）,

2a+Z?=（4,2）+（—1,3）=（3,5）.@（a—A:b）〃（2a+Z?）,

回5（2+%）=3（1—3左），即10+5左=3—9左，团14左=—7,解得上=-g.

方法二团（a—左b）〃（2a+b）,^\a-kb=A（2a+bj=2Aa+Ab,

fl=241

团〈，，团女7=—.

[-左=九2

故选:B.

12.（2023•四川绵阳•统考模拟预测）已知平面向量〃与人的夹角为45,〃/=2,且同=2,则（〃-。｝（〃+4=

（）

A.-20B.-2C.2D.272

【答案】C

【解析】rt-i>=|o|-|z）|-cos45=2x^y-x|ft|=2,解得：忖=6\

因此可得：-b^a+b^=a2-b2=|a|"-|i>|=4-2=2.

故选：C

13.（2023•吉林长春•统考一模）己知单位向量a,b的夹角为60，则12a-6卜（）

A.1B.6C.75D.3

【答案】B

【解析】因为单位向量。，石的夹角为60。，所以°为=忖小上0$60=g,

所以|20—6『=4口2一4°.6+片=4一2+1=3,所以|2°—可=道.故选：B

设2=耳-〃=（括,-1）,c与b的夹角为8,

C'b-11

从而cos”即=西=、

又［0<6><180,•■-6=120；

法三：利用运算法则，设48=a,AC=y/3a,AD=b，贝IJOC=^a-6，如图，

则设向量耳-b与b夹角为，，则忖4=|后-可=J(屈-4=73+0+1=2,

|AD|=1,|AC|=A/3,cosd=cos(;r—/ADC)=-cos/ADC=-g,

又[0<6><180,0=120.

故选：A

18.(2023•福建龙岩•统考二模)已知向量a=(-3,0),b=(2,l),c=(2,-l),AeR,若(a+2))，c,贝同在

c上的投影向量为()

【答案】C

【解析】因为向量0=(-3,0),3=(2,1),.“+2b=(1,2),(a+2b)lc,

所以(1,2>(4-1)=几-2=0,;.几=2,，，=(2,-1),向量1在向量2方向上的投影向量为

b，cc_2.(i)+1勺1)[,-1)_3(-J,_当

|c|\c\7(2)2+12J⑵AE55'5'

故选：C

19.(2023•海南•统考模拟预测)在梯形ABCD中，AB//CD,AB^3,AD=DC^1,=60。,E为BC的

中点，则AE.A8=()

【答案】A

【解析】/—

---------^5

由题意可得，ABCD,AB=3,DC=1,则£>C=gAB,

则AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-^BA+AD+DC^=-AB+-AD+-x-AB

=-A.B-\—A.D,

32

所以AE.ABulgAB+gADjABulkBj+gkBHADFcosGO。=|x32+|x3xlx1=^.

故选：A

20.（2023・新疆•统考三模）设向量a,b为单位向量，且|a+助|=|彳。-6|（彳#0）,则向量。，。的夹角为

（）

717171571

A.-B.—C.-D.—

6326

【答案】C

【解析】由题意知，Ia1=161=1,|—3|=|La—1,

所以（a+XZ?）2=（X。—〃—，即/+X1b+2Aa-b=b2+X1a—2Xa-b，

所以1+丸2+2cos<a,b>=l+Z2-2cos<a,b>,即42cos<a,b>=0,

又因为XwO,

所以cos<a,b>=0,

所以<a,Z?>=—.

2

故选：C.

21.（2023•陕西西安・西安市大明宫中学校考模拟预测）在梯形ABCD中，ABUCD,AD±AB,AB=2CD=2,

AD=6M为的中点，则（）

r32

A.-3B.—2C.-D.—

23

【答案】C

【解析】以A为坐标原点，AB,AD正方向为尤,y轴可建立如图所示平面直角坐标系，

60。，E,尸分别为8C,8的

2a-4=忖，贝1|()

A.b_L（b-2Q）

B.Q—c与3〃-c的夹角为锐角

D.a+XB与b的夹角为钝角的充要条件是

【答案】AD

【解析】将冷4=同两边平方并整理,得/-2°/=0,即22)=0,

因为。,6不共线，所以6,仅-2a),A正确.

将忸-c卜忖两边平方并整理,得3a2-4a.Z+J=0，即(a-c>(3a-c)=0,

所以与3a-c的夹角为直角，B错误.

因为。,6不共线，所以。+助与人不共线，

2122,1、21

则a+几人与6的夹角为钝角的充要条件是(。+力6)2=4力+力6=-b+加=\-+^\b<0,BPA<--,D

212；2

正确.

故选：AD.

24.(2023上,江苏徐州•高三校考阶段练习)(多选)设向量。=(1,5),方=(4,-6),贝|()

A.(a+b)_LaB.(a-b^A-b

C.(4a-26)〃gb-a)D.&a+2bj〃(2a+6b)

【答案】AC

【解析】对A,a+Z>-(5,-l),所以(a+b)a=5xl-5xl=0,所以(a+b)_La,故A正确;

对B,«-Z?=(-3,ll),所以("6)为=-12-66=-7820,所以B错误；

对C,因为-d=(4o-2可，且为不共线的两向量，所以(4〃-2b)〃]b-“故C正确;

26

—w—

对D,因为工2,且。/为不共线的两向量，所以D错误.

3

故选：AC.

25.（2023•浙江•模拟预测）（多选）已知平面向量。=（1,0）,b=（sj）.下列命题中的真命题有（）

A.若albbllc,则就

B.若s=2,a_L6,则"一国

C.若M=W，则一2</<2

_JT

D.若‘=0且d与6的夹角为T，贝卜=1

O

【答案】BCD

【解析】A选项，若石是零向量，则由a/族Me不等得到://；,所以A选项错误.

B选项，若s=2,a_L），则a/=2+V^=。，/=—而r,所以B选项正确.

C选项，若卜卜阵则忖=忖,

即$2+产=4,所以0V产V4,—2VfV2,所以C选项正确.

7T

D选项，若八百且a与匕的夹角为j

6

兀

则COS]

两边平方得3+〃=1+2/+//=1,所以D选项正确.

故选：BCD

26.（2023•全国,统考高考真题）已知向量a,》满足卜-.=6,卜+.=|2&-可，则卜卜

【答案】x/3

【解析】法一：因为K=即（a+6）~=（2a-6）",

则L+Za-b+L=4a-4a-&+/?2>整理得。~-2。力=0，

又因为卜-6卜力，即（"匕『=3,

贝唠一2荽+金」:3,所以|4=百.

rrrrrrrrr

法二：设c=5—b，JJJIJ|c|=y/3,a+b=c+2b,2a—b=2c+b,

由题意可得：（c+2〃）=（2c+Z?）,贝匕2+4；U=4；2+4；.%+力2,

整理得：珠J2,即1卜,=6.

故答案为：73.

27.（2023,全国•模拟预