江西省抚州市南城县某中学2024届数学高一年级下册期末综合测试模拟试题含解析

江西省抚州市南城县第二中学2024届数学高一下期末综合测试

模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题

卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右

上角"条形码粘贴处"。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息

点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区

域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和

涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

7U

1.在平行四边形45co中，A5=2BC=4,ZBAD=_,E是CD的中点，则

ACEB=()

A.2B.-3C.4D.6

2.在AABC中，角4、B、。所对的边长分别为。，b,c,a=3,c=23,

》sinA=acos,+"则AABC的面积为()

A.至2B.3V,/3C.42D.9

3.若a,6,ceR且a>b,则下列不等式成立的是()

A.a2>biB.-<YC.叫>小|

ab

4.AA5c的三内角所对的边分别为a,b,c,若(a—c+b)(a+A+c)=ab,则

角C的大小是()

兀兀2兀5兀

A.—B.—C.—D.—

3236

5.在AA5C中，角AB,。的对边分别是。，b,c,若b=3,c=2,cosA=l,

则。二()

A.5B.C.4D.3

6.为了得到函数y=3sin[2x+\J的图象，只需把函数y=3sinx的图象上所有点的

()

1

A.横坐标缩短到原来的蒙倍（纵坐标不变）,再将所得的图像向左平移9•

O

1Jr

B.横坐标缩短到原来的彳倍（纵坐标不变）,再将所得的图像向左平移谈

C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再将所得的图像向左平移

6

1TT

D.横坐标缩短到原来的'倍（纵坐标不变）,再将所得的图像向右平移谈

已知a为锐角，sin(a+450)=[,则sin2a=(

7.)

714147

A.B25C+—D.

25~2525

8.已知函数*动=-75sin(ft>x->0)'若在区间内没有零点,则的取值范

围是（）

A.B.C.D.

9.设A，B,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，4ABC为等边三角形且其

面积为9JI，则三棱锥。-A5C体积的最大值为

A.1273B.18rC.24^/3D.54串

10.已知直线不经过第一象限，则的取值范围为（）

A.B.C.D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

n.设数列｛a卜靖足a=2,a=6,且a-2a+a=2,用[x]表示不超过了的

n12n+2n+1n

最大整数，如bsb。，h2]=1,则—+—+—的值用加表示为.

aaa

L12m」

12.若直线/：y=fcx-、/T与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线/的倾斜

角的取值范围是.

13.函数/（%）=arccosx（L<x<1）的值域是..

14.函数y=tan[x+：]的最小正周期是.

15.在AABC中，内角A,B,。所对的边分别为。，b,c,a=2,且

(2+b)(sinA-sin5)=(c—b)sinC,则AABC面积的最大值为.

16.设数列〃｝的通项公式。=-2"+10,则数列的前20项和为___________.

nn•n1

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.已知三棱柱。qq-ABC中，三个侧面均为矩形，底面ABC为等腰直角三角形，

CC=CA=CB=2,点、D为棱CC、的中点，点E在棱上运动.

(1)求证A]CJ_AE；

(2)当点E运动到某一位置时，恰好使二面角七-。。-8的平面角的余弦值为

求点E到平面4成)的距离；

(3)在(2)的条件下，试确定线段AC上是否存在一点尸，使得平面

若存在，确定其位置；若不存在，说明理由.

18.已知函数/(x)=x2+2ax-6。

(1)若b=3s,求不等式/G)4。的解集；

(2)若。>0*>0,且/3)=从+b+a+l,求a+b的最小值。

19.在A4BC中，角A,民。的对边分别为a,b,c,且

sin2B+sin2C=sin2A-sinBsinC..

(1)求角A的大小；

(2)若a=2jl,b+c=4,求AA5c的面积.

7

20.设A4BC的内角A,5,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6"=2,cosB.

(I)求的值；

(II)求sin(4—8)的值.

,cabc

21.已知A4BC的三个内角4、5、C的对边分别是a、b、c,AABC的面积5=.，

。2+匕2=2csmC+ab

(I)求角C；

(II)若A4BC中，3C边上的高/?=J3,求。的值.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的

1、A

【解题分析】

由平面向量的线性运算可得AC-ER=(互+A万)•(成+9)，再结合向量的数量积

运算即可得解.

【题目详解】

7U

解：由AB—2BC=4,ZBAD=—,

所以|网工4,|AD|=|BC|=2,AD-AB=|AD||AB|cosl=4x2xl=4,

则

ACEB=(AB+AD)-(EC+CB)

=(Afi+AD).(lAfi-AD)=-A£>2+lAfi2-lABAD=-4+8-2=2,

故选:A.

【题目点拨】

本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了向量的数量积运算，属中档题.

2、A

【解题分析】

&sinA=acos(B+^-l利用正弦定理，和差公式化简可得8,再利用三角形面积计

算公式即可得出.

【题目详解】

(71

•/bsinA=acosB+

I6

/.sinBsinA=sinA-i—cosB--sinB

22

・.・sinAw0

/.sinB=^cosB-isinB

22

化为：tanBG（0,7i）

3

c兀

B=一

6

AABC的面积=—x3x2J^sin—=W

2~62

故选：A

【题目点拨】

本题考查正弦定理与两角和余弦公式化简求值，属于基础题.

3、D

【解题分析】

利用不等式的性质对四个选项逐一判断.

【题目详解】

选项A:a=Q,b=-l,符合但不等式°2〉柩不成立，故本选项是错误的；

选项B:当。=01=-1符合已知条件，但零没有倒数，故一<三不成立，故本选项是

错误的；

选项C:当c=0时，不成立，故本选项是错误的；

ab

选项D:因为C2+1>O,所以根据不等式的性质，由能推出-->-故本

。2+1C2+1

选项是正确的，因此本题选D.

【题目点拨】

本题考查了不等式的性质，结合不等式的性质，举特例是解决这类问题的常见方法.

4、C

【解题分析】

将(a—c+5)(a+0+c)=ab进行整理，反凑余弦定理，即可得到角C.

【题目详解】

因为3—c+b)(a+b+c)-ab

即。2+/72—。2=-ab

一――。2+拉一。21

故可得cosC=———----=

2ab2

又Ce(0,7T)

〃2n

故C=.

故选：C.

【题目点拨】

本题考查余弦定理的变形，属基础题.

5、D

【解题分析】

已知两边及夹角，可利用余弦定理求出.

【题目详解】

由余弦定理可得：俏=枕+。2-2bccosA=9+4-2x3x2xl=9,

解得a=3.故选D.

【题目点拨】

本题主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根据条件选用合适的定理解决.

6、B

【解题分析】

利用三角函数丁=Asin(0x+夕)的平移和伸缩变换的规律求出即可.

【题目详解】

为了得到函数y=3sin2x+[的图象，先把函数y=3sinx图像的纵坐标不变,

1一

横坐标缩短到原来的2倍到函数y=3sin2x的图象，

TTTT

再把所得图象所有的点向左平移6个单位长度得到y=3sin(2x+?)的图象.

126

故选：B.

【题目点拨】

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，三角函

数图象的平移变换和伸缩变换的应用，属于基础题.

7、A

【解题分析】

先将sin(a+45°)=|展开并化简，再根据二倍角公式sin2a=2sinacosa,计算可

得。

【题目详解】

由题得，sin(a+45°)=Yasina+Y^cosa=f,整理得sina+cosa=,又

2255

a为锐角，则sina>0,cosa,>0,sin2a>0,

327

(sina+cosa)2=1+2sinacosa=__,解得sin2a=2sinacosa=__.

故选：A

【题目点拨】

本题考查两角和差公式以及二倍角公式，是基础题。

8、B

【解题分析】

由题得丁一%再由题分析得到，解不等式分析即得

(on-j<(ox-^<2coit-j

解.

【题目详解】

因为，，

所以

因为在区间内没有零点，

所以，，

解得上+，“,<£一，

因为，

所以,

因为，所以或.

当时，；当时，.

故选：B

【题目点拨】

本题主要考查三角函数的零点问题和三角函数的图像和性质，意在考查学生对该知识的

理解掌握水平，属于中档题.

9、B

【解题分析】

分析：作图，D为MO与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当DM，平

面ABC时，三棱锥D—ABC体积最大，然后进行计算可得.

详解：如图所示，

点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，

当DM，平面ABC时，三棱锥D—ABC体积最大

此时，0D=OB=R=4

...S=正.2=9寿

&ABC4

,AB=6,

•.•点M为三角形ABC的中心

2/-

BM=§BE=2y/3

Rt^OMB中，有0M={OB2—BM2=2

.•.DM=OD+OM=4+2=6

.-.(V)=-x9J3x6=18J3

D-ABCmax3

故选B.

点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的

体积公式，判断出当DM，平面ABC时，三棱锥D—ABC体积最大很关键，由M为

2广

三角形ABC的重心，计算得到BM=§BE=20,再由勾股定理得到OM,进而得

到结果，属于较难题型.

10、D

【解题分析】

由题意可得3-2左=0或3-2左＜0,解不等式即可得到所求范围.

【题目详解】

直线y=(3-2左)x-6不经过第一象限，

可得3-2左=0或3-24＜0,

解得左＞3

—2

则化的取值范围是［,+00).

故选：D.

【题目点拨】

本题考查直线方程的运用，注意运用直线的斜率为0的情况，考查运算能力，属于基础

题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、m-1

【解题分析】

由题设可得知该函数的最小正周期是(。一。)一(。一。)令

n+2n+1n+1n=2,bn=an+1-an,

则由等差数列的定义可知数列仍｝是首项为々=4,公差为d=2的等差数

n121

列，即a~a=4+2(〃-1)=2〃+2,由此可得

n+1n

a—ci=2x1+2,〃—a=2x2+2,…—a=2(〃—1)+2,将以上个等式两边相

2132nn-\

加可得a-a=2xQ+__—(n-1)+2n-2=n(n-1)+2n-2,Rpa=〃(〃+l),所

n

n12

以

mmmmmmmmI.I

—+——H-----1-——m——+———H-----1-------——=Z1------)x=m—1+------

aaa223m-lmm+lm+l

l2m

mmm、4

故[一+—+…+—]=加一I,应填答初一I.

acia

l2m

点睛：解答本题的关键是借助题设中提供的数列递推关系式，先求出数列｛。｝的通项

n

公式a="（"+l）,然后再运用列项相消法求出

n

mmmmmmmm.I

—+——H----1-——m——+———H----F------——=m—1+-------最后借助题设

aaa223m-lmm+l

12m

rmmm、,

中提供的新信息，求出【一+丁+…+k］=加-1使得问题获解.

12m

12、（：,；）

o2

【解题分析】

若直线=一弗与直线2x+3y—6=0的交点位于第一象限，如图所示:

则两直线的交点应在线段上（不包含点），当交点为人（0,2）时，直线/的倾

斜角为：，当交点为3（3,0）时，斜率］_0—（弟）_道,直线/的倾斜角为］

23-036

二直线的倾斜角的取值范围是

故答案为

13、（0，y）

【解题分析】

根据反余弦函数的性质，可得函数/（x）=arccosx在（g,l）单调递减函数，代入即可

求解.

【题目详解】

由题意，函数/(x)=arccosx的性质，可得函数/(x)=arccosx在(2』)单调递减函

数，

17T1

又由arccosl=0,arccos-=y,所以函数/(%)=arccosx在(爹,1)的值域为(0,夕.

7T

故答案为：(°与)・

【题目点拨】

本题主要考查了反余弦函数的单调性的应用，其中解答中熟记反余弦函数的性质是解答

的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

14、兀

【解题分析】

根据函数，=3(纵+少)的周期公式计算即可.

【题目详解】

(71^n

函数y=tanx+京的最小正周期是7=丁=兀.

故答案为71

【题目点拨】

本题主要考查了正切函数周期公式的应用，属于基础题.

15、小

【解题分析】

(()

根据正弦定理将2+/?)sinA-sinB=(c-Z?)sinC转化为

(a+b)(a-b)=(c-b)c,即左+,2—碘=灰?，由余弦定理得

拉+。2—"2

cosA=----g----,--再---用基本不等式法求得k4,根据面积公式

2bc

,inA求解.

【题目详解】

根据正弦定理(2+匕)GinA-sinB)=(c-b)sinC可转化为

G+Z?)G-Z?)=(c-Z?)c,化简得52+02—42=bc

Z72+C2—。21

由余弦定理得cosA=

2bc2

sinA=

因为拉+。=。2+Z?。22bc

所以bc<4,当且仅当b=c时取"="

所以S=—bcsinA=qC〈立义4=邛

则AA3C面积的最大值为73.

故答案为：邪

【题目点拨】

本题主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的综合应用，还考查了运算求解的能力,

属于中档题.

16、260

【解题分析】

—

对去绝对值得T—a+•••+d!—ci—•••—u=2sS再求得，=—2n+10

।'2015620520n

的前〃项和s=—〃2+9孔，代入〃=20即可求解

n

【题目详解】

“项和为S=a+---+G=—〃2+9”

I1的前20项和T—a+-■■+a—a—■■■—a—2S—S代入可得T—260,

I"I201562052020

故答案为：260

【题目点拨】

本题考查等差数列的前〃项和，去绝对值是关键，考查计算能力，是基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17、(1)见解析；(2)(3)存在，为AC中点.

2

【解题分析】

(1)以CB为x轴，CA为y轴，CJ为z轴，C为原点建立坐标系，设E(m,0,2),

要证A.CLAE,可证ACLAE,只需证明AC-AE=0,利用向量的数量积运算即可

证明；(2)分别求出平面EA]D、平面A〃B的一个法向量，由两法向量夹角余弦值的

绝对值等于Yg,解得m值，由此可得答案；(3)在(2)的条件下，设F(X,y,0),

6

可知EF与平面A]DB的一个法向量平行，由此可求出点F坐标，进而求出IEFI,即得

答案.

【题目详解】

(1)以CB为x轴，CA为y轴，eq为z轴，C为原点建立坐标系，设E(m,0,2),

C(0,0,0),A(0,2,0),A1(0,2,2),D(0,0,1),B(2,0,0),

(0,-2,-2),AE=(m,-2,2),

1

因为AC-AE=N(-2)X(-2)-2x2=0,

1

所以AT，KE,即A|C，AE；

11

(2)DE—(m,0,1),DK=(0,2,1),

i

设〃=(x,y,z)为平面EAJ)的一个法向量，

n-DE=0mx+z=0

c,八，取九=(2,m,-2m),

2y+z=。

DB=(2,0,-1),设〃=(x,y,z)为平面A]DB的一个法向量,

n-DB=02x-z=0

则4一，，即〈⑵+Z=0'取"=Uf2)，

n-DA=0

i

R2-m-4m

由二面角E-A1D-B的平面角的余弦值为,得心-----—,

6J4+m2+4m2.J6

解得m=l,

」DEn、6

平面ARB的一个法向量〃=(1,-1,2),根据点E到面的距离为：d=F-=$

网2

(3)由(2)知E(1,0,2),且加=(1,1,2)为平面A]DB的一个法向量，

设F(x,y,0),贝!]EF=(x-1,y,-2),且EF//n,所以y=l,解

得x=0,y=l,

所以EF=(-1,1,-2),|EB|=J(—1)2+12+(—2"=«,

故EF的长度为《，此时点F(0,1,0).存在F点为AC中点.

【题目点拨】

本题考查重点考查直线与平面垂直的性质、二面角的平面角及其求法、空间点、线、面

间距离计算，考查学生空间想象能力、推理论证能力.

7

18、(1)答案不唯一，具体见解析(2)-

【解题分析】

(1)由/(x)=(x+3a)(x—a)<0,对。分类讨论，判断一3a与a的大小，确定不等

式的解集.

(2)利用/(5)=匕2+b+a+l把万用a表示，代入a+〃表示为a的函数，利用基本不

等式可求.

【题目详解】

解：(1)因为》=3。2,所以/G)=X2+2办一3。2,

由/(X)W。，得尤2+2ax-3a240,即(x+3a)(x—0,

当a=0时，不等式/'(x)w。的解集为｛xlx=。｝；

当a>0时，不等式/(X)W。的解集为｛xl—3aWxWa｝；

当a<0时，不等式f(x)w。的解集为｛xla<x<—3a｝；

(2)因为于(b)=b2+2ab—b,由已知/0?)=加+b+a+l,

可得2ab-a-2b-l=0,

二(a—l)[b-=1,■;a>O,b>Q,a>1,Z?>1,

,11,,13、c37

2a-1a-1222

-,3

当且仅当a=2力=2时取等号，

7

所以a+b的最小值为]。

【题目点拨】

本题考查一元二次不等式的解法，基本不等式的应用，考查分类讨论的思想，运算求解

能力，属于中档题.

2K厂

19、(1)A=—；(2)y/3.

【解题分析】

(1)由正弦定理将角关系转化为变关系，再利用余弦定理得到答案.

(2)利用余弦定理得到历=4,代入面积公式得到答案.

【题目详解】

解：(1