湖北省武汉市青山区2025届数学高一下期末经典试题含解析

湖北省武汉市青山区2025届数学高一下期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则等于（）A． B． C． D．12．如图，已知矩形中，，，该矩形所在的平面内一点满足，记，，，则（）A．存在点，使得 B．存在点，使得C．对任意的点，有 D．对任意的点，有3．已知等比数列的公比为，若，，则（）A．-7 B．-5 C．7 D．54．已知某数列的前项和（为非零实数），则此数列为（）A．等比数列 B．从第二项起成等比数列C．当时为等比数列 D．从第二项起的等比数列或等差数列5．下列函数中，最小值为2的函数是（）A． B．C． D．6．过点作抛物线的两条切线，切点为，则的面积为（）A． B． C． D．7．若点在点的北偏东70°，点在点的南偏东30°，且，则点在点的（）方向上.A．北偏东20° B．北偏东30° C．北偏西30° D．北偏西15°8．等比数列的前n项和为，若，则等于()A．－3 B．5 C．33 D．－319．在中，已知其面积为，则=（）A． B． C． D．10．在正项等比数列中，，数列的前项之和为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知扇形的半径为6，圆心角为，则该扇形的面积为_______.12．若三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，,则该三棱锥的外接球的表面积为________.13．若采用系统抽样的方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，420，则抽取的21人中，编号在区间[241,360]内的人数是______14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M为B1C1中点，连接A1B，D1M，则异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为________________________．15．在赛季季后赛中,当一个球队进行完场比赛被淘汰后,某个篮球爱好者对该队的7场比赛得分情况进行统计,如表:场次得分104为了对这个队的情况进行分析,此人设计计算的算法流程图如图所示(其中是这场比赛的平均得分),输出的的值______.16．直线的倾斜角的大小是_________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．正项数列的前项和为，且.（Ⅰ）试求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求的前项和为.（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若对一切恒成立，求实数的取值范围.18．已知是一个公差大于的等差数列，且满足，数列满足等式：（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.19．如图，在平行四边形中，边所在直线的方程为，点.（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）求边上的高所在直线的方程.20．已知圆：与圆：．（1）求两圆的公共弦长；（2）过平面上一点向圆和圆各引一条切线，切点分别为，设，求证：平面上存在一定点使得到的距离为定值，并求出该定值．21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2﹣b2＝mac，其中m∈R．（1）若m＝1，a＝1，c＝，求△ABC的面积；（2）若m＝，A＝2B，a＝，求b．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

根据题意,由正弦定理得，再把，，代入求解.【详解】由正弦定理，得，所以．故选:D【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用,还考查了运算求解的能力，属于基础题.2、C【解析】以为原点，以所在直线为轴、轴建立坐标系，则，，且在矩形内，可设，，，，，，错误，正确，，，错误，错误，故选C.【方法点睛】本题主要考查平面向量数量积公式的坐标表示，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是几何形式，，二是坐标形式，（求最值问题与求范围问题往往运用坐标形式），主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.3、A【解析】

由等比数列通项公式可构造方程求得，再利用通项公式求得结果.【详解】故选：【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算问题，考查基础公式的应用，属于基础题.4、D【解析】

设数列的前项和为，运用数列的递推式：当时，，当时，，结合等差数列和等比数列的定义和通项公式，即可得到所求结论．【详解】设数列的前项和为，对任意的，（为非零实数）.当时，；当时，.若，则，此时，该数列是从第二项起的等差数列；若且，不满足，当时，，此时，该数列是从第二项起的等比数列.综上所述，此数列为从第二项起的等比数列或等差数列.故选：D.【点睛】本题考查数列的递推式的运用，等差数列和等比数列的定义和通项公式，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．5、C【解析】

利用基本不等式及函数的单调性即可判断.【详解】解：对于．时，，故错误．对于．，可得，，当且仅当，即时取等号，故最小值不可能为1，故错误．对于，可得，，当且仅当时取等号，最小值为1．对于.，函数在上单调递增，在上单调递减，，故不对；故选：．【点睛】本题考查基本不等式，难点在于应用基本不等式时对“一正二定三等”条件的理解与灵活应用，属于中档题．6、B【解析】设抛物线过点的切线方程为，即，将点代入可得，同理都满足方程，即为直线的方程为，与抛物线联立，可得，点到直线的距离，则的面积为，故选B.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及弦长公式与点到直线距离公式，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.7、A【解析】

作出方位角，根据等腰三角形的性质可得．【详解】如图，，，则，∵，∴，而，∴∴点在点的北偏东20°方向上．故选：A.【点睛】本题考查方位角概念，掌握方位角的定义是解题基础．方位角是以南北向为基础，北偏东，北偏西，南偏东，南偏西等等．8、C【解析】

由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出.【详解】设等比数列的公比为（公比显然不为1），则，得，因此，，故选C.【点睛】本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：（1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算；（2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．9、C【解析】或（舍），故选C.10、B【解析】

根据等比数列的性质，即可解出答案。【详解】故选B【点睛】本题考查等比数列的性质，同底对数的运算，属于基础题。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

用弧度制表示出圆心角，然后根据扇形面积公式计算出扇形的面积.【详解】圆心角为对应的弧度为，所以扇形的面积为.故答案为：【点睛】本小题主要考查角度制和弧度制互化，考查扇形面积的计算，属于基础题.12、【解析】

由已知计算后知也是以为斜边的直角三角形，这样的中点到棱锥四个顶点的距离相等，即为外接球的球心，从而很容易得球的半径，计算出表面积．【详解】因为，所以是等腰直角三角形，且为斜边，为的中点，因为底面是以为斜边的等腰直角三角形，所以，点即为球心，则该三棱锥的外接圆半径，故该三棱锥的外接球的表面积为.【点睛】本题考查球的表面积，考查三棱锥与外接球，解题关键是找到外接球的球心，证明也是以为斜边的直角三角形，利用直角三角形的性质是本题的关键．也是寻找外接球球心的一种方法．13、6【解析】试题分析：由题意得，编号为，由得共6个.考点：系统抽样14、.【解析】

连接、，取的中点，连接，可知，且是以为腰的等腰三角形，然后利用锐角三角函数可求出的值作为所求的答案．【详解】如下图所示：连接、，取的中点，连接，在正方体中，，则四边形为平行四边形，所以，则异面直线和所成的角为或其补角，易知，由勾股定理可得，，为的中点，则，在中，，因此，异面直线和所成角的余弦值为，故答案为．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，求解异面直线所成的角一般利用平移直线法求解，遵循“一作、二证、三计算”，在计算时，一般利用锐角三角函数的定义或余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．15、【解析】

根据题意,模拟程序框图的运行过程,得出该程序运行的是求数据的标准差,即可求得答案.【详解】模拟程序框图的运行过程知,该程序运行的结果是求这个数据的标准差这组数据的平均数是方差是:标准差是故答案为:.【点睛】本题主要考查了根据程序框图求输出结果,解题关键是掌握程序框图基础知识和计算数据方差的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.16、【解析】试题分析：由题意，即，∴．考点：直线的倾斜角.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）将所给条件式子两边同时平方,利用递推法可得的表达式,由两式相减,变形即可证明数列为等差数列,进而结合首项与公差求得的通项公式.（Ⅱ）由（Ⅰ）中可求得.将与代入即可求得数列的通项公式,利用裂项法即可求得前项和.（Ⅲ）先求得的取值范围,结合不等式,即可求得的取值范围.【详解】（Ⅰ）因为正项数列的前项和为,且化简可得由递推公式可得两式相减可得,变形可得即,由正项等比数列可得所以而当时,解得所以数列是以为首项,以为公差的等差数列因而（Ⅱ）由（Ⅰ）可知则代入中可得所以（Ⅲ）由（Ⅱ）可知则,所以数列为单调递增数列,则且当时,,即所以因为对一切的恒成立则满足,解不等式组可得即实数的取值范围为【点睛】本题考查了等差数列通项公式与求和公式的应用,裂项求和法的应用,数列的单调性与不等式关系,综合性强,属于中档题.18、【解析】

（1）利用等差中项得到关于，的方程组，利用通项公式求得公差，则数列的通项公式可求；（2）把数列的通项公式代入，得，作差可得，再由数列的分组求和可得数列的前项和．【详解】（1）在等差数列中，由，得，又，可得或．，，则．.（2）由，得，，即，满足上式，．则，数列的前项和，．【点睛】本题考查数列递推式、临差法求数列通项、数列的分组求和等知识，考查运算求解能力，求解时要注意数列通项中的下标的限制.19、解:（Ⅰ）∵是平行四边形直线CD的方程是，即（Ⅱ）∵CE⊥ABCE所在直线方程为,.【解析】略20、（1）（2）【解析】

（1）把两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再根据点到直线距离公式与圆的垂径定理求两圆的公共弦长；（2）根据圆的切线长与半径的关系代入化简即可得到点的轨迹方程，进而求解.【详解】解：（1）由，相减得两圆的公共弦所在直线方程为：，设(0,0)到的距离为，则所以，公共弦长为所以，公共弦长为.（2）证明：由题设得：化简得：配方得：所以，存在定点使得到的距离为定值，且该定值为.【点睛】本题主要考查圆的应用.求两圆的公共弦关键在求公共弦所在直线方程；求